1. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 11.Sayfa

Köklü Sayılar - 11. Sayfa

Köklü Sayılar

11. Sayfa: Küpköklerde sadeleştirme ve kök dışına çıkarma

1) Küpköklerde temel mantık

Küpkök, 3. dereceden köktür. Bu nedenle küpkök içinde tam küp olan sayılar kök dışına çıkarılabilir.

Tam küp sayılar:

1 = 1³, 8 = 2³, 27 = 3³, 64 = 4³, 125 = 5³

2) Küpkökte kök dışına çıkarma

Küpkök içinde yer alan sayı, bir tam küp çarpanı içeriyorsa bu kısım kök dışına doğal sayı olarak çıkarılır.

Örnek:

\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2}

27 tam küp olduğu için kök dışına çıkarılır.

\sqrt[3]{54} = 3 \sqrt[3]{2}

3) Negatif sayılar ve küpkök

Küpkök derecesi tek olduğu için, negatif sayıların küpkökü reel sayıdır. Bu, karekökten en önemli farklardan biridir.

Örnek:

\sqrt[3]{- 27} = - 3

4) Küpköklerde sadeleştirme uyarısı

Dikkat:

Küpkök sadeleştirmede sadece tam küp çarpanlar kök dışına çıkar. Tam kare olması yeterli değildir.

5) Mini alıştırma

Aşağıdaki küpkökleri sadeleştiriniz:

³√16, ³√128, ³√(−250)

2. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 12.Sayfa

Köklü Sayılar - 12. Sayfa

Köklü Sayılar

12. Sayfa: Paydada kök bulunan ifadeler

1) Paydada kök neden istenmez?

Köklü ifadelerde genellikle paydada kök bulunması tercih edilmez. Bunun yerine ifade, paydası köksüz olacak şekilde düzenlenir.

Amaç:

Paydada kök kalmayacak şekilde ifadeyi eşdeğer hâle getirmek.

2) Paydada tek kök varsa

Paydada tek bir karekök varsa, pay ve payda aynı köklü sayı ile çarpılır. Böylece payda tam kare hâline gelir.

Örnek:

\frac{1}{\sqrt[2]{3}}

Pay ve payda √3 ile çarpılır.

\frac{\sqrt[2]{3}}{3}

3) Sonucun yorumu

Yapılan işlemde ifadenin değeri değişmez, yalnızca yazım biçimi düzenlenmiş olur. Bu yeni hâl, işlemler için daha kullanışlıdır.

Önemli:

Paydada kök kalmamasına dikkat edilir. Payda artık doğal sayıdır.

4) Sık yapılan hata

Dikkat:

Sadece paydayı çarpmak yanlıştır. Pay ve payda mutlaka aynı sayı ile çarpılmalıdır.

5) Mini alıştırma

Aşağıdaki ifadelerde paydadaki kökü yok ediniz:

1/√5 , 2/√7

3. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 13.Sayfa

Köklü Sayılar - 13. Sayfa

Köklü Sayılar

13. Sayfa: Paydada kök ve eşlenik kullanımı

1) Paydada iki terimli kök varsa

Paydada köklü iki terim varsa (örneğin √a + √b gibi), paydadaki kökü kaldırmak için eşlenik kullanılır. Eşlenik, işaretin tersi alınmış hâlidir.

Eşlenik örnekleri:

(√a + √b) ifadesinin eşleniği (√a − √b)’dir.

(√a − √b) ifadesinin eşleniği (√a + √b)’dir.

2) Eşlenikle çarpma neden işe yarar?

İki terimli ifadeler eşleniğiyle çarpılınca farkların çarpımı oluşur: Bu da kökleri kaldırmada yardımcı olur.

Temel çarpım:

(\sqrt[2]{a} + \sqrt[2]{b}) (\sqrt[2]{a} - \sqrt[2]{b}) = a - b

Çünkü (x+y)(x−y) = x² − y² kuralı kullanılır.

3) Paydada kök kaldırma örneği

Paydası √a + √b olan bir kesirde, pay ve payda eşlenik ile çarpılır.

Örnek:

\frac{1}{\sqrt[2]{2} + \sqrt[2]{3}}

Pay ve payda (√2 − √3) ile çarpılır.

\frac{\sqrt[2]{2} - \sqrt[2]{3}}{2 - 3}

Payda artık köksüzdür (−1).

4) Negatif payda ile ilgili not

Not:

Payda negatif olursa, eksi işareti kesrin önüne alınabilir. Negatif kesir yazımında eksi işareti kesrin dışında olmalıdır.

- \frac{\sqrt[2]{2} - \sqrt[2]{3}}{1}

5) Mini alıştırma

Aşağıdaki ifadelerde paydadaki kökü yok ediniz:

1/(√5 + √2) , 2/(√3 − √2)

4. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 14.Sayfa

Köklü Sayılar - 14. Sayfa

Köklü Sayılar

14. Sayfa: Köklü ifadelerde sıralama ve karşılaştırma

1) Karekökleri karşılaştırma

Kareköklü ifadeleri karşılaştırırken önce kök içlerine bakılır. Kök dereceleri aynıysa, kök içi büyük olan ifade daha büyüktür.

Örnek:

\sqrt[2]{7} < \sqrt[2]{10}

Çünkü 7 < 10’dur.

2) Sadeleştirerek karşılaştırma

Bazı durumlarda kök içleri doğrudan karşılaştırılamaz. Bu durumda önce sadeleştirme yapılır.

Örnek:

\sqrt[2]{12} ? \sqrt[2]{18}

Sadeleştirelim:

\sqrt[2]{12} = 2 \sqrt[2]{3}

\sqrt[2]{18} = 3 \sqrt[2]{2}

3) Kare alarak karşılaştırma

İki karekökü karşılaştırmanın bir diğer yolu, her iki tarafın da karesini almaktır. Bu yöntem yalnızca her iki taraf da negatif olmayan sayılar olduğunda kullanılır.

Örnek:

\sqrt[2]{5} ? 2.2

Karesini alalım:

√5² = 5 ve 2.2² = 4.84 olduğundan √5 daha büyüktür.

4) Sıralama soruları

LGS’de köklü sayılarla ilgili sıralama sorularında genellikle üç ya da daha fazla ifade karşılaştırılır. Bu durumda sadeleştirme ve yaklaşık değer birlikte kullanılır.

İpucu:

Önce hepsini yaklaşık olarak hangi iki tam sayı arasında olduğunu düşün, sonra sıralamayı yap.

5) Mini alıştırma

Aşağıdakileri küçükten büyüğe sıralayınız:

√3, √7, √10

5. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 15.Sayfa

Köklü Sayılar - 15. Sayfa

Köklü Sayılar

15. Sayfa: Kök derecesini eşitleme

1) Neden kök derecesi eşitlenir?

Farklı derecelerden köklü ifadeler doğrudan karşılaştırılamaz veya tek kök altında toplanamaz. Bu tür sorularda önce kök derecesini eşitlemek gerekir.

Temel fikir:

Kök dereceleri eşitlenirse, kök içleri karşılaştırılabilir hâle gelir.

2) Kök derecesi nasıl eşitlenir?

Kök dereceleri eşitlenirken, dereceler en küçük ortak kat cinsinden yazılır. Bu işlem, kök içini kuvvetlendirme mantığına dayanır.

Örnek düşünce:

2. dereceden kök ile 3. dereceden kökü karşılaştırmak için her ikisi de 6. dereceden kök hâline getirilir.

3) Örnek: karekök ve küpkök

Aşağıdaki ifadeleri karşılaştıralım: √4 ve ³√8

Adım adım:

Kök derecelerinin EKOK’u 6’dır.

\sqrt[6]{4^{3}} ve \sqrt[6]{8^{2}}

Kök dereceleri eşitlenmiştir.

4) Karşılaştırma sonucu

Dereceler eşit olduğuna göre, artık sadece kök içleri karşılaştırılır. Büyük olan kök içi, daha büyük köklü sayıyı verir.

Not:

LGS’de bu yöntem daha çok zor seviye karşılaştırma sorularında kullanılır.

5) Mini alıştırma

Aşağıdaki ifadeleri karşılaştırınız:

√9 ve ³√27

6. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 16.Sayfa

Köklü Sayılar - 16. Sayfa

Köklü Sayılar

16. Sayfa: Köklü ifadelerde çarpanlara ayırma (zor seviye)

1) Neden çarpanlara ayırma yapılır?

Bazı sorularda köklü ifadeler içeren bir ifade sadeleşmez gibi görünür. Bu durumda ifadeyi çarpanlara ayırmak işlemi kolaylaştırır. Amaç, köklü ortak çarpanı ortaya çıkarmaktır.

Temel strateji:

Önce mümkünse kökleri sadeleştir, sonra ortak çarpanı bul ve paranteze al.

2) Ortak köklü çarpanı paranteze alma

Köklü ifadelerde ortak çarpan bazen kökün kendisi olabilir. Bu durumda katsayılar ve kök aynı anda paranteze alınır.

Örnek:

Aşağıdaki ifadeyi çarpanlara ayıralım:

6 \sqrt[2]{2} + 9 \sqrt[2]{2}

Ortak çarpan: 3√2

3 \sqrt[2]{2} (2 + 3)

3) Önce sadeleştir, sonra ortak çarpan ara

Ortak çarpanı görmek zor olabilir. Bu yüzden önce kök içleri sadeleştirilir, sonra benzer köklü ifadeler belirginleşir.

Örnek:

Aşağıdaki ifadeyi önce sadeleştirelim:

2 \sqrt[2]{50} + \sqrt[2]{18}

√50 = 5√2 ve √18 = 3√2 olduğuna göre:

2 5 \sqrt[2]{2} + 3 \sqrt[2]{2}

Ortak kök √2 ortaya çıktı.

4) Sık yapılan hata

Dikkat:

Benzer köklü ifadeler paranteze alınırken kök kısmı değiştirilmez. Sadece katsayılar parantez içinde kalır.

5) Mini alıştırma

Çarpanlara ayırınız:

4√3 + 10√3, 3√12 + √27

7. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 17.Sayfa

Köklü Sayılar - 17. Sayfa

Köklü Sayılar

17. Sayfa: Köklü ifadelerde denklem kurma

1) Köklü denklemler nedir?

Köklü denklemler, bilinmeyenin kök içinde veya köklü bir ifade ile birlikte yer aldığı denklemlerdir. LGS’de bu tür sorular genellikle denklem kurma mantığıyla çözülür.

Temel fikir:

Köklü ifade sadeleştirilir, sonra bilinmeyen yalnız bırakılır.

2) Basit köklü denklem örneği

Aşağıdaki denklemi inceleyelim:

\sqrt[2]{x} = 5

Bu eşitlikte, karesi 5 olan sayı aranır. Karekök sembolü başlıca değeri verdiği için çözüm pozitiftir.

Sonuç:

x = \sqrt[2]{5}

3) Katsayılı köklü denklem

Köklü ifadenin önünde bir katsayı varsa, önce bu katsayı yalnız bırakılır.

2 \sqrt[2]{x} = 6

Her iki taraf 2’ye bölünür:

\sqrt[2]{x} = 3

Buradan x’in değeri bulunur.

4) Denklem kurmalı problemler

Bazı sorularda doğrudan denklem verilmez. Metin içinde anlatılan durumdan köklü bir denklem kurulması istenir.

Örnek durum:

Karekökü 4 olan bir sayının 3 fazlası kaçtır?

Önce karekökü 4 olan sayı bulunur, sonra 3 eklenir.

5) Mini alıştırma

Aşağıdaki denklemleri çözünüz:

√x = 7 , 3√x = 12

8. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 18.Sayfa

Köklü Sayılar - 18. Sayfa

Köklü Sayılar

18. Sayfa: Köklü ifadelerde problem çözme stratejileri

1) Problemi köklü ifadeye dönüştürme

Köklü sayılarla ilgili problemlerde ilk adım, verilen metni matematiksel ifadeye dönüştürmektir. Bunun için kök ve kuvvet ilişkisi doğru kurulmalıdır.

Ana fikir:

“Karekökü verilen sayı”, “karekökü bilinen sayı” gibi ifadeler doğrudan köklü sembolle yazılır.

2) Adım adım ilerleme

Köklü problem sorularında genellikle birden fazla işlem arka arkaya yapılır. Bu nedenle her adımı ayrı ayrı düşünmek hata riskini azaltır.

Örnek düşünce:

Önce köklü ifadeyi bul, sonra işlem yap, en son sonucu sadeleştir.

3) Yaklaşık değer kullanımı

Bazı problemler tam sonuç değil, yaklaşık değer istemektedir. Bu durumda karekökün hangi iki tam sayı arasında olduğu yeterlidir.

Örnek yaklaşım:

√20 sayısı 4 ile 5 arasındadır. Bu bilgi çoğu karşılaştırma sorusu için yeterlidir.

4) Kontrol etme alışkanlığı

Köklü problemler çözüldükten sonra bulunan sonuç mutlaka kontrol edilmelidir. Özellikle negatif kök içi oluşup oluşmadığına bakılmalıdır.

Dikkat:

Karekök içinde negatif değer oluşursa çözüm geçersiz kabul edilir.

5) Mini problem

Problem:

Bir sayının karekökü 6’dır. Bu sayının 5 fazlasının karekökü ile 8 sayısını karşılaştırınız.

9. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 19.Sayfa

Köklü Sayılar - 19. Sayfa

Köklü Sayılar

19. Sayfa: Köklü ifadelerde sık yapılan hatalar

1) Tam kare olmayanı kök dışına çıkarma

En sık yapılan hatalardan biri, tam kare olmayan sayıların kök dışına çıkarılmaya çalışılmasıdır. Sadece tam kare çarpanlar kök dışına çıkar.

Yanlış düşünce:

√12 = √(6·2) = 6√2 (yanlış)

2) Toplama-çıkarma kuralını ihmal etme

Benzer köklü olmayan ifadeler doğrudan toplanamaz veya çıkarılamaz. Önce sadeleştirme denenmelidir.

Hatalı örnek:

√2 + √3 = √5 (yanlış)

3) Payda kökten kurtarılırken eksik çarpma

Paydada kök varken, sadece paydayı çarpmak yapılan temel hatalardandır. Pay ve payda aynı sayı ile çarpılmalıdır.

Yanlış uygulama:

1/√3 → 1/3 (yanlış)

4) Negatif kök içini gözden kaçırma

Karekökte kök içi negatifse ifade reel sayılarda tanımsızdır. Denklem çözümlerinde bu mutlaka kontrol edilmelidir.

Uyarı:

√(−4) reel sayılarda tanımsızdır.

5) Mini kontrol listesi

Tam kare mi? → Değilse kök içinde kalır.

Benzer köklü mü? → Değilse toplanamaz.

Payda kök içeriyor mu? → Çarpma kontrolü yap.

10. bölüm

LGS - Köklü Sayılar - 20.Sayfa

Köklü Sayılar - 20. Sayfa

Köklü Sayılar

20. Sayfa: LGS için genel tekrar ve özet

1) Köklü sayılar özet

Karekök, 2. dereceden köktür ve başlıca değeri verir.

Sadece tam kareler kök dışına çıkar.

Benzer köklü ifadeler toplanır ve çıkarılır.

Paydada kök varsa eşlenik veya çarpma yöntemi kullanılır.

2) Sınav stratejisi

Önce sadeleştir, sonra işlem yap.

Karşılaştırmada tam kareleri referans al.

Denklem sorularında kök içini mutlaka kontrol et.

3) Son mini tekrar

√16 = 4
√20 = 2√5
³√27 = 3
√(a·b) = √a · √b

4) Kendini dene

Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz:

√45, 2√18, 1/(√3 + √5)