9. Sınıf Matematik Sayi Problemleri Testleri

Doğru cevap: B

Koşulları eşdeğer kongruensler olarak yazalım: n ≡ 5 ( mod 12 ) n ≡ 8 ( mod 15 ) n ≡ 13 ( mod 16 ) Birinci koşuldan n ’yi parametreleyelim: n = 12 a + 5 Bunu ikinci koşulda kullanalım: 12 a + 5 ≡ 8 ( mod 15 ) 12 a ≡ 3 ( mod 15 ) Ortak bölen ile sadeleştirelim: gcd ( 12, 15 ) = 3 4 a ≡ 1 ( mod 5 ) Buradan a ’yı bulalım. Mod 5 ’te 4 ’ün tersi yine 4 ’tür: 4 · 4 ≡ 1 ( mod 5 ) a ≡ 4 ( mod 5 ) a = 5 k + 4 Bunu n ifadesine geri yazalım: n = 12 ( 5 k + 4 ) + 5 n = 60 k + 53 n ≡ 53 ( mod 60 ) Şimdi üçüncü koşulu kullanalım: 60 k + 53 ≡ 13 ( mod 16 ) 60 k ≡ 13 - 53 ( mod 16 ) 60 k ≡ - 40 ( mod 16 ) Mod 16 ’da sadeleştirelim: 60 ≡ 12 ( mod 16 ) - 40 ≡ 8 ( mod 16 ) 12 k ≡ 8 ( mod 16 ) Ortak bölen ile sadeleştirelim: gcd ( 12, 16 ) = 4 3 k ≡ 2 ( mod 4 ) Mod 4 ’te 3 tersinir ve tersi yine 3 ’tür: 3 · 3 ≡ 1 ( mod 4 ) k ≡ 3 · 2 ( mod 4 ) k ≡ 6 ≡ 2 ( mod 4 ) k = 4 t + 2 Son olarak n: n = 60 ( 4 t + 2 ) + 53 n = 240 t + 173 En küçük pozitif değer için t ’yi sıfır alırız: t = 0 n = 173 Kontrol: 173 = 12 · 14 + 5 173 = 15 · 11 + 8 173 = 16 · 10 + 13 Dolayısıyla doğru cevap şık B ’dir.

1. Çözüm: Koşulları eşdeğer kongruensler olarak yazalım: n ≡ 5 ( mod 12 ) n ≡ 8 ( mod 15 ) n ≡ 13 ( mod 16 ) Birinci koşuldan n ’yi parametreleyelim: n = 12 a + 5 Bunu ikinci koşulda kullanalım: 12 a + 5 ≡ 8 ( mod 15 ) 12 a ≡ 3 ( mod 15 ) Ortak bölen ile sadeleştirelim: gcd ( 12, 15 ) = 3 4 a ≡ 1 ( mod 5 ) Buradan a ’yı bulalım. Mod 5 ’te 4 ’ün tersi yine 4 ’tür: 4 · 4 ≡ 1 ( mod 5 ) a ≡ 4 ( mod 5 ) a = 5 k + 4 Bunu n ifadesine geri yazalım: n = 12 ( 5 k + 4 ) + 5 n = 60 k + 53 n ≡ 53 ( mod 60 ) Şimdi üçüncü koşulu kullanalım: 60 k + 53 ≡ 13 ( mod 16 ) 60 k ≡ 13 - 53 ( mod 16 ) 60 k ≡ - 40 ( mod 16 ) Mod 16 ’da sadeleştirelim: 60 ≡ 12 ( mod 16 ) - 40 ≡ 8 ( mod 16 ) 12 k ≡ 8 ( mod 16 ) Ortak bölen ile sadeleştirelim: gcd ( 12, 16 ) = 4 3 k ≡ 2 ( mod 4 ) Mod 4 ’te 3 tersinir ve tersi yine 3 ’tür: 3 · 3 ≡ 1 ( mod 4 ) k ≡ 3 · 2 ( mod 4 ) k ≡ 6 ≡ 2 ( mod 4 ) k = 4 t + 2 Son olarak n: n = 60 ( 4 t + 2 ) + 53 n = 240 t + 173 En küçük pozitif değer için t ’yi sıfır alırız: t = 0 n = 173 Kontrol: 173 = 12 · 14 + 5 173 = 15 · 11 + 8 173 = 16 · 10 + 13 Dolayısıyla doğru cevap şık B ’dir.

Doğru cevap: A

Üç basamaklı sayı, yüzler basamağı a, onlar basamağı b, birler basamağı c olacak şekilde yazılsın. Bu durumda sayı ve tersi: N = 100 a + 10 b + c Ters = 100 c + 10 b + a 1. koşul: ters yazılınca sayı 198 artıyor. 100 c + 10 b + a = 100 a + 10 b + c + 198 Ortak terimleri sadeleştirip düzenleyelim: 100 c + a = 100 a + c + 198 99 c - 99 a = 198 99 ( c - a ) = 198 c - a = 2 Yani birler basamağı, yüzler basamağından 2 fazladır. 2. koşul: sayı 9 ile bölününce kalan 5. Bu, rakamlar toplamı ile aynı kalanı verir. a + b + c ≡ 5 ( mod   9 ) Burada c = a + 2 yazalım: a + b + ( a + 2 ) ≡ 5 ( mod   9 ) 2 a + b + 2 ≡ 5 ( mod   9 ) 2 a + b ≡ 3 ( mod   9 ) 3. koşul: sayı 8 ile tam bölünüyor. Şimdi yüzler basamağı a için olası değerleri deneriz. Çünkü c = a + 2 olduğundan a en fazla 7 olabilir. Her a için, b ≡ 3 - 2 a ( mod   9 ) olacak şekilde b bulunur; sonra oluşan sayı 8 ile bölünür mü kontrol edilir. Kontrollerin özeti: a c = a + 2 b ≡ 3 - 2 a ( mod   9 ) Oluşan sayı 8 ile bölünme 1 3 1 113 Hayır 2 4 8 284 Hayır 3 5 6 365 Hayır 4 6 4 446 Hayır 5 7 2 527 Hayır 6 8 0 608 Evet 7 9 7 779 Hayır Görüldüğü gibi koşulları sağlayan tek sayı 608 ’dir. Şimdi şıklardan A seçeneği olan 608 ’in koşulları sağladığını net biçimde doğrulayalım: Tersi 806 olup fark: 806 - 608 = 198 9 ile bölümden kalan: 608 ≡ 5 ( mod   9 ) 8 ile tam bölünme: 608 = 8 · 76 Sonuç olarak doğru cevap A şıkkı dır. N = 608

1. Çözüm: Üç basamaklı sayı, yüzler basamağı a, onlar basamağı b, birler basamağı c olacak şekilde yazılsın. Bu durumda sayı ve tersi: N = 100 a + 10 b + c Ters = 100 c + 10 b + a 1. koşul: ters yazılınca sayı 198 artıyor. 100 c + 10 b + a = 100 a + 10 b + c + 198 Ortak terimleri sadeleştirip düzenleyelim: 100 c + a = 100 a + c + 198 99 c - 99 a = 198 99 ( c - a ) = 198 c - a = 2 Yani birler basamağı, yüzler basamağından 2 fazladır. 2. koşul: sayı 9 ile bölününce kalan 5. Bu, rakamlar toplamı ile aynı kalanı verir. a + b + c ≡ 5 ( mod   9 ) Burada c = a + 2 yazalım: a + b + ( a + 2 ) ≡ 5 ( mod   9 ) 2 a + b + 2 ≡ 5 ( mod   9 ) 2 a + b ≡ 3 ( mod   9 ) 3. koşul: sayı 8 ile tam bölünüyor. Şimdi yüzler basamağı a için olası değerleri deneriz. Çünkü c = a + 2 olduğundan a en fazla 7 olabilir. Her a için, b ≡ 3 - 2 a ( mod   9 ) olacak şekilde b bulunur; sonra oluşan sayı 8 ile bölünür mü kontrol edilir. Kontrollerin özeti: a c = a + 2 b ≡ 3 - 2 a ( mod   9 ) Oluşan sayı 8 ile bölünme 1 3 1 113 Hayır 2 4 8 284 Hayır 3 5 6 365 Hayır 4 6 4 446 Hayır 5 7 2 527 Hayır 6 8 0 608 Evet 7 9 7 779 Hayır Görüldüğü gibi koşulları sağlayan tek sayı 608 ’dir. Şimdi şıklardan A seçeneği olan 608 ’in koşulları sağladığını net biçimde doğrulayalım: Tersi 806 olup fark: 806 - 608 = 198 9 ile bölümden kalan: 608 ≡ 5 ( mod   9 ) 8 ile tam bölünme: 608 = 8 · 76 Sonuç olarak doğru cevap A şıkkı dır. N = 608

Doğru cevap: B

Soruda iki basamaklı sayı için onlar basamağı a, birler basamağı b olsun. Sayı = 10 a + b Rakamları yer değiştirilmiş sayı = 10 b + a Verilen “rakamları toplamı 9” koşulunu yazalım: a + b = 9 “Bu sayının iki katı, rakamları yer değiştirilmiş sayının 9 fazlasına eşittir” koşulunu denklemleştirelim: 2 ( 10 a + b ) = ( 10 b + a ) + 9 Parantezleri açıp düzenleyelim: 20 a + 2 b = 10 b + a + 9 19 a - 8 b = 9 Birinci denklemden b ’yi çekelim: b = 9 - a Bunu ikinci denklemde yerine yazalım: 19 a - 8 ( 9 - a ) = 9 19 a - 72 + 8 a = 9 27 a = 81 a = 3 b ’yi bulalım: b = 9 - 3 = 6 Sayı: 10 a + b = 10 × 3 + 6 = 36 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır. 36

1. Çözüm: Soruda iki basamaklı sayı için onlar basamağı a, birler basamağı b olsun. Sayı = 10 a + b Rakamları yer değiştirilmiş sayı = 10 b + a Verilen “rakamları toplamı 9” koşulunu yazalım: a + b = 9 “Bu sayının iki katı, rakamları yer değiştirilmiş sayının 9 fazlasına eşittir” koşulunu denklemleştirelim: 2 ( 10 a + b ) = ( 10 b + a ) + 9 Parantezleri açıp düzenleyelim: 20 a + 2 b = 10 b + a + 9 19 a - 8 b = 9 Birinci denklemden b ’yi çekelim: b = 9 - a Bunu ikinci denklemde yerine yazalım: 19 a - 8 ( 9 - a ) = 9 19 a - 72 + 8 a = 9 27 a = 81 a = 3 b ’yi bulalım: b = 9 - 3 = 6 Sayı: 10 a + b = 10 × 3 + 6 = 36 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır. 36

Doğru cevap: B

Verilen koşullar: N Rakamları farklı, beş basamaklı en küçük doğal sayı Rakamlar toplamı = 24 12 ile tam bölünebilir On iki ile bölünebilme için: 12 = 3 × 4 Dolayısıyla N hem 3 hem 4 ile bölünmelidir. Rakamlar toplamı koşulu zaten üçe bölünebilirliği sağlar: 24 = 3 × 8 Bu yüzden N sayısı 3 ile bölünebilir. Geriye yalnızca dörde bölünebilme şartı kalır: Bir sayının 4 ile bölünebilmesi için son iki basamağının 4 ile bölünebilmesi gerekir. En küçük beş basamaklı ve rakamları farklı sayıyı bulmak için soldan başlayarak en küçük rakamları seçeriz: İlk basamak en küçük sıfır olmayan rakam: 1 İkinci basamak en küçük farklı rakam: 0 N = 1 0 a b c Rakamlar toplamı: 1 + 0 + a + b + c = 24 a + b + c = 23 Sayıyı küçültmek için önce yüzler basamağı olan a en küçük olmalı. Ancak b ve c birer rakam olduğundan: b ≤ 9 c ≤ 9 İki farklı rakamın alabileceği en büyük toplam 9 + 8 = 17 Bu nedenle a = 2 için b + c = 21 gibi imkânsız toplamlar çıkar; benzer biçimde a ≤ 5 olamaz. Şimdi olası en küçük değerlerden ilerleyelim. Durum a = 6: b + c = 17 Uygun rakam çiftleri ( 8, 9 ) ve ( 9, 8 ) olur. Son iki basamak 89 veya 98 olur; ikisi de 4 ile bölünmez. 89 = 4 × 22 + 1 98 = 4 × 24 + 2 Durum a = 7: b + c = 16 Olası toplamlar için ( 7, 9 ) ve ( 9, 7 ) gerekir; fakat 7 zaten kullanıldığı için rakamlar farklı olamaz. Durum a = 8: b + c = 15 Uygun çiftler ( 6, 9 ) ve ( 9, 6 ) olabilir. Son iki basamağın 4 ile bölünebilmesi için 96 seçilir. 96 = 4 × 24 N = 10896 Kontrol: 1 + 0 + 8 + 9 + 6 = 24 10896 = 12 × 908 Rakamlar farklıdır ve sayı 12 ile tam bölünür. Sonuç: Doğru seçenek B N = 10896

1. Çözüm: Verilen koşullar: N Rakamları farklı, beş basamaklı en küçük doğal sayı Rakamlar toplamı = 24 12 ile tam bölünebilir On iki ile bölünebilme için: 12 = 3 × 4 Dolayısıyla N hem 3 hem 4 ile bölünmelidir. Rakamlar toplamı koşulu zaten üçe bölünebilirliği sağlar: 24 = 3 × 8 Bu yüzden N sayısı 3 ile bölünebilir. Geriye yalnızca dörde bölünebilme şartı kalır: Bir sayının 4 ile bölünebilmesi için son iki basamağının 4 ile bölünebilmesi gerekir. En küçük beş basamaklı ve rakamları farklı sayıyı bulmak için soldan başlayarak en küçük rakamları seçeriz: İlk basamak en küçük sıfır olmayan rakam: 1 İkinci basamak en küçük farklı rakam: 0 N = 1 0 a b c Rakamlar toplamı: 1 + 0 + a + b + c = 24 a + b + c = 23 Sayıyı küçültmek için önce yüzler basamağı olan a en küçük olmalı. Ancak b ve c birer rakam olduğundan: b ≤ 9 c ≤ 9 İki farklı rakamın alabileceği en büyük toplam 9 + 8 = 17 Bu nedenle a = 2 için b + c = 21 gibi imkânsız toplamlar çıkar; benzer biçimde a ≤ 5 olamaz. Şimdi olası en küçük değerlerden ilerleyelim. Durum a = 6: b + c = 17 Uygun rakam çiftleri ( 8, 9 ) ve ( 9, 8 ) olur. Son iki basamak 89 veya 98 olur; ikisi de 4 ile bölünmez. 89 = 4 × 22 + 1 98 = 4 × 24 + 2 Durum a = 7: b + c = 16 Olası toplamlar için ( 7, 9 ) ve ( 9, 7 ) gerekir; fakat 7 zaten kullanıldığı için rakamlar farklı olamaz. Durum a = 8: b + c = 15 Uygun çiftler ( 6, 9 ) ve ( 9, 6 ) olabilir. Son iki basamağın 4 ile bölünebilmesi için 96 seçilir. 96 = 4 × 24 N = 10896 Kontrol: 1 + 0 + 8 + 9 + 6 = 24 10896 = 12 × 908 Rakamlar farklıdır ve sayı 12 ile tam bölünür. Sonuç: Doğru seçenek B N = 10896

Doğru cevap: A

Üç basamaklı sayının rakamlarını sırasıyla yüzler basamağı a, onlar basamağı b, birler basamağı c olacak şekilde tanımlayalım. N = 100 a + 10 b + c Rakamlar toplamı koşulundan: a + b + c = 12 Rakamları ters çevrilince oluşan sayı: 100 c + 10 b + a Verilen koşula göre ters çevrilmiş sayı, N sayısından iki yüz eksi iki fazla olduğundan: 100 c + 10 b + a = N + 198 Burada N yerine açılımı yazalım ve sadeleştirelim: 100 c + 10 b + a = 100 a + 10 b + c + 198 Onlar basamakları gider; kalanları toplayalım: 99 c - 99 a = 198 Her iki tarafı doksan dokuza bölelim: c - a = 2 Buradan: c = a + 2 Bunu rakamlar toplamı denkleminde yerine yazalım: a + b + ( a + 2 ) = 12 Düzenleyelim: 2 a + b = 10 Buradan: b = 10 - 2 a Şimdi N sayısını yalnızca a cinsinden yazalım: N = 100 a + 10 ( 10 - 2 a ) + ( a + 2 ) Açalım ve toplayalım: N = 81 a + 102 Verilen bölüm-kalan koşulu: N ≡ 3 ( mod   7 ) N yerine 81a+102 yazıp mod alalım: 81 a + 102 ≡ 3 ( mod   7 ) Şimdi katsayıları yediye göre sadeleştirelim: 4 a + 4 ≡ 3 ( mod   7 ) Her iki taraftan dört çıkaralım: 4 a ≡ 6 ( mod   7 ) Dördün yediye göre tersi iki olduğundan (çünkü 4·2 yediye göre bir yapar), iki ile çarpalım: a ≡ 12 ≡ 5 ( mod   7 ) Yüzler basamağı olduğundan a bir ile dokuz arasında olmalı; ayrıca b=10-2a bir rakam olmalı. Bu koşullarda uygun değer: a = 5 Buna göre b ve c: b = 10 - 2 ⋅ 5 = 0 c = a + 2 = 7 Son olarak N: N = 100 ⋅ 5 + 10 ⋅ 0 + 7 = 507 Seçeneklerde bu değer A şıkkıdır; dolayısıyla A doğru cevaptır.

1. Çözüm: Üç basamaklı sayının rakamlarını sırasıyla yüzler basamağı a, onlar basamağı b, birler basamağı c olacak şekilde tanımlayalım. N = 100 a + 10 b + c Rakamlar toplamı koşulundan: a + b + c = 12 Rakamları ters çevrilince oluşan sayı: 100 c + 10 b + a Verilen koşula göre ters çevrilmiş sayı, N sayısından iki yüz eksi iki fazla olduğundan: 100 c + 10 b + a = N + 198 Burada N yerine açılımı yazalım ve sadeleştirelim: 100 c + 10 b + a = 100 a + 10 b + c + 198 Onlar basamakları gider; kalanları toplayalım: 99 c - 99 a = 198 Her iki tarafı doksan dokuza bölelim: c - a = 2 Buradan: c = a + 2 Bunu rakamlar toplamı denkleminde yerine yazalım: a + b + ( a + 2 ) = 12 Düzenleyelim: 2 a + b = 10 Buradan: b = 10 - 2 a Şimdi N sayısını yalnızca a cinsinden yazalım: N = 100 a + 10 ( 10 - 2 a ) + ( a + 2 ) Açalım ve toplayalım: N = 81 a + 102 Verilen bölüm-kalan koşulu: N ≡ 3 ( mod   7 ) N yerine 81a+102 yazıp mod alalım: 81 a + 102 ≡ 3 ( mod   7 ) Şimdi katsayıları yediye göre sadeleştirelim: 4 a + 4 ≡ 3 ( mod   7 ) Her iki taraftan dört çıkaralım: 4 a ≡ 6 ( mod   7 ) Dördün yediye göre tersi iki olduğundan (çünkü 4·2 yediye göre bir yapar), iki ile çarpalım: a ≡ 12 ≡ 5 ( mod   7 ) Yüzler basamağı olduğundan a bir ile dokuz arasında olmalı; ayrıca b=10-2a bir rakam olmalı. Bu koşullarda uygun değer: a = 5 Buna göre b ve c: b = 10 - 2 ⋅ 5 = 0 c = a + 2 = 7 Son olarak N: N = 100 ⋅ 5 + 10 ⋅ 0 + 7 = 507 Seçeneklerde bu değer A şıkkıdır; dolayısıyla A doğru cevaptır.

Doğru cevap: B

Üç basamaklı sayı için rakamları a, b, c olsun. Buna göre N = 100 a + 10 b + c R = 100 c + 10 b + a Verilen denklemden başlayalım: 7 N - R = 594 Yerine yazıp açalım: 7 ( 100 a + 10 b + c ) - ( 100 c + 10 b + a ) = 594 699 a + 60 b - 93 c = 594 Her tarafı 3'e bölelim: 233 a + 20 b - 31 c = 198 Diğer koşul: a + b + c = 12 Buradan b = 12 - a - c bulup yerine yazalım: 233 a + 20 ( 12 - a - c ) - 31 c = 198 213 a + 240 - 51 c = 198 213 a - 51 c = - 42 Her tarafı 3'e bölelim: 71 a - 17 c = - 14 Buradan 71 a = 17 c - 14 elde edilir. Mod 17 ile düşünelim: 71 ≡ 3 (mod 17) 71 a ≡ - 14 (mod 17) 3 a ≡ 3 (mod 17) Buradan a ≡ 1 (mod 17) olur. Üç basamaklı sayıda 1 ≤ a ≤ 9 olduğundan a = 1 Şimdi 71 a - 17 c = - 14 denkleminde a = 1 yazalım: 71 - 17 c = - 14 85 = 17 c c = 5 Son olarak b = 12 - a - c için: b = 12 - 1 - 5 = 6 Buna göre sayı N = 100 a + 10 b + c = 100 × 1 + 10 × 6 + 5 = 165 Doğru seçenek: B

1. Çözüm: Üç basamaklı sayı için rakamları a, b, c olsun. Buna göre N = 100 a + 10 b + c R = 100 c + 10 b + a Verilen denklemden başlayalım: 7 N - R = 594 Yerine yazıp açalım: 7 ( 100 a + 10 b + c ) - ( 100 c + 10 b + a ) = 594 699 a + 60 b - 93 c = 594 Her tarafı 3'e bölelim: 233 a + 20 b - 31 c = 198 Diğer koşul: a + b + c = 12 Buradan b = 12 - a - c bulup yerine yazalım: 233 a + 20 ( 12 - a - c ) - 31 c = 198 213 a + 240 - 51 c = 198 213 a - 51 c = - 42 Her tarafı 3'e bölelim: 71 a - 17 c = - 14 Buradan 71 a = 17 c - 14 elde edilir. Mod 17 ile düşünelim: 71 ≡ 3 (mod 17) 71 a ≡ - 14 (mod 17) 3 a ≡ 3 (mod 17) Buradan a ≡ 1 (mod 17) olur. Üç basamaklı sayıda 1 ≤ a ≤ 9 olduğundan a = 1 Şimdi 71 a - 17 c = - 14 denkleminde a = 1 yazalım: 71 - 17 c = - 14 85 = 17 c c = 5 Son olarak b = 12 - a - c için: b = 12 - 1 - 5 = 6 Buna göre sayı N = 100 a + 10 b + c = 100 × 1 + 10 × 6 + 5 = 165 Doğru seçenek: B

Doğru cevap: B

İki basamaklı sayı için onlar basamağına a, birler basamağına b diyelim. N = 10 a + b Rakamları toplamı = a + b Birinci koşula göre, sayı rakamları toplamına bölündüğünde bölüm ve kalan ilişkisi: N = 7 ( a + b ) + 3 Şimdi N yerine 10a+b yazıp düzenleyelim: 10 a + b = 7 a + 7 b + 3 3 a - 6 b = 3 a - 2 b = 1 İkinci koşul: rakamları yer değişince oluşan sayı 10b+a olur ve bu sayı N 'den belirli bir miktar eksiktir: 10 b + a = N - 18 Burada da N=10a+b yazalım: 10 b + a = 10 a + b - 18 9 b - 9 a = - 18 b - a = - 2 a - b = 2 Şimdi iki denklemi birlikte çözelim: a - 2 b = 1 a - b = 2 a-b=2 den a=b+2. Bunu diğer denklemde yerine yazalım: ( b + 2 ) - 2 b = 1 2 - b = 1 b = 1 a = b + 2 = 3 Buna göre sayı: N = 10 a + b = 10 × 3 + 1 = 31 Doğru cevap B şıkkıdır.

1. Çözüm: İki basamaklı sayı için onlar basamağına a, birler basamağına b diyelim. N = 10 a + b Rakamları toplamı = a + b Birinci koşula göre, sayı rakamları toplamına bölündüğünde bölüm ve kalan ilişkisi: N = 7 ( a + b ) + 3 Şimdi N yerine 10a+b yazıp düzenleyelim: 10 a + b = 7 a + 7 b + 3 3 a - 6 b = 3 a - 2 b = 1 İkinci koşul: rakamları yer değişince oluşan sayı 10b+a olur ve bu sayı N 'den belirli bir miktar eksiktir: 10 b + a = N - 18 Burada da N=10a+b yazalım: 10 b + a = 10 a + b - 18 9 b - 9 a = - 18 b - a = - 2 a - b = 2 Şimdi iki denklemi birlikte çözelim: a - 2 b = 1 a - b = 2 a-b=2 den a=b+2. Bunu diğer denklemde yerine yazalım: ( b + 2 ) - 2 b = 1 2 - b = 1 b = 1 a = b + 2 = 3 Buna göre sayı: N = 10 a + b = 10 × 3 + 1 = 31 Doğru cevap B şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Doğru seçenek kontrolü: Koşulları sağlayan sayı bulununca A seçeneği olduğu görülecek. Üç basamaklı sayıyı basamaklarına ayıralım: N = 100 a + 10 b + c Rakamları ters yazılınca elde edilen sayı: T = 100 c + 10 b + a İkinci koşuldan yararlanalım: T − N = 594 Yerine yazıp sadeleştirelim: 100 c + 10 b + a − 100 a + 10 b + c = 594 Ortadaki basamaklar gider: 99 c − a = 594 Her iki tarafı doksan dokuza bölelim: c − a = 6 Buradan: c = a + 6 Birinci koşulda rakamlar toplamı a+b+c olur: N = 4 a + b + c + 198 Şimdi N yerine basamak açılımını yazalım: 100 a + 10 b + c = 4 a + b + c + 198 Düzenleyelim: 96 a + 6 b − 3 c = 198 Her tarafı üçe bölelim: 32 a + 2 b − c = 66 Burada c=a+6 yazalım: 32 a + 2 b − a + 6 = 66 Sadeleştirelim: 31 a + 2 b = 72 Buradan b için: 2 b = 72 − 31 a Üç basamaklı olduğundan a bir ile dokuz arasında; ayrıca c=a+6 olduğundan a en fazla üç olabilir. Olasılıkları deneyelim: Durum (a=1): 2 b = 72 − 31 = 41 Bu mümkün değil çünkü b tam sayı çıkmıyor. Durum (a=2): 2 b = 72 − 62 = 10 b = 5 c = a + 6 = 8 Bu durumda sayı: N = 258 Hızlı kontrol: 4 2 + 5 + 8 + 198 = 4 ⋅ 15 + 198 = 60 + 198 = 258 852 − 258 = 594 Sonuç: Doğru cevap A.

1. Çözüm: Doğru seçenek kontrolü: Koşulları sağlayan sayı bulununca A seçeneği olduğu görülecek. Üç basamaklı sayıyı basamaklarına ayıralım: N = 100 a + 10 b + c Rakamları ters yazılınca elde edilen sayı: T = 100 c + 10 b + a İkinci koşuldan yararlanalım: T − N = 594 Yerine yazıp sadeleştirelim: 100 c + 10 b + a − 100 a + 10 b + c = 594 Ortadaki basamaklar gider: 99 c − a = 594 Her iki tarafı doksan dokuza bölelim: c − a = 6 Buradan: c = a + 6 Birinci koşulda rakamlar toplamı a+b+c olur: N = 4 a + b + c + 198 Şimdi N yerine basamak açılımını yazalım: 100 a + 10 b + c = 4 a + b + c + 198 Düzenleyelim: 96 a + 6 b − 3 c = 198 Her tarafı üçe bölelim: 32 a + 2 b − c = 66 Burada c=a+6 yazalım: 32 a + 2 b − a + 6 = 66 Sadeleştirelim: 31 a + 2 b = 72 Buradan b için: 2 b = 72 − 31 a Üç basamaklı olduğundan a bir ile dokuz arasında; ayrıca c=a+6 olduğundan a en fazla üç olabilir. Olasılıkları deneyelim: Durum (a=1): 2 b = 72 − 31 = 41 Bu mümkün değil çünkü b tam sayı çıkmıyor. Durum (a=2): 2 b = 72 − 62 = 10 b = 5 c = a + 6 = 8 Bu durumda sayı: N = 258 Hızlı kontrol: 4 2 + 5 + 8 + 198 = 4 ⋅ 15 + 198 = 60 + 198 = 258 852 − 258 = 594 Sonuç: Doğru cevap A.

Doğru cevap: C

Verilen koşulları eşdeğer biçimde kongruens olarak yazalım: n ≡ 3 ( mod 7 ) n ≡ 5 ( mod 9 ) 100 < n < 200 Önce ilk kongruensten n ’yi parametreleyelim: n = 7 k + 3 Bunu ikinci koşula yazalım: 7 k + 3 ≡ 5 ( mod 9 ) Her iki taraftan 3 çıkaralım: 7 k ≡ 2 ( mod 9 ) Şimdi 7 ’nin 9 ’a göre tersini bulalım. Çünkü 7 ⋅ 4 = 28 ≡ 1 ( mod 9 ) Bu yüzden her iki tarafı 4 ile çarparsak: k ≡ 8 ( mod 9 ) O hâlde k = 9 t + 8 Bunu n=7k+3 ’te yerine yazalım: n = 7 ( 9 t + 8 ) + 3 = 63 t + 59 Aralık koşulunu uygulayalım: 100 < 63 t + 59 < 200 Uygun t değerlerini deneyelim: t = 1 ⇒ n = 63 + 59 = 122 t = 2 ⇒ n = 126 + 59 = 185 Şimdi “rakamları toplamı 5 ile kalansız bölünebiliyor” koşulunu kontrol edelim: 1 + 2 + 2 = 5 ⇒ 5 ≡ 0 ( mod 5 ) 1 + 8 + 5 = 14 ⇒ 14 ≢ 0 ( mod 5 ) Bu nedenle tek uygun değer 122 ’dir. Yani doğru seçenek: n = 122 Dolayısıyla “C” şıkkı doğrudur.

1. Çözüm: Verilen koşulları eşdeğer biçimde kongruens olarak yazalım: n ≡ 3 ( mod 7 ) n ≡ 5 ( mod 9 ) 100 < n < 200 Önce ilk kongruensten n ’yi parametreleyelim: n = 7 k + 3 Bunu ikinci koşula yazalım: 7 k + 3 ≡ 5 ( mod 9 ) Her iki taraftan 3 çıkaralım: 7 k ≡ 2 ( mod 9 ) Şimdi 7 ’nin 9 ’a göre tersini bulalım. Çünkü 7 ⋅ 4 = 28 ≡ 1 ( mod 9 ) Bu yüzden her iki tarafı 4 ile çarparsak: k ≡ 8 ( mod 9 ) O hâlde k = 9 t + 8 Bunu n=7k+3 ’te yerine yazalım: n = 7 ( 9 t + 8 ) + 3 = 63 t + 59 Aralık koşulunu uygulayalım: 100 < 63 t + 59 < 200 Uygun t değerlerini deneyelim: t = 1 ⇒ n = 63 + 59 = 122 t = 2 ⇒ n = 126 + 59 = 185 Şimdi “rakamları toplamı 5 ile kalansız bölünebiliyor” koşulunu kontrol edelim: 1 + 2 + 2 = 5 ⇒ 5 ≡ 0 ( mod 5 ) 1 + 8 + 5 = 14 ⇒ 14 ≢ 0 ( mod 5 ) Bu nedenle tek uygun değer 122 ’dir. Yani doğru seçenek: n = 122 Dolayısıyla “C” şıkkı doğrudur.

Doğru cevap: A

Sayı $x$ olsun. $3x+5=29$, $3x=24$, $x=8$.

1. Çözüm: Sayı $x$ olsun. $3x+5=29$, $3x=24$, $x=8$.