9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik Basit Eşitsizlikler Testleri

Basit Eşitsizlikler konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

9. Sınıf Basit Eşitsizlikler Testleri

Basit Eşitsizlikler testleri; birinci dereceden eşitsizlikleri çözmeyi, sayı doğrusu üzerinde göstermeyi, aralık kavramını ve eşitsizlik özelliklerini pekiştirir.

Eşitsizlik Çözme

Eşitsizliklerde iki tarafa aynı işlem uygulanabilir. Ancak negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yapılırsa eşitsizlik yönü değişir. Bu kural 9. Sınıf sorularında sık kullanılır.

Aralık ve Sayı Doğrusu

Çözüm kümeleri açık, kapalı veya yarı açık aralıklarla gösterilebilir. Küçüktür ve büyüktür işaretlerinde uç nokta dahil edilmez, eşitlik içeren işaretlerde dahil edilir.

Test seç

14 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test 11. Test 12. Test 13. Test 14. Test

12. Test

9. Sınıf Matematik Basit Eşitsizlikler Testleri

Basit Eşitsizlikler konusu 12. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan
$| \frac{2 x - 3}{x + 1} | \geq 1$
koşulunu sağlayan $x$ gerçek sayılar kümesini bulunuz.

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Önce şıkkı kontrol edelim: Çözüm kümesi A değil, C şıkkıdır. Çünkü x = - 1 için ifade tanımsızdır; şıkkıB102 x = - 1 değerini yanlışlıkla içerir. 2) Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 x + 1 | ≥ 1 Tanım gereği payda sıfır olamaz: x ≠ - 1 3) Mutlak değerli eşitsizlik: | A | ≥ 1 ise şu iki duruma ayrılır: A ≥ 1 A ≤ - 1 Burada A = 2 x - 3 x + 1 4) Birinci durum: 2 x - 3 x + 1 ≥ 1 Her iki tarafı aynı paydada toplayalım: 2 x - 3 - ( x + 1 ) x + 1 ≥ 0 x - 4 x + 1 ≥ 0 Kritik noktalar: x = 4 x = - 1 İşaret incelemesi sonucu çözüm: ( - ∞, - 1 ) ∪ [ 4, ∞ ) 5) İkinci durum: 2 x - 3 x + 1 ≤ - 1 Her iki tarafı aynı paydada toplayalım: 2 x - 3 + ( x + 1 ) x + 1 ≤ 0 3 x - 2 x + 1 ≤ 0 Kritik noktalar: x = 2 3 x = - 1 İşaret incelemesi sonucu çözüm: ( - 1, 2 3 ] 6) Sonuç (birleşim): ( - ∞, - 1 ) ∪ ( - 1, 2 3 ] ∪ [ 4, ∞ ) Bu küme C şıkkıdır.

Çözüm: 1) Önce şıkkı kontrol edelim: Çözüm kümesi A değil, C şıkkıdır. Çünkü x = - 1 için ifade tanımsızdır; şıkkıB102 x = - 1 değerini yanlışlıkla içerir. 2) Verilen eşitsizlik: | 2 x - 3 x + 1 | ≥ 1 Tanım gereği payda sıfır olamaz: x ≠ - 1 3) Mutlak değerli eşitsizlik: | A | ≥ 1 ise şu iki duruma ayrılır: A ≥ 1 A ≤ - 1 Burada A = 2 x - 3 x + 1 4) Birinci durum: 2 x - 3 x + 1 ≥ 1 Her iki tarafı aynı paydada toplayalım: 2 x - 3 - ( x + 1 ) x + 1 ≥ 0 x - 4 x + 1 ≥ 0 Kritik noktalar: x = 4 x = - 1 İşaret incelemesi sonucu çözüm: ( - ∞, - 1 ) ∪ [ 4, ∞ ) 5) İkinci durum: 2 x - 3 x + 1 ≤ - 1 Her iki tarafı aynı paydada toplayalım: 2 x - 3 + ( x + 1 ) x + 1 ≤ 0 3 x - 2 x + 1 ≤ 0 Kritik noktalar: x = 2 3 x = - 1 İşaret incelemesi sonucu çözüm: ( - 1, 2 3 ] 6) Sonuç (birleşim): ( - ∞, - 1 ) ∪ ( - 1, 2 3 ] ∪ [ 4, ∞ ) Bu küme C şıkkıdır.

1) Önce şıkkı kontrol edelim: Çözüm kümesi A değil, C şıkkıdır. Çünkü $x = - 1$ için ifade tanımsızdır; şıkkıB230 $x = - 1$ değerini yanlışlıkla içerir.

2) Verilen eşitsizlik:

| \frac{2 x - 3}{x + 1} | \geq 1

Tanım gereği payda sıfır olamaz:

x \neq - 1

3) Mutlak değerli eşitsizlik:

| A | \geq 1

ise şu iki duruma ayrılır:

A \geq 1

A \leq - 1

Burada

A = \frac{2 x - 3}{x + 1}

4) Birinci durum:

\frac{2 x - 3}{x + 1} \geq 1

Her iki tarafı aynı paydada toplayalım:

\frac{2 x - 3 - (x + 1)}{x + 1} \geq 0

\frac{x - 4}{x + 1} \geq 0

Kritik noktalar:

x = 4

x = - 1

İşaret incelemesi sonucu çözüm:

(- \infty, - 1) \cup [4, \infty)

5) İkinci durum:

\frac{2 x - 3}{x + 1} \leq - 1

Her iki tarafı aynı paydada toplayalım:

\frac{2 x - 3 + (x + 1)}{x + 1} \leq 0

\frac{3 x - 2}{x + 1} \leq 0

Kritik noktalar:

x = \frac{2}{3}

x = - 1

İşaret incelemesi sonucu çözüm:

(- 1, \frac{2}{3}]

6) Sonuç (birleşim):

(- \infty, - 1) \cup (- 1, \frac{2}{3}] \cup [4, \infty)

Bu küme C şıkkıdır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
$\frac{2 x - 3}{x + 1} \geq 1$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: 2 x - 3 x + 1 ≥ 1 Önce tanım koşulunu yazalım (payda sıfır olamaz): x ≠ - 1 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım: 2 x - 3 x + 1 - 1 ≥ 0 Ortak paydada birleştirelim: 2 x - 3 - ( x + 1 ) x + 1 ≥ 0 Payı sadeleştirelim: x - 4 x + 1 ≥ 0 Kritik noktalar (işaret değiştirebilecek değerler): x = 4 (pay sıfır) x = - 1 (payda sıfır, tanımsız) Aralıkları belirleyelim: ( - ∞, - 1 ) ( - 1, 4 ) ( 4, ∞ ) Her aralıktan bir test değeri seçip işaret inceleyelim: 1) Aralık ( -∞, -1 ) için x = -2 seçelim: ( - 2 ) - 4 ( - 2 ) + 1 = - 6 - 1 > 0 2) Aralık ( -1, 4 ) için x = 0 seçelim: 0 - 4 0 + 1 = - 4 1 < 0 3) Aralık ( 4, ∞ ) için x = 5 seçelim: 5 - 4 5 + 1 = 1 6 > 0 Buna göre eşitsizlik, ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklarda sağlanır. x = 4 değeri paydayı sıfır yapmadığı için dahil edilir; x = -1 tanımsız olduğu için dahil edilmez: ( - ∞, - 1 ) ∪ [ 4, ∞ ) Sonuç: Doğru cevap C998 şıkkıdır.

Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 x - 3 x + 1 ≥ 1 Önce tanım koşulunu yazalım (payda sıfır olamaz): x ≠ - 1 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım: 2 x - 3 x + 1 - 1 ≥ 0 Ortak paydada birleştirelim: 2 x - 3 - ( x + 1 ) x + 1 ≥ 0 Payı sadeleştirelim: x - 4 x + 1 ≥ 0 Kritik noktalar (işaret değiştirebilecek değerler): x = 4 (pay sıfır) x = - 1 (payda sıfır, tanımsız) Aralıkları belirleyelim: ( - ∞, - 1 ) ( - 1, 4 ) ( 4, ∞ ) Her aralıktan bir test değeri seçip işaret inceleyelim: 1) Aralık ( -∞, -1 ) için x = -2 seçelim: ( - 2 ) - 4 ( - 2 ) + 1 = - 6 - 1 > 0 2) Aralık ( -1, 4 ) için x = 0 seçelim: 0 - 4 0 + 1 = - 4 1 < 0 3) Aralık ( 4, ∞ ) için x = 5 seçelim: 5 - 4 5 + 1 = 1 6 > 0 Buna göre eşitsizlik, ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklarda sağlanır. x = 4 değeri paydayı sıfır yapmadığı için dahil edilir; x = -1 tanımsız olduğu için dahil edilmez: ( - ∞, - 1 ) ∪ [ 4, ∞ ) Sonuç: Doğru cevap C998 şıkkıdır.

Verilen eşitsizlik:

\frac{2 x - 3}{x + 1} \geq 1

Önce tanım koşulunu yazalım (payda sıfır olamaz):

x \neq - 1

Eşitsizliği tek tarafa toplayalım:

\frac{2 x - 3}{x + 1} - 1 \geq 0

Ortak paydada birleştirelim:

\frac{2 x - 3 - (x + 1)}{x + 1} \geq 0

Payı sadeleştirelim:

\frac{x - 4}{x + 1} \geq 0

Kritik noktalar (işaret değiştirebilecek değerler):

x = 4 (pay sıfır)

x = - 1 (payda sıfır, tanımsız)

Aralıkları belirleyelim:

(- \infty, - 1) (- 1, 4) (4, \infty)

Her aralıktan bir test değeri seçip işaret inceleyelim:

1) Aralık(-∞,-1) için x = -2 seçelim:

\frac{(- 2) - 4}{(- 2) + 1} = \frac{- 6}{- 1} > 0

2) Aralık(-1,4) için x = 0 seçelim:

\frac{0 - 4}{0 + 1} = \frac{- 4}{1} < 0

3) Aralık(4,∞) için x = 5 seçelim:

\frac{5 - 4}{5 + 1} = \frac{1}{6} > 0

Buna göre eşitsizlik, ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklarda sağlanır. x = 4 değeri paydayı sıfır yapmadığı için dahil edilir; x = -1 tanımsız olduğu için dahil edilmez:

(- \infty, - 1) \cup [4, \infty)

Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.
$\frac{x^{2} - 9}{| x - 2 | - 3} < 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

İncelenecek eşitsizlik: x 2 - 9 | x - 2 | - 3 < 0 Payı çarpanlara ayıralım: x 2 - 9 = ( x - 3 ) ( x + 3 ) Buradan payın sıfır olduğu noktalar: x = -3, x = 3 Paydanın tanımsızlık noktalarını bulalım: | x - 2 | - 3 = 0 | x - 2 | = 3 x - 2 = 3 veya x - 2 = -3 x = 5 veya x = -1 Dolayısıyla tanım gereği: x ≠ -1, x ≠ 5 Paydanın işaretini belirleyelim: | x - 2 | - 3 < 0 ⇔ | x - 2 | < 3 ⇔ -1 < x < 5 Buna göre: | x - 2 | - 3 > 0 iken x < -1 veya x > 5 | x - 2 | - 3 < 0 iken -1 < x < 5 Kritik noktalarla sayı doğrusunu aralıklara ayıralım: ( -∞, -3 ), ( -3, -1 ), ( -1, 3 ), ( 3, 5 ), ( 5, ∞ ) Her aralıkta pay ve paydanın işaretini kontrol edelim: 1) ( -∞, -3 ): x 2 - 9 | x - 2 | - 3 > 0 2) ( -3, -1 ): x 2 - 9 | x - 2 | - 3 < 0 3) ( -1, 3 ): x 2 - 9 | x - 2 | - 3 > 0 4) ( 3, 5 ): x 2 - 9 | x - 2 | - 3 < 0 5) ( 5, ∞ ): x 2 - 9 | x - 2 | - 3 > 0 Negatif olduğu aralıklar çözüm aralıklarıdır. Çözüm kümesi: ( -3, -1 ) ∪ ( 3, 5 ) Bu sonuç şıklardan: A) ( -3, -1 ) ∪ ( 3, 5 ) ile aynıdır. Doğru cevap D1054 ’dır.

Çözüm: İncelenecek eşitsizlik: x 2 - 9 | x - 2 | - 3 < 0 Payı çarpanlara ayıralım: x 2 - 9 = ( x - 3 ) ( x + 3 ) Buradan payın sıfır olduğu noktalar: x = -3, x = 3 Paydanın tanımsızlık noktalarını bulalım: | x - 2 | - 3 = 0 | x - 2 | = 3 x - 2 = 3 veya x - 2 = -3 x = 5 veya x = -1 Dolayısıyla tanım gereği: x ≠ -1, x ≠ 5 Paydanın işaretini belirleyelim: | x - 2 | - 3 < 0 ⇔ | x - 2 | < 3 ⇔ -1 < x < 5 Buna göre: | x - 2 | - 3 > 0 iken x < -1 veya x > 5 | x - 2 | - 3 < 0 iken -1 < x < 5 Kritik noktalarla sayı doğrusunu aralıklara ayıralım: ( -∞, -3 ), ( -3, -1 ), ( -1, 3 ), ( 3, 5 ), ( 5, ∞ ) Her aralıkta pay ve paydanın işaretini kontrol edelim: 1) ( -∞, -3 ): x 2 - 9 | x - 2 | - 3 > 0 2) ( -3, -1 ): x 2 - 9 | x - 2 | - 3 < 0 3) ( -1, 3 ): x 2 - 9 | x - 2 | - 3 > 0 4) ( 3, 5 ): x 2 - 9 | x - 2 | - 3 < 0 5) ( 5, ∞ ): x 2 - 9 | x - 2 | - 3 > 0 Negatif olduğu aralıklar çözüm aralıklarıdır. Çözüm kümesi: ( -3, -1 ) ∪ ( 3, 5 ) Bu sonuç şıklardan: A) ( -3, -1 ) ∪ ( 3, 5 ) ile aynıdır. Doğru cevap D1054 ’dır.

İncelenecek eşitsizlik:

\frac{x^{2} - 9}{| x - 2 | - 3} < 0

Payı çarpanlara ayıralım:

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

Buradan payın sıfır olduğu noktalar:

x = -3, x = 3

Paydanın tanımsızlık noktalarını bulalım:

| x - 2 | - 3 = 0

| x - 2 | = 3

x - 2 = 3 veya x - 2 = -3

x = 5 veya x = -1

Dolayısıyla tanım gereği:

x \neq -1, x \neq 5

Paydanın işaretini belirleyelim:

| x - 2 | - 3 < 0 \Leftrightarrow | x - 2 | < 3 \Leftrightarrow -1 < x < 5

Buna göre:

| x - 2 | - 3 > 0 iken x < -1 veya x > 5

| x - 2 | - 3 < 0 iken -1 < x < 5

Kritik noktalarla sayı doğrusunu aralıklara ayıralım:

(-∞, -3), (-3, -1), (-1, 3), (3, 5), (5, ∞)

Her aralıkta pay ve paydanın işaretini kontrol edelim:

1) (-∞, -3) : \frac{x^{2} - 9}{| x - 2 | - 3} > 0

2) (-3, -1) : \frac{x^{2} - 9}{| x - 2 | - 3} < 0

3) (-1, 3) : \frac{x^{2} - 9}{| x - 2 | - 3} > 0

4) (3, 5) : \frac{x^{2} - 9}{| x - 2 | - 3} < 0

5) (5, ∞) : \frac{x^{2} - 9}{| x - 2 | - 3} > 0

Negatif olduğu aralıklar çözüm aralıklarıdır.

Çözüm kümesi:

(-3, -1) \cup (3, 5)

Bu sonuç şıklardan:

A) (-3, -1) \cup (3, 5)

ile aynıdır. Doğru cevap A’dır.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.
$\frac{|2 x - 3|}{x^{2} - 5 x + 6} \geq 1$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: 2 x - 3 x 2 - 5 x + 6 ≥ 1 Önce paydayı çarpanlara ayıralım (tanım kümesi için): x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Buna göre ifade tanımsız olmaması için: x ≠ 2, x ≠ 3 Eşitsizliği paydanın işaretine göre inceleyelim. Her iki tarafı paydayla çarpmak için iki durum gerekir. Payda negatif ise: 2 x - 3 x 2 - 5 x + 6 ≥ 1, x 2 - 5 x + 6 < 0 Negatif bir sayı ile çarpınca yön değişir ve şu gerekir: 2 x - 3 ≤ x 2 - 5 x + 6 Fakat soldaki değer her zaman sıfırdan büyük-eşit, sağ taraf ise bu durumda sıfırdan küçüktür; dolayısıyla bu durumdan çözüm çıkmaz. O halde mutlaka payda pozitif olmalı: x 2 - 5 x + 6 > 0 Çarpanlara ayrılmış hâliyle: ( x - 2 ) ( x - 3 ) > 0 Bundan: x < 2 ∪ x > 3 Bu aralıkta her iki tarafı payda ile çarpabiliriz (yön değişmez): 2 x - 3 ≥ x 2 - 5 x + 6 Mutlak değer için işaret durumları: 1) İçerisi negatif ise: 2 x - 3 < 0 Bu durumda: 2 x - 3 = - 2 x + 3 Eşitsizlik: - 2 x + 3 ≥ x 2 - 5 x + 6 Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: x 2 - 3 x + 3 ≤ 0 Ayırıcı (diskriminant) negatif olduğu için bu ifade her zaman pozitiftir ve çözüm vermez: Δ = - 3 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 9 - 12 = - 3 2) İçerisi sıfır ya da pozitif ise: 2 x - 3 ≥ 0 Bu durumda: 2 x - 3 = 2 x - 3 Eşitsizlik: 2 x - 3 ≥ x 2 - 5 x + 6 Tüm terimleri bir tarafa alalım: x 2 - 7 x + 9 ≤ 0 Kökleri bulalım: x = 7 ± 7 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 9 2 = 7 ± 13 2 Parabol yukarı doğru olduğundan çözüm kökler arasındadır: 7 - 13 2 ≤ x ≤ 7 + 13 2 Şimdi bunu, paydanın pozitif olduğu aralıklarla birlikte kesiştirelim: ( x < 2 ) ∪ ( x > 3 ) Kesişim sonucu: [ 7 - 13 2, 2 ) ∪ ( 3, 7 + 13 2 ] Burada uçlarda dikkat: payda nedeniyle x = 2, x = 3 değerleri kesinlikle alınamaz. Sonuç: Doğru seçenek kontrolü yapıldığında çözüm kümesi şık B ile aynıdır.

Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 x - 3 x 2 - 5 x + 6 ≥ 1 Önce paydayı çarpanlara ayıralım (tanım kümesi için): x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Buna göre ifade tanımsız olmaması için: x ≠ 2, x ≠ 3 Eşitsizliği paydanın işaretine göre inceleyelim. Her iki tarafı paydayla çarpmak için iki durum gerekir. Payda negatif ise: 2 x - 3 x 2 - 5 x + 6 ≥ 1, x 2 - 5 x + 6 < 0 Negatif bir sayı ile çarpınca yön değişir ve şu gerekir: 2 x - 3 ≤ x 2 - 5 x + 6 Fakat soldaki değer her zaman sıfırdan büyük-eşit, sağ taraf ise bu durumda sıfırdan küçüktür; dolayısıyla bu durumdan çözüm çıkmaz. O halde mutlaka payda pozitif olmalı: x 2 - 5 x + 6 > 0 Çarpanlara ayrılmış hâliyle: ( x - 2 ) ( x - 3 ) > 0 Bundan: x < 2 ∪ x > 3 Bu aralıkta her iki tarafı payda ile çarpabiliriz (yön değişmez): 2 x - 3 ≥ x 2 - 5 x + 6 Mutlak değer için işaret durumları: 1) İçerisi negatif ise: 2 x - 3 < 0 Bu durumda: 2 x - 3 = - 2 x + 3 Eşitsizlik: - 2 x + 3 ≥ x 2 - 5 x + 6 Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: x 2 - 3 x + 3 ≤ 0 Ayırıcı (diskriminant) negatif olduğu için bu ifade her zaman pozitiftir ve çözüm vermez: Δ = - 3 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = 9 - 12 = - 3 2) İçerisi sıfır ya da pozitif ise: 2 x - 3 ≥ 0 Bu durumda: 2 x - 3 = 2 x - 3 Eşitsizlik: 2 x - 3 ≥ x 2 - 5 x + 6 Tüm terimleri bir tarafa alalım: x 2 - 7 x + 9 ≤ 0 Kökleri bulalım: x = 7 ± 7 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 9 2 = 7 ± 13 2 Parabol yukarı doğru olduğundan çözüm kökler arasındadır: 7 - 13 2 ≤ x ≤ 7 + 13 2 Şimdi bunu, paydanın pozitif olduğu aralıklarla birlikte kesiştirelim: ( x < 2 ) ∪ ( x > 3 ) Kesişim sonucu: [ 7 - 13 2, 2 ) ∪ ( 3, 7 + 13 2 ] Burada uçlarda dikkat: payda nedeniyle x = 2, x = 3 değerleri kesinlikle alınamaz. Sonuç: Doğru seçenek kontrolü yapıldığında çözüm kümesi şık B ile aynıdır.

Verilen eşitsizlik:

\frac{|2 x - 3|}{x^{2} - 5 x + 6} \geq 1

Önce paydayı çarpanlara ayıralım (tanım kümesi için):

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

Buna göre ifade tanımsız olmaması için:

x \neq 2, x \neq 3

Eşitsizliği paydanın işaretine göre inceleyelim. Her iki tarafı paydayla çarpmak için iki durum gerekir.

Payda negatif ise:

\frac{|2 x - 3|}{x^{2} - 5 x + 6} \geq 1, x^{2} - 5 x + 6 < 0

Negatif bir sayı ile çarpınca yön değişir ve şu gerekir:

|2 x - 3| \leq x^{2} - 5 x + 6

Fakat soldaki değer her zaman sıfırdan büyük-eşit, sağ taraf ise bu durumda sıfırdan küçüktür; dolayısıyla bu durumdan çözüm çıkmaz.

O halde mutlaka payda pozitif olmalı:

x^{2} - 5 x + 6 > 0

Çarpanlara ayrılmış hâliyle:

(x - 2) (x - 3) > 0

Bundan:

x < 2 \cup x > 3

Bu aralıkta her iki tarafı payda ile çarpabiliriz (yön değişmez):

|2 x - 3| \geq x^{2} - 5 x + 6

Mutlak değer için işaret durumları:

1) İçerisi negatif ise:

2 x - 3 < 0

Bu durumda:

|2 x - 3| = - 2 x + 3

Eşitsizlik:

- 2 x + 3 \geq x^{2} - 5 x + 6

Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

x^{2} - 3 x + 3 \leq 0

Ayırıcı (diskriminant) negatif olduğu için bu ifade her zaman pozitiftir ve çözüm vermez:

Δ = {- 3}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = - 3

2) İçerisi sıfır ya da pozitif ise:

2 x - 3 \geq 0

Bu durumda:

|2 x - 3| = 2 x - 3

Eşitsizlik:

2 x - 3 \geq x^{2} - 5 x + 6

Tüm terimleri bir tarafa alalım:

x^{2} - 7 x + 9 \leq 0

Kökleri bulalım:

x = \frac{7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}

Parabol yukarı doğru olduğundan çözüm kökler arasındadır:

\frac{7 - \sqrt{13}}{2} \leq x \leq \frac{7 + \sqrt{13}}{2}

Şimdi bunu, paydanın pozitif olduğu aralıklarla birlikte kesiştirelim:

(x < 2) \cup (x > 3)

Kesişim sonucu:

[\frac{7 - \sqrt{13}}{2}, 2) \cup (3, \frac{7 + \sqrt{13}}{2}]

Burada uçlarda dikkat: payda nedeniyle

x = 2, x = 3

değerleri kesinlikle alınamaz.

Sonuç: Doğru seçenek kontrolü yapıldığında çözüm kümesi şık B ile aynıdır.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6} \leq 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Eşitsizlik: x 2 - 4 x 2 - 5 x + 6 ≤ 0 Önce pay ve paydayı çarpanlara ayıralım: x 2 - 4 = ( x - 2 ) ( x + 2 ) x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Payda sıfır olamayacağı için tanım gereği: x ≠ 2 ∧ x ≠ 3 Eşitsizliği çarpanlarına ayrılmış hâliyle yazalım: ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ≤ 0 x ≠ 2 koşulunu unutmadan ortak çarpanı sadeleştiririz: x + 2 x - 3 ≤ 0, x ≠ 2, x ≠ 3 Kritik noktalar: x = - 2 (payı sıfırlar) x = 3 (paydayı sıfırlar, yasak) x = 2 (başlangıçtaki ifadede yasak) İşaret incelemesi: • x < - 2 ⇒ x + 2 < 0, x - 3 < 0 ⇒ x + 2 x - 3 > 0 • - 2 < x < 3 ⇒ x + 2 > 0, x - 3 < 0 ⇒ x + 2 x - 3 < 0 • x > 3 ⇒ x + 2 > 0, x - 3 > 0 ⇒ x + 2 x - 3 > 0 Dolayısıyla eşitsizliği sağlayan aralık: [ - 2, 3 ) Ancak tanım gereği x ≠ 2 olduğu için bu aralıktan x = 2 çıkarılır: [ - 2, 2 ) ∪ ( 2, 3 ) Sonuç: Doğru seçenek B932 ’dır.

Çözüm: Eşitsizlik: x 2 - 4 x 2 - 5 x + 6 ≤ 0 Önce pay ve paydayı çarpanlara ayıralım: x 2 - 4 = ( x - 2 ) ( x + 2 ) x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Payda sıfır olamayacağı için tanım gereği: x ≠ 2 ∧ x ≠ 3 Eşitsizliği çarpanlarına ayrılmış hâliyle yazalım: ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ≤ 0 x ≠ 2 koşulunu unutmadan ortak çarpanı sadeleştiririz: x + 2 x - 3 ≤ 0, x ≠ 2, x ≠ 3 Kritik noktalar: x = - 2 (payı sıfırlar) x = 3 (paydayı sıfırlar, yasak) x = 2 (başlangıçtaki ifadede yasak) İşaret incelemesi: • x < - 2 ⇒ x + 2 < 0, x - 3 < 0 ⇒ x + 2 x - 3 > 0 • - 2 < x < 3 ⇒ x + 2 > 0, x - 3 < 0 ⇒ x + 2 x - 3 < 0 • x > 3 ⇒ x + 2 > 0, x - 3 > 0 ⇒ x + 2 x - 3 > 0 Dolayısıyla eşitsizliği sağlayan aralık: [ - 2, 3 ) Ancak tanım gereği x ≠ 2 olduğu için bu aralıktan x = 2 çıkarılır: [ - 2, 2 ) ∪ ( 2, 3 ) Sonuç: Doğru seçenek B932 ’dır.

Eşitsizlik:

\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6} \leq 0

Önce pay ve paydayı çarpanlara ayıralım:

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

Payda sıfır olamayacağı için tanım gereği:

x \neq 2 \land x \neq 3

Eşitsizliği çarpanlarına ayrılmış hâliyle yazalım:

\frac{(x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x - 3)} \leq 0

$x \neq 2$ koşulunu unutmadan ortak çarpanı sadeleştiririz:

\frac{x + 2}{x - 3} \leq 0, x \neq 2, x \neq 3

Kritik noktalar:

x = - 2 (payı sıfırlar)

x = 3 (paydayı sıfırlar, yasak)

x = 2 (başlangıçtaki ifadede yasak)

İşaret incelemesi:

•

x < - 2 \Rightarrow x + 2 < 0, x - 3 < 0 \Rightarrow \frac{x + 2}{x - 3} > 0

•

- 2 < x < 3 \Rightarrow x + 2 > 0, x - 3 < 0 \Rightarrow \frac{x + 2}{x - 3} < 0

•

x > 3 \Rightarrow x + 2 > 0, x - 3 > 0 \Rightarrow \frac{x + 2}{x - 3} > 0

Dolayısıyla eşitsizliği sağlayan aralık:

[- 2, 3)

Ancak tanım gereği $x \neq 2$ olduğu için bu aralıktan $x = 2$ çıkarılır:

[- 2, 2) \cup (2, 3)

Sonuç: Doğru seçenek A’dır.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 4} < 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan gerçek sayılar kümesini bulun.
$|\frac{2 x - 3}{x + 1}| \geq 2$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen eşitsizlik: 2 x - 3 x + 1 ≥ 2 Tanım gereği payda sıfır olamaz: x ≠ - 1 Mutlak değerli eşitsizlik iki duruma ayrılır: 2 x - 3 x + 1 ≥ 2 2 x - 3 x + 1 ≤ - 2 1. Durum: 2 x - 3 x + 1 ≥ 2 Tek tarafta toplayalım: 2 x - 3 x + 1 - 2 ≥ 0 Payda ortaklaştırma: 2 x - 3 - 2 ( x + 1 ) x + 1 ≥ 0 Sadeleştirme: - 5 x + 1 ≥ 0 Pay negatif sabit olduğundan, kesrin sıfırdan büyük/eşit olması için paydanın negatif olması gerekir: x + 1 < 0 x < - 1 Bu durumdan gelen çözüm: ( - ∞, - 1 ) 2. Durum: 2 x - 3 x + 1 ≤ - 2 Tek tarafta toplayalım: 2 x - 3 x + 1 + 2 ≤ 0 Payda ortaklaştırma: 2 x - 3 + 2 ( x + 1 ) x + 1 ≤ 0 Sadeleştirme: 4 x - 1 x + 1 ≤ 0 Kritik noktalar: 4 x - 1 = 0 ⇒ x = 1 4 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 İşaret incelemesiyle kesrin sıfırdan küçük/eşit olduğu aralık: ( - 1, 1 4 ] Birleşim (tanım kümesi şartı zaten sağlanıyor çünkü parçada uç noktada yer almıyor): ( - ∞, - 1 ) ∪ ( - 1, 1 4 ] Şık kontrolü: Bulduğumuz küme şıkkıD1034 ile aynıdır, doğru cevap D1055’dır.

Çözüm: Verilen eşitsizlik: 2 x - 3 x + 1 ≥ 2 Tanım gereği payda sıfır olamaz: x ≠ - 1 Mutlak değerli eşitsizlik iki duruma ayrılır: 2 x - 3 x + 1 ≥ 2 2 x - 3 x + 1 ≤ - 2 1. Durum: 2 x - 3 x + 1 ≥ 2 Tek tarafta toplayalım: 2 x - 3 x + 1 - 2 ≥ 0 Payda ortaklaştırma: 2 x - 3 - 2 ( x + 1 ) x + 1 ≥ 0 Sadeleştirme: - 5 x + 1 ≥ 0 Pay negatif sabit olduğundan, kesrin sıfırdan büyük/eşit olması için paydanın negatif olması gerekir: x + 1 < 0 x < - 1 Bu durumdan gelen çözüm: ( - ∞, - 1 ) 2. Durum: 2 x - 3 x + 1 ≤ - 2 Tek tarafta toplayalım: 2 x - 3 x + 1 + 2 ≤ 0 Payda ortaklaştırma: 2 x - 3 + 2 ( x + 1 ) x + 1 ≤ 0 Sadeleştirme: 4 x - 1 x + 1 ≤ 0 Kritik noktalar: 4 x - 1 = 0 ⇒ x = 1 4 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 İşaret incelemesiyle kesrin sıfırdan küçük/eşit olduğu aralık: ( - 1, 1 4 ] Birleşim (tanım kümesi şartı zaten sağlanıyor çünkü parçada uç noktada yer almıyor): ( - ∞, - 1 ) ∪ ( - 1, 1 4 ] Şık kontrolü: Bulduğumuz küme şıkkıD1034 ile aynıdır, doğru cevap D1055’dır.

Verilen eşitsizlik:

|\frac{2 x - 3}{x + 1}| \geq 2

Tanım gereği payda sıfır olamaz:

x \neq - 1

Mutlak değerli eşitsizlik iki duruma ayrılır:

\frac{2 x - 3}{x + 1} \geq 2

\frac{2 x - 3}{x + 1} \leq - 2

1. Durum:

\frac{2 x - 3}{x + 1} \geq 2

Tek tarafta toplayalım:

\frac{2 x - 3}{x + 1} - 2 \geq 0

Payda ortaklaştırma:

\frac{2 x - 3 - 2 (x + 1)}{x + 1} \geq 0

Sadeleştirme:

\frac{- 5}{x + 1} \geq 0

Pay negatif sabit olduğundan, kesrin sıfırdan büyük/eşit olması için paydanın negatif olması gerekir:

x + 1 < 0

x < - 1

Bu durumdan gelen çözüm:

(- \infty, - 1)

2. Durum:

\frac{2 x - 3}{x + 1} \leq - 2

Tek tarafta toplayalım:

\frac{2 x - 3}{x + 1} + 2 \leq 0

Payda ortaklaştırma:

\frac{2 x - 3 + 2 (x + 1)}{x + 1} \leq 0

Sadeleştirme:

\frac{4 x - 1}{x + 1} \leq 0

Kritik noktalar:

4 x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4}

x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1

İşaret incelemesiyle kesrin sıfırdan küçük/eşit olduğu aralık:

(- 1, \frac{1}{4}]

Birleşim (tanım kümesi şartı zaten sağlanıyor çünkü

parçada uç noktada

yer almıyor):

(- \infty, - 1) \cup (- 1, \frac{1}{4}]

Şık kontrolü: Bulduğumuz küme şıkkıD5610 ile aynıdır, doğru cevap D5631’dır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan gerçek sayılar kümesini bulun:
$\frac{x - 2}{x + 1} \leq \frac{x + 3}{x - 4}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) Tanım kümesi (paydaları sıfır yapan değerler hariç): x ≠ − 1, x ≠ 4 2) Eşitsizliği tek tarafa toplayalım: x − 2 x + 1 − x + 3 x − 4 ≤ 0 3) Ortak paydada birleştirelim: ( x − 2 ) ( x − 4 ) − ( x + 3 ) ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x − 4 ) ≤ 0 4) Payı açalım: ( x − 2 ) ( x − 4 ) = x 2 − 6 x + 8 ( x + 3 ) ( x + 1 ) = x 2 + 4 x + 3 5) Pay farkını sadeleştirelim: ( x 2 − 6 x + 8 ) − ( x 2 + 4 x + 3 ) = − 10 x + 5 = 5 ( 1 − 2 x ) 6) Eşitsizlik şu hale gelir (pozitif sabit olan 5 işareti değiştirmez): 1 − 2 x ( x + 1 ) ( x − 4 ) ≤ 0 7) Kritik noktalar (işaret incelemesi için): 1 − 2 x = 0 ⇒ x = 1 2 ( x + 1 ) ( x − 4 ) = 0 ⇒ x = − 1, x = 4 8) Aralıklarda işaret incelemesi: ( − ∞, − 1 ), ( − 1, 1 2 ), ( 1 2, 4 ), ( 4, ∞ ) Seçilen test değerleriyle işaret sonucu: x = − 2 ⇒ 1 − 2 x ( x + 1 ) ( x − 4 ) > 0 x = 0 ⇒ 1 − 2 x ( x + 1 ) ( x − 4 ) < 0 x = 1 ⇒ 1 − 2 x ( x + 1 ) ( x − 4 ) > 0 x = 5 ⇒ 1 − 2 x ( x + 1 ) ( x − 4 ) < 0 9) Eşitsizlik 1 − 2 x ( x + 1 ) ( x − 4 ) ≤ 0 olduğundan, negatif olduğu aralıklar ve sıfır olduğu nokta alınır. Paydanın sıfır olduğu noktalar alınmaz. 10) Çözüm kümesi: ( − 1, 1 2 ] ∪ ( 4, ∞ ) Bu nedenle doğru seçenek A1484 'dir.

Çözüm: 1) Tanım kümesi (paydaları sıfır yapan değerler hariç): x ≠ − 1, x ≠ 4 2) Eşitsizliği tek tarafa toplayalım: x − 2 x + 1 − x + 3 x − 4 ≤ 0 3) Ortak paydada birleştirelim: ( x − 2 ) ( x − 4 ) − ( x + 3 ) ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x − 4 ) ≤ 0 4) Payı açalım: ( x − 2 ) ( x − 4 ) = x 2 − 6 x + 8 ( x + 3 ) ( x + 1 ) = x 2 + 4 x + 3 5) Pay farkını sadeleştirelim: ( x 2 − 6 x + 8 ) − ( x 2 + 4 x + 3 ) = − 10 x + 5 = 5 ( 1 − 2 x ) 6) Eşitsizlik şu hale gelir (pozitif sabit olan 5 işareti değiştirmez): 1 − 2 x ( x + 1 ) ( x − 4 ) ≤ 0 7) Kritik noktalar (işaret incelemesi için): 1 − 2 x = 0 ⇒ x = 1 2 ( x + 1 ) ( x − 4 ) = 0 ⇒ x = − 1, x = 4 8) Aralıklarda işaret incelemesi: ( − ∞, − 1 ), ( − 1, 1 2 ), ( 1 2, 4 ), ( 4, ∞ ) Seçilen test değerleriyle işaret sonucu: x = − 2 ⇒ 1 − 2 x ( x + 1 ) ( x − 4 ) > 0 x = 0 ⇒ 1 − 2 x ( x + 1 ) ( x − 4 ) < 0 x = 1 ⇒ 1 − 2 x ( x + 1 ) ( x − 4 ) > 0 x = 5 ⇒ 1 − 2 x ( x + 1 ) ( x − 4 ) < 0 9) Eşitsizlik 1 − 2 x ( x + 1 ) ( x − 4 ) ≤ 0 olduğundan, negatif olduğu aralıklar ve sıfır olduğu nokta alınır. Paydanın sıfır olduğu noktalar alınmaz. 10) Çözüm kümesi: ( − 1, 1 2 ] ∪ ( 4, ∞ ) Bu nedenle doğru seçenek A1484 'dir.

1) Tanım kümesi (paydaları sıfır yapan değerler hariç):

x \neq - 1, x \neq 4

2) Eşitsizliği tek tarafa toplayalım:

\frac{x - 2}{x + 1} - \frac{x + 3}{x - 4} \leq 0

3) Ortak paydada birleştirelim:

\frac{(x - 2) (x - 4) - (x + 3) (x + 1)}{(x + 1) (x - 4)} \leq 0

4) Payı açalım:

(x - 2) (x - 4) = x^{2} - 6 x + 8

(x + 3) (x + 1) = x^{2} + 4 x + 3

5) Pay farkını sadeleştirelim:

(x^{2} - 6 x + 8) - (x^{2} + 4 x + 3) = - 10 x + 5 = 5 (1 - 2 x)

6) Eşitsizlik şu hale gelir (pozitif sabit olan 5 işareti değiştirmez):

\frac{1 - 2 x}{(x + 1) (x - 4)} \leq 0

7) Kritik noktalar (işaret incelemesi için):

1 - 2 x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}

(x + 1) (x - 4) = 0 \Rightarrow x = - 1, x = 4

8) Aralıklarda işaret incelemesi:

(- \infty, - 1), (- 1, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, 4), (4, \infty)

Seçilen test değerleriyle işaret sonucu:

\begin{array}{l} x = - 2 & \Rightarrow \frac{1 - 2 x}{(x + 1) (x - 4)} > 0 \\ x = 0 & \Rightarrow \frac{1 - 2 x}{(x + 1) (x - 4)} < 0 \\ x = 1 & \Rightarrow \frac{1 - 2 x}{(x + 1) (x - 4)} > 0 \\ x = 5 & \Rightarrow \frac{1 - 2 x}{(x + 1) (x - 4)} < 0 \end{array}

9) Eşitsizlik

\frac{1 - 2 x}{(x + 1) (x - 4)} \leq 0

olduğundan, negatif olduğu aralıklar ve sıfır olduğu nokta alınır. Paydanın sıfır olduğu noktalar alınmaz.

10) Çözüm kümesi:

(- 1, \frac{1}{2}] \cup (4, \infty)

Bu nedenle doğru seçenek C'dir.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ değerleri kümesini bulun.
$| 2 x - 3 | + | x + 1 | \leq 7$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

İstenen eşitsizlik: | 2 x - 3 | + | x + 1 | ≤ 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0 ⇒ x = 3 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 Dolayısıyla aralıkları şu şekilde inceleyeceğiz: x ≤ - 1, - 1 ≤ x ≤ 3 2, x ≥ 3 2 1) Durum: x ≤ - 1 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, bu yüzden: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 = - 2 x + 3 | x + 1 | = - x + 1 = - x - 1 Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x + 3 ) + ( - x - 1 ) ≤ 7 - 3 x + 2 ≤ 7 - 3 x ≤ 5 x ≥ - 5 3 Bu durumun kendi şartıyla kesişimi: - 5 3 ≤ x ≤ - 1 2) Durum: - 1 ≤ x ≤ 3 2 Bu aralıkta: | 2 x - 3 | = - 2 x + 3 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x + 3 ) + ( x + 1 ) ≤ 7 - x + 4 ≤ 7 - x ≤ 3 x ≥ - 3 Bu, zaten - 1 ≤ x ≤ 3 2 aralığının tamamını sağlar. Sonuç: - 1 ≤ x ≤ 3 2 3) Durum: x ≥ 3 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir, bu yüzden: | 2 x - 3 | = 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) ≤ 7 3 x - 2 ≤ 7 3 x ≤ 9 x ≤ 3 Bu durumun kendi şartıyla kesişimi: 3 2 ≤ x ≤ 3 Tüm durumların birleşimi: [ - 5 3, - 1 ] ∪ [ - 1, 3 2 ] ∪ [ 3 2, 3 ] [ - 5 3, 3 ] Şıklarda bu aralık B seçeneğidir. Dolayısıyla “doğru cevap B mi?” kontrolü: Evet, B doğrudur. "

Çözüm: İstenen eşitsizlik: | 2 x - 3 | + | x + 1 | ≤ 7 Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım: 2 x - 3 = 0 ⇒ x = 3 2 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 Dolayısıyla aralıkları şu şekilde inceleyeceğiz: x ≤ - 1, - 1 ≤ x ≤ 3 2, x ≥ 3 2 1) Durum: x ≤ - 1 Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, bu yüzden: | 2 x - 3 | = - 2 x - 3 = - 2 x + 3 | x + 1 | = - x + 1 = - x - 1 Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x + 3 ) + ( - x - 1 ) ≤ 7 - 3 x + 2 ≤ 7 - 3 x ≤ 5 x ≥ - 5 3 Bu durumun kendi şartıyla kesişimi: - 5 3 ≤ x ≤ - 1 2) Durum: - 1 ≤ x ≤ 3 2 Bu aralıkta: | 2 x - 3 | = - 2 x + 3 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( - 2 x + 3 ) + ( x + 1 ) ≤ 7 - x + 4 ≤ 7 - x ≤ 3 x ≥ - 3 Bu, zaten - 1 ≤ x ≤ 3 2 aralığının tamamını sağlar. Sonuç: - 1 ≤ x ≤ 3 2 3) Durum: x ≥ 3 2 Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir, bu yüzden: | 2 x - 3 | = 2 x - 3 | x + 1 | = x + 1 Eşitsizliğe yazalım: ( 2 x - 3 ) + ( x + 1 ) ≤ 7 3 x - 2 ≤ 7 3 x ≤ 9 x ≤ 3 Bu durumun kendi şartıyla kesişimi: 3 2 ≤ x ≤ 3 Tüm durumların birleşimi: [ - 5 3, - 1 ] ∪ [ - 1, 3 2 ] ∪ [ 3 2, 3 ] [ - 5 3, 3 ] Şıklarda bu aralık B seçeneğidir. Dolayısıyla “doğru cevap B mi?” kontrolü: Evet, B doğrudur. "

İstenen eşitsizlik:

| 2 x - 3 | + | x + 1 | \leq 7

Mutlak değerlerin işaret değiştirdiği kritik noktaları bulalım:

2 x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}

x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1

Dolayısıyla aralıkları şu şekilde inceleyeceğiz:

x \leq - 1, - 1 \leq x \leq \frac{3}{2}, x \geq \frac{3}{2}

1) Durum:

x \leq - 1

Bu aralıkta her iki ifade de negatiftir, bu yüzden:

| 2 x - 3 | = - 2 x - 3 = - 2 x + 3

| x + 1 | = - x + 1 = - x - 1

Eşitsizliğe yazalım:

(- 2 x + 3) + (- x - 1) \leq 7

- 3 x + 2 \leq 7

- 3 x \leq 5

x \geq \frac{- 5}{3}

Bu durumun kendi şartıyla kesişimi:

\frac{- 5}{3} \leq x \leq - 1

2) Durum:

- 1 \leq x \leq \frac{3}{2}

Bu aralıkta:

| 2 x - 3 | = - 2 x + 3

| x + 1 | = x + 1

Eşitsizliğe yazalım:

(- 2 x + 3) + (x + 1) \leq 7

- x + 4 \leq 7

- x \leq 3

x \geq - 3

Bu, zaten

- 1 \leq x \leq \frac{3}{2}

aralığının tamamını sağlar. Sonuç:

- 1 \leq x \leq \frac{3}{2}

3) Durum:

x \geq \frac{3}{2}

Bu aralıkta her iki ifade de pozitiftir, bu yüzden:

| 2 x - 3 | = 2 x - 3

| x + 1 | = x + 1

Eşitsizliğe yazalım:

(2 x - 3) + (x + 1) \leq 7

3 x - 2 \leq 7

3 x \leq 9

x \leq 3

Bu durumun kendi şartıyla kesişimi:

\frac{3}{2} \leq x \leq 3

Tüm durumların birleşimi:

[\frac{- 5}{3}, - 1] \cup [- 1, \frac{3}{2}] \cup [\frac{3}{2}, 3]

[\frac{- 5}{3}, 3]

Şıklarda bu aralık B seçeneğidir. Dolayısıyla “doğru cevap B mi?” kontrolü: Evet, B doğrudur.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan gerçek sayıların kümesi hangisidir?
$|\frac{x - 1}{x + 2}| \geq 2$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Önce tanım kümesini belirleyelim. Payda sıfır olamaz: x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ − 2 Verilen eşitsizlik: x − 1 x + 2 ≥ 2 Mutlak değerli eşitsizliği iki duruma ayırırız: x − 1 x + 2 ≥ 2 ∨ x − 1 x + 2 ≤ − 2 1. durum: x − 1 x + 2 ≥ 2 Tek tarafa toplayalım: x − 1 x + 2 − 2 ≥ 0 Payda eşitleyip düzenleyelim: x − 1 − 2 ( x + 2 ) x + 2 ≥ 0 − x − 5 x + 2 ≥ 0 Her iki tarafı negatif ile çarparsak yön değişir: x + 5 x + 2 ≤ 0 Kritik noktalar: x = − 5, x = − 2 İşaret incelemesine göre çözüm: [ − 5, − 2 ) 2. durum: x − 1 x + 2 ≤ − 2 Tek tarafa toplayalım: x − 1 x + 2 + 2 ≤ 0 Payda eşitleyip düzenleyelim: x − 1 + 2 ( x + 2 ) x + 2 ≤ 0 3 x + 3 x + 2 ≤ 0 3 x + 1 x + 2 ≤ 0 Pozitif bir sayı ile bölme işareti değiştirmez: x + 1 x + 2 ≤ 0 Kritik noktalar: x = − 2, x = − 1 İşaret incelemesine göre çözüm: ( − 2, − 1 ] İki durumun birleşimi: [ − 5, − 2 ) ∪ ( − 2, − 1 ] Bu küme şıklardan seçeneğiC1194yle aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap C1229.

Çözüm: Önce tanım kümesini belirleyelim. Payda sıfır olamaz: x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ − 2 Verilen eşitsizlik: x − 1 x + 2 ≥ 2 Mutlak değerli eşitsizliği iki duruma ayırırız: x − 1 x + 2 ≥ 2 ∨ x − 1 x + 2 ≤ − 2 1. durum: x − 1 x + 2 ≥ 2 Tek tarafa toplayalım: x − 1 x + 2 − 2 ≥ 0 Payda eşitleyip düzenleyelim: x − 1 − 2 ( x + 2 ) x + 2 ≥ 0 − x − 5 x + 2 ≥ 0 Her iki tarafı negatif ile çarparsak yön değişir: x + 5 x + 2 ≤ 0 Kritik noktalar: x = − 5, x = − 2 İşaret incelemesine göre çözüm: [ − 5, − 2 ) 2. durum: x − 1 x + 2 ≤ − 2 Tek tarafa toplayalım: x − 1 x + 2 + 2 ≤ 0 Payda eşitleyip düzenleyelim: x − 1 + 2 ( x + 2 ) x + 2 ≤ 0 3 x + 3 x + 2 ≤ 0 3 x + 1 x + 2 ≤ 0 Pozitif bir sayı ile bölme işareti değiştirmez: x + 1 x + 2 ≤ 0 Kritik noktalar: x = − 2, x = − 1 İşaret incelemesine göre çözüm: ( − 2, − 1 ] İki durumun birleşimi: [ − 5, − 2 ) ∪ ( − 2, − 1 ] Bu küme şıklardan seçeneğiC1194yle aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap C1229.

Önce tanım kümesini belirleyelim. Payda sıfır olamaz:

x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq - 2

Verilen eşitsizlik:

|\frac{x - 1}{x + 2}| \geq 2

Mutlak değerli eşitsizliği iki duruma ayırırız:

\frac{x - 1}{x + 2} \geq 2 \lor \frac{x - 1}{x + 2} \leq - 2

1. durum:

\frac{x - 1}{x + 2} \geq 2

Tek tarafa toplayalım:

\frac{x - 1}{x + 2} - 2 \geq 0

Payda eşitleyip düzenleyelim:

\frac{x - 1 - 2 (x + 2)}{x + 2} \geq 0

\frac{- x - 5}{x + 2} \geq 0

Her iki tarafı negatif ile çarparsak yön değişir:

\frac{x + 5}{x + 2} \leq 0

Kritik noktalar:

x = - 5, x = - 2

İşaret incelemesine göre çözüm:

[- 5, - 2)

2. durum:

\frac{x - 1}{x + 2} \leq - 2

Tek tarafa toplayalım:

\frac{x - 1}{x + 2} + 2 \leq 0

Payda eşitleyip düzenleyelim:

\frac{x - 1 + 2 (x + 2)}{x + 2} \leq 0

\frac{3 x + 3}{x + 2} \leq 0

3 \frac{x + 1}{x + 2} \leq 0

Pozitif bir sayı ile bölme işareti değiştirmez:

\frac{x + 1}{x + 2} \leq 0

Kritik noktalar:

x = - 2, x = - 1

İşaret incelemesine göre çözüm:

(- 2, - 1]

İki durumun birleşimi:

[- 5, - 2) \cup (- 2, - 1]

Bu küme şıklardan A seçeneğiyle aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap A.

Basit Eşitsizlikler Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

Eşitsizlik yönü ne zaman değişir?

Her iki taraf negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yönü değişir.

Açık aralık ne demektir?

Uç noktaların çözüm kümesine dahil olmadığı aralıktır.

Kapalı nokta sayı doğrusunda neyi gösterir?

Uç noktanın çözüm kümesine dahil olduğunu gösterir.

9. Sınıf Matematik Basit Eşitsizlikler Testleri

9. Sınıf Basit Eşitsizlikler Testleri

Eşitsizlik Çözme

Aralık ve Sayı Doğrusu

9. Sınıf Matematik Basit Eşitsizlikler Testleri

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan|2x-3x+1|≥1koşulunu sağlayan x gerçek sayılar kümesini bulunuz.

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.2x-3x+1≥1

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.x2-9|x-2|-3<0

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.2x-3x2-5x+6≥1

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.x2-4x2-5x+6≤0

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.x2-5x+6x-4<0

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan gerçek sayılar kümesini bulun.2x-3x+1≥2

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan gerçek sayılar kümesini bulun:x−2x+1≤x+3x−4

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan x değerleri kümesini bulun.|2x-3|+|x+1|≤7

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan gerçek sayıların kümesi hangisidir?x−1x+2≥2

Basit Eşitsizlikler Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan
$| \frac{2 x - 3}{x + 1} | \geq 1$
koşulunu sağlayan $x$ gerçek sayılar kümesini bulunuz.

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
$\frac{2 x - 3}{x + 1} \geq 1$

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.
$\frac{x^{2} - 9}{| x - 2 | - 3} < 0$

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.
$\frac{|2 x - 3|}{x^{2} - 5 x + 6} \geq 1$

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6} \leq 0$

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 4} < 0$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan gerçek sayılar kümesini bulun.
$|\frac{2 x - 3}{x + 1}| \geq 2$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan gerçek sayılar kümesini bulun:
$\frac{x - 2}{x + 1} \leq \frac{x + 3}{x - 4}$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ değerleri kümesini bulun.
$| 2 x - 3 | + | x + 1 | \leq 7$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan gerçek sayıların kümesi hangisidir?
$|\frac{x - 1}{x + 2}| \geq 2$