9. Sınıf Matematik Sayı Problemleri Testleri

Doğru cevap: A

Verilen koşulları iki modüler denklem ve bir aralık şartı olarak yazalım: ( n ≡ 3   (mod   7 ) ) ( n ≡ 4   (mod   9 ) ) 500 < n < 600 rakam toplamı ( n ) = 13 İlk denklemden n sayısını parametreleyelim: $n = 3 + 7$k Bunu ikinci denkleme yerleştirip k için çözelim: 3 + 7 k ≡ 4   (mod   9 ) 7 k ≡ 1   (mod   9 ) Burada 7 yerine -2 yazabiliriz (çünkü 7 ile -2 aynı kalana sahiptir): - 2 k ≡ 1   (mod   9 ) 2 k ≡ - 1 ≡ 8   (mod   9 ) 2 nin 9 a göre tersi 5 tir (çünkü aşağıdaki gibi kalır): 2 ⋅ $5 = 10$ ≡ 1   (mod   9 ) Dolayısıyla her iki tarafı 5 ile çarpalım: k ≡ 8 ⋅ $5 = 40$ ≡ 4   (mod   9 ) O halde k i şöyle yazabiliriz: $k = 4 + 9$t Bunu n ifadesine koyalım: $n = 3 + 7$( 4 + 9 t ) $n = 31 + 63$t Şimdi aralık koşulunu kullanalım: 500 < 31 + 63 t < 600 Bu aralığa uyan t değerleri için iki aday bulunur: $t = 8$⇒ $n = 31 + 63$⋅ $8 = 535$ $t = 9$⇒ $n = 31 + 63$⋅ $9 = 598$ Son koşul rakamlar toplamının 13 olmasıydı. İki adayı kontrol edelim: $5 + 3 + 5 = 13$ $5 + 9 + 8 = 22$ Bu nedenle sadece 535 tüm koşulları sağlar. Sonuç: $n = 535$Dolayısıyla doğru cevap A seçeneğidir.

1. Çözüm: Verilen koşulları iki modüler denklem ve bir aralık şartı olarak yazalım: ( n ≡ 3   (mod   7 ) ) ( n ≡ 4   (mod   9 ) ) 500 < n < 600 rakam toplamı ( n ) = 13 İlk denklemden n sayısını parametreleyelim: $n = 3 + 7$k Bunu ikinci denkleme yerleştirip k için çözelim: 3 + 7 k ≡ 4   (mod   9 ) 7 k ≡ 1   (mod   9 ) Burada 7 yerine -2 yazabiliriz (çünkü 7 ile -2 aynı kalana sahiptir): - 2 k ≡ 1   (mod   9 ) 2 k ≡ - 1 ≡ 8   (mod   9 ) 2 nin 9 a göre tersi 5 tir (çünkü aşağıdaki gibi kalır): 2 ⋅ $5 = 10$ ≡ 1   (mod   9 ) Dolayısıyla her iki tarafı 5 ile çarpalım: k ≡ 8 ⋅ $5 = 40$ ≡ 4   (mod   9 ) O halde k i şöyle yazabiliriz: $k = 4 + 9$t Bunu n ifadesine koyalım: $n = 3 + 7$( 4 + 9 t ) $n = 31 + 63$t Şimdi aralık koşulunu kullanalım: 500 < 31 + 63 t < 600 Bu aralığa uyan t değerleri için iki aday bulunur: $t = 8$⇒ $n = 31 + 63$⋅ $8 = 535$ $t = 9$⇒ $n = 31 + 63$⋅ $9 = 598$ Son koşul rakamlar toplamının 13 olmasıydı. İki adayı kontrol edelim: $5 + 3 + 5 = 13$ $5 + 9 + 8 = 22$ Bu nedenle sadece 535 tüm koşulları sağlar. Sonuç: $n = 535$Dolayısıyla doğru cevap A seçeneğidir.

Doğru cevap: B

Önce B şıkkındaki değerin koşulları sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim. 61 ≡ 1 ( mod 6 ) 61 ≡ 5 ( mod 8 ) 61 ≡ 7 ( mod 9 ) Görüldüğü gibi B şıkkı sağlıyor. Şimdi bunun gerçekten en küçük çözüm olduğunu adım adım bulalım. Birinci koşuldan başlayalım: n ≡ 1 ( mod 6 ) Bunu eşitlik biçiminde yazalım: $n = 1 + 6$k Şimdi ikinci koşulu kullanalım: 1 + 6 k ≡ 5 ( mod 8 ) Düzenleyelim: 6 k ≡ 4 ( mod 8 ) Ortak bölen ile sadeleştirelim: 3 k ≡ 2 ( mod 4 ) Bu eşdeğerdir: k ≡ 2 ( mod 4 ) O hâlde: $k = 2 + 4$t Bunu $n = 1 + 6$k içinde yerine yazalım: $n = 1 + 6$( 2 + 4 t ) = 13 + 24 t Şimdi üçüncü koşulu uygulayalım: 13 + 24 t ≡ 7 ( mod 9 ) Mod alarak sadeleştirelim: 4 + 6 t ≡ 7 ( mod 9 ) Buradan: 6 t ≡ 3 ( mod 9 ) Ortak bölen ile sadeleştirelim: 2 t ≡ 1 ( mod 3 ) Bu da: t ≡ 2 ( mod 3 ) Yani: $t = 2 + 3$s Son olarak $n = 13 + 24$t içine yazalım: $n = 13 + 24$( 2 + 3 s ) = 61 + 72 s En küçük pozitif çözüm için $s = 0$alınır ve $n = 61$Sonuç: Doğru cevap B ’dir.

1. Çözüm: Önce B şıkkındaki değerin koşulları sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim. 61 ≡ 1 ( mod 6 ) 61 ≡ 5 ( mod 8 ) 61 ≡ 7 ( mod 9 ) Görüldüğü gibi B şıkkı sağlıyor. Şimdi bunun gerçekten en küçük çözüm olduğunu adım adım bulalım. Birinci koşuldan başlayalım: n ≡ 1 ( mod 6 ) Bunu eşitlik biçiminde yazalım: $n = 1 + 6$k Şimdi ikinci koşulu kullanalım: 1 + 6 k ≡ 5 ( mod 8 ) Düzenleyelim: 6 k ≡ 4 ( mod 8 ) Ortak bölen ile sadeleştirelim: 3 k ≡ 2 ( mod 4 ) Bu eşdeğerdir: k ≡ 2 ( mod 4 ) O hâlde: $k = 2 + 4$t Bunu $n = 1 + 6$k içinde yerine yazalım: $n = 1 + 6$( 2 + 4 t ) = 13 + 24 t Şimdi üçüncü koşulu uygulayalım: 13 + 24 t ≡ 7 ( mod 9 ) Mod alarak sadeleştirelim: 4 + 6 t ≡ 7 ( mod 9 ) Buradan: 6 t ≡ 3 ( mod 9 ) Ortak bölen ile sadeleştirelim: 2 t ≡ 1 ( mod 3 ) Bu da: t ≡ 2 ( mod 3 ) Yani: $t = 2 + 3$s Son olarak $n = 13 + 24$t içine yazalım: $n = 13 + 24$( 2 + 3 s ) = 61 + 72 s En küçük pozitif çözüm için $s = 0$alınır ve $n = 61$Sonuç: Doğru cevap B ’dir.

Doğru cevap: A

Önce sayıyı basamaklarıyla yazalım. N = 100 a + 10 b + c Rakamlar toplamını s = a + b + c diye tanımlayalım. Verilen koşul: N = 37 ⋅ s Üç basamaklı ve rakamları farklı olduğundan rakamlar toplamı için sınır: 3 ≤ s ≤ 24 Ayrıca N sayısı 5 ile tam bölündüğü için birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır. Şimdi N = 37 ⋅ s biçimindeki üç basamaklı değerler içinde birler basamağı 0 veya 5 olanları seçelim: s = 5 ⇒ N = 37 ⋅ 5 = 185 s = 10 ⇒ N = 37 ⋅ 10 = 370 s = 15 ⇒ N = 37 ⋅ 15 = 555 s = 20 ⇒ N = 37 ⋅ 20 = 740 Şimdi her bir adayın “rakamları toplamı” gerçekten ilgili s değerine eşit mi, kontrol edelim. Birinci aday: 1 + 8 + 5 = 14 ≠ 5 Bu yüzden N = 185 olmaz. İkinci aday: 3 + 7 + 0 = 10 ve bu değer s = 10 ile uyumludur. Ayrıca rakamlar da farklıdır. Dolayısıyla N = 370 uygundur. Üçüncü adayda rakamlar farklı olma şartı bozulur: 555 Dördüncü aday: 7 + 4 + 0 = 11 ≠ 20 Bu yüzden N = 740 olmaz. Sonuç: N = 370 Doğru seçenek A ’dır.

1. Çözüm: Önce sayıyı basamaklarıyla yazalım. N = 100 a + 10 b + c Rakamlar toplamını s = a + b + c diye tanımlayalım. Verilen koşul: N = 37 ⋅ s Üç basamaklı ve rakamları farklı olduğundan rakamlar toplamı için sınır: 3 ≤ s ≤ 24 Ayrıca N sayısı 5 ile tam bölündüğü için birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır. Şimdi N = 37 ⋅ s biçimindeki üç basamaklı değerler içinde birler basamağı 0 veya 5 olanları seçelim: s = 5 ⇒ N = 37 ⋅ 5 = 185 s = 10 ⇒ N = 37 ⋅ 10 = 370 s = 15 ⇒ N = 37 ⋅ 15 = 555 s = 20 ⇒ N = 37 ⋅ 20 = 740 Şimdi her bir adayın “rakamları toplamı” gerçekten ilgili s değerine eşit mi, kontrol edelim. Birinci aday: 1 + 8 + 5 = 14 ≠ 5 Bu yüzden N = 185 olmaz. İkinci aday: 3 + 7 + 0 = 10 ve bu değer s = 10 ile uyumludur. Ayrıca rakamlar da farklıdır. Dolayısıyla N = 370 uygundur. Üçüncü adayda rakamlar farklı olma şartı bozulur: 555 Dördüncü aday: 7 + 4 + 0 = 11 ≠ 20 Bu yüzden N = 740 olmaz. Sonuç: N = 370 Doğru seçenek A ’dır.

Doğru cevap: A

Doğru seçeneğin A olup olmadığını kontrol edelim. İki basamaklı sayının onlar basamağına a, birler basamağına b diyelim. 10 a + b Rakamlar yer değiştirince oluşan sayı: 10 b + a “Rakamları yer değiştirildiğinde sayı 27 azalıyor” demek, ilk sayı ile yeni sayı arasındaki farkın 27 olması demektir: ( 10 a + b ) - ( 10 b + a ) = 27 Düzenleyelim: 9 a - 9 $b = 27$9 ( a - b ) = 27 a - $b = 3$“Sayı, rakamları toplamına bölündüğünde bölüm 7 oluyor” koşulu: 10 a + b a + $b = 7$Buradan içler-dışlar çarpımı yapalım: 10 a + $b = 7$( a + b ) 10 a + $b = 7$a + 7 b Taraf tarafa toplayıp çıkaralım: 10 a - 7 $a = 7$b - b 3 $a = 6$b $a = 2$b Şimdi iki koşulu birlikte çözelim: a - $b = 3$$a = 2$b Yerine koyarsak: 2 b - $b = 3$$b = 3$$a = 6$Sayı: 10 a + $b = 10$× $6 + 3 = 63$ Hızlı kontrol: $63 - 36 = 27$ 63 $6 + 3 = 63$ $9 = 7$ Sonuç olarak doğru cevap A şıkkıdır. 63

1. Çözüm: Doğru seçeneğin A olup olmadığını kontrol edelim. İki basamaklı sayının onlar basamağına a, birler basamağına b diyelim. 10 a + b Rakamlar yer değiştirince oluşan sayı: 10 b + a “Rakamları yer değiştirildiğinde sayı 27 azalıyor” demek, ilk sayı ile yeni sayı arasındaki farkın 27 olması demektir: ( 10 a + b ) - ( 10 b + a ) = 27 Düzenleyelim: 9 a - 9 $b = 27$9 ( a - b ) = 27 a - $b = 3$“Sayı, rakamları toplamına bölündüğünde bölüm 7 oluyor” koşulu: 10 a + b a + $b = 7$Buradan içler-dışlar çarpımı yapalım: 10 a + $b = 7$( a + b ) 10 a + $b = 7$a + 7 b Taraf tarafa toplayıp çıkaralım: 10 a - 7 $a = 7$b - b 3 $a = 6$b $a = 2$b Şimdi iki koşulu birlikte çözelim: a - $b = 3$$a = 2$b Yerine koyarsak: 2 b - $b = 3$$b = 3$$a = 6$Sayı: 10 a + $b = 10$× $6 + 3 = 63$ Hızlı kontrol: $63 - 36 = 27$ 63 $6 + 3 = 63$ $9 = 7$ Sonuç olarak doğru cevap A şıkkıdır. 63

Doğru cevap: B

Verilenler N:  üç basamaklı sayı Rakamları ters yazılınca oluşan sayı = N − 198 Rakamlar toplamı = 12 N   sayısı   7   ile tam bölünüyor Adım bir: Basamaklara ayıralım $N = 100$a + 10 b + c $Tersi = 100$c + 10 b + a Adım iki: Ters sayı koşulunu kullanalım 100 c + 10 b + $a = N$− 198 100 c + 10 b + $a = 100$a + 10 b + c − 198 100 c + $a = 100$a + c − 198 99 ( c − a ) = − 198 c − a = − 2 $a = c + 2$Adım üç: Rakamlar toplamı koşulunu kullanalım a + b + $c = 12$( c + 2 ) + b + $c = 12$b + 2 $c = 10$$b = 10$− 2 c Adım dört: Uygun basamakları bulalım Rakam oldukları için b ve c sıfır ile dokuz arası olmalıdır. $c = 1$  ⇒   $b = 8$,   $a = 3$  ⇒   $N = 381$$c = 2$  ⇒   $b = 6$,   $a = 4$  ⇒   $N = 462$$c = 3$  ⇒   $b = 4$,   $a = 5$  ⇒   $N = 543$$c = 4$  ⇒   $b = 2$,   $a = 6$  ⇒   $N = 624$Adım beş: Tam bölünme koşulunu uygulayalım 381 ≠ 7 × tam sayı $462 = 7$ × 66 543 ≠ 7 × tam sayı 624 ≠ 7 × tam sayı Sonuç ve şık kontrolü $N = 462$Bulunan değer B şıkkı ile aynıdır; yani doğru cevap B dir.

1. Çözüm: Verilenler N:  üç basamaklı sayı Rakamları ters yazılınca oluşan sayı = N − 198 Rakamlar toplamı = 12 N   sayısı   7   ile tam bölünüyor Adım bir: Basamaklara ayıralım $N = 100$a + 10 b + c $Tersi = 100$c + 10 b + a Adım iki: Ters sayı koşulunu kullanalım 100 c + 10 b + $a = N$− 198 100 c + 10 b + $a = 100$a + 10 b + c − 198 100 c + $a = 100$a + c − 198 99 ( c − a ) = − 198 c − a = − 2 $a = c + 2$Adım üç: Rakamlar toplamı koşulunu kullanalım a + b + $c = 12$( c + 2 ) + b + $c = 12$b + 2 $c = 10$$b = 10$− 2 c Adım dört: Uygun basamakları bulalım Rakam oldukları için b ve c sıfır ile dokuz arası olmalıdır. $c = 1$  ⇒   $b = 8$,   $a = 3$  ⇒   $N = 381$$c = 2$  ⇒   $b = 6$,   $a = 4$  ⇒   $N = 462$$c = 3$  ⇒   $b = 4$,   $a = 5$  ⇒   $N = 543$$c = 4$  ⇒   $b = 2$,   $a = 6$  ⇒   $N = 624$Adım beş: Tam bölünme koşulunu uygulayalım 381 ≠ 7 × tam sayı $462 = 7$ × 66 543 ≠ 7 × tam sayı 624 ≠ 7 × tam sayı Sonuç ve şık kontrolü $N = 462$Bulunan değer B şıkkı ile aynıdır; yani doğru cevap B dir.

Doğru cevap: B

Önce doğru şıkkın B olup olmadığını kontrol ederek ilerleyelim. Üç basamaklı sayının rakamlarını sırasıyla a, b, c olarak alalım. Sayının kendisi ve ters yazılışı: $N = 100$a + 10 b + c ters ( N ) = 100 c + 10 b + a Aralarındaki farkın değeri veriliyor: | N - ters ( N ) | = 198 Yerine yazalım: | 100 a + 10 b + c - ( 100 c + 10 b + a ) | = 198 Sadeleştirelim: | 99 a - 99 c | = 198 99 | a - c | = 198 | a - c | = 2 Demek ki iki olasılık var: $a = c + 2$$a = c - 2$Rakamlar toplamı koşulunu kullanalım: a + b + $c = 12$Birinci durum: $a = c + 2$Bu durumda $b = 12 - a - c$ve yerine yazarsak $b = 12$- ( c + 2 ) - $c = 10 - 2$c c bir rakam olduğundan uygun değerleri deneyelim: c için uygun değerlerde oluşan sayılar: $c = 1$⇒ $a = 3$, $b = 8$, $N = 381$$c = 2$⇒ $a = 4$, $b = 6$, $N = 462$$c = 3$⇒ $a = 5$, $b = 4$, $N = 543$$c = 4$⇒ $a = 6$, $b = 2$, $N = 624$$c = 5$⇒ $a = 7$, $b = 0$, $N = 705$Şimdi bölünebilme koşulunu kullanalım: N ≡ 0 ( mod 7 ) Şıklardaki adayları kontrol edelim: $381 = 7$ × 54 + 3 $462 = 7$ × 66 Buradan yalnız 462 sayısı 7 ile tam bölünür. İkinci durum olan $a = c - 2$için de benzer şekilde başka sayılar elde edilir; ancak şıklardan gelen ve bölünebilme şartını sağlayan tek sayı yine aynıdır. Sonuç: Doğru cevap 462 olduğundan, B şıkkı doğrudur.

1. Çözüm: Önce doğru şıkkın B olup olmadığını kontrol ederek ilerleyelim. Üç basamaklı sayının rakamlarını sırasıyla a, b, c olarak alalım. Sayının kendisi ve ters yazılışı: $N = 100$a + 10 b + c ters ( N ) = 100 c + 10 b + a Aralarındaki farkın değeri veriliyor: | N - ters ( N ) | = 198 Yerine yazalım: | 100 a + 10 b + c - ( 100 c + 10 b + a ) | = 198 Sadeleştirelim: | 99 a - 99 c | = 198 99 | a - c | = 198 | a - c | = 2 Demek ki iki olasılık var: $a = c + 2$$a = c - 2$Rakamlar toplamı koşulunu kullanalım: a + b + $c = 12$Birinci durum: $a = c + 2$Bu durumda $b = 12 - a - c$ve yerine yazarsak $b = 12$- ( c + 2 ) - $c = 10 - 2$c c bir rakam olduğundan uygun değerleri deneyelim: c için uygun değerlerde oluşan sayılar: $c = 1$⇒ $a = 3$, $b = 8$, $N = 381$$c = 2$⇒ $a = 4$, $b = 6$, $N = 462$$c = 3$⇒ $a = 5$, $b = 4$, $N = 543$$c = 4$⇒ $a = 6$, $b = 2$, $N = 624$$c = 5$⇒ $a = 7$, $b = 0$, $N = 705$Şimdi bölünebilme koşulunu kullanalım: N ≡ 0 ( mod 7 ) Şıklardaki adayları kontrol edelim: $381 = 7$ × 54 + 3 $462 = 7$ × 66 Buradan yalnız 462 sayısı 7 ile tam bölünür. İkinci durum olan $a = c - 2$için de benzer şekilde başka sayılar elde edilir; ancak şıklardan gelen ve bölünebilme şartını sağlayan tek sayı yine aynıdır. Sonuç: Doğru cevap 462 olduğundan, B şıkkı doğrudur.

Doğru cevap: A

Doğru şık kontrolü: Verilen koşulları sağlayan sayı bulununca şıklarla karşılaştıracağız. 1) Sayıyı basamaklarına ayıralım. Onlar basamağı a, birler basamağı b olsun. $N = 10$a + b N ′ = 10 b + a 2) Rakamlar yer değiştirince oluşan sayı, başlangıç sayısından yirmi yedi fazlaymış: 10 b + $a = 10$a + b + 27 Düzenleyelim: 10 b - $b = 10$a - a + 27 9 $b = 9$a + 27 9 ( b - a ) = 27 b - $a = 3$3) Başlangıç sayısı, rakamları toplamının dört katına eşitmiş: 10 a + $b = 4$( a + b ) Açalım ve sadeleştirelim: 10 a + $b = 4$a + 4 b 6 $a = 3$b 2 $a = b$4) İki koşulu birlikte çözelim: $b = a + 3$$b = 2$a Eşitleyelim: 2 $a = a + 3$$a = 3$$b = 2$⋅ $3 = 6$ 5) Sayıyı yazalım: $N = 10$⋅ $3 + 6 = 36$ Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Doğru şık kontrolü: Verilen koşulları sağlayan sayı bulununca şıklarla karşılaştıracağız. 1) Sayıyı basamaklarına ayıralım. Onlar basamağı a, birler basamağı b olsun. $N = 10$a + b N ′ = 10 b + a 2) Rakamlar yer değiştirince oluşan sayı, başlangıç sayısından yirmi yedi fazlaymış: 10 b + $a = 10$a + b + 27 Düzenleyelim: 10 b - $b = 10$a - a + 27 9 $b = 9$a + 27 9 ( b - a ) = 27 b - $a = 3$3) Başlangıç sayısı, rakamları toplamının dört katına eşitmiş: 10 a + $b = 4$( a + b ) Açalım ve sadeleştirelim: 10 a + $b = 4$a + 4 b 6 $a = 3$b 2 $a = b$4) İki koşulu birlikte çözelim: $b = a + 3$$b = 2$a Eşitleyelim: 2 $a = a + 3$$a = 3$$b = 2$⋅ $3 = 6$ 5) Sayıyı yazalım: $N = 10$⋅ $3 + 6 = 36$ Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Şık kontrolü: Bulacağımız sayı A şıkkındaki değerle aynı çıkarsa, doğru cevap A olacaktır. İki basamaklı sayının onlar basamağı a, birler basamağı b olsun. Sayı = 10 a + b “Sayı, rakamları toplamının 4 katına 18 eklenerek elde ediliyor.” koşulunu denklemleştirelim: 10 a + $b = 4$( a + b ) + 18 Düzenleyelim: 10 a + $b = 4$a + 4 b + 18 6 a - 3 $b = 18$2 a - $b = 6$“Rakamları yer değiştirildiğinde oluşan sayı, ilk sayıdan 18 eksiktir.” koşulu: 10 b + a = ( 10 a + b ) - 18 Düzenleyelim: 10 b + $a = 10$a + b - 18 9 b - 9 a = - 18 b - a = - 2 $b = a - 2$Bunu ilk denklemde yerine yazalım: 2 a - ( a - 2 ) = 6 a + $2 = 6$ $a = 4$$b = 2$Sayı: 10 a + $b = 10$× $4 + 2 = 42$ Bulunan değer 42 olduğundan doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Şık kontrolü: Bulacağımız sayı A şıkkındaki değerle aynı çıkarsa, doğru cevap A olacaktır. İki basamaklı sayının onlar basamağı a, birler basamağı b olsun. Sayı = 10 a + b “Sayı, rakamları toplamının 4 katına 18 eklenerek elde ediliyor.” koşulunu denklemleştirelim: 10 a + $b = 4$( a + b ) + 18 Düzenleyelim: 10 a + $b = 4$a + 4 b + 18 6 a - 3 $b = 18$2 a - $b = 6$“Rakamları yer değiştirildiğinde oluşan sayı, ilk sayıdan 18 eksiktir.” koşulu: 10 b + a = ( 10 a + b ) - 18 Düzenleyelim: 10 b + $a = 10$a + b - 18 9 b - 9 a = - 18 b - a = - 2 $b = a - 2$Bunu ilk denklemde yerine yazalım: 2 a - ( a - 2 ) = 6 a + $2 = 6$ $a = 4$$b = 2$Sayı: 10 a + $b = 10$× $4 + 2 = 42$ Bulunan değer 42 olduğundan doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Koşulları denkleme çevirme İlk koşul: n + $7 = 12$ k İkinci koşul: n - $5 = 9$ m Kongruans (kalan) biçimine getirme Birinci eşitlikten: $n = 12$k - $7 = 12$ k + 5 - 12 n ≡ 5 ( mod 12 ) İkinci eşitlikten: $n = 9$m + 5 n ≡ 5 ( mod 9 ) Birleştirme Aynı kalanı veren iki koşulu birlikte sağlayan sayılar, bu iki modun ortak katı üzerinden yazılabilir: lcm ( 12, 9 ) = 36 n ≡ 5 ( mod 36 ) $n = 36$t + 5 Aralık şartını uygulama Aralık şartı: 100 < n < 200 Yerine yazalım: 100 < 36 t + 5 < 200 Bu aralıkta uygun değerler: $t = 3$⇒ $n = 36$⋅ $3 + 5 = 113$ $t = 4$⇒ $n = 36$⋅ $4 + 5 = 149$ $t = 5$⇒ $n = 36$⋅ $5 + 5 = 185$ Asallık kontrolü Seçeneklerdeki adaylardan: Bir tanesi asal değildir: $185 = 5$ ⋅ 37 Diğer iki adayın asal olduğunu kontrol edelim (karekök sınırına kadar asal bölen denemesi yeterlidir): 11 $2 = 121$ > 113 113 ≡ 1 ( mod 2 ) 113 ≡ 2 ( mod 3 ) 113 ≡ 3 ( mod 5 ) 113 ≡ 1 ( mod 7 ) 113 ≡ 3 ( mod 11 ) 13 $2 = 169$ > 149 149 ≡ 1 ( mod 2 ) 149 ≡ 2 ( mod 3 ) 149 ≡ 4 ( mod 5 ) 149 ≡ 2 ( mod 7 ) 149 ≡ 6 ( mod 11 ) 149 ≡ 6 ( mod 13 ) Sonuç ve B şıkkı kontrolü Koşulları sağlayan asal değerler: n ∈ { 113, 149 } Dolayısıyla B seçeneği sağlıyor; ancak A seçeneği de sağladığı için doğru cevap yalnızca B değildir.

1. Çözüm: Koşulları denkleme çevirme İlk koşul: n + $7 = 12$ k İkinci koşul: n - $5 = 9$ m Kongruans (kalan) biçimine getirme Birinci eşitlikten: $n = 12$k - $7 = 12$ k + 5 - 12 n ≡ 5 ( mod 12 ) İkinci eşitlikten: $n = 9$m + 5 n ≡ 5 ( mod 9 ) Birleştirme Aynı kalanı veren iki koşulu birlikte sağlayan sayılar, bu iki modun ortak katı üzerinden yazılabilir: lcm ( 12, 9 ) = 36 n ≡ 5 ( mod 36 ) $n = 36$t + 5 Aralık şartını uygulama Aralık şartı: 100 < n < 200 Yerine yazalım: 100 < 36 t + 5 < 200 Bu aralıkta uygun değerler: $t = 3$⇒ $n = 36$⋅ $3 + 5 = 113$ $t = 4$⇒ $n = 36$⋅ $4 + 5 = 149$ $t = 5$⇒ $n = 36$⋅ $5 + 5 = 185$ Asallık kontrolü Seçeneklerdeki adaylardan: Bir tanesi asal değildir: $185 = 5$ ⋅ 37 Diğer iki adayın asal olduğunu kontrol edelim (karekök sınırına kadar asal bölen denemesi yeterlidir): 11 $2 = 121$ > 113 113 ≡ 1 ( mod 2 ) 113 ≡ 2 ( mod 3 ) 113 ≡ 3 ( mod 5 ) 113 ≡ 1 ( mod 7 ) 113 ≡ 3 ( mod 11 ) 13 $2 = 169$ > 149 149 ≡ 1 ( mod 2 ) 149 ≡ 2 ( mod 3 ) 149 ≡ 4 ( mod 5 ) 149 ≡ 2 ( mod 7 ) 149 ≡ 6 ( mod 11 ) 149 ≡ 6 ( mod 13 ) Sonuç ve B şıkkı kontrolü Koşulları sağlayan asal değerler: n ∈ { 113, 149 } Dolayısıyla B seçeneği sağlıyor; ancak A seçeneği de sağladığı için doğru cevap yalnızca B değildir.

Doğru cevap: B

Önce “B şıkkı doğru mu?” kontrol edelim. Sonuçta bulunan sayı şıklarla karşılaştırılacaktır. İki basamaklı sayı için onlar basamağı a, birler basamağı b olsun. Rakamlar toplamı: a + $b = 11$Sayı ve rakamları yer değiştirmiş hali: $N = 10$a + b $R = 10$b + a Verilen koşul: 3 N + 2 $R = 316$N ve R yerine yazıp düzenleyelim: 3 ( 10 a + b ) + 2 ( 10 b + a ) = 316 dağıtalım: 30 a + 3 b + 20 b + 2 $a = 316$Benzer terimleri toplayalım: 32 a + 23 $b = 316$Şimdi a + $b = 11$denkleminden $b = 11 - a$bulup yerine yazalım: 32 a + 23 ( 11 - a ) = 316 Düzenleyelim: 32 a + 253 - 23 $a = 316$Toplayıp çıkaralım: 9 a + $253 = 316$ Her iki taraftan 253 çıkaralım: 9 $a = 63$Buradan: $a = 7$Rakamlar toplamı 11 olduğuna göre: b = $11 - 7 = 4$ Sayı: 10 a + $b = 10$× $7 + 4 = 74$ Bulunan sayı 74 olduğundan doğru seçenek B ’dir. Yani “B mi?” kontrolü: Evet, B doğrudur.

1. Çözüm: Önce “B şıkkı doğru mu?” kontrol edelim. Sonuçta bulunan sayı şıklarla karşılaştırılacaktır. İki basamaklı sayı için onlar basamağı a, birler basamağı b olsun. Rakamlar toplamı: a + $b = 11$Sayı ve rakamları yer değiştirmiş hali: $N = 10$a + b $R = 10$b + a Verilen koşul: 3 N + 2 $R = 316$N ve R yerine yazıp düzenleyelim: 3 ( 10 a + b ) + 2 ( 10 b + a ) = 316 dağıtalım: 30 a + 3 b + 20 b + 2 $a = 316$Benzer terimleri toplayalım: 32 a + 23 $b = 316$Şimdi a + $b = 11$denkleminden $b = 11 - a$bulup yerine yazalım: 32 a + 23 ( 11 - a ) = 316 Düzenleyelim: 32 a + 253 - 23 $a = 316$Toplayıp çıkaralım: 9 a + $253 = 316$ Her iki taraftan 253 çıkaralım: 9 $a = 63$Buradan: $a = 7$Rakamlar toplamı 11 olduğuna göre: b = $11 - 7 = 4$ Sayı: 10 a + $b = 10$× $7 + 4 = 74$ Bulunan sayı 74 olduğundan doğru seçenek B ’dir. Yani “B mi?” kontrolü: Evet, B doğrudur.