1) Olasılık neyi inceler?

Olasılık, sonucu kesin olarak önceden bilinemeyen durumlarda “hangi sonucun gelmesi daha muhtemel?” sorusuna cevap arar. Bu tür durumlara rastgele deney denir.

2) Temel kavramlar

Örnek: Bir zar atılıyor. Örnek uzay S = {1,2,3,4,5,6} olur. “Çift gelmesi” bir olaydır: A = {2,4,6}.

3) Eş olasılıklı durumlarda temel olasılık

Eğer tüm sonuçlar eş olasılıklı ise, bir olayın olasılığı:

4) Kesin olay, imkânsız olay ve aralık

Örnek: Zar atışında “7 gelmesi” imkânsız olaydır (olasılık 0). “1 ile 6 arasında bir sayı gelmesi” kesin olaydır (olasılık 1).

5) Mini alıştırmalar

Sonraki sayfada: Olay çeşitleri (birleşim, kesişim, tümleyen) ve temel kurallar.

1) Birleşim olayı

İki olaydan en az birinin gerçekleşmesi durumuna birleşim denir.

A ve B olaylarının birleşimi A ∪ B ile gösterilir.

Bu ifade, “A olayı veya B olayı (ya da ikisi birlikte)” anlamına gelir.

2) Birleşim olayına örnek

Bir zar atılıyor.
A = “tek sayı gelmesi” = {1,3,5}
B = “3’ten büyük sayı gelmesi” = {4,5,6}

A ∪ B = {1,3,4,5,6}

Yani tek gelmesi ya da 3’ten büyük gelmesi yeterlidir.

3) Kesişim olayı

İki olayın aynı anda gerçekleşmesi durumuna kesişim denir.

A ve B olaylarının kesişimi A ∩ B ile gösterilir.

Bu ifade, “A ve B olaylarının birlikte gerçekleşmesi” anlamına gelir.

4) Kesişim olayına örnek

Önceki zar örneğinde:
A = {1,3,5}
B = {4,5,6}

A ∩ B = {5}

Hem tek hem de 3’ten büyük olan tek sayı 5’tir.

5) Tümleyen olay

Bir olayın gerçekleşmemesi durumuna o olayın tümleyeni denir.

A olayının tümleyeni A' ile gösterilir.

A ve A' birlikte tüm örnek uzayı oluşturur.

6) Tümleyen olayına örnek

Zar atışında:
A = “çift gelmesi” = {2,4,6}

A' = “tek gelmesi” = {1,3,5}

Çift gelmezse mutlaka tek gelir.

7) Mini alıştırmalar

1) Bir zar atıldığında A = “2’den büyük gelmesi”, B = “çift gelmesi”. A ∪ B ve A ∩ B kümelerini yazınız.

2) A = “kırmızı top çekilmesi” olayı veriliyor. A' olayı neyi ifade eder?

Sonraki sayfada: Birleşim ve kesişim olasılığı (temel kurallar ve örnekler).

1) Birleşim olasılığı kuralı

A ve B olaylarının birleşiminin olasılığı, her iki olayın olasılıkları toplanırken ortak kısım bir kez çıkarılarak bulunur.

2) Birleşim olasılığına örnek

Bir zar atılıyor.
A = “tek gelmesi”
B = “3’ten büyük gelmesi”

n(A)=3, n(B)=3, n(A ∩ B)=1, n(S)=6

Sonuç:

3) Ayrık olaylar

İki olayın ortak sonucu yoksa bu olaylara ayrık olaylar denir.

Ayrık olaylarda kesişim boş kümedir ve olasılığı sıfırdır.

4) Ayrık olaylarda birleşim olasılığı

A ve B ayrık olay ise birleşim olasılığı, olayların olasılıklarının toplamına eşittir.

5) Mini alıştırmalar

1) Bir torbada 4 kırmızı, 1 mavi bilye vardır. “Kırmızı” ve “mavi” olayları ayrık mıdır?

2) Bir zar atılıyor. A = “2 gelmesi”, B = “5 gelmesi”. P(A ∪ B) kaçtır?

Sonraki sayfada: Tümleyen olayın olasılığı ve temel tamamlayıcı kurallar.

1) Tümleyen olasılığı kuralı

Bir olayın gerçekleşmeme olasılığı, o olayın tümleyeninin olasılığıdır. A olayı ile tümleyeni birlikte tüm örnek uzayı oluşturur.

2) Tümleyen olasılığına örnek

Bir zar atılıyor.
A = “çift gelmesi”

n(A)=3, n(S)=6 olduğu için:

Yani “çift gelmemesi” olayı da yarı yarıyadır.

3) Tümleyen ile kesin–imkânsız olay ilişkisi

Bir olay kesin ise, tümleyeni imkânsızdır. Bir olay imkânsız ise, tümleyeni kesindir.

4) Pratik kullanım

Bazen doğrudan bir olayın olasılığını bulmak zordur. Bu durumda, tümleyeninin olasılığı bulunup 1’den çıkarılır.

Örnek: “En az bir kez mavi gelmesi” yerine “Hiç mavi gelmemesi” olayı hesaplanabilir.

5) Mini alıştırmalar

1) Bir zar atılıyor. “Tek gelmemesi” olayının olasılığı nedir?

2) Bir torbada 5 kırmızı, 1 mavi bilye var. “Mavi gelmemesi” olayının olasılığını bulun.

Sonraki sayfada: Deney sayısı ve olasılık (ardışık denemeler).

1) Ardışık deneme ne demektir?

Aynı tür rastgele deneyi birden fazla kez yaparsak buna ardışık denemeler denir. Her denemenin sonucu bir sonrakini etkilemiyorsa bu denemeler bağımsız kabul edilir.

2) Bağımsız denemelerde olasılık çarpılır

Denemeler bağımsızsa, “A ve sonra B” gibi ardışık gerçekleşmelerin olasılığı çarpım ile bulunur.

3) “En az bir kez” soruları ve tümleyen yöntemi

Ardışık denemelerde “en az bir kez gerçekleşmesi” tipi sorular genelde tümleyen ile daha kolay çözülür.

4) Mini alıştırmalar

1) Bir zarı 2 kez atıyoruz. “En az bir kez 6 gelmesi” olasılığını bulunuz.

2) Bir para 4 kez atılıyor. “Hiç yazı gelmemesi” olasılığı nedir?

Sonraki sayfada: Örnek uzay sayma (listeleme, ağaç şeması ve basit sayma).