Çarpanlar ve Katlar

Temel kavramlar: çarpan, kat, bölünebilme.

1) Çarpan (Bölen) Nedir?

Bir sayı, başka bir sayıyı kalansız bölüyorsa, bölen sayı çarpan (bölen) olur.

“Kalansız bölünme” demek: Bölme işlemi sonunda kalan 0 olur.

Örnek

12 sayısını düşünelim. 12’yi kalansız bölen sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12’dir. Bu sayılar 12’nin çarpanlarıdır.

2) Kat Nedir?

Bir sayının katları, o sayının 1, 2, 3, 4, … ile çarpılmasıyla elde edilen sayılardır.

Örnek

5’in katları: 5, 10, 15, 20, 25, …

Örnek

12’nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, …

“Kat” listesi sonsuz gider; “çarpan” listesi ise sınırlıdır.

3) Bölünebilme ve Sembol Gösterimi

“a sayısı b sayısını kalansız bölüyorsa” bunu şöyle yazarız:

a | b (a, b’yi böler)

Örnek

3 | 12 çünkü 12, 3’e kalansız bölünür.
5 ∤ 12 çünkü 12, 5’e kalansız bölünmez.

Bir sayı, başka bir sayının katıysa: “b, a’nın katıdır” demektir. Örn: 12, 3’ün katıdır.

4) Çarpan ve Kat Birbirine Nasıl Bağlı?

İki sayı arasında şu ilişki çok önemlidir:

a, b’nin çarpanıysa → b, a’nın katıdır.

Örnek

4, 20’nin çarpanıdır (4 | 20). Aynı zamanda 20, 4’ün katıdır.

5) Sık Yapılan Karışıklık

Çarpan bir sayıyı “bölen” sayıdır. Liste sınırlıdır.

Kat bir sayının “çarpımıyla” oluşur. Liste sonsuzdur.

Kontrol Sorusu (Konu Anlatımı İçinde)

“18’in çarpanları” dendiğinde bölenleri ararız; “18’in katları” dendiğinde 18, 36, 54, … şeklinde devam eder.

Bu sayfada öğrendik

Çarpan (bölen): sayıyı kalansız bölen sayı.
Kat: sayının 1,2,3,… ile çarpılmasıyla oluşan sayılar.
a | b ise: a, b’nin çarpanı; b, a’nın katıdır.

Pozitif Çarpanlar

Bir sayının pozitif bölenleri nasıl bulunur?

1) Pozitif Bölen Nedir?

Bir doğal sayıyı kalansız bölen ve kendisi de pozitif olan sayılara o sayının pozitif bölenleri denir.

Ortaokul seviyesinde “çarpan” denildiğinde genellikle pozitif çarpanlar kastedilir.

2) Pozitif Bölen Bulma Yöntemi

Pozitif bölenler bulunurken sayıyı çarpım şeklinde yazmaya çalışırız. Her çarpım bize bir bölen çifti verir.

Örnek

24 sayısını ele alalım:

1 × 24
2 × 12
3 × 8
4 × 6

Bu çarpımlardaki tüm sayılar 24’ün pozitif bölenleridir.

3) Bölen Çiftleri Mantığı

Pozitif bölenler ikili gruplar halinde ortaya çıkar. Bu gruplara bölen çiftleri denir.

Bir bölen çifti çarpıldığında sayı elde edilir.

Örnek

36 sayısının bazı bölen çiftleri:

1 ve 36
2 ve 18
3 ve 12
4 ve 9
6 ve 6

4) Kare Sayılarda Özel Durum

Bir sayının karekökü tam sayıysa, bölen çiftlerinden biri aynı sayıdan oluşur.

Bu durumda bölen sayısı tek başına sayılır, iki kez yazılmaz.

Örnek

49 = 7 × 7 olduğundan, 7 yalnızca bir kez bölen olarak alınır.

Bu sayfada öğrendik

Pozitif bölenler kalansız bölen pozitif sayılardır.
Bölenler genellikle çiftler halinde bulunur.
Kare sayılarda ortadaki bölen tek başına kalır.