9. Sınıf Matematik Sayi Problemleri Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

İki basamaklı bir sayı için rakamları toplamı $9$ ’dur. Bu sayının $2$ katı ile rakamları yer değiştirmiş halinin $3$ katının toplamı $234$ olduğuna göre sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Doğru seçenek kontrolü: Sonuç C (çünkü sayı 63 çıkıyor). İki basamaklı sayı için onlar basamağı a, birler basamağı b olsun. Sayı = 10 a + b Rakamları yer değiştirmiş hali = 10 b + a Rakamlar toplamı şartı: a + b = 9 Verilen toplam şartını denkleme çevirelim: 2 ( 10 a + b ) + 3 ( 10 b + a ) = 234 Parantezleri açalım: 20 a + 2 b + 30 b + 3 a = 234 Benzer terimleri toplayalım: 23 a + 32 b = 234 Rakamlar toplamından b ’yi çekelim: b = 9 - a Bunu 23a + 32b = 234 denkleminde yerine yazalım: 23 a + 32 ( 9 - a ) = 234 Düzenleyelim: 23 a + 288 - 32 a = 234 - 9 a + 288 = 234 Çözelim: - 9 a = 234 - 288 - 9 a = - 54 a = 6 Şimdi b: b = 9 - 6 = 3 Sayı: 10 a + b = 10 × 6 + 3 = 63 Dolayısıyla doğru cevap B693 ’dir.

Çözüm: Doğru seçenek kontrolü: Sonuç C (çünkü sayı 63 çıkıyor). İki basamaklı sayı için onlar basamağı a, birler basamağı b olsun. Sayı = 10 a + b Rakamları yer değiştirmiş hali = 10 b + a Rakamlar toplamı şartı: a + b = 9 Verilen toplam şartını denkleme çevirelim: 2 ( 10 a + b ) + 3 ( 10 b + a ) = 234 Parantezleri açalım: 20 a + 2 b + 30 b + 3 a = 234 Benzer terimleri toplayalım: 23 a + 32 b = 234 Rakamlar toplamından b ’yi çekelim: b = 9 - a Bunu 23a + 32b = 234 denkleminde yerine yazalım: 23 a + 32 ( 9 - a ) = 234 Düzenleyelim: 23 a + 288 - 32 a = 234 - 9 a + 288 = 234 Çözelim: - 9 a = 234 - 288 - 9 a = - 54 a = 6 Şimdi b: b = 9 - 6 = 3 Sayı: 10 a + b = 10 × 6 + 3 = 63 Dolayısıyla doğru cevap B693 ’dir.

Doğru seçenek kontrolü: Sonuç C (çünkü sayı 63 çıkıyor).

İki basamaklı sayı için onlar basamağı a, birler basamağı b olsun.

Sayı = 10 a + b

Rakamları yer değiştirmiş hali = 10 b + a

Rakamlar toplamı şartı:

a + b = 9

Verilen toplam şartını denkleme çevirelim:

2 (10 a + b) + 3 (10 b + a) = 234

Parantezleri açalım:

20 a + 2 b + 30 b + 3 a = 234

Benzer terimleri toplayalım:

23 a + 32 b = 234

Rakamlar toplamından b’yi çekelim:

b = 9 - a

Bunu 23a + 32b = 234 denkleminde yerine yazalım:

23 a + 32 (9 - a) = 234

Düzenleyelim:

23 a + 288 - 32 a = 234

- 9 a + 288 = 234

Çözelim:

- 9 a = 234 - 288

- 9 a = - 54

a = 6

Şimdi b:

b = 9 - 6 = 3

Sayı:

10 a + b = 10 \times 6 + 3 = 63

Dolayısıyla doğru cevap C’dir.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Üç basamaklı $N$ sayısı için; $N + 198$ işlemi yapıldığında, elde edilen sayı $N$ sayısının rakamları ters çevrilmiş hâline eşit oluyor.
Ayrıca bu sayının yüzler basamağı ile onlar basamağı ardışık doğal sayılardır.
Buna göre $N$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

1) Seçenek kontrolü (A mı?): Koşulu sağlayan sayıyı bulup şıklarla karşılaştıracağız; sonuçta doğru şık A çıkarsa, A doğrudur. 2) Sayıyı basamaklarına ayıralım: N = 100 a + 10 b + c Burada a yüzler, b onlar, c birler basamağıdır. 3) Rakamları ters çevrilmiş hâli: R = 100 c + 10 b + a 4) Verilen koşulu denklemle yazalım: N + 198 = R 5) Basamak ifadelerini yerine yazıp sadeleştirelim: 100 a + 10 b + c + 198 = 100 c + 10 b + a 100 a + c + 198 = 100 c + a 99 a + 198 = 99 c 99 ( c - a ) = 198 c - a = 2 Yani birler basamağı, yüzler basamağından 2 fazladır. 6) Diğer koşul: yüzler ve onlar basamağı ardışık doğal sayılar: b = a + 1 veya b = a - 1 7) Şıkları hızlıca koşullara göre eleyelim: şıkkıC690 için: N = 345 a = 3, b = 4, c = 5 c - a = 5 - 3 = 2 b = a + 1 Her iki koşul da sağlanır. Ayrıca işlem kontrolü: 345 + 198 = 543 Bu da 345 ’in tersi olan 543 eder. 8) Sonuç: Doğru cevap C871 ve sayı: N = 345

Çözüm: 1) Seçenek kontrolü (A mı?): Koşulu sağlayan sayıyı bulup şıklarla karşılaştıracağız; sonuçta doğru şık A çıkarsa, A doğrudur. 2) Sayıyı basamaklarına ayıralım: N = 100 a + 10 b + c Burada a yüzler, b onlar, c birler basamağıdır. 3) Rakamları ters çevrilmiş hâli: R = 100 c + 10 b + a 4) Verilen koşulu denklemle yazalım: N + 198 = R 5) Basamak ifadelerini yerine yazıp sadeleştirelim: 100 a + 10 b + c + 198 = 100 c + 10 b + a 100 a + c + 198 = 100 c + a 99 a + 198 = 99 c 99 ( c - a ) = 198 c - a = 2 Yani birler basamağı, yüzler basamağından 2 fazladır. 6) Diğer koşul: yüzler ve onlar basamağı ardışık doğal sayılar: b = a + 1 veya b = a - 1 7) Şıkları hızlıca koşullara göre eleyelim: şıkkıC690 için: N = 345 a = 3, b = 4, c = 5 c - a = 5 - 3 = 2 b = a + 1 Her iki koşul da sağlanır. Ayrıca işlem kontrolü: 345 + 198 = 543 Bu da 345 ’in tersi olan 543 eder. 8) Sonuç: Doğru cevap C871 ve sayı: N = 345

1) Seçenek kontrolü (A mı?):

Koşulu sağlayan sayıyı bulup şıklarla karşılaştıracağız; sonuçta doğru şık A çıkarsa, A doğrudur.

2) Sayıyı basamaklarına ayıralım:

N = 100 a + 10 b + c

Burada a yüzler, b onlar, c birler basamağıdır.

3) Rakamları ters çevrilmiş hâli:

R = 100 c + 10 b + a

4) Verilen koşulu denklemle yazalım:

N + 198 = R

5) Basamak ifadelerini yerine yazıp sadeleştirelim:

100 a + 10 b + c + 198 = 100 c + 10 b + a

100 a + c + 198 = 100 c + a

99 a + 198 = 99 c

99 (c - a) = 198

c - a = 2

Yani birler basamağı, yüzler basamağından 2 fazladır.

6) Diğer koşul: yüzler ve onlar basamağı ardışık doğal sayılar:

b = a + 1

veya

b = a - 1

7) Şıkları hızlıca koşullara göre eleyelim:

şıkkıC2590 için:

N = 345

a = 3, b = 4, c = 5

c - a = 5 - 3 = 2

b = a + 1

Her iki koşul da sağlanır.

Ayrıca işlem kontrolü:

345 + 198 = 543

Bu da 345’in tersi olan 543 eder.

8) Sonuç:

Doğru cevap A ve sayı:

N = 345

3. SoruÇoktan Seçmeli

İki basamaklı bir sayının $4$ katının $9$ eksiği, sayının rakamları toplamının $15$ katına eşittir.
Bu sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

1) Şık A kontrolü (sonuç): Denklem çözümünden sayı bulununca şıklarla karşılaştıracağız. 2) Sayıyı basamaklarına ayıralım. N = 10 a + b a ∈ { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } b ∈ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Rakamları toplamı: a + b 3) Verilen koşulu denkleme çevirelim. “Sayının 4 katının 9 eksiği = rakamları toplamının 15 katı” 4 ( 10 a + b ) − 9 = 15 ( a + b ) 4) Düzenleyip basamaklar için lineer denklem elde edelim. 40 a + 4 b − 9 = 15 a + 15 b 40 a − 15 a + 4 b − 15 b = 9 25 a − 11 b = 9 5) Basamak koşullarını kullanarak çözüm bulalım. 25 a = 9 + 11 b Sağ tarafın 25’in katı olması gerekir. Mod 25 ile bakalım: 9 + 11 b ≡ 0 ( mod 25 ) 11 b ≡ 16 ( mod 25 ) 11’in 25’e göre tersini kullanabiliriz: 11 ⋅ 16 = 176 ≡ 1 ( mod 25 ) Her iki tarafı 16 ile çarpalım: b ≡ 16 ⋅ 16 ( mod 25 ) b ≡ 256 ( mod 25 ) b ≡ 6 ( mod 25 ) Rakam olduğu için: b = 6 6) b yerine yazıp a’yı bulalım. 25 a − 11 ⋅ 6 = 9 25 a − 66 = 9 25 a = 75 a = 3 7) Sayıyı yazalım. N = 10 ⋅ 3 + 6 N = 36 8) Şık kontrolü: Bulunan sayı şıklarda A ile aynıdır. 36 = 36 Doğru cevap: D1166

Çözüm: 1) Şık A kontrolü (sonuç): Denklem çözümünden sayı bulununca şıklarla karşılaştıracağız. 2) Sayıyı basamaklarına ayıralım. N = 10 a + b a ∈ { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } b ∈ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Rakamları toplamı: a + b 3) Verilen koşulu denkleme çevirelim. “Sayının 4 katının 9 eksiği = rakamları toplamının 15 katı” 4 ( 10 a + b ) − 9 = 15 ( a + b ) 4) Düzenleyip basamaklar için lineer denklem elde edelim. 40 a + 4 b − 9 = 15 a + 15 b 40 a − 15 a + 4 b − 15 b = 9 25 a − 11 b = 9 5) Basamak koşullarını kullanarak çözüm bulalım. 25 a = 9 + 11 b Sağ tarafın 25’in katı olması gerekir. Mod 25 ile bakalım: 9 + 11 b ≡ 0 ( mod 25 ) 11 b ≡ 16 ( mod 25 ) 11’in 25’e göre tersini kullanabiliriz: 11 ⋅ 16 = 176 ≡ 1 ( mod 25 ) Her iki tarafı 16 ile çarpalım: b ≡ 16 ⋅ 16 ( mod 25 ) b ≡ 256 ( mod 25 ) b ≡ 6 ( mod 25 ) Rakam olduğu için: b = 6 6) b yerine yazıp a’yı bulalım. 25 a − 11 ⋅ 6 = 9 25 a − 66 = 9 25 a = 75 a = 3 7) Sayıyı yazalım. N = 10 ⋅ 3 + 6 N = 36 8) Şık kontrolü: Bulunan sayı şıklarda A ile aynıdır. 36 = 36 Doğru cevap: D1166

1) Şık A kontrolü (sonuç): Denklem çözümünden sayı bulununca şıklarla karşılaştıracağız.

2) Sayıyı basamaklarına ayıralım.

N = 10 a + b

a \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

b \in {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Rakamları toplamı:

a + b

3) Verilen koşulu denkleme çevirelim.

“Sayının 4 katının 9 eksiği = rakamları toplamının 15 katı”

4 (10 a + b) - 9 = 15 (a + b)

4) Düzenleyip basamaklar için lineer denklem elde edelim.

40 a + 4 b - 9 = 15 a + 15 b

40 a - 15 a + 4 b - 15 b = 9

25 a - 11 b = 9

5) Basamak koşullarını kullanarak çözüm bulalım.

25 a = 9 + 11 b

Sağ tarafın 25’in katı olması gerekir. Mod 25 ile bakalım:

9 + 11 b \equiv 0 (\mod 25)

11 b \equiv 16 (\mod 25)

11’in 25’e göre tersini kullanabiliriz:

11 \cdot 16 = 176 \equiv 1 (\mod 25)

Her iki tarafı 16 ile çarpalım:

b \equiv 16 \cdot 16 (\mod 25)

b \equiv 256 (\mod 25)

b \equiv 6 (\mod 25)

Rakam olduğu için:

b = 6

6) b yerine yazıp a’yı bulalım.

25 a - 11 \cdot 6 = 9

25 a - 66 = 9

25 a = 75

a = 3

7) Sayıyı yazalım.

N = 10 \cdot 3 + 6

N = 36

8) Şık kontrolü: Bulunan sayı şıklarda A ile aynıdır.

36 = 36

Doğru cevap: D4432

4. SoruÇoktan Seçmeli

İki basamaklı bir sayı $x$ olsun. Rakamları toplamı $9$ ve sayının $2$ katı ile rakamları yer değiştirmiş hâlinin toplamı $117$ olduğuna göre $x$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Üç basamaklı doğal sayı $N$ için, basamakları ters çevrilmiş sayı $R$ olmak üzere
$N - R = 198$
ve basamakları toplamı $18$ olup
$N \equiv 5 (\mod 7)$
şartlarını sağlayan $N$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Üç basamaklı sayı için basamakları N = 100 a + 10 b + c ve ters çevrilmiş hali R = 100 c + 10 b + a olsun. Verilen fark koşulundan N - R = 198 yazarak sadeleştirelim: 100 a + 10 b + c - 100 c + 10 b + a = 198 99 ( a - c ) = 198 a - c = 2 Basamaklar toplamı koşulu: a + b + c = 18 ve a = c + 2 olduğundan yerine yazalım: c + 2 + b + c = 18 b + 2 c = 16 b = 16 - 2 c Basamak olduğu için 0 ≤ b ≤ 9 olmalı. Bu da 0 ≤ 16 - 2 c ≤ 9 eşitsizliğini verir. Buradan uygun c değerleri denenince c = 4, 5, 6, 7 olur ve her biri için a = c + 2 ile sayılar bulunur: c = 4 ⇒ a = 6, b = 8 ⇒ N = 684 c = 5 ⇒ a = 7, b = 6 ⇒ N = 765 c = 6 ⇒ a = 8, b = 4 ⇒ N = 846 c = 7 ⇒ a = 9, b = 2 ⇒ N = 927 Yani şıklardaki dört sayı da ilk iki koşulu sağlar. Şimdi kalan koşulu kullanıyoruz: N ≡ 5 ( mod 7 ) Adayları 7 ile bölümünden kalan üzerinden kontrol edelim. Seçenek A: 684 = 7 × 97 + 5 684 ≡ 5 ( mod 7 ) Diğerleri için kalanlar: 765 ≡ 2 ( mod 7 ) 846 ≡ 6 ( mod 7 ) 927 ≡ 3 ( mod 7 ) Yalnızca N = 684 koşulu sağladığı için doğru cevap B1105 seçeneğidir. Yani şıkkıB1141 gerçekten doğrudur.

Çözüm: Üç basamaklı sayı için basamakları N = 100 a + 10 b + c ve ters çevrilmiş hali R = 100 c + 10 b + a olsun. Verilen fark koşulundan N - R = 198 yazarak sadeleştirelim: 100 a + 10 b + c - 100 c + 10 b + a = 198 99 ( a - c ) = 198 a - c = 2 Basamaklar toplamı koşulu: a + b + c = 18 ve a = c + 2 olduğundan yerine yazalım: c + 2 + b + c = 18 b + 2 c = 16 b = 16 - 2 c Basamak olduğu için 0 ≤ b ≤ 9 olmalı. Bu da 0 ≤ 16 - 2 c ≤ 9 eşitsizliğini verir. Buradan uygun c değerleri denenince c = 4, 5, 6, 7 olur ve her biri için a = c + 2 ile sayılar bulunur: c = 4 ⇒ a = 6, b = 8 ⇒ N = 684 c = 5 ⇒ a = 7, b = 6 ⇒ N = 765 c = 6 ⇒ a = 8, b = 4 ⇒ N = 846 c = 7 ⇒ a = 9, b = 2 ⇒ N = 927 Yani şıklardaki dört sayı da ilk iki koşulu sağlar. Şimdi kalan koşulu kullanıyoruz: N ≡ 5 ( mod 7 ) Adayları 7 ile bölümünden kalan üzerinden kontrol edelim. Seçenek A: 684 = 7 × 97 + 5 684 ≡ 5 ( mod 7 ) Diğerleri için kalanlar: 765 ≡ 2 ( mod 7 ) 846 ≡ 6 ( mod 7 ) 927 ≡ 3 ( mod 7 ) Yalnızca N = 684 koşulu sağladığı için doğru cevap B1105 seçeneğidir. Yani şıkkıB1141 gerçekten doğrudur.

Üç basamaklı sayı için basamakları

N = 100 a + 10 b + c

ve ters çevrilmiş hali

R = 100 c + 10 b + a

olsun.

Verilen fark koşulundan

N - R = 198

yazarak sadeleştirelim:

100 a + 10 b + c - 100 c + 10 b + a = 198

99 (a - c) = 198

a - c = 2

Basamaklar toplamı koşulu:

a + b + c = 18

ve

a = c + 2

olduğundan yerine yazalım:

c + 2 + b + c = 18

b + 2 c = 16

b = 16 - 2 c

Basamak olduğu için

0 \leq b \leq 9

olmalı. Bu da

0 \leq 16 - 2 c \leq 9

eşitsizliğini verir.

Buradan uygun $c$ değerleri denenince

c = 4, 5, 6, 7

olur ve her biri için $a = c + 2$ ile sayılar bulunur:

c = 4 \Rightarrow a = 6, b = 8 \Rightarrow N = 684

c = 5 \Rightarrow a = 7, b = 6 \Rightarrow N = 765

c = 6 \Rightarrow a = 8, b = 4 \Rightarrow N = 846

c = 7 \Rightarrow a = 9, b = 2 \Rightarrow N = 927

Yani şıklardaki dört sayı da ilk iki koşulu sağlar.

Şimdi kalan koşulu kullanıyoruz:

N \equiv 5 (\mod 7)

Adayları $7$ ile bölümünden kalan üzerinden kontrol edelim.

Seçenek A:

684 = 7 \times 97 + 5

684 \equiv 5 (\mod 7)

Diğerleri için kalanlar:

765 \equiv 2 (\mod 7)

846 \equiv 6 (\mod 7)

927 \equiv 3 (\mod 7)

Yalnızca

N = 684

koşulu sağladığı için doğru cevap

A

seçeneğidir. Yani şıkkıB4560 gerçekten doğrudur.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Rakamları farklı bir $2$ basamaklı sayının $7$ katından, rakamları yer değiştirilerek elde edilen sayının $5$ katı çıkarılınca sonuç $67$ oluyor. Ayrıca sayının rakamları toplamı $11$ ise sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Üç basamaklı ve $200$ 'den küçük bir doğal sayı $N$ , $3$ ile bölündüğünde kalan $2$ , $5$ ile bölündüğünde kalan $4$ , $7$ ile bölündüğünde kalan $1$ oluyor. $N$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Koşulları eşitlik (kalan) biçiminde yazalım: N ≡ 2 (mod 3 ) N ≡ 4 (mod 5 ) N ≡ 1 (mod 7 ) Önce ilk iki koşulu birlikte sağlayan sayıları bulalım. 3 ve 5 aralarında asal olduğu için, çözüm 15 ’e göre tektir. N ≡ 4 (mod 5 ) Bu koşulu sağlayan sayılar arasından N ≡ 2 (mod 3 ) koşulunu da sağlayanı arayalım. 4 ’ten başlayıp 5 ekleyerek ilerleyelim: 4, 9, 14, 19, 24, … Bunlardan 14 sayısı 3 ile bölününce kalanı 2 verir. Dolayısıyla: N ≡ 14 (mod 15 ) Şimdi üçüncü koşulu kullanalım. Yani: N = 15 k + 14 Bunu 7 ile bölümden kalan koşulunda yerine yazalım: 15 k + 14 ≡ 1 (mod 7 ) Mod 7 ’de sadeleştirelim: 15 k + 14 ≡ 1 (mod 7 ) ⇒ 1 k + 0 ≡ 1 (mod 7 ) Buradan: k ≡ 1 (mod 7 ) Yani: k = 7 t + 1 Bunu N = 15 k + 14 içinde kullanalım: N = 15 ( 7 t + 1 ) + 14 = 105 t + 29 Sayı üç basamaklı ve 200 ’den küçük olduğuna göre uygun t değerini seçelim: t = 1 ⇒ N = 105 + 29 = 134 Kontrol (kalanlar): 134 ÷ 3 ⇒ kalan = 2 134 ÷ 5 ⇒ kalan = 4 134 ÷ 7 ⇒ kalan = 1 Sonuç: Doğru cevap D955 şıkkıdır.

Çözüm: Koşulları eşitlik (kalan) biçiminde yazalım: N ≡ 2 (mod 3 ) N ≡ 4 (mod 5 ) N ≡ 1 (mod 7 ) Önce ilk iki koşulu birlikte sağlayan sayıları bulalım. 3 ve 5 aralarında asal olduğu için, çözüm 15 ’e göre tektir. N ≡ 4 (mod 5 ) Bu koşulu sağlayan sayılar arasından N ≡ 2 (mod 3 ) koşulunu da sağlayanı arayalım. 4 ’ten başlayıp 5 ekleyerek ilerleyelim: 4, 9, 14, 19, 24, … Bunlardan 14 sayısı 3 ile bölününce kalanı 2 verir. Dolayısıyla: N ≡ 14 (mod 15 ) Şimdi üçüncü koşulu kullanalım. Yani: N = 15 k + 14 Bunu 7 ile bölümden kalan koşulunda yerine yazalım: 15 k + 14 ≡ 1 (mod 7 ) Mod 7 ’de sadeleştirelim: 15 k + 14 ≡ 1 (mod 7 ) ⇒ 1 k + 0 ≡ 1 (mod 7 ) Buradan: k ≡ 1 (mod 7 ) Yani: k = 7 t + 1 Bunu N = 15 k + 14 içinde kullanalım: N = 15 ( 7 t + 1 ) + 14 = 105 t + 29 Sayı üç basamaklı ve 200 ’den küçük olduğuna göre uygun t değerini seçelim: t = 1 ⇒ N = 105 + 29 = 134 Kontrol (kalanlar): 134 ÷ 3 ⇒ kalan = 2 134 ÷ 5 ⇒ kalan = 4 134 ÷ 7 ⇒ kalan = 1 Sonuç: Doğru cevap D955 şıkkıdır.

Koşulları eşitlik (kalan) biçiminde yazalım:

$\begin{matrix} N \equiv 2 (mod 3) \\ N \equiv 4 (mod 5) \\ N \equiv 1 (mod 7) \end{matrix}$

Önce ilk iki koşulu birlikte sağlayan sayıları bulalım. $3$ ve $5$ aralarında asal olduğu için, çözüm $15$ ’e göre tektir.

$N \equiv 4 (mod 5)$

Bu koşulu sağlayan sayılar arasından $N \equiv 2 (mod 3)$ koşulunu da sağlayanı arayalım. $4$ ’ten başlayıp $5$ ekleyerek ilerleyelim:

$4, 9, 14, 19, 24, \dots$

Bunlardan $14$ sayısı $3$ ile bölününce kalanı $2$ verir. Dolayısıyla:

$N \equiv 14 (mod 15)$

Şimdi üçüncü koşulu kullanalım. Yani:

$N = 15 k + 14$

Bunu $7$ ile bölümden kalan koşulunda yerine yazalım:

$15 k + 14 \equiv 1 (mod 7)$

Mod $7$ ’de sadeleştirelim:

$15 k + 14 \equiv 1 (mod 7) \Rightarrow 1 k + 0 \equiv 1 (mod 7)$

Buradan:

$k \equiv 1 (mod 7)$

Yani:

$k = 7 t + 1$

Bunu $N = 15 k + 14$ içinde kullanalım:

$N = 15 (7 t + 1) + 14 = 105 t + 29$

Sayı üç basamaklı ve $200$ ’den küçük olduğuna göre uygun $t$ değerini seçelim:

$t = 1 \Rightarrow N = 105 + 29 = 134$

Kontrol (kalanlar):

$\begin{matrix} 134 \div 3 \Rightarrow kalan = 2 \\ 134 \div 5 \Rightarrow kalan = 4 \\ 134 \div 7 \Rightarrow kalan = 1 \end{matrix}$

Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

$a$ ve $b$ rakamlarından oluşan iki basamaklı sayı $n$ olsun.
Bu sayının rakamları toplamı $11$ ve sayı, ters çevrilmiş halinden $27$ fazladır.
$n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Üç basamaklı bir doğal sayı $N$ ve rakamları ters çevrilince elde edilen sayı $T$ için aşağıdakiler sağlanıyor:
$N - T = 396$
$a + c = 2 b$ ( $a$ : yüzler, $b$ : onlar, $c$ : birler basamağı)
$N \equiv 0 (mod 8)$
Buna göre $N$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Önce şık A (864) değerinin doğru olup olmadığını, verilen koşullardan N ’yi bularak kontrol edelim. Üç basamaklı sayının basamakları: N = 100 a + 10 b + c Rakamları ters çevrilince: T = 100 c + 10 b + a Birinci koşulu kullanalım: N - T = 396 Yerine yazıp sadeleştirelim: ( 100 a + 10 b + c ) - ( 100 c + 10 b + a ) = 396 99 ( a - c ) = 396 a - c = 4 İkinci koşul: a + c = 2 b Burada a = c + 4 yazalım: ( c + 4 ) + c = 2 b 2 c + 4 = 2 b b = c + 2 Bu durumda sayı: N = 100 ( c + 4 ) + 10 ( c + 2 ) + c N = 111 c + 420 Üçüncü koşul (8 ile bölünebilme): N ≡ 0 ( mod 8 ) Yerine yazalım: 111 c + 420 ≡ 0 ( mod 8 ) Artık mod 8’de sadeleştirelim: 111 ≡ 7 ( mod 8 ) 420 ≡ 4 ( mod 8 ) 7 c + 4 ≡ 0 ( mod 8 ) Burada 7 ≡ - 1 ( mod 8 ) olduğundan: - c + 4 ≡ 0 ( mod 8 ) c ≡ 4 ( mod 8 ) Rakam olduğundan uygun değer: c = 4 Şimdi diğer basamakları bulalım: b = c + 2 = 6 a = c + 4 = 8 Dolayısıyla: N = 864 Sonuç: Doğru cevap B1009 ’dır.

Çözüm: Önce şık A (864) değerinin doğru olup olmadığını, verilen koşullardan N ’yi bularak kontrol edelim. Üç basamaklı sayının basamakları: N = 100 a + 10 b + c Rakamları ters çevrilince: T = 100 c + 10 b + a Birinci koşulu kullanalım: N - T = 396 Yerine yazıp sadeleştirelim: ( 100 a + 10 b + c ) - ( 100 c + 10 b + a ) = 396 99 ( a - c ) = 396 a - c = 4 İkinci koşul: a + c = 2 b Burada a = c + 4 yazalım: ( c + 4 ) + c = 2 b 2 c + 4 = 2 b b = c + 2 Bu durumda sayı: N = 100 ( c + 4 ) + 10 ( c + 2 ) + c N = 111 c + 420 Üçüncü koşul (8 ile bölünebilme): N ≡ 0 ( mod 8 ) Yerine yazalım: 111 c + 420 ≡ 0 ( mod 8 ) Artık mod 8’de sadeleştirelim: 111 ≡ 7 ( mod 8 ) 420 ≡ 4 ( mod 8 ) 7 c + 4 ≡ 0 ( mod 8 ) Burada 7 ≡ - 1 ( mod 8 ) olduğundan: - c + 4 ≡ 0 ( mod 8 ) c ≡ 4 ( mod 8 ) Rakam olduğundan uygun değer: c = 4 Şimdi diğer basamakları bulalım: b = c + 2 = 6 a = c + 4 = 8 Dolayısıyla: N = 864 Sonuç: Doğru cevap B1009 ’dır.

Önce şık A (864) değerinin doğru olup olmadığını, verilen koşullardan N’yi bularak kontrol edelim.

Üç basamaklı sayının basamakları:

N = 100 a + 10 b + c

Rakamları ters çevrilince:

T = 100 c + 10 b + a

Birinci koşulu kullanalım:

N - T = 396

Yerine yazıp sadeleştirelim:

(100 a + 10 b + c) - (100 c + 10 b + a) = 396

99 (a - c) = 396

a - c = 4

İkinci koşul:

a + c = 2 b

Burada $a = c + 4$ yazalım:

(c + 4) + c = 2 b

2 c + 4 = 2 b

b = c + 2

Bu durumda sayı:

N = 100 (c + 4) + 10 (c + 2) + c

N = 111 c + 420

Üçüncü koşul (8 ile bölünebilme):

N \equiv 0 (mod 8)

Yerine yazalım:

111 c + 420 \equiv 0 (mod 8)

Artık mod 8’de sadeleştirelim:

111 \equiv 7 (mod 8)

420 \equiv 4 (mod 8)

7 c + 4 \equiv 0 (mod 8)

Burada $7 \equiv - 1 (mod 8)$ olduğundan:

- c + 4 \equiv 0 (mod 8)

c \equiv 4 (mod 8)

Rakam olduğundan uygun değer:

c = 4

Şimdi diğer basamakları bulalım:

b = c + 2 = 6

a = c + 4 = 8

Dolayısıyla:

N = 864

Sonuç: Doğru cevap A’dır.

10. SoruÇoktan Seçmeli

$N$ üç basamaklı bir doğal sayı olsun. $N$ sayısının yüzler, onlar ve birler basamakları sırasıyla $a$ , $b$ , $c$ olsun.
$N$ sayısı ile tersten yazılışının toplamı $1049$ ve $a$ ile $c$ arasındaki fark $3$ tür.
Buna göre $N$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Üç basamaklı sayı için basamak değerlerini yazalım. N = 100 a + 10 b + c Tersten yazılışı aşağıdaki gibidir. Tersten yazılışı = 100 c + 10 b + a Verilen toplam koşulunu denkleme dönüştürelim. ( 100 a + 10 b + c ) + ( 100 c + 10 b + a ) = 1049 Benzer terimleri toplayalım. 101 a + 20 b + 101 c = 1049 101 ( a + c ) + 20 b = 1049 Burada yirmiyle bölümden kalan üzerinden ilerleyelim. Çünkü yirmiyle çarpılan terim her zaman yirmiye tam bölünür. 101 ( a + c ) ≡ 1049 (mod 20 ) Çünkü yüz bir sayısı yirmiye göre bire denktir. 101 ≡ 1 (mod 20 ) O hâlde aşağıdaki sonuca ulaşırız. a + c ≡ 1049 ≡ 9 (mod 20 ) Basamaklar rakam olduğundan toplamları belirli bir aralıktadır; bu nedenle uygun değer aşağıdaki gibi tek seçenek olur. a + c = 9 Şimdi bu değeri ana denklemde yerine yazıp b ’yi bulalım. 101 ⋅ 9 + 20 b = 1049 909 + 20 b = 1049 20 b = 140 b = 7 Verilen ikinci koşul: yüzler ve birler basamağı farkı üç tür. Genelde bu tür sorularda yüzler basamağı daha büyük alınır, yani: a - c = 3 Bunu a+c=9 ile birlikte çözelim. a + c = 9 ve a - c = 3 2 a = 12 a = 6, c = 3 Buna göre sayı: N = 673 Kontrol edelim. 673 + 376 = 1049 Sonuç: Doğru seçenek C1162 şıkkıdır. Not: “Fark” ifadesi mutlak fark anlamında yorumlanırsa 673 ile birlikte 376 da koşulları sağlar; ancak şıklarda yalnız 673 bulunduğu için beklenen cevap C ’dır.

Çözüm: Üç basamaklı sayı için basamak değerlerini yazalım. N = 100 a + 10 b + c Tersten yazılışı aşağıdaki gibidir. Tersten yazılışı = 100 c + 10 b + a Verilen toplam koşulunu denkleme dönüştürelim. ( 100 a + 10 b + c ) + ( 100 c + 10 b + a ) = 1049 Benzer terimleri toplayalım. 101 a + 20 b + 101 c = 1049 101 ( a + c ) + 20 b = 1049 Burada yirmiyle bölümden kalan üzerinden ilerleyelim. Çünkü yirmiyle çarpılan terim her zaman yirmiye tam bölünür. 101 ( a + c ) ≡ 1049 (mod 20 ) Çünkü yüz bir sayısı yirmiye göre bire denktir. 101 ≡ 1 (mod 20 ) O hâlde aşağıdaki sonuca ulaşırız. a + c ≡ 1049 ≡ 9 (mod 20 ) Basamaklar rakam olduğundan toplamları belirli bir aralıktadır; bu nedenle uygun değer aşağıdaki gibi tek seçenek olur. a + c = 9 Şimdi bu değeri ana denklemde yerine yazıp b ’yi bulalım. 101 ⋅ 9 + 20 b = 1049 909 + 20 b = 1049 20 b = 140 b = 7 Verilen ikinci koşul: yüzler ve birler basamağı farkı üç tür. Genelde bu tür sorularda yüzler basamağı daha büyük alınır, yani: a - c = 3 Bunu a+c=9 ile birlikte çözelim. a + c = 9 ve a - c = 3 2 a = 12 a = 6, c = 3 Buna göre sayı: N = 673 Kontrol edelim. 673 + 376 = 1049 Sonuç: Doğru seçenek C1162 şıkkıdır. Not: “Fark” ifadesi mutlak fark anlamında yorumlanırsa 673 ile birlikte 376 da koşulları sağlar; ancak şıklarda yalnız 673 bulunduğu için beklenen cevap C ’dır.

Üç basamaklı sayı için basamak değerlerini yazalım.

N = 100 a + 10 b + c

Tersten yazılışı aşağıdaki gibidir.

Tersten yazılışı = 100 c + 10 b + a

Verilen toplam koşulunu denkleme dönüştürelim.

(100 a + 10 b + c) + (100 c + 10 b + a) = 1049

Benzer terimleri toplayalım.

101 a + 20 b + 101 c = 1049

101 (a + c) + 20 b = 1049

Burada yirmiyle bölümden kalan üzerinden ilerleyelim. Çünkü yirmiyle çarpılan terim her zaman yirmiye tam bölünür.

101 (a + c) \equiv 1049 (mod 20)

Çünkü yüz bir sayısı yirmiye göre bire denktir.

101 \equiv 1 (mod 20)

O hâlde aşağıdaki sonuca ulaşırız.

a + c \equiv 1049 \equiv 9 (mod 20)

Basamaklar rakam olduğundan toplamları belirli bir aralıktadır; bu nedenle uygun değer aşağıdaki gibi tek seçenek olur.

a + c = 9

Şimdi bu değeri ana denklemde yerine yazıp b’yi bulalım.

101 \cdot 9 + 20 b = 1049

909 + 20 b = 1049

20 b = 140

b = 7

Verilen ikinci koşul: yüzler ve birler basamağı farkı üçtür. Genelde bu tür sorularda yüzler basamağı daha büyük alınır, yani:

a - c = 3

Bunu a+c=9 ile birlikte çözelim.

a + c = 9 ve a - c = 3

2 a = 12

a = 6, c = 3

Buna göre sayı:

N = 673

Kontrol edelim.

673 + 376 = 1049

Sonuç: Doğru seçenek A şıkkıdır.

Not: “Fark” ifadesi mutlak fark anlamında yorumlanırsa 673 ile birlikte 376 da koşulları sağlar; ancak şıklarda yalnız 673 bulunduğu için beklenen cevap A’dır.

9. Sınıf Matematik Sayi Problemleri Testleri

9. Sınıf Sayı Problemleri Testleri

Problem Kurma Becerisi

9. Sınıf İçin Pratik Önerisi

9. Sınıf Matematik Sayi Problemleri Testleri

İki basamaklı bir sayı için rakamları toplamı $9$ ’dur. Bu sayının $2$ katı ile rakamları yer değiştirmiş halinin $3$ katının toplamı $234$ olduğuna göre sayı kaçtır?

Üç basamaklı $N$ sayısı için; $N + 198$ işlemi yapıldığında, elde edilen sayı $N$ sayısının rakamları ters çevrilmiş hâline eşit oluyor.
Ayrıca bu sayının yüzler basamağı ile onlar basamağı ardışık doğal sayılardır.
Buna göre $N$ kaçtır?

İki basamaklı bir sayının $4$ katının $9$ eksiği, sayının rakamları toplamının $15$ katına eşittir.
Bu sayı kaçtır?

İki basamaklı bir sayı $x$ olsun. Rakamları toplamı $9$ ve sayının $2$ katı ile rakamları yer değiştirmiş hâlinin toplamı $117$ olduğuna göre $x$ kaçtır?

Üç basamaklı doğal sayı $N$ için, basamakları ters çevrilmiş sayı $R$ olmak üzere
$N - R = 198$
ve basamakları toplamı $18$ olup
$N \equiv 5 (\mod 7)$
şartlarını sağlayan $N$ kaçtır?

Rakamları farklı bir $2$ basamaklı sayının $7$ katından, rakamları yer değiştirilerek elde edilen sayının $5$ katı çıkarılınca sonuç $67$ oluyor. Ayrıca sayının rakamları toplamı $11$ ise sayı kaçtır?

Üç basamaklı ve $200$ 'den küçük bir doğal sayı $N$ , $3$ ile bölündüğünde kalan $2$ , $5$ ile bölündüğünde kalan $4$ , $7$ ile bölündüğünde kalan $1$ oluyor. $N$ kaçtır?

$a$ ve $b$ rakamlarından oluşan iki basamaklı sayı $n$ olsun.
Bu sayının rakamları toplamı $11$ ve sayı, ters çevrilmiş halinden $27$ fazladır.
$n$ kaçtır?

Üç basamaklı bir doğal sayı $N$ ve rakamları ters çevrilince elde edilen sayı $T$ için aşağıdakiler sağlanıyor:
$N - T = 396$
$a + c = 2 b$ ( $a$ : yüzler, $b$ : onlar, $c$ : birler basamağı)
$N \equiv 0 (mod 8)$
Buna göre $N$ kaçtır?

$N$ üç basamaklı bir doğal sayı olsun. $N$ sayısının yüzler, onlar ve birler basamakları sırasıyla $a$ , $b$ , $c$ olsun.
$N$ sayısı ile tersten yazılışının toplamı $1049$ ve $a$ ile $c$ arasındaki fark $3$ tür.
Buna göre $N$ kaçtır?

9. Sınıf Sayı Problemleri Hakkında

9. Sınıf Matematik Sayi Problemleri Testleri

9. Sınıf Sayı Problemleri Testleri

Problem Kurma Becerisi

9. Sınıf İçin Pratik Önerisi

9. Sınıf Matematik Sayi Problemleri Testleri

İki basamaklı bir sayı için rakamları toplamı 9’dur. Bu sayının 2 katı ile rakamları yer değiştirmiş halinin 3 katının toplamı 234 olduğuna göre sayı kaçtır?

Üç basamaklı N sayısı için; N+198 işlemi yapıldığında, elde edilen sayı N sayısının rakamları ters çevrilmiş hâline eşit oluyor.Ayrıca bu sayının yüzler basamağı ile onlar basamağı ardışık doğal sayılardır.Buna göre N kaçtır?

İki basamaklı bir sayının 4 katının 9 eksiği, sayının rakamları toplamının 15 katına eşittir.Bu sayı kaçtır?

İki basamaklı bir sayı x olsun. Rakamları toplamı 9 ve sayının 2 katı ile rakamları yer değiştirmiş hâlinin toplamı 117 olduğuna göre x kaçtır?

Üç basamaklı doğal sayı N için, basamakları ters çevrilmiş sayı R olmak üzereN-R=198ve basamakları toplamı 18 olupN≡5(mod7)şartlarını sağlayan N kaçtır?

Rakamları farklı bir 2 basamaklı sayının 7 katından, rakamları yer değiştirilerek elde edilen sayının 5 katı çıkarılınca sonuç 67 oluyor. Ayrıca sayının rakamları toplamı 11 ise sayı kaçtır?

Üç basamaklı ve 200'den küçük bir doğal sayı N, 3 ile bölündüğünde kalan 2, 5 ile bölündüğünde kalan 4, 7 ile bölündüğünde kalan 1 oluyor. N kaçtır?

a ve b rakamlarından oluşan iki basamaklı sayı n olsun.Bu sayının rakamları toplamı 11 ve sayı, ters çevrilmiş halinden 27 fazladır.n kaçtır?

Üç basamaklı bir doğal sayı N ve rakamları ters çevrilince elde edilen sayı T için aşağıdakiler sağlanıyor:N-T=396a+c=2b(a: yüzler, b: onlar, c: birler basamağı)N≡0(mod 8)Buna göre N kaçtır?

N üç basamaklı bir doğal sayı olsun. N sayısının yüzler, onlar ve birler basamakları sırasıyla a, b, c olsun.N sayısı ile tersten yazılışının toplamı 1049 ve a ile c arasındaki fark 3 tür.Buna göre N kaçtır?

9. Sınıf Sayı Problemleri Hakkında

İki basamaklı bir sayı için rakamları toplamı $9$ ’dur. Bu sayının $2$ katı ile rakamları yer değiştirmiş halinin $3$ katının toplamı $234$ olduğuna göre sayı kaçtır?

Üç basamaklı $N$ sayısı için; $N + 198$ işlemi yapıldığında, elde edilen sayı $N$ sayısının rakamları ters çevrilmiş hâline eşit oluyor.
Ayrıca bu sayının yüzler basamağı ile onlar basamağı ardışık doğal sayılardır.
Buna göre $N$ kaçtır?

İki basamaklı bir sayının $4$ katının $9$ eksiği, sayının rakamları toplamının $15$ katına eşittir.
Bu sayı kaçtır?

İki basamaklı bir sayı $x$ olsun. Rakamları toplamı $9$ ve sayının $2$ katı ile rakamları yer değiştirmiş hâlinin toplamı $117$ olduğuna göre $x$ kaçtır?

Üç basamaklı doğal sayı $N$ için, basamakları ters çevrilmiş sayı $R$ olmak üzere
$N - R = 198$
ve basamakları toplamı $18$ olup
$N \equiv 5 (\mod 7)$
şartlarını sağlayan $N$ kaçtır?

Rakamları farklı bir $2$ basamaklı sayının $7$ katından, rakamları yer değiştirilerek elde edilen sayının $5$ katı çıkarılınca sonuç $67$ oluyor. Ayrıca sayının rakamları toplamı $11$ ise sayı kaçtır?

Üç basamaklı ve $200$ 'den küçük bir doğal sayı $N$ , $3$ ile bölündüğünde kalan $2$ , $5$ ile bölündüğünde kalan $4$ , $7$ ile bölündüğünde kalan $1$ oluyor. $N$ kaçtır?

$a$ ve $b$ rakamlarından oluşan iki basamaklı sayı $n$ olsun.
Bu sayının rakamları toplamı $11$ ve sayı, ters çevrilmiş halinden $27$ fazladır.
$n$ kaçtır?

Üç basamaklı bir doğal sayı $N$ ve rakamları ters çevrilince elde edilen sayı $T$ için aşağıdakiler sağlanıyor:
$N - T = 396$
$a + c = 2 b$ ( $a$ : yüzler, $b$ : onlar, $c$ : birler basamağı)
$N \equiv 0 (mod 8)$
Buna göre $N$ kaçtır?

$N$ üç basamaklı bir doğal sayı olsun. $N$ sayısının yüzler, onlar ve birler basamakları sırasıyla $a$ , $b$ , $c$ olsun.
$N$ sayısı ile tersten yazılışının toplamı $1049$ ve $a$ ile $c$ arasındaki fark $3$ tür.
Buna göre $N$ kaçtır?