1) Soruyu doğru okumak

Olasılık sorularında ilk adım, sorunun ne istediğini netleştirmektir. “En az bir”, “yalnızca”, “en fazla”, “verilen koşul altında” gibi ifadeler mutlaka ayırt edilmelidir.

2) Örnek uzayı belirlemek

Her olasılık sorusu için önce örnek uzay belirlenmelidir. Bu işlem listeleme, ağaç şeması veya çarpma kuralı ile yapılabilir.

Örnek uzay doğru belirlenmezse, olasılık sonucu da yanlış olur.

3) Olayı doğru tanımlamak

Soruda istenen durum olay olarak tanımlanır. Olay, örnek uzayın bir alt kümesidir.

4) Uygun yöntemi seçmek

Sorunun yapısına göre en uygun yöntem seçilmelidir:

• Sonuç sayısı az ise: Listeleme
• Ardışık durumlar varsa: Ağaç şeması
• Çok aşamalı seçimler varsa: Çarpma kuralı
• “En az bir” tipi sorularda: Tümleyen yöntemi

5) Hesap ve kontrol

Hesaplama yapıldıktan sonra sonuç mutlaka kontrol edilmelidir. Olasılık değeri 0 ile 1 arasında olmalıdır.

6) Mini uygulamalar

1) Soruda “en az bir kez” ifadesi geçiyorsa, hangi yöntemi kullanmak daha pratiktir?

2) Örnek uzay yanlış yazılırsa, olasılık sonucu nasıl etkilenir?

Sonraki sayfada: Orta zorlukta klasik olasılık soruları.

1) Torbadan bilye çekme

Bir torbada 4 kırmızı, 3 mavi, 1 yeşil bilye vardır. Torbadan rastgele bir bilye çekiliyor.

A = “kırmızı gelmesi” olayı için:

$$P\left(A\right)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$

Toplam bilye sayısı doğru belirlenmiştir.

2) Geri koymadan çekme

Aynı torbadan bilye geri koymadan iki kez çekiliyor.

İlk çekilişte kırmızı gelme olasılığı:

$$\frac{4}{8}$$

İkinci çekilişte kırmızı gelme olasılığı artık değişir, çünkü torbadaki bilye sayısı azalmıştır.

$$\frac{3}{7}$$

Bu iki olay bağımsız değildir.

3) İki çekilişte de kırmızı gelmesi

Geri koymadan yapılan iki çekilişte her ikisinin de kırmızı gelme olasılığı:

$$\frac{4}{8}\times \frac{3}{7}=\frac{12}{56}=\frac{3}{14}$$

4) Zar ve para birlikte

Bir zar ve bir para aynı anda atılıyor. A = “zarın tek gelmesi” B = “paranın yazı gelmesi”

Bu iki olay bağımsızdır.

$$\frac{3}{6}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$

5) Mini uygulamalar

1) Bir torbada 5 beyaz, 3 siyah bilye vardır. Geri koymadan iki bilye çekiliyor. İkisinin de beyaz gelme olasılığını bulunuz.

2) Bir zar ve iki para birlikte atılıyor. “Zarın çift ve paraların en az birinin yazı gelmesi” olayının olasılığını bulunuz.

Sonraki sayfada: Zor seviye olasılık sorularına giriş.

1) “En az / en fazla” ifadeleri

Zor sorularda sık geçen ifadeler: en az, en fazla, tam olarak, en az bir. Bu ifadeler doğru anlaşılırsa çözüm kolaylaşır.

2) Koşullu sayma fikri

Bazen olaylar “şu koşul sağlanırsa” şeklinde gelir. Bu durumda önce koşulu sağlayan tüm durumlar sayılır, sonra istenen olay sayılır.

3) Zor örnek: İki zar, “toplam en az 10”

İki zar atılıyor.
B = “toplam en az 10” (10, 11, 12) olayı olsun.

İki zarın örnek uzayı 36 durumdur. B olayını sağlayan durumlar:

Toplam 6 durum vardır.

$$P\left(B\right)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$$

4) Koşul altındayken olasılık (örnek fikir)

Şimdi C = “toplam en az 10 olduğu biliniyor” koşulu varken, “en az bir zarın 6 gelmesi” olasılığını düşünelim.

Koşulu sağlayan durumlar (toplam ≥ 10) şunlardır: (4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6)

Bu 6 durum içinde en az bir 6 olanlar: (4,6), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6) → 5 durum

$$P\left(\mathrm{en} \mathrm{az} \mathrm{bir} 6\right|C)=\frac{5}{6}$$

5) Mini alıştırmalar

1) İki zar atılıyor. “Toplam en az 9” olayının olasılığını bulunuz.

2) İki zar atılıyor. “Toplam en az 9 olduğu biliniyor.” Bu koşul altında “en az bir zarın 5 gelmesi” olasılığını bulunuz.

Sonraki sayfada: Zor seviye: “en az bir” ve tümleyenle hızlı çözüm.

1) “En az bir” sorularının mantığı

“En az bir” ifadesi geçen sorularda, istenen olayın doğrudan sayılması zor olabilir. Bu durumda, istenen olayın tümleyeni daha kolay sayılır.

2) Klasik örnek: Zar iki kez

Bir zar iki kez atılıyor. “En az bir kez 6 gelmesi” olasılığı sorulsun.

Bu olayı doğrudan saymak yerine, “Hiç 6 gelmemesi” olayını ele alalım.

Bir atışta 6 gelmeme olasılığı:

$$\frac{5}{6}$$

İki atışta da 6 gelmemesi:

$$\frac{5}{6}\times \frac{5}{6}=\frac{25}{36}$$

O halde “en az bir kez 6 gelmesi” olasılığı:

$$1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$$

3) Üç denemede “en az bir” örneği

Adil bir para 3 kez atılıyor. “En az bir kez yazı gelmesi” olasılığı soruluyor.

“Hiç yazı gelmemesi” demek, 3 kez tura gelmesi demektir.

$$\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$$

O halde sonuç:

$$1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$$

4) Torba sorularında “en az bir”

Bir torbada 5 kırmızı, 3 mavi bilye vardır. Geri koymadan 2 bilye çekiliyor. “En az birinin mavi olması” isteniyor.

Tümleyen: “Hiç mavi gelmemesi” yani iki bilyenin de kırmızı olması.

$$\frac{5}{8}\times \frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}$$

O halde “en az bir mavi” olasılığı:

$$1-\frac{5}{14}=\frac{9}{14}$$

5) Mini alıştırmalar

1) Bir zar 3 kez atılıyor. “En az bir kez 4 gelmesi” olasılığını bulunuz.

2) Bir torbada 6 beyaz, 2 siyah bilye vardır. Geri koymadan 2 bilye çekiliyor. “En az bir siyah gelmesi” olasılığını bulunuz.

Sonraki sayfada: Zor seviye – ardışık ve koşullu birleşik sorular.

1) Birden fazla koşulu birlikte düşünmek

Zor seviye olasılık sorularında, birden fazla koşul aynı anda verilebilir. Bu tür sorularda her koşul dikkatlice ayrılmalı ve çözüm sırası doğru kurulmalıdır.

2) Klasik örnek: Koşullu ve ardışık çekme

Bir torbada 3 kırmızı, 2 mavi bilye vardır. Torbadan geri koymadan iki bilye çekiliyor. İkinci bilyenin mavi gelme olasılığı, ilk bilyenin kırmızı olduğu biliniyorsa kaçtır?

İlk bilyenin kırmızı gelmesi durumunda torbada 2 kırmızı, 2 mavi bilye kalır.

$$P\left(\mathrm{Mavi}\right|\mathrm{İlk} \mathrm{Kırmızı})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

3) Koşullu birleşik olasılık

“A ve B” olaylarının, C koşulu altında olasılığı sorulabilir. Bu durumda yalnızca C koşulunu sağlayan durumlar dikkate alınır.

4) Zar örneği: Koşullu birleşik durum

İki zar atılıyor. “Toplamın en az 9 olduğu biliniyor.” Bu koşul altında, “her iki zarın da tek gelmesi” olasılığı soruluyor.

Koşulu sağlayan durumlar (toplam ≥ 9):
(3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6)

Bu 10 durumdan, her iki zarın da tek olduğu tek durum: (3,6) ve (5,4) değildir, yalnızca (5,5) değildir çünkü 5,5 tek-tek ama toplam 10. Yani sadece (5,5) uygundur.

$$P\left(\mathrm{tek} \mathrm{ve} \mathrm{tek}\right|\mathrm{toplam} \ge 9)=\frac{1}{10}$$

5) Mini alıştırmalar

1) Bir torbada 4 kırmızı, 1 mavi bilye vardır. Geri koymadan iki bilye çekiliyor. İlk bilyenin kırmızı olduğu biliniyorsa, ikinci bilyenin kırmızı gelme olasılığı nedir?

2) İki zar atılıyor. “Toplamın en az 8 olduğu biliniyor.” Bu koşul altında, “zarların farklı gelmesi” olasılığını bulunuz.

Sonraki sayfada: Zor seviye – tablo ve sistematik sayma.

1) Sistematik sayma neden gereklidir?

Sonuç sayısı fazla olan olasılık sorularında rastgele sayma yapmak hata riskini artırır. Bu yüzden tablo veya düzenli listeleme ile sistematik sayma yapılır.

2) İki zar için tablo yöntemi

İki zar atıldığında, birinci zarın değerleri satır, ikinci zarın değerleri sütun olarak düşünülür. Böylece 6 × 6 = 36 durum tek tek görülür.

Bu tablo sayesinde “toplam”, “fark”, “eşitlik” gibi durumlar kolayca sayılır.

3) Tabloyla örnek: Toplamın çift olması

İki zarın toplamı, her iki zarın da tek veya her ikisinin de çift olduğu durumlarda çift olur.

Tek sayılar: 1, 3, 5 (3 adet)
Çift sayılar: 2, 4, 6 (3 adet)

Çift toplamlı durum sayısı:

$$3\times 3+3\times 3=18$$

Toplam durum sayısı 36 olduğuna göre:

$$\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$$

4) Tabloyla “fark” soruları

“İki zarın farkının 2 olması” gibi sorularda tablo üzerinde |a − b| = 2 koşulunu sağlayan hücreler işaretlenir.

Bu sayede (1,3), (3,1), (2,4), (4,2), (3,5), (5,3), (4,6), (6,4) gibi durumlar eksiksiz sayılır.

5) Torba sorularında tablo fikri

İki çekilişli torba sorularında da tablo benzeri düşünme kullanılabilir. İlk çekiliş satır, ikinci çekiliş sütun olarak düşünülür.

Bu yaklaşım, “renk–renk” kombinasyonlarının karışmasını önler.

6) Mini alıştırmalar

1) İki zar atılıyor. Toplamın 7 olması durumlarının sayısını tablo ile bulunuz.

2) İki zar atılıyor. Zarların farkının 3 olması olasılığını tablo yöntemiyle bulunuz.

Sonraki sayfada: Zor seviye – LGS tarzı yeni nesil olasılık soruları.

1) Yeni nesil soru yaklaşımı

Yeni nesil LGS sorularında, yalnızca işlem yapmak değil, verilen durumu yorumlamak ve uygun modeli kurmak önemlidir.

2) Grafik ve tablo yorumlu olasılık

Bazı sorularda sonuçlar tablo veya grafikle verilir. Olasılık, bu tablodan doğru verileri seçerek hesaplanır.

Önce toplam deneme sayısı, sonra istenen olayın sayısı belirlenir.

3) Yeni nesil örnek: Günlere göre sonuç

Bir deney 5 gün boyunca yapılmış ve her gün elde edilen sonuçlar tabloyla verilmiştir. Rastgele seçilen bir günün, istenen özelliği taşıma olasılığı sorulmaktadır.

Bu tip sorularda gün sayısı örnek uzaydır. İstenen durumu sağlayan günler sayılarak olasılık bulunur.

4) Şartlı tablo soruları

Bazı yeni nesil sorularda, “şu şart sağlanıyorsa” ifadesiyle tablo daraltılır.

Önce bu şartı sağlayan satır veya sütunlar alınır, sonra olasılık hesaplanır.

5) Yeni nesil soru – düşünme adımları

• Verilen tablo/grafiği incele
• Örnek uzayı belirle
• Koşul varsa tabloyu daralt
• İstenen durumu say
• Oranlayarak sonucu bul

6) Mini alıştırmalar

1) Bir tabloya göre haftanın günlerinde yapılan deney sonuçları verilmiştir. Rastgele seçilen bir günün istenen özelliği sağlama olasılığını ifade ediniz.

2) Grafikle verilen deney sonuçlarında, belirli bir aralığa düşen sonuçların olasılığını bulunuz.

Sonraki sayfada: Genel tekrar – temel kurallar ve sık yapılan hatalar.

1) Temel olasılık kuralları

• Olasılık değeri 0 ile 1 arasındadır.
• Kesin olayın olasılığı 1’dir.
• İmkânsız olayın olasılığı 0’dır.
• Eş olasılıklı durumlarda oran yöntemi kullanılır.

2) Birleşim, kesişim ve tümleyen

Birleşim olaylarında ortak kısım iki kez sayılmamalıdır. Ayrık olaylarda kesişim yoktur. Tümleyen, istenmeyen durumları temsil eder.

3) Ardışık deneylerde dikkat edilecekler

Denemelerin bağımsız olup olmadığı mutlaka kontrol edilmelidir. Geri koymalı çekimler bağımsızdır, geri koymasız çekimler bağımsız değildir.

4) Sık yapılan hatalar

• Örnek uzayı eksik yazmak
• “En az bir” sorularında doğrudan saymaya çalışmak
• Koşullu sorularda örnek uzayı daraltmamak
• Bağımsız–bağımlı ayrımını gözden kaçırmak

5) Kontrol listesi

• Örnek uzayı doğru mu?
• Olay doğru tanımlandı mı?
• Gerekli yerde tümleyen kullanıldı mı?
• Sonuç 0 ile 1 arasında mı?

Sonraki sayfada: Genel tekrar – örnek çözümlü karma sorular.

1) Zar + para (bağımsız olay)

Bir zar ve bir para aynı anda atılıyor. “Zarın çift ve paranın yazı gelmesi” olasılığını bulunuz.

Zarın çift gelmesi: 3/6
Paranın yazı gelmesi: 1/2

$$\frac{3}{6}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$

2) Geri koymadan çekme (bağımlı olay)

Bir torbada 6 kırmızı, 4 mavi bilye vardır. Geri koymadan iki bilye çekiliyor. “İkisinin de mavi gelmesi” olasılığını bulunuz.

$$\frac{4}{10}\times \frac{3}{9}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}$$

3) “En az bir” – tümleyen yöntemi

Bir zar 3 kez atılıyor. “En az bir kez 1 gelmesi” olasılığını bulunuz.

Tümleyen: “Hiç 1 gelmemesi”.

$$\frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\times \frac{5}{6}=\frac{125}{216}$$
$$1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}$$

4) Koşullu olasılık

İki zar atılıyor. “Toplamın en az 8 olduğu biliniyor.” Bu koşul altında “en az bir zarın 6 gelmesi” olasılığını bulunuz.

Koşulu sağlayan durumlar 15 tanedir. Bunlardan 6 içerenler 6 tanedir.

$$\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$$

5) Kısa kontrol

• Bağımsız–bağımlı ayrımı doğru mu?
• “En az bir” için tümleyen kullanıldı mı?
• Koşullu soruda örnek uzay daraltıldı mı?

Sonraki sayfada: Final – LGS öncesi özet, ipuçları ve son kontroller.

1) Olasılıkta altın kurallar

• Örnek uzayı eksiksiz ve doğru yaz.
• Bağımsız–bağımlı ayrımını mutlaka yap.
• “En az bir” ifadelerinde tümleyeni düşün.
• Koşullu sorularda örnek uzayı daralt.
• Sonucun 0 ile 1 arasında olduğunu kontrol et.

2) LGS’de sık çıkan soru tipleri

• Zar–para gibi bağımsız deneyler
• Torba–bilye (geri koymalı / koymasız)
• “En az bir” içeren sorular
• Koşullu olasılık
• Tablo ve grafik yorumlu yeni nesil sorular

3) Hızlı kontrol adımları

1. Soru ne istiyor?
2. Örnek uzay nedir?
3. Koşul var mı?
4. Uygun yöntem hangisi?
5. Sonuç mantıklı mı?

4) Son dakika ipuçları

5) Kapanış

Bu konu anlatımında olasılığın temelinden zor seviyeye kadar tüm önemli noktalar ele alındı. Düzenli tekrar ve bol soru çözümü ile LGS’de olasılık soruları avantaja dönüşür.