Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif sayısı kaçtır?
Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif sayısı kaçtır?
Lütfen önce bir cevap seç.
Doğru cevap: C
şıkkıCnın doğru olup olmadığını kontrol edelim. Koşulları eşitlik/kongruans olarak yazalım: { N ≡ 1 (mod 5 ) N ≡ 3 (mod 7 ) rakam toplamı ( N ) = 10 İlk koşuldan N sayısını parametreleyelim: N = 5 k + 1 Bunu ikinci koşulda yerine koyup k için çözelim: 5 k + 1 ≡ 3 (mod 7 ) 5 k ≡ 2 (mod 7 ) Mod 7 ’de 5 ’in tersi 3 ’tür; çünkü: 5 ⋅ 3 = 15 ≡ 1 (mod 7 ) Her iki tarafı 3 ile çarpalım: k ≡ 2 ⋅ 3 = 6 (mod 7 ) O hâlde k şu biçimdedir: k = 7 t + 6 ( t tam sayı) Bunu N ’de yerine koyarsak: N = 5 ( 7 t + 6 ) + 1 = 35 t + 31 En küçük pozitif N için t değerlerini küçükten büyüğe deneriz ve rakamlar toplamının 10 olmasını isteriz: t = 0 ⇒ N = 35 ⋅ 0 + 31 = 31 3 + 1 = 4 t = 1 ⇒ N = 35 + 31 = 66 6 + 6 = 12 t = 2 ⇒ N = 70 + 31 = 101 1 + 0 + 1 = 2 t = 3 ⇒ N = 105 + 31 = 136 1 + 3 + 6 = 10 İlk kez rakamlar toplamı şartını sağlayan değer N için bulunduğundan, en küçük pozitif çözüm budur. Dolayısıyla şıkkıC1097 doğrudur: N = 136
- Çözüm: şıkkıCnın doğru olup olmadığını kontrol edelim. Koşulları eşitlik/kongruans olarak yazalım: { N ≡ 1 (mod 5 ) N ≡ 3 (mod 7 ) rakam toplamı ( N ) = 10 İlk koşuldan N sayısını parametreleyelim: N = 5 k + 1 Bunu ikinci koşulda yerine koyup k için çözelim: 5 k + 1 ≡ 3 (mod 7 ) 5 k ≡ 2 (mod 7 ) Mod 7 ’de 5 ’in tersi 3 ’tür; çünkü: 5 ⋅ 3 = 15 ≡ 1 (mod 7 ) Her iki tarafı 3 ile çarpalım: k ≡ 2 ⋅ 3 = 6 (mod 7 ) O hâlde k şu biçimdedir: k = 7 t + 6 ( t tam sayı) Bunu N ’de yerine koyarsak: N = 5 ( 7 t + 6 ) + 1 = 35 t + 31 En küçük pozitif N için t değerlerini küçükten büyüğe deneriz ve rakamlar toplamının 10 olmasını isteriz: t = 0 ⇒ N = 35 ⋅ 0 + 31 = 31 3 + 1 = 4 t = 1 ⇒ N = 35 + 31 = 66 6 + 6 = 12 t = 2 ⇒ N = 70 + 31 = 101 1 + 0 + 1 = 2 t = 3 ⇒ N = 105 + 31 = 136 1 + 3 + 6 = 10 İlk kez rakamlar toplamı şartını sağlayan değer N için bulunduğundan, en küçük pozitif çözüm budur. Dolayısıyla şıkkıC1097 doğrudur: N = 136
şıkkıC80nın doğru olup olmadığını kontrol edelim. Koşulları eşitlik/kongruans olarak yazalım:
İlk koşuldan N sayısını parametreleyelim:
Bunu ikinci koşulda yerine koyup k için çözelim:
Mod 7’de 5’in tersi 3’tür; çünkü:
Her iki tarafı 3 ile çarpalım:
O hâlde k şu biçimdedir:
Bunu N’de yerine koyarsak:
En küçük pozitif N için t değerlerini küçükten büyüğe deneriz ve rakamlar toplamının 10 olmasını isteriz:
İlk kez rakamlar toplamı şartını sağlayan değer N için bulunduğundan, en küçük pozitif çözüm budur. Dolayısıyla şıkkıC4258 doğrudur: