9. Sınıf Matematik Basit Eşitsizlikler Testleri

Doğru cevap: A

Doğru seçenek: A Verilen eşitsizlik: 3 x − 7 < 2 x + 5 Her iki taraftan 2 x çıkaralım: 3 x − 7 − 2 x < 2 x + 5 − 2 x Sadeleştirelim: x − 7 < 5 Her iki tarafa 7 ekleyelim: x < 5 + 7 Sonuç: x < 12 Bu da şıklardan A ile aynıdır.

1. Çözüm: Doğru seçenek: A Verilen eşitsizlik: 3 x − 7 < 2 x + 5 Her iki taraftan 2 x çıkaralım: 3 x − 7 − 2 x < 2 x + 5 − 2 x Sadeleştirelim: x − 7 < 5 Her iki tarafa 7 ekleyelim: x < 5 + 7 Sonuç: x < 12 Bu da şıklardan A ile aynıdır.

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: x − 2 x + 1 ≥ 2 Tanım koşulu: x ≠ − 1 Mutlak değerli eşitsizliği iki duruma ayıralım: x − 2 x + 1 ≥ 2 x − 2 x + 1 ≤ − 2 1. durumun çözümü: x − 2 x + 1 ≥ 2 Tek kesirde toplayalım: ( x − 2 ) − 2 ( x + 1 ) x + 1 ≥ 0 Sadeleştirelim: − x − 4 x + 1 ≥ 0 Payda pozitif/negatif durumlarına göre incelemek için işaret değiştirelim: x + 4 x + 1 ≤ 0 Kritik noktalar: x = − 4, x = − 1 İşaret incelemesi sonucu çözüm aralığı: [ − 4, − 1 ) 2. durumun çözümü: x − 2 x + 1 ≤ − 2 Tek kesirde toplayalım: ( x − 2 ) + 2 ( x + 1 ) x + 1 ≤ 0 Sadeleştirelim: 3 x x + 1 ≤ 0 Kritik noktalar: x = 0, x = − 1 İşaret incelemesi sonucu çözüm aralığı: ( − 1, 0 ] İki durumun birleşimi (tanım koşulu zaten sağlanıyor): [ − 4, − 1 ) ∪ ( − 1, 0 ] Sonuç: Doğru cevap şıkkı B’dir.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x − 2 x + 1 ≥ 2 Tanım koşulu: x ≠ − 1 Mutlak değerli eşitsizliği iki duruma ayıralım: x − 2 x + 1 ≥ 2 x − 2 x + 1 ≤ − 2 1. durumun çözümü: x − 2 x + 1 ≥ 2 Tek kesirde toplayalım: ( x − 2 ) − 2 ( x + 1 ) x + 1 ≥ 0 Sadeleştirelim: − x − 4 x + 1 ≥ 0 Payda pozitif/negatif durumlarına göre incelemek için işaret değiştirelim: x + 4 x + 1 ≤ 0 Kritik noktalar: x = − 4, x = − 1 İşaret incelemesi sonucu çözüm aralığı: [ − 4, − 1 ) 2. durumun çözümü: x − 2 x + 1 ≤ − 2 Tek kesirde toplayalım: ( x − 2 ) + 2 ( x + 1 ) x + 1 ≤ 0 Sadeleştirelim: 3 x x + 1 ≤ 0 Kritik noktalar: x = 0, x = − 1 İşaret incelemesi sonucu çözüm aralığı: ( − 1, 0 ] İki durumun birleşimi (tanım koşulu zaten sağlanıyor): [ − 4, − 1 ) ∪ ( − 1, 0 ] Sonuç: Doğru cevap şıkkı B’dir.

Doğru cevap: B

1) Önce eşitsizliği çarpanlara ayıralım. x 2 - 5 x + 6 x 2 - 9 ≥ 0 ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 2) Tanım gereği payda sıfır olamaz; bu yüzden bu değerler çözüm kümesinden çıkarılacaktır. x ≠ -3, x ≠ 3 3) Ortak çarpan sadeleşebilir; ancak sadeleşen çarpanın sıfır yaptığı değer yine de tanımsızlık oluşturduğu için dışarıda kalır. ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 x - 2 x + 3 ≥ 0,   x ≠ -3, x ≠ 3 4) Kritik noktalar: payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerlerdir. Bu noktalara göre işaret incelemesi yapılır. x = -3, x = 2, x = 3 5) İşaret tablosu mantığı: • Payın işareti: x - 2 • Paydanın işareti: x + 3 6) Aralıklara göre işaret: • Birinci aralıkta her iki ifade de negatiftir, oran pozitiftir. ( - ∞, - 3 ) • İkinci aralıkta pay negatif, payda pozitiftir, oran negatiftir (alınmaz). ( - 3, 2 ) • Üçüncü aralıkta pay pozitif, payda pozitiftir, oran pozitiftir. Payı sıfır yapan değer eşitlik sağladığı için dahil edilir; fakat tanımsızlık yapan değerler yine hariçtir. [ 2, 3 ) ∪ ( 3, ∞ ) 7) Sonuç (çözüm kümesi): ( - ∞, - 3 ) ∪ [ 2, 3 ) ∪ ( 3, ∞ ) Bu sonuç şıklar içinde B seçeneği ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap B’dir.

1. Çözüm: 1) Önce eşitsizliği çarpanlara ayıralım. x 2 - 5 x + 6 x 2 - 9 ≥ 0 ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 2) Tanım gereği payda sıfır olamaz; bu yüzden bu değerler çözüm kümesinden çıkarılacaktır. x ≠ -3, x ≠ 3 3) Ortak çarpan sadeleşebilir; ancak sadeleşen çarpanın sıfır yaptığı değer yine de tanımsızlık oluşturduğu için dışarıda kalır. ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 x - 2 x + 3 ≥ 0,   x ≠ -3, x ≠ 3 4) Kritik noktalar: payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerlerdir. Bu noktalara göre işaret incelemesi yapılır. x = -3, x = 2, x = 3 5) İşaret tablosu mantığı: • Payın işareti: x - 2 • Paydanın işareti: x + 3 6) Aralıklara göre işaret: • Birinci aralıkta her iki ifade de negatiftir, oran pozitiftir. ( - ∞, - 3 ) • İkinci aralıkta pay negatif, payda pozitiftir, oran negatiftir (alınmaz). ( - 3, 2 ) • Üçüncü aralıkta pay pozitif, payda pozitiftir, oran pozitiftir. Payı sıfır yapan değer eşitlik sağladığı için dahil edilir; fakat tanımsızlık yapan değerler yine hariçtir. [ 2, 3 ) ∪ ( 3, ∞ ) 7) Sonuç (çözüm kümesi): ( - ∞, - 3 ) ∪ [ 2, 3 ) ∪ ( 3, ∞ ) Bu sonuç şıklar içinde B seçeneği ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap B’dir.

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: x 2 − 4 x − 5 x 2 − 1 ≥ 0 Önce pay ve paydayı çarpanlara ayıralım: x 2 − 4 x − 5 = ( x − 5 ) ( x + 1 ) x 2 − 1 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) Payda sıfır olamayacağı için tanım kümesi kısıtı: x ≠ 1 x ≠ − 1 İfade çarpanlarına ayrılmış hâliyle: ( x − 5 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) ≥ 0 Ortak çarpanı sadeleştiririz; fakat tanım gereği ilgili değer yine de yasak kalır: x − 5 x − 1 ≥ 0 x ≠ − 1, x ≠ 1 Kritik noktalar (işaret incelemesi için): payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler: x = 5 x = 1 x = − 1 Aralıkların işareti: • Soldaki aralıkta (kritik noktaların solunda) pay ve payda aynı işaretli olduğundan oran pozitiftir. • Orta aralıkta pay ve payda zıt işaretli olduğundan oran negatiftir. • Sağdaki aralıkta pay ve payda aynı işaretli olduğundan oran pozitiftir. Eşitsizlik büyük-eşit olduğu için payı sıfır yapan değer çözümde yer alır; paydası sıfır yapan (ve ayrıca tanım dışı olan) değerler çözümde yer almaz: x = 5 çözüme dahil x = 1 hariç x = − 1 hariç Çözüm kümesi: ( − ∞, − 1 ) ∪ ( − 1, 1 ) ∪ [ 5, ∞ ) Bu sonuç şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap A.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 − 4 x − 5 x 2 − 1 ≥ 0 Önce pay ve paydayı çarpanlara ayıralım: x 2 − 4 x − 5 = ( x − 5 ) ( x + 1 ) x 2 − 1 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) Payda sıfır olamayacağı için tanım kümesi kısıtı: x ≠ 1 x ≠ − 1 İfade çarpanlarına ayrılmış hâliyle: ( x − 5 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) ≥ 0 Ortak çarpanı sadeleştiririz; fakat tanım gereği ilgili değer yine de yasak kalır: x − 5 x − 1 ≥ 0 x ≠ − 1, x ≠ 1 Kritik noktalar (işaret incelemesi için): payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler: x = 5 x = 1 x = − 1 Aralıkların işareti: • Soldaki aralıkta (kritik noktaların solunda) pay ve payda aynı işaretli olduğundan oran pozitiftir. • Orta aralıkta pay ve payda zıt işaretli olduğundan oran negatiftir. • Sağdaki aralıkta pay ve payda aynı işaretli olduğundan oran pozitiftir. Eşitsizlik büyük-eşit olduğu için payı sıfır yapan değer çözümde yer alır; paydası sıfır yapan (ve ayrıca tanım dışı olan) değerler çözümde yer almaz: x = 5 çözüme dahil x = 1 hariç x = − 1 hariç Çözüm kümesi: ( − ∞, − 1 ) ∪ ( − 1, 1 ) ∪ [ 5, ∞ ) Bu sonuç şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap A.

Doğru cevap: A

Önce verilen eşitsizliği tek tarafa toplayalım (tanım gereği paydalar sıfır olamaz). x - 1 x + 2 - x + 3 x - 4 > 0 Ortak payda ile tek kesir haline getirelim. ( x - 1 ) ( x - 4 ) - ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x - 4 ) > 0 Payı açıp sadeleştirelim. ( x - 1 ) ( x - 4 ) = x 2 - 5 x + 4 ( x + 3 ) ( x + 2 ) = x 2 + 5 x + 6 ( x 2 - 5 x + 4 ) - ( x 2 + 5 x + 6 ) = - 10 x - 2 = - 2 ( 5 x + 1 ) Eşitsizlik şu hale gelir: - 2 ( 5 x + 1 ) ( x + 2 ) ( x - 4 ) > 0 Her iki tarafı negatif olan -1 ile çarparsak yön değiştirir: 2 ( 5 x + 1 ) ( x + 2 ) ( x - 4 ) < 0 Pozitif olan 2 işareti etkilemez: 5 x + 1 ( x + 2 ) ( x - 4 ) < 0 Kritik noktalar (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler): 5 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 5 x + 2 = 0 ⇒ x = - 2 (tanımsız) x - 4 = 0 ⇒ x = 4 (tanımsız) Sayı doğrusunu bu noktalara göre bölelim ve işaret inceleyelim: ( - ∞, - 2 ), ( - 2, - 1 5 ), ( - 1 5, 4 ), ( 4, ∞ ) Örnek değerlerle işaret: 1) (-∞, -2) aralığında (ör. x = -3 ): 5 ( - 3 ) + 1 ( - 3 + 2 ) ( - 3 - 4 ) = - 14 7 < 0 2) (-2, -1/5) aralığında (ör. x = -1 ): 5 ( - 1 ) + 1 ( - 1 + 2 ) ( - 1 - 4 ) = - 4 - 5 > 0 3) (-1/5, 4) aralığında (ör. x = 0 ): 5 ( 0 ) + 1 ( 0 + 2 ) ( 0 - 4 ) = 1 - 8 < 0 4) (4, ∞) aralığında (ör. x = 5 ): 5 ( 5 ) + 1 ( 5 + 2 ) ( 5 - 4 ) = 26 7 > 0 Bizden istenen ifade negatiftir, yani uygun aralıklar (-∞, -2) ve (-1/5, 4) x = -2 ve x = 4 tanımsız; x = -1/5 ise eşitlik verir ve “< 0” olduğu için alınmaz. Çözüm kümesi: ( - ∞, - 2 ) ∪ ( - 1 5, 4 ) Dolayısıyla doğru cevap şıkkı A’dır.

1. Çözüm: Önce verilen eşitsizliği tek tarafa toplayalım (tanım gereği paydalar sıfır olamaz). x - 1 x + 2 - x + 3 x - 4 > 0 Ortak payda ile tek kesir haline getirelim. ( x - 1 ) ( x - 4 ) - ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x - 4 ) > 0 Payı açıp sadeleştirelim. ( x - 1 ) ( x - 4 ) = x 2 - 5 x + 4 ( x + 3 ) ( x + 2 ) = x 2 + 5 x + 6 ( x 2 - 5 x + 4 ) - ( x 2 + 5 x + 6 ) = - 10 x - 2 = - 2 ( 5 x + 1 ) Eşitsizlik şu hale gelir: - 2 ( 5 x + 1 ) ( x + 2 ) ( x - 4 ) > 0 Her iki tarafı negatif olan -1 ile çarparsak yön değiştirir: 2 ( 5 x + 1 ) ( x + 2 ) ( x - 4 ) < 0 Pozitif olan 2 işareti etkilemez: 5 x + 1 ( x + 2 ) ( x - 4 ) < 0 Kritik noktalar (payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler): 5 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 5 x + 2 = 0 ⇒ x = - 2 (tanımsız) x - 4 = 0 ⇒ x = 4 (tanımsız) Sayı doğrusunu bu noktalara göre bölelim ve işaret inceleyelim: ( - ∞, - 2 ), ( - 2, - 1 5 ), ( - 1 5, 4 ), ( 4, ∞ ) Örnek değerlerle işaret: 1) (-∞, -2) aralığında (ör. x = -3 ): 5 ( - 3 ) + 1 ( - 3 + 2 ) ( - 3 - 4 ) = - 14 7 < 0 2) (-2, -1/5) aralığında (ör. x = -1 ): 5 ( - 1 ) + 1 ( - 1 + 2 ) ( - 1 - 4 ) = - 4 - 5 > 0 3) (-1/5, 4) aralığında (ör. x = 0 ): 5 ( 0 ) + 1 ( 0 + 2 ) ( 0 - 4 ) = 1 - 8 < 0 4) (4, ∞) aralığında (ör. x = 5 ): 5 ( 5 ) + 1 ( 5 + 2 ) ( 5 - 4 ) = 26 7 > 0 Bizden istenen ifade negatiftir, yani uygun aralıklar (-∞, -2) ve (-1/5, 4) x = -2 ve x = 4 tanımsız; x = -1/5 ise eşitlik verir ve “< 0” olduğu için alınmaz. Çözüm kümesi: ( - ∞, - 2 ) ∪ ( - 1 5, 4 ) Dolayısıyla doğru cevap şıkkı A’dır.

Doğru cevap: B

1) Doğru cevabı kontrolü: Şık B doğrudur. Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x 2 - 1 ≤ 0 Pay ve paydayı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) x 2 - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 ) Eşitsizliği çarpanlarına ayrılmış biçimde yazalım: ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) ≤ 0 Tanım gereği payda sıfır olamaz, bu yüzden bu iki değer çözüm kümesinden çıkar: x ≠ - 1, x ≠ 1 Kritik noktalar (işaretin değişebileceği noktalar): - 1, 1, 2, 3 Aralıkları test edelim (işaret incelemesi): • Aralık: ( - ∞, - 1 ) Bu aralıkta ifade pozitiftir, bu yüzden alınmaz. • Aralık: ( - 1, 1 ) Bu aralıkta ifade negatiftir, bu yüzden alınır. • Aralık: ( 1, 2 ) Bu aralıkta ifade pozitiftir, bu yüzden alınmaz. • Aralık: ( 2, 3 ) Bu aralıkta ifade negatiftir, bu yüzden alınır. • Aralık: ( 3, ∞ ) Bu aralıkta ifade pozitiftir, bu yüzden alınmaz. Eşitlik durumunu da kontrol edelim: Payı sıfır yapan değerler çözümde olabilir (payda sıfır olmadığı sürece). x = 2, x = 3 Sonuç (çözüm kümesi): ( - 1, 1 ) ∪ [ 2, 3 ] Bu ifade şık B ile aynıdır.

1. Çözüm: 1) Doğru cevabı kontrolü: Şık B doğrudur. Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x 2 - 1 ≤ 0 Pay ve paydayı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) x 2 - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 ) Eşitsizliği çarpanlarına ayrılmış biçimde yazalım: ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) ≤ 0 Tanım gereği payda sıfır olamaz, bu yüzden bu iki değer çözüm kümesinden çıkar: x ≠ - 1, x ≠ 1 Kritik noktalar (işaretin değişebileceği noktalar): - 1, 1, 2, 3 Aralıkları test edelim (işaret incelemesi): • Aralık: ( - ∞, - 1 ) Bu aralıkta ifade pozitiftir, bu yüzden alınmaz. • Aralık: ( - 1, 1 ) Bu aralıkta ifade negatiftir, bu yüzden alınır. • Aralık: ( 1, 2 ) Bu aralıkta ifade pozitiftir, bu yüzden alınmaz. • Aralık: ( 2, 3 ) Bu aralıkta ifade negatiftir, bu yüzden alınır. • Aralık: ( 3, ∞ ) Bu aralıkta ifade pozitiftir, bu yüzden alınmaz. Eşitlik durumunu da kontrol edelim: Payı sıfır yapan değerler çözümde olabilir (payda sıfır olmadığı sürece). x = 2, x = 3 Sonuç (çözüm kümesi): ( - 1, 1 ) ∪ [ 2, 3 ] Bu ifade şık B ile aynıdır.

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: ( x − 1 ) ( x − 4 ) | x − 2 | − 1 ≥ 0 1) Tanım kümesi (payda sıfır olamaz): | x − 2 | − 1 ≠ 0 | x − 2 | = 1 ⇒ x = 1 ∨ x = 3 Bu yüzden: x ≠ 1, x ≠ 3 2) Paydayı işaret incelemesi: Mutlak değer tanımına göre iki bölgeye ayıralım. - Eğer x<2 ise: | x − 2 | = 2 − x | x − 2 | − 1 = 1 − x 1 − x > 0 ⇒ x < 1 - Eğer x≥2 ise: | x − 2 | = x − 2 | x − 2 | − 1 = x − 3 x − 3 > 0 ⇒ x > 3 Özetle payda: | x − 2 | − 1 > 0 ⇔ x < 1 ∨ x > 3 | x − 2 | − 1 < 0 ⇔ 1 < x < 3 3) Payın işareti: ( x − 1 ) ( x − 4 ) = 0 ⇒ x = 1 ∨ x = 4 Buna göre payın işareti: x < 1: ( x − 1 ) < 0, ( x − 4 ) < 0 ⇒ pay > 0 1 < x < 4 ⇒ pay < 0 x > 4 ⇒ pay > 0 4) İşaret tablosu (kritik noktalar: 1, 3, 4): - x<1: pay (+), payda (+) ⇒ kesir (+) (uygun) - 14: pay (+), payda (+) ⇒ kesir (+) (uygun) 5) Çözüm kümesi: ( − ∞, 1 ) ∪ ( 1, 3 ) ∪ [ 4, ∞ ) 6) Şık kontrolü: Bu küme A şıkkı ile aynıdır. Doğru cevap A.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: ( x − 1 ) ( x − 4 ) | x − 2 | − 1 ≥ 0 1) Tanım kümesi (payda sıfır olamaz): | x − 2 | − 1 ≠ 0 | x − 2 | = 1 ⇒ x = 1 ∨ x = 3 Bu yüzden: x ≠ 1, x ≠ 3 2) Paydayı işaret incelemesi: Mutlak değer tanımına göre iki bölgeye ayıralım. - Eğer x<2 ise: | x − 2 | = 2 − x | x − 2 | − 1 = 1 − x 1 − x > 0 ⇒ x < 1 - Eğer x≥2 ise: | x − 2 | = x − 2 | x − 2 | − 1 = x − 3 x − 3 > 0 ⇒ x > 3 Özetle payda: | x − 2 | − 1 > 0 ⇔ x < 1 ∨ x > 3 | x − 2 | − 1 < 0 ⇔ 1 < x < 3 3) Payın işareti: ( x − 1 ) ( x − 4 ) = 0 ⇒ x = 1 ∨ x = 4 Buna göre payın işareti: x < 1: ( x − 1 ) < 0, ( x − 4 ) < 0 ⇒ pay > 0 1 < x < 4 ⇒ pay < 0 x > 4 ⇒ pay > 0 4) İşaret tablosu (kritik noktalar: 1, 3, 4): - x<1: pay (+), payda (+) ⇒ kesir (+) (uygun) - 14: pay (+), payda (+) ⇒ kesir (+) (uygun) 5) Çözüm kümesi: ( − ∞, 1 ) ∪ ( 1, 3 ) ∪ [ 4, ∞ ) 6) Şık kontrolü: Bu küme A şıkkı ile aynıdır. Doğru cevap A.

Doğru cevap: A

İncelenen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x - 4 ≤ 0 Önce payı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Eşitsizliği çarpanlı biçimde yazalım: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 ≤ 0 Kritik noktalar (işaretin değişebileceği yerler): - Payı sıfır yapanlar: 2 ve 3 - Paydayı sıfır yapan (tanımsızlık): 4 x = 2, 3, 4 Sayı doğrusunu aralıklara ayıralım: ( - ∞, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 4 ), ( 4, ∞ ) Her aralıktan bir test değeri seçip ifadenin işaretini bulalım. 1) Aralık: (−∞,2) (örnek: 0) ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) 0 - 4 = ( - 2 ) ( - 3 ) - 4 < 0 Bu aralık çözümde var. 2) Aralık: (2,3) (örnek: 2.5) ( 2.5 - 2 ) ( 2.5 - 3 ) 2.5 - 4 = ( 0.5 ) ( - 0.5 ) - 1.5 > 0 Bu aralık çözümde yok. 3) Aralık: (3,4) (örnek: 3.5) ( 3.5 - 2 ) ( 3.5 - 3 ) 3.5 - 4 = ( 1.5 ) ( 0.5 ) - 0.5 < 0 Bu aralık çözümde var. 4) Aralık: (4,∞) (örnek: 5) ( 5 - 2 ) ( 5 - 3 ) 5 - 4 = ( 3 ) ( 2 ) 1 > 0 Bu aralık çözümde yok. Eşitlik durumu için kritik noktaları kontrol edelim: - 2 ve 3 payı sıfır yapar, ifade 0 olur; bu nedenle dahil edilir. - 4 paydayı sıfır yapar; ifade tanımsızdır, dahil edilmez. x = 2, 3  dahil; x = 4  hariç Çözüm kümesi: ( - ∞, 2 ] ∪ [ 3, 4 ) Bu sonuç şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: A.

1. Çözüm: İncelenen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x - 4 ≤ 0 Önce payı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Eşitsizliği çarpanlı biçimde yazalım: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 ≤ 0 Kritik noktalar (işaretin değişebileceği yerler): - Payı sıfır yapanlar: 2 ve 3 - Paydayı sıfır yapan (tanımsızlık): 4 x = 2, 3, 4 Sayı doğrusunu aralıklara ayıralım: ( - ∞, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 4 ), ( 4, ∞ ) Her aralıktan bir test değeri seçip ifadenin işaretini bulalım. 1) Aralık: (−∞,2) (örnek: 0) ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) 0 - 4 = ( - 2 ) ( - 3 ) - 4 < 0 Bu aralık çözümde var. 2) Aralık: (2,3) (örnek: 2.5) ( 2.5 - 2 ) ( 2.5 - 3 ) 2.5 - 4 = ( 0.5 ) ( - 0.5 ) - 1.5 > 0 Bu aralık çözümde yok. 3) Aralık: (3,4) (örnek: 3.5) ( 3.5 - 2 ) ( 3.5 - 3 ) 3.5 - 4 = ( 1.5 ) ( 0.5 ) - 0.5 < 0 Bu aralık çözümde var. 4) Aralık: (4,∞) (örnek: 5) ( 5 - 2 ) ( 5 - 3 ) 5 - 4 = ( 3 ) ( 2 ) 1 > 0 Bu aralık çözümde yok. Eşitlik durumu için kritik noktaları kontrol edelim: - 2 ve 3 payı sıfır yapar, ifade 0 olur; bu nedenle dahil edilir. - 4 paydayı sıfır yapar; ifade tanımsızdır, dahil edilmez. x = 2, 3  dahil; x = 4  hariç Çözüm kümesi: ( - ∞, 2 ] ∪ [ 3, 4 ) Bu sonuç şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: A.

Doğru cevap: C

1) Tanım kümesi: Paydaların sıfır olmaması gerekir. x ≠ 2, x ≠ 3 2) Eşitsizliği tek tarafa toplayalım. x - 1 x - 2 - 2 x + 1 x - 3 ≤ 0 3) Ortak payda ile tek kesir haline getirelim. ( x - 1 ) ( x - 3 ) - ( 2 x + 1 ) ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ≤ 0 4) Payı açıp sadeleştirelim. ( x - 1 ) ( x - 3 ) = x 2 - 4 x + 3 ( 2 x + 1 ) ( x - 2 ) = 2 x 2 - 3 x - 2 ( x 2 - 4 x + 3 ) - ( 2 x 2 - 3 x - 2 ) = - x 2 - x + 5 5) Eşitsizliği işaret değiştirmek için payı ve eşitsizliği birlikte düzenleyelim. - x 2 - x + 5 ( x - 2 ) ( x - 3 ) ≤ 0 ⇔ x 2 + x - 5 ( x - 2 ) ( x - 3 ) ≥ 0 6) Kritik noktalar: payın kökleri ve paydanın sıfır olduğu değerler. x 2 + x - 5 = 0 ⇒ x = - 1 ± 21 2 x = 2 ve x = 3 (tanımsız) 7) İşaret incelemesi: • Pay (parabol) köklerin dışında pozitif, köklerin arasında negatiftir. • Payda çarpımı 2 ile 3 arasında negatif, diğer aralıklarda pozitiftir. Buna göre kesir ifadesi sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklar aşağıdaki gibidir (kökler dahil, 2 ve 3 hariç). ( - ∞, - 1 - 21 2 ] ∪ [ - 1 + 21 2, 2 ) ∪ ( 3, ∞ ) 8) Sonuç: Doğru seçenek C’dir.

1. Çözüm: 1) Tanım kümesi: Paydaların sıfır olmaması gerekir. x ≠ 2, x ≠ 3 2) Eşitsizliği tek tarafa toplayalım. x - 1 x - 2 - 2 x + 1 x - 3 ≤ 0 3) Ortak payda ile tek kesir haline getirelim. ( x - 1 ) ( x - 3 ) - ( 2 x + 1 ) ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ≤ 0 4) Payı açıp sadeleştirelim. ( x - 1 ) ( x - 3 ) = x 2 - 4 x + 3 ( 2 x + 1 ) ( x - 2 ) = 2 x 2 - 3 x - 2 ( x 2 - 4 x + 3 ) - ( 2 x 2 - 3 x - 2 ) = - x 2 - x + 5 5) Eşitsizliği işaret değiştirmek için payı ve eşitsizliği birlikte düzenleyelim. - x 2 - x + 5 ( x - 2 ) ( x - 3 ) ≤ 0 ⇔ x 2 + x - 5 ( x - 2 ) ( x - 3 ) ≥ 0 6) Kritik noktalar: payın kökleri ve paydanın sıfır olduğu değerler. x 2 + x - 5 = 0 ⇒ x = - 1 ± 21 2 x = 2 ve x = 3 (tanımsız) 7) İşaret incelemesi: • Pay (parabol) köklerin dışında pozitif, köklerin arasında negatiftir. • Payda çarpımı 2 ile 3 arasında negatif, diğer aralıklarda pozitiftir. Buna göre kesir ifadesi sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklar aşağıdaki gibidir (kökler dahil, 2 ve 3 hariç). ( - ∞, - 1 - 21 2 ] ∪ [ - 1 + 21 2, 2 ) ∪ ( 3, ∞ ) 8) Sonuç: Doğru seçenek C’dir.

Doğru cevap: C

1) Seçenek C kontrolü: Eşitsizliği çözüp çözüm kümesini bulalım. Verilen eşitsizlik: 2 x - 1 x - 3 ≥ 3 Tanım gereği payda sıfır olamaz: x ≠ 3 2) Mutlak değerli eşitsizliği iki duruma ayıralım: 2 x - 1 x - 3 ≥ 3 ⇔ ( 2 x - 1 x - 3 ≥ 3 ) ∨ ( 2 x - 1 x - 3 ≤ - 3 ) 3) 1. durum: 2 x - 1 x - 3 ≥ 3 Her iki tarafı aynı tarafa alalım: 2 x - 1 x - 3 - 3 ≥ 0 Tek kesirde toplayalım: 2 x - 1 - 3 ( x - 3 ) x - 3 ≥ 0 Payı sadeleştirelim: - x + 8 x - 3 ≥ 0 Eksi ile çarpıp yön değiştirelim: x - 8 x - 3 ≤ 0 Kritik noktalar: x = 3   ( tanımsız ), x = 8   ( pay sıfır ) İşaret incelemesi sonucu bu durumun çözümü: ( 3, 8 ] 4) 2. durum: 2 x - 1 x - 3 ≤ - 3 Her iki tarafı aynı tarafa alalım: 2 x - 1 x - 3 + 3 ≤ 0 Tek kesirde toplayalım: 2 x - 1 + 3 ( x - 3 ) x - 3 ≤ 0 Payı sadeleştirelim: 5 x - 10 x - 3 ≤ 0 Ortak çarpanlara ayıralım (5 pozitif olduğu için işareti etkilemez): x - 2 x - 3 ≤ 0 Kritik noktalar: x = 2, x = 3 İşaret incelemesi sonucu bu durumun çözümü: [ 2, 3 ) 5) Birleşim (genel çözüm): [ 2, 3 ) ∪ ( 3, 8 ] 6) Şıklarla karşılaştırma: Bulduğumuz küme C şıkkıyla aynıdır. Doğru cevap C’dir.

1. Çözüm: 1) Seçenek C kontrolü: Eşitsizliği çözüp çözüm kümesini bulalım. Verilen eşitsizlik: 2 x - 1 x - 3 ≥ 3 Tanım gereği payda sıfır olamaz: x ≠ 3 2) Mutlak değerli eşitsizliği iki duruma ayıralım: 2 x - 1 x - 3 ≥ 3 ⇔ ( 2 x - 1 x - 3 ≥ 3 ) ∨ ( 2 x - 1 x - 3 ≤ - 3 ) 3) 1. durum: 2 x - 1 x - 3 ≥ 3 Her iki tarafı aynı tarafa alalım: 2 x - 1 x - 3 - 3 ≥ 0 Tek kesirde toplayalım: 2 x - 1 - 3 ( x - 3 ) x - 3 ≥ 0 Payı sadeleştirelim: - x + 8 x - 3 ≥ 0 Eksi ile çarpıp yön değiştirelim: x - 8 x - 3 ≤ 0 Kritik noktalar: x = 3   ( tanımsız ), x = 8   ( pay sıfır ) İşaret incelemesi sonucu bu durumun çözümü: ( 3, 8 ] 4) 2. durum: 2 x - 1 x - 3 ≤ - 3 Her iki tarafı aynı tarafa alalım: 2 x - 1 x - 3 + 3 ≤ 0 Tek kesirde toplayalım: 2 x - 1 + 3 ( x - 3 ) x - 3 ≤ 0 Payı sadeleştirelim: 5 x - 10 x - 3 ≤ 0 Ortak çarpanlara ayıralım (5 pozitif olduğu için işareti etkilemez): x - 2 x - 3 ≤ 0 Kritik noktalar: x = 2, x = 3 İşaret incelemesi sonucu bu durumun çözümü: [ 2, 3 ) 5) Birleşim (genel çözüm): [ 2, 3 ) ∪ ( 3, 8 ] 6) Şıklarla karşılaştırma: Bulduğumuz küme C şıkkıyla aynıdır. Doğru cevap C’dir.