1. bölüm

Konu Anlatımı - Çarpanlar ve Katlar - 1.Sayfa

Çarpanlar ve Katlar - 1. Sayfa

1

Çarpanlar ve Katlar

Temel kavramlar: çarpan, kat, bölünebilme.

1) Çarpan (Bölen) Nedir?

Bir sayı, başka bir sayıyı kalansız bölüyorsa, bölen sayı çarpan (bölen) olur.

“Kalansız bölünme” demek: Bölme işlemi sonunda kalan 0 olur.

Örnek

12 sayısını düşünelim. 12’yi kalansız bölen sayılar: 1, 2, 3, 4, 6, 12’dir. Bu sayılar 12’nin çarpanlarıdır.

2) Kat Nedir?

Bir sayının katları, o sayının 1, 2, 3, 4, … ile çarpılmasıyla elde edilen sayılardır.

Örnek

5’in katları: 5, 10, 15, 20, 25, …

Örnek

12’nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, …

“Kat” listesi sonsuz gider; “çarpan” listesi ise sınırlıdır.

3) Bölünebilme ve Sembol Gösterimi

“a sayısı b sayısını kalansız bölüyorsa” bunu şöyle yazarız:

a | b (a, b’yi böler)

Örnek

3 | 12 çünkü 12, 3’e kalansız bölünür.
5 ∤ 12 çünkü 12, 5’e kalansız bölünmez.

Bir sayı, başka bir sayının katıysa: “b, a’nın katıdır” demektir. Örn: 12, 3’ün katıdır.

4) Çarpan ve Kat Birbirine Nasıl Bağlı?

İki sayı arasında şu ilişki çok önemlidir:

a, b’nin çarpanıysa → b, a’nın katıdır.

Örnek

4, 20’nin çarpanıdır (4 | 20). Aynı zamanda 20, 4’ün katıdır.

5) Sık Yapılan Karışıklık

Çarpan bir sayıyı “bölen” sayıdır. Liste sınırlıdır.

Kat bir sayının “çarpımıyla” oluşur. Liste sonsuzdur.

Kontrol Sorusu (Konu Anlatımı İçinde)

“18’in çarpanları” dendiğinde bölenleri ararız; “18’in katları” dendiğinde 18, 36, 54, … şeklinde devam eder.

Bu sayfada öğrendik

Çarpan (bölen): sayıyı kalansız bölen sayı.
Kat: sayının 1,2,3,… ile çarpılmasıyla oluşan sayılar.
a | b ise: a, b’nin çarpanı; b, a’nın katıdır.

2. bölüm

Konu Anlatımı - Çarpanlar ve Katlar - 2.Sayfa

Çarpanlar ve Katlar - 2. Sayfa

2

Pozitif Çarpanlar

Bir sayının pozitif bölenleri nasıl bulunur?

1) Pozitif Bölen Nedir?

Bir doğal sayıyı kalansız bölen ve kendisi de pozitif olan sayılara o sayının pozitif bölenleri denir.

Ortaokul seviyesinde “çarpan” denildiğinde genellikle pozitif çarpanlar kastedilir.

2) Pozitif Bölen Bulma Yöntemi

Pozitif bölenler bulunurken sayıyı çarpım şeklinde yazmaya çalışırız. Her çarpım bize bir bölen çifti verir.

Örnek

24 sayısını ele alalım:

1 × 24
2 × 12
3 × 8
4 × 6

Bu çarpımlardaki tüm sayılar 24’ün pozitif bölenleridir.

3) Bölen Çiftleri Mantığı

Pozitif bölenler ikili gruplar halinde ortaya çıkar. Bu gruplara bölen çiftleri denir.

Bir bölen çifti çarpıldığında sayı elde edilir.

Örnek

36 sayısının bazı bölen çiftleri:

1 ve 36
2 ve 18
3 ve 12
4 ve 9
6 ve 6

4) Kare Sayılarda Özel Durum

Bir sayının karekökü tam sayıysa, bölen çiftlerinden biri aynı sayıdan oluşur.

Bu durumda bölen sayısı tek başına sayılır, iki kez yazılmaz.

Örnek

49 = 7 × 7 olduğundan, 7 yalnızca bir kez bölen olarak alınır.

Bu sayfada öğrendik

Pozitif bölenler kalansız bölen pozitif sayılardır.
Bölenler genellikle çiftler halinde bulunur.
Kare sayılarda ortadaki bölen tek başına kalır.

3. bölüm

Konu Anlatımı - Çarpanlar ve Katlar - 3.Sayfa

Çarpanlar ve Katlar - 3. Sayfa

3

Asal Sayılar

Çarpanlar konusunun temel taşı: asal sayılar

1) Asal Sayı Nedir?

Asal sayılar, yalnızca iki tane pozitif böleni olan sayılardır.

Bu bölenler her zaman 1 ve sayının kendisidir.

2) Asal Sayı Örnekleri

Örnekler

2 → bölenleri: 1 ve 2
3 → bölenleri: 1 ve 3
5 → bölenleri: 1 ve 5
7 → bölenleri: 1 ve 7

Bu sayılar dışında başka böleni olmayan sayılar asal sayıdır.

3) 1 Sayısı Asal mıdır?

1 asal sayı değildir.

Çünkü 1’in yalnızca bir tane pozitif böleni vardır: 1.

4) En Küçük Asal Sayı

En küçük asal sayı 2’dir.

2 aynı zamanda tek çift asal sayıdır.

5) Asal Olmayan Sayılar

İkiden fazla pozitif böleni olan sayılara asal olmayan (bileşik) sayılar denir.

Örnek

12 sayısının bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12 → asal değildir.

Bu sayfada öğrendik

Asal sayılar yalnızca 1 ve kendisine bölünür.
1 asal değildir.
2 en küçük ve tek çift asal sayıdır.
İkiden fazla böleni olan sayılar asal değildir.

4. bölüm

Konu Anlatımı - Çarpanlar ve Katlar - 4.Sayfa

Çarpanlar ve Katlar - 4. Sayfa

4

Asal Çarpanlar

Bir sayıyı oluşturan asal çarpanlar ve temel mantık.

1) Asal Çarpan Nedir?

Bir sayıyı kalansız bölen asal sayılara o sayının asal çarpanları denir.

Asal çarpanlar her zaman asal sayı olmak zorundadır.

2) Asal Çarpan Örneği

Örnek

18 sayısını ele alalım.

18 = 2 × 9
9 = 3 × 3

Bu durumda 18’in asal çarpanları 2 ve 3’tür.

3) Tekrarlı Asal Çarpanlar

Bir asal sayı, bir sayının çarpanları içinde birden fazla kez bulunabilir.

Bu durumda asal çarpan tekrarlı olarak yazılır.

Örnek

36 = 2 × 2 × 3 × 3 olduğundan, 36’nın asal çarpanları 2 ve 3’tür.

4) Asal Çarpanlar Neden Önemli?

EBOB ve EKOK konularının temelidir.
Bir sayının tüm bölenlerini bulmayı kolaylaştırır.
Problemlerde sadeleştirme yapmamıza yardımcı olur.

Bu sayfada öğrendik

Asal çarpan, sayıyı bölen asal sayıdır.
Asal çarpanlar tekrarlı olabilir.
Asal çarpanlar EBOB ve EKOK için gereklidir.

5. bölüm

Konu Anlatımı - Çarpanlar ve Katlar - 5.Sayfa

Çarpanlar ve Katlar - 5. Sayfa

5

Asal Çarpanlara Ayırma

Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazma.

1) Asal Çarpanlara Ayırma Nedir?

Bir doğal sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir.

Her doğal sayı asal çarpanlarına tek bir şekilde ayrılır.

2) Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi

Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak böl.
Bölme işlemi kalansız oldukça devam et.
Sonuç 1 olana kadar işlemi sürdür.

En küçük asal sayı her zaman 2’dir.

3) Örnek: 60 Sayısı

Adım Adım

60, 2’ye bölünür → 30
30, 2’ye bölünür → 15
15, 3’e bölünür → 5
5, 5’e bölünür → 1

60’ın asal çarpanları: 2, 3 ve 5

4) Üslü Gösterim

Aynı asal çarpan birden fazla kez kullanılıyorsa, üs ile gösterilebilir.

60 = 2^{2} \times 3 \times 5

Bu sayfada öğrendik

Asal çarpanlara ayırma, sayıyı asal sayıların çarpımı olarak yazmaktır.
En küçük asal sayıdan başlayarak bölme yapılır.
Tekrarlı çarpanlar üslü gösterimle yazılabilir.