9. Sınıf Matematik Basit Eşitsizlikler Testleri

Doğru cevap: D

1) İfade ve tanım kümesi (payda sıfır olamaz) x 2 - 3 x - 4 x 2 - 4 x + 3 ≥ 0 Payda: x 2 - 4 x + 3 ≠ 0 2) Çarpanlara ayırma Pay: x 2 - 3 x - 4 = ( x - 4 ) ( x + 1 ) Payda: x 2 - 4 x + 3 = ( x - 1 ) ( x - 3 ) Dolayısıyla: ( x - 4 ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x - 3 ) ≥ 0 3) Kritik noktalar Sıfır yapanlar (pay): x = - 1, x = 4 Tanımsız yapanlar (payda): x = 1, x = 3 Sayı doğrusunu kritik noktalara göre bölelim: ( - ∞, - 1 ), ( - 1, 1 ), ( 1, 3 ), ( 3, 4 ), ( 4, ∞ ) 4) İşaret incelemesi (örnek değerle) Aralık ( - ∞, - 1 ) için örnek x = - 2 ( - 2 - 4 ) ( - 2 + 1 ) ( - 2 - 1 ) ( - 2 - 3 ) = ( - 6 ) ( - 1 ) ( - 3 ) ( - 5 ) > 0 Aralık ( - 1, 1 ) için örnek x = 0 ( 0 - 4 ) ( 0 + 1 ) ( 0 - 1 ) ( 0 - 3 ) = ( - 4 ) ( 1 ) ( - 1 ) ( - 3 ) < 0 Aralık ( 1, 3 ) için örnek x = 2 ( 2 - 4 ) ( 2 + 1 ) ( 2 - 1 ) ( 2 - 3 ) = ( - 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( - 1 ) > 0 Aralık ( 3, 4 ) için örnek x = 7 2 ( 7 2 - 4 ) ( 7 2 + 1 ) ( 7 2 - 1 ) ( 7 2 - 3 ) < 0 Aralık ( 4, ∞ ) için örnek x = 5 ( 5 - 4 ) ( 5 + 1 ) ( 5 - 1 ) ( 5 - 3 ) = ( 1 ) ( 6 ) ( 4 ) ( 2 ) > 0 5) Uç noktaların dahil edilmesi / edilmemesi Payı sıfır yapan noktalar eşitliği sağlar, payda sıfır olmadığı sürece dahil edilir: x = - 1, x = 4 Paydayı sıfır yapan noktalar tanımsızdır, dahil edilemez: x = 1, x = 3 6) Çözüm kümesi Pozitif (veya sıfır) olan aralıklar: ( - ∞, - 1 ] ∪ ( 1, 3 ) ∪ [ 4, ∞ ) 7) Şık kontrolü Bulunan küme şıkkıD1442 ile aynıdır: ( - ∞, - 1 ] ∪ ( 1, 3 ) ∪ [ 4, ∞ )

1. Çözüm: 1) İfade ve tanım kümesi (payda sıfır olamaz) x 2 - 3 x - 4 x 2 - 4 x + 3 ≥ 0 Payda: x 2 - 4 x + 3 ≠ 0 2) Çarpanlara ayırma Pay: x 2 - 3 x - 4 = ( x - 4 ) ( x + 1 ) Payda: x 2 - 4 x + 3 = ( x - 1 ) ( x - 3 ) Dolayısıyla: ( x - 4 ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x - 3 ) ≥ 0 3) Kritik noktalar Sıfır yapanlar (pay): x = - 1, x = 4 Tanımsız yapanlar (payda): x = 1, x = 3 Sayı doğrusunu kritik noktalara göre bölelim: ( - ∞, - 1 ), ( - 1, 1 ), ( 1, 3 ), ( 3, 4 ), ( 4, ∞ ) 4) İşaret incelemesi (örnek değerle) Aralık ( - ∞, - 1 ) için örnek x = - 2 ( - 2 - 4 ) ( - 2 + 1 ) ( - 2 - 1 ) ( - 2 - 3 ) = ( - 6 ) ( - 1 ) ( - 3 ) ( - 5 ) > 0 Aralık ( - 1, 1 ) için örnek x = 0 ( 0 - 4 ) ( 0 + 1 ) ( 0 - 1 ) ( 0 - 3 ) = ( - 4 ) ( 1 ) ( - 1 ) ( - 3 ) < 0 Aralık ( 1, 3 ) için örnek x = 2 ( 2 - 4 ) ( 2 + 1 ) ( 2 - 1 ) ( 2 - 3 ) = ( - 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( - 1 ) > 0 Aralık ( 3, 4 ) için örnek x = 7 2 ( 7 2 - 4 ) ( 7 2 + 1 ) ( 7 2 - 1 ) ( 7 2 - 3 ) < 0 Aralık ( 4, ∞ ) için örnek x = 5 ( 5 - 4 ) ( 5 + 1 ) ( 5 - 1 ) ( 5 - 3 ) = ( 1 ) ( 6 ) ( 4 ) ( 2 ) > 0 5) Uç noktaların dahil edilmesi / edilmemesi Payı sıfır yapan noktalar eşitliği sağlar, payda sıfır olmadığı sürece dahil edilir: x = - 1, x = 4 Paydayı sıfır yapan noktalar tanımsızdır, dahil edilemez: x = 1, x = 3 6) Çözüm kümesi Pozitif (veya sıfır) olan aralıklar: ( - ∞, - 1 ] ∪ ( 1, 3 ) ∪ [ 4, ∞ ) 7) Şık kontrolü Bulunan küme şıkkıD1442 ile aynıdır: ( - ∞, - 1 ] ∪ ( 1, 3 ) ∪ [ 4, ∞ )

Doğru cevap: A

1) Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x - 4 ≥ 0 2) Payı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) 3) Eşitsizliği çarpanlarına ayrılmış hâliyle yazalım ve tanım dışı değeri belirtelim: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 ≥ 0 x ≠ 4 4) Kritik noktalar (işaretin değişebileceği yerler): x = 2, x = 3, x = 4 5) Aralıklarda işaret testi yapalım: • Aralık: ( - ∞, 2 ) x = 0: ( - 2 ) ( - 3 ) - 4 < 0 • Aralık: ( 2, 3 ) x = 5 2: ( 1 2 ) ( - 1 2 ) - 3 2 > 0 • Aralık: ( 3, 4 ) x = 7 2: ( 3 2 ) ( 1 2 ) - 1 2 < 0 • Aralık: ( 4, ∞ ) x = 5: ( 3 ) ( 2 ) 1 > 0 6) Eşitliğin sağlandığı yerler: Pozitif olduğu aralıklar ve payın sıfır olduğu noktalar dâhil edilir; paydanın sıfır olduğu nokta dâhil edilmez. x = 2 ⇒ ( 0 ) ( - 1 ) - 2 = 0 x = 3 ⇒ ( 1 ) ( 0 ) - 1 = 0 7) Çözüm kümesi: [ 2, 3 ] ∪ ( 4, ∞ ) 8) Bu sonuç şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap A’dır.

1. Çözüm: 1) Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x - 4 ≥ 0 2) Payı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) 3) Eşitsizliği çarpanlarına ayrılmış hâliyle yazalım ve tanım dışı değeri belirtelim: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 ≥ 0 x ≠ 4 4) Kritik noktalar (işaretin değişebileceği yerler): x = 2, x = 3, x = 4 5) Aralıklarda işaret testi yapalım: • Aralık: ( - ∞, 2 ) x = 0: ( - 2 ) ( - 3 ) - 4 < 0 • Aralık: ( 2, 3 ) x = 5 2: ( 1 2 ) ( - 1 2 ) - 3 2 > 0 • Aralık: ( 3, 4 ) x = 7 2: ( 3 2 ) ( 1 2 ) - 1 2 < 0 • Aralık: ( 4, ∞ ) x = 5: ( 3 ) ( 2 ) 1 > 0 6) Eşitliğin sağlandığı yerler: Pozitif olduğu aralıklar ve payın sıfır olduğu noktalar dâhil edilir; paydanın sıfır olduğu nokta dâhil edilmez. x = 2 ⇒ ( 0 ) ( - 1 ) - 2 = 0 x = 3 ⇒ ( 1 ) ( 0 ) - 1 = 0 7) Çözüm kümesi: [ 2, 3 ] ∪ ( 4, ∞ ) 8) Bu sonuç şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap A’dır.

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: x − 2 + x + 1 < 5 Mutlak değerlerin işaret değiştirebileceği kritik noktalar: x − 2 = 0 x = 2 x + 1 = 0 x = − 1 Bu yüzden aralıkları şöyle inceleriz: x < − 1 − 1 ≤ x < 2 x ≥ 2 1) Durum: x < − 1 Bu aralıkta: x − 2 = 2 − x x + 1 = − x − 1 Eşitsizlik: ( 2 − x ) + ( − x − 1 ) < 5 Düzenleyelim: 1 − 2 x < 5 − 2 x < 4 x > − 2 Bu durumla birlikte: − 2 < x < − 1 2) Durum: − 1 ≤ x < 2 Bu aralıkta: x − 2 = 2 − x x + 1 = x + 1 Toplam: ( 2 − x ) + ( x + 1 ) = 3 Dolayısıyla eşitsizlik bu aralıkta: 3 < 5 Her zaman doğru olur, yani bu aralıktaki tüm değerler çözüme girer: − 1 ≤ x < 2 3) Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta: x − 2 = x − 2 x + 1 = x + 1 Eşitsizlik: ( x − 2 ) + ( x + 1 ) < 5 Düzenleyelim: 2 x − 1 < 5 2 x < 6 x < 3 Bu durumla birlikte: 2 ≤ x < 3 Aralıkları birleştirelim: ( − 2, − 1 ) ∪ [ − 1, 2 ) ∪ [ 2, 3 ) Bu birleşim tek bir aralığa sadeleşir: ( − 2, 3 ) Uç noktaların dahil olmadığını kontrol edelim: − 2 − 2 + − 2 + 1 = − 4 + − 1 = 5 3 − 2 + 3 + 1 = 1 + 4 = 5 Her iki uç noktada da sonuç eşitlik verdiği için, sıkı eşitsizlikte uçlar alınmaz. Sonuç ve şık kontrolü: ( − 2, 3 ) Doğru cevap: B1420.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x − 2 + x + 1 < 5 Mutlak değerlerin işaret değiştirebileceği kritik noktalar: x − 2 = 0 x = 2 x + 1 = 0 x = − 1 Bu yüzden aralıkları şöyle inceleriz: x < − 1 − 1 ≤ x < 2 x ≥ 2 1) Durum: x < − 1 Bu aralıkta: x − 2 = 2 − x x + 1 = − x − 1 Eşitsizlik: ( 2 − x ) + ( − x − 1 ) < 5 Düzenleyelim: 1 − 2 x < 5 − 2 x < 4 x > − 2 Bu durumla birlikte: − 2 < x < − 1 2) Durum: − 1 ≤ x < 2 Bu aralıkta: x − 2 = 2 − x x + 1 = x + 1 Toplam: ( 2 − x ) + ( x + 1 ) = 3 Dolayısıyla eşitsizlik bu aralıkta: 3 < 5 Her zaman doğru olur, yani bu aralıktaki tüm değerler çözüme girer: − 1 ≤ x < 2 3) Durum: x ≥ 2 Bu aralıkta: x − 2 = x − 2 x + 1 = x + 1 Eşitsizlik: ( x − 2 ) + ( x + 1 ) < 5 Düzenleyelim: 2 x − 1 < 5 2 x < 6 x < 3 Bu durumla birlikte: 2 ≤ x < 3 Aralıkları birleştirelim: ( − 2, − 1 ) ∪ [ − 1, 2 ) ∪ [ 2, 3 ) Bu birleşim tek bir aralığa sadeleşir: ( − 2, 3 ) Uç noktaların dahil olmadığını kontrol edelim: − 2 − 2 + − 2 + 1 = − 4 + − 1 = 5 3 − 2 + 3 + 1 = 1 + 4 = 5 Her iki uç noktada da sonuç eşitlik verdiği için, sıkı eşitsizlikte uçlar alınmaz. Sonuç ve şık kontrolü: ( − 2, 3 ) Doğru cevap: B1420.

Doğru cevap: C

İstenen eşitsizlik: x - 2 - 1 x 2 - 1 ≥ 0 1) Tanım kümesi (payda sıfır olamaz): x 2 - 1 ≠ 0 ⇔ ( x - 1 ) ( x + 1 ) ≠ 0 ⇔ x ≠ 1, x ≠ - 1 2) Payın işareti: x - 2 - 1 = 0 ⇔ x - 2 = 1 ⇔ x = 1 ∨ x = 3 Mutlak değer nedeniyle payı aralıklara göre yazalım: x - 2 = 2 - x   ( x ≤ 2 ) x - 2 = x - 2   ( x ≥ 2 ) Buna göre pay: x - 2 - 1 = 1 - x   ( x ≤ 2 ) x - 2 - 1 = x - 3   ( x ≥ 2 ) Buradan payın işareti: x - 2 - 1 > 0 ⇔ x < 1 ∨ x > 3 x - 2 - 1 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 3 x - 2 - 1 < 0 ⇔ 1 < x < 3 3) Paydanın işareti: x 2 - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 ) x 2 - 1 > 0 ⇔ x < - 1 ∨ x > 1 x 2 - 1 < 0 ⇔ - 1 < x < 1 4) Kritik noktalarla işaret incelemesi: - 1, 1, 3 Aralık aralık işaret: ( - ∞, - 1 )   için: pay > 0, payda > 0 ⇒ kesir > 0 ( - 1, 1 )   için: pay > 0, payda < 0 ⇒ kesir < 0 ( 1, 3 )   için: pay < 0, payda > 0 ⇒ kesir < 0 ( 3, ∞ )   için: pay > 0, payda > 0 ⇒ kesir > 0 Eşitlik durumları: x = 3   için pay = 0, payda ≠ 0 ⇒ ifade = 0 (dahil) x = 1   için payda = 0 olduğundan tanımsız (hariç) 5) Çözüm kümesi: ( - ∞, - 1 ) ∪ [ 3, ∞ ) Doğru seçenek: A

1. Çözüm: İstenen eşitsizlik: x - 2 - 1 x 2 - 1 ≥ 0 1) Tanım kümesi (payda sıfır olamaz): x 2 - 1 ≠ 0 ⇔ ( x - 1 ) ( x + 1 ) ≠ 0 ⇔ x ≠ 1, x ≠ - 1 2) Payın işareti: x - 2 - 1 = 0 ⇔ x - 2 = 1 ⇔ x = 1 ∨ x = 3 Mutlak değer nedeniyle payı aralıklara göre yazalım: x - 2 = 2 - x   ( x ≤ 2 ) x - 2 = x - 2   ( x ≥ 2 ) Buna göre pay: x - 2 - 1 = 1 - x   ( x ≤ 2 ) x - 2 - 1 = x - 3   ( x ≥ 2 ) Buradan payın işareti: x - 2 - 1 > 0 ⇔ x < 1 ∨ x > 3 x - 2 - 1 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 3 x - 2 - 1 < 0 ⇔ 1 < x < 3 3) Paydanın işareti: x 2 - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 ) x 2 - 1 > 0 ⇔ x < - 1 ∨ x > 1 x 2 - 1 < 0 ⇔ - 1 < x < 1 4) Kritik noktalarla işaret incelemesi: - 1, 1, 3 Aralık aralık işaret: ( - ∞, - 1 )   için: pay > 0, payda > 0 ⇒ kesir > 0 ( - 1, 1 )   için: pay > 0, payda < 0 ⇒ kesir < 0 ( 1, 3 )   için: pay < 0, payda > 0 ⇒ kesir < 0 ( 3, ∞ )   için: pay > 0, payda > 0 ⇒ kesir > 0 Eşitlik durumları: x = 3   için pay = 0, payda ≠ 0 ⇒ ifade = 0 (dahil) x = 1   için payda = 0 olduğundan tanımsız (hariç) 5) Çözüm kümesi: ( - ∞, - 1 ) ∪ [ 3, ∞ ) Doğru seçenek: A

Doğru cevap: D

Verilen eşitsizlik: | x − 1 x + 2 | ≥ 2 Tanım koşulu: x ≠ − 2 Mutlak değerli eşitsizlik için iki durum yazarız: x − 1 x + 2 ≥ 2 x − 1 x + 2 ≤ − 2 1. Durum: x − 1 x + 2 − 2 ≥ 0 x − 1 − 2 ( x + 2 ) x + 2 ≥ 0 − x − 5 x + 2 ≥ 0 Her iki tarafı negatif ile çarparsak yön değişir: x + 5 x + 2 ≤ 0 Kritik noktalar: x = − 5, x = − 2 İşaret incelemesiyle çözüm: [ − 5, − 2 ) 2. Durum: x − 1 x + 2 + 2 ≤ 0 x − 1 + 2 ( x + 2 ) x + 2 ≤ 0 3 x + 3 x + 2 ≤ 0 x + 1 x + 2 ≤ 0 Kritik noktalar: x = − 1, x = − 2 İşaret incelemesiyle çözüm: ( − 2, − 1 ] İki durumun birleşimi (ve x için −2 zaten dışlanmıştır): [ − 5, − 2 ) ∪ ( − 2, − 1 ] Bu küme şıklarda seçeneğiD636 ile aynıdır. Doğru cevap: D660.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: | x − 1 x + 2 | ≥ 2 Tanım koşulu: x ≠ − 2 Mutlak değerli eşitsizlik için iki durum yazarız: x − 1 x + 2 ≥ 2 x − 1 x + 2 ≤ − 2 1. Durum: x − 1 x + 2 − 2 ≥ 0 x − 1 − 2 ( x + 2 ) x + 2 ≥ 0 − x − 5 x + 2 ≥ 0 Her iki tarafı negatif ile çarparsak yön değişir: x + 5 x + 2 ≤ 0 Kritik noktalar: x = − 5, x = − 2 İşaret incelemesiyle çözüm: [ − 5, − 2 ) 2. Durum: x − 1 x + 2 + 2 ≤ 0 x − 1 + 2 ( x + 2 ) x + 2 ≤ 0 3 x + 3 x + 2 ≤ 0 x + 1 x + 2 ≤ 0 Kritik noktalar: x = − 1, x = − 2 İşaret incelemesiyle çözüm: ( − 2, − 1 ] İki durumun birleşimi (ve x için −2 zaten dışlanmıştır): [ − 5, − 2 ) ∪ ( − 2, − 1 ] Bu küme şıklarda seçeneğiD636 ile aynıdır. Doğru cevap: D660.

Doğru cevap: A

1) Verilen eşitsizliği yazalım: x - 2 x + 1 > x + 3 x - 4 2) Tanım kümesi kısıtı (paydaları sıfır yapan değerler alınamaz): x ≠ - 1 x ≠ 4 3) Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: x - 2 x + 1 - x + 3 x - 4 > 0 4) Ortak payda ile tek kesir haline getirelim: ( x - 2 ) ( x - 4 ) - ( x + 3 ) ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x - 4 ) > 0 5) Pay kısmını açıp sadeleştirelim: ( x - 2 ) ( x - 4 ) = x 2 - 6 x + 8 ( x + 3 ) ( x + 1 ) = x 2 + 4 x + 3 ( x 2 - 6 x + 8 ) - ( x 2 + 4 x + 3 ) = - 10 x + 5 = 5 ( 1 - 2 x ) 6) Eşitsizlik şu hale gelir (pozitif sabit katsayı işareti değiştirmez): 5 ( 1 - 2 x ) ( x + 1 ) ( x - 4 ) > 0 1 - 2 x ( x + 1 ) ( x - 4 ) > 0 7) Kritik noktalar (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler): 1 - 2 x = 0 x = 1 2 x = - 1 x = 4 8) İşaret incelemesi (aralıklar sırasıyla denenir): ( - ∞, - 1 ) İşaret: + ( - 1, 1 2 ) İşaret: - ( 1 2, 4 ) İşaret: + ( 4, ∞ ) İşaret: - 9) İstenen durum pozitif olduğu aralıklardır; ayrıca eşitsizlik sıkı olduğu için payı sıfır yapan nokta alınmaz ve paydaları sıfır yapan noktalar zaten alınamaz: ( - ∞, - 1 ) ∪ ( 1 2, 4 ) 10) Şık kontrolü: Bulunan çözüm kümesi A şıkkı ile aynıdır, dolayısıyla doğru cevap A’dır.

1. Çözüm: 1) Verilen eşitsizliği yazalım: x - 2 x + 1 > x + 3 x - 4 2) Tanım kümesi kısıtı (paydaları sıfır yapan değerler alınamaz): x ≠ - 1 x ≠ 4 3) Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: x - 2 x + 1 - x + 3 x - 4 > 0 4) Ortak payda ile tek kesir haline getirelim: ( x - 2 ) ( x - 4 ) - ( x + 3 ) ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x - 4 ) > 0 5) Pay kısmını açıp sadeleştirelim: ( x - 2 ) ( x - 4 ) = x 2 - 6 x + 8 ( x + 3 ) ( x + 1 ) = x 2 + 4 x + 3 ( x 2 - 6 x + 8 ) - ( x 2 + 4 x + 3 ) = - 10 x + 5 = 5 ( 1 - 2 x ) 6) Eşitsizlik şu hale gelir (pozitif sabit katsayı işareti değiştirmez): 5 ( 1 - 2 x ) ( x + 1 ) ( x - 4 ) > 0 1 - 2 x ( x + 1 ) ( x - 4 ) > 0 7) Kritik noktalar (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler): 1 - 2 x = 0 x = 1 2 x = - 1 x = 4 8) İşaret incelemesi (aralıklar sırasıyla denenir): ( - ∞, - 1 ) İşaret: + ( - 1, 1 2 ) İşaret: - ( 1 2, 4 ) İşaret: + ( 4, ∞ ) İşaret: - 9) İstenen durum pozitif olduğu aralıklardır; ayrıca eşitsizlik sıkı olduğu için payı sıfır yapan nokta alınmaz ve paydaları sıfır yapan noktalar zaten alınamaz: ( - ∞, - 1 ) ∪ ( 1 2, 4 ) 10) Şık kontrolü: Bulunan çözüm kümesi A şıkkı ile aynıdır, dolayısıyla doğru cevap A’dır.

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 | + | x + 1 | ≥ 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0 ⇒ x = 3 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 Bu yüzden sayı doğrusunu şu aralıklarda inceleyeceğiz: ( - ∞, - 1 ], [ - 1, 3 2 ], [ 3 2, ∞ ) 1) Durum: x ≤ - 1 Bu aralıkta: 2 x - 3 ≤ 0, x + 1 ≤ 0 Dolayısıyla mutlak değerleri açalım: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 = - 2 x + 3 | x + 1 | = - x + 1 = - x - 1 Eşitsizliğe yerleştirelim: - 2 x + 3 + - x - 1 ≥ 7 - 3 x + 2 ≥ 7 ⇒ - 3 x ≥ 5 ⇒ x ≤ - 5 3 Bu durumun aralığıyla kesiştirirsek çözüm: ( - ∞, - 5 3 ] 2) Durum: - 1 ≤ x ≤ 3 2 Bu aralıkta: 2 x - 3 ≤ 0, x + 1 ≥ 0 Mutlak değerleri açalım: | 2 x - 3 | = - 2 x + 3, | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliğe yerleştirelim: - 2 x + 3 + x + 1 ≥ 7 - x + 4 ≥ 7 ⇒ - x ≥ 3 ⇒ x ≤ - 3 Fakat bu, - 1 ≤ x şartıyla çelişir. Bu aralıktan çözüm gelmez. 3) Durum: x ≥ 3 2 Bu aralıkta: 2 x - 3 ≥ 0, x + 1 ≥ 0 Mutlak değerleri açalım: | 2 x - 3 | = 2 x - 3, | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliğe yerleştirelim: 2 x - 3 + x + 1 ≥ 7 3 x - 2 ≥ 7 ⇒ 3 x ≥ 9 ⇒ x ≥ 3 Bu durumun aralığıyla kesiştirince çözüm: [ 3, ∞ ) Tüm çözümleri birleştirirsek: ( - ∞, - 5 3 ] ∪ [ 3, ∞ ) Bu küme şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap B1439 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 | + | x + 1 | ≥ 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0 ⇒ x = 3 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 Bu yüzden sayı doğrusunu şu aralıklarda inceleyeceğiz: ( - ∞, - 1 ], [ - 1, 3 2 ], [ 3 2, ∞ ) 1) Durum: x ≤ - 1 Bu aralıkta: 2 x - 3 ≤ 0, x + 1 ≤ 0 Dolayısıyla mutlak değerleri açalım: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 = - 2 x + 3 | x + 1 | = - x + 1 = - x - 1 Eşitsizliğe yerleştirelim: - 2 x + 3 + - x - 1 ≥ 7 - 3 x + 2 ≥ 7 ⇒ - 3 x ≥ 5 ⇒ x ≤ - 5 3 Bu durumun aralığıyla kesiştirirsek çözüm: ( - ∞, - 5 3 ] 2) Durum: - 1 ≤ x ≤ 3 2 Bu aralıkta: 2 x - 3 ≤ 0, x + 1 ≥ 0 Mutlak değerleri açalım: | 2 x - 3 | = - 2 x + 3, | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliğe yerleştirelim: - 2 x + 3 + x + 1 ≥ 7 - x + 4 ≥ 7 ⇒ - x ≥ 3 ⇒ x ≤ - 3 Fakat bu, - 1 ≤ x şartıyla çelişir. Bu aralıktan çözüm gelmez. 3) Durum: x ≥ 3 2 Bu aralıkta: 2 x - 3 ≥ 0, x + 1 ≥ 0 Mutlak değerleri açalım: | 2 x - 3 | = 2 x - 3, | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliğe yerleştirelim: 2 x - 3 + x + 1 ≥ 7 3 x - 2 ≥ 7 ⇒ 3 x ≥ 9 ⇒ x ≥ 3 Bu durumun aralığıyla kesiştirince çözüm: [ 3, ∞ ) Tüm çözümleri birleştirirsek: ( - ∞, - 5 3 ] ∪ [ 3, ∞ ) Bu küme şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap B1439 şıkkıdır.

Doğru cevap: C

İstenen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x - 4 ≥ 0 1) Tanım kümesi (payda sıfır olamaz): x ≠ 4 2) Payı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Böylece eşitsizlik şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 ≥ 0 3) Kritik noktalar (işaretin değişebileceği yerler): x = 2, x = 3, x = 4 Bu noktalar sayı doğrusunu şu aralıklara böler: ( - ∞, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 4 ), ( 4, ∞ ) 4) Her aralıktan bir test değeri seçip ifadenin işaretini bulalım: • İlk aralık için: x = 0 ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) 0 - 4 < 0 • İkinci aralık için: x = 5 2 ( 5 2 - 2 ) ( 5 2 - 3 ) 5 2 - 4 > 0 • Üçüncü aralık için: x = 7 2 ( 7 2 - 2 ) ( 7 2 - 3 ) 7 2 - 4 < 0 • Dördüncü aralık için: x = 5 ( 5 - 2 ) ( 5 - 3 ) 5 - 4 > 0 5) Eşitsizlik sağlayan aralıkları toplayalım. Ayrıca payı sıfır yapan noktalar ( eşitlik durumu ) dahildir, paydada sıfır yapan nokta dahil değildir: [ 2, 3 ] ∪ ( 4, ∞ ) Sonuç: Doğru cevap C919 şıkkıdır.

1. Çözüm: İstenen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x - 4 ≥ 0 1) Tanım kümesi (payda sıfır olamaz): x ≠ 4 2) Payı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Böylece eşitsizlik şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 ≥ 0 3) Kritik noktalar (işaretin değişebileceği yerler): x = 2, x = 3, x = 4 Bu noktalar sayı doğrusunu şu aralıklara böler: ( - ∞, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 4 ), ( 4, ∞ ) 4) Her aralıktan bir test değeri seçip ifadenin işaretini bulalım: • İlk aralık için: x = 0 ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) 0 - 4 < 0 • İkinci aralık için: x = 5 2 ( 5 2 - 2 ) ( 5 2 - 3 ) 5 2 - 4 > 0 • Üçüncü aralık için: x = 7 2 ( 7 2 - 2 ) ( 7 2 - 3 ) 7 2 - 4 < 0 • Dördüncü aralık için: x = 5 ( 5 - 2 ) ( 5 - 3 ) 5 - 4 > 0 5) Eşitsizlik sağlayan aralıkları toplayalım. Ayrıca payı sıfır yapan noktalar ( eşitlik durumu ) dahildir, paydada sıfır yapan nokta dahil değildir: [ 2, 3 ] ∪ ( 4, ∞ ) Sonuç: Doğru cevap C919 şıkkıdır.

Doğru cevap: D

İki taraftan 3 çıkarılır: $x<5$.

1. Çözüm: İki taraftan 3 çıkarılır: $x<5$.

Doğru cevap: A

Negatif sayıya bölünürken eşitsizlik yön değiştirir: $x>-3$.

1. Çözüm: Negatif sayıya bölünürken eşitsizlik yön değiştirir: $x>-3$.