9. Sınıf Matematik Hareket Hız Problemleri Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

Bir motorlu tekne, $A$ noktasından $B$ noktasına akıntıya karşı gidip aynı yolu akıntı yönünde geri dönüyor.
İki nokta arası uzaklık $48 km$ , akıntı hızı $2 km/saat$ ve gidiş-dönüş toplam süresi $8 saat$ olduğuna göre, teknenin durgun sudaki hızı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilenleri blok olarak yazalım: d = 48 km u = 2 km/saat T = 8 saat Teknenin durgun sudaki hızını tanımlayalım: v : teknenin durgun sudaki hızı Akıntıya karşı (gidiş) ve akıntı yönünde (dönüş) yer hızları: v - u v + u Süreleri yazıp toplam süreye eşitleyelim: d v - u + d v + u = T Verileri yerine yazalım: 48 v - 2 + 48 v + 2 = 8 Paydaları birleştirelim: 48 ( v + 2 ( v - 2 ) ( v + 2 ) + v - 2 ( v - 2 ) ( v + 2 ) ) = 8 Üstleri toplayıp sadeleştirelim: 48 ( ( v + 2 ) + ( v - 2 ) v ² - 4 ) = 8 48 ( 2 v v ² - 4 ) = 8 Denklemi çözelim: 96 v v ² - 4 = 8 96 v = 8 ( v ² - 4 ) 8 v ² - 96 v - 32 = 0 v ² - 12 v - 4 = 0 Kökleri bulalım: v = 12 ± 144 + 16 2 v = 12 ± 160 2 v = 12 ± 4 10 2 v = 6 ± 2 10 Hız pozitif olmalı ve akıntıya karşı gidişte yer hızı sıfırdan büyük olmalı: v > 2 Bu nedenle uygun kök: v = 6 + 2 10 km/saat Sonuç: Doğru seçenek C, yani verilen cevap C doğrudur. A B akıntı yönü gidiş: v−u dönüş: v+u

Çözüm: Verilenleri blok olarak yazalım: d = 48 km u = 2 km/saat T = 8 saat Teknenin durgun sudaki hızını tanımlayalım: v : teknenin durgun sudaki hızı Akıntıya karşı (gidiş) ve akıntı yönünde (dönüş) yer hızları: v - u v + u Süreleri yazıp toplam süreye eşitleyelim: d v - u + d v + u = T Verileri yerine yazalım: 48 v - 2 + 48 v + 2 = 8 Paydaları birleştirelim: 48 ( v + 2 ( v - 2 ) ( v + 2 ) + v - 2 ( v - 2 ) ( v + 2 ) ) = 8 Üstleri toplayıp sadeleştirelim: 48 ( ( v + 2 ) + ( v - 2 ) v ² - 4 ) = 8 48 ( 2 v v ² - 4 ) = 8 Denklemi çözelim: 96 v v ² - 4 = 8 96 v = 8 ( v ² - 4 ) 8 v ² - 96 v - 32 = 0 v ² - 12 v - 4 = 0 Kökleri bulalım: v = 12 ± 144 + 16 2 v = 12 ± 160 2 v = 12 ± 4 10 2 v = 6 ± 2 10 Hız pozitif olmalı ve akıntıya karşı gidişte yer hızı sıfırdan büyük olmalı: v > 2 Bu nedenle uygun kök: v = 6 + 2 10 km/saat Sonuç: Doğru seçenek C, yani verilen cevap C doğrudur. A B akıntı yönü gidiş: v−u dönüş: v+u

Verilenleri blok olarak yazalım:

d = 48 km

u = 2 km/saat

T = 8 saat

Teknenin durgun sudaki hızını tanımlayalım:

v : teknenin durgun sudaki hızı

Akıntıya karşı (gidiş) ve akıntı yönünde (dönüş) yer hızları:

v - u

v + u

Süreleri yazıp toplam süreye eşitleyelim:

\frac{d}{v - u} + \frac{d}{v + u} = T

Verileri yerine yazalım:

\frac{48}{v - 2} + \frac{48}{v + 2} = 8

Paydaları birleştirelim:

48 (\frac{v + 2}{(v - 2) (v + 2)} + \frac{v - 2}{(v - 2) (v + 2)}) = 8

Üstleri toplayıp sadeleştirelim:

48 (\frac{(v + 2) + (v - 2)}{v ² - 4}) = 8

48 (\frac{2 v}{v ² - 4}) = 8

Denklemi çözelim:

\frac{96 v}{v ² - 4} = 8

96 v = 8 (v ² - 4)

8 v ² - 96 v - 32 = 0

v ² - 12 v - 4 = 0

Kökleri bulalım:

v = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 16}}{2}

v = \frac{12 \pm \sqrt{160}}{2}

v = \frac{12 \pm 4 \sqrt{10}}{2}

v = 6 \pm 2 \sqrt{10}

Hız pozitif olmalı ve akıntıya karşı gidişte yer hızı sıfırdan büyük olmalı:

v > 2

Bu nedenle uygun kök:

v = 6 + 2 \sqrt{10} km/saat

Sonuç: Doğru seçenek C, yani verilen cevap C doğrudur.

2. SoruÇoktan Seçmeli

$A$ ve $B$ şehirleri arasında aynı anda karşılıklı gidilecek bir yolda; $A$ 'dan çıkan araçın hızı $80 km/sa$ , $B$ 'den çıkan aracın hızı $70 km/sa$ olsun.
$B$ 'den çıkan araç, $A$ 'dan çıkan araçtan $30 dakika$ sonra harekete başlıyor ve iki araç karşılaştıktan sonra durmadan yollarına devam ediyor.
Karşılaşma anından itibaren $A$ 'dan çıkan araç $B$ 'ye, $B$ 'den çıkan araç $A$ 'ya varıyor ve $A$ 'dan çıkan araç $1 saat$ daha erken varıyorsa, $A B$ kaç $km$ 'dir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Hızlar ve gecikmeyi saat cinsinden yazalım. İkinci araç yarım saat geç başlıyor. v 1 = 80 km/sa, v 2 = 70 km/sa, g = 1 2 sa Şehirler arası uzaklık D, karşılaşma anına kadar (birinci aracın çıkışından itibaren) geçen süre t saat olsun. İkinci araç geç çıktığı için karşılaşmaya kadar t − g saat yol alır. D = v 1 t + v 2 ( t - g ) Sayıları yerine yazalım. D = 80 t + 70 ( t - 1 2 ) = 150 t - 35 Karşılaşmadan sonra araçlar durmadan devam ediyor. Karşılaşma noktasından sonra birinci aracın gideceği yol, ikinci aracın karşılaşmaya kadar aldığı yoldur; ikinci aracın gideceği yol da birinci aracın karşılaşmaya kadar aldığı yoldur. s 1 = v 1 t, s 2 = v 2 ( t - g ), s 1 + s 2 = D Karşılaşmadan sonra kalan süreler: T 1 = s 2 v 1 = v 2 v 1 ( t - g ) = 70 80 ( t - 1 2 ) T 2 = s 1 v 2 = v 1 v 2 t = 80 70 t Birinci araç karşılaşmadan itibaren 1 saat daha erken vardığına göre: T 2 - T 1 = 1 Denklemi çözelim. 80 70 t - 70 80 ( t - 1 2 ) = 1 8 7 t - 7 8 ( t - 1 2 ) = 1 8 7 t - 7 8 t + 7 16 = 1 ( 8 7 - 7 8 ) t = 1 - 7 16 = 9 16 15 56 t = 9 16 ⇒ t = 21 10 Şimdi uzaklığı bulalım. D = 150 t - 35 = 150 ⋅ 21 10 - 35 = 315 - 35 = 280 Uzaklık 280 km bulundu. Bu da şıklarda seçeneğiD1179dir. Dolayısıyla “doğru cevap D1207 mı?” kontrolü: Evet, A doğrudur.

Çözüm: Hızlar ve gecikmeyi saat cinsinden yazalım. İkinci araç yarım saat geç başlıyor. v 1 = 80 km/sa, v 2 = 70 km/sa, g = 1 2 sa Şehirler arası uzaklık D, karşılaşma anına kadar (birinci aracın çıkışından itibaren) geçen süre t saat olsun. İkinci araç geç çıktığı için karşılaşmaya kadar t − g saat yol alır. D = v 1 t + v 2 ( t - g ) Sayıları yerine yazalım. D = 80 t + 70 ( t - 1 2 ) = 150 t - 35 Karşılaşmadan sonra araçlar durmadan devam ediyor. Karşılaşma noktasından sonra birinci aracın gideceği yol, ikinci aracın karşılaşmaya kadar aldığı yoldur; ikinci aracın gideceği yol da birinci aracın karşılaşmaya kadar aldığı yoldur. s 1 = v 1 t, s 2 = v 2 ( t - g ), s 1 + s 2 = D Karşılaşmadan sonra kalan süreler: T 1 = s 2 v 1 = v 2 v 1 ( t - g ) = 70 80 ( t - 1 2 ) T 2 = s 1 v 2 = v 1 v 2 t = 80 70 t Birinci araç karşılaşmadan itibaren 1 saat daha erken vardığına göre: T 2 - T 1 = 1 Denklemi çözelim. 80 70 t - 70 80 ( t - 1 2 ) = 1 8 7 t - 7 8 ( t - 1 2 ) = 1 8 7 t - 7 8 t + 7 16 = 1 ( 8 7 - 7 8 ) t = 1 - 7 16 = 9 16 15 56 t = 9 16 ⇒ t = 21 10 Şimdi uzaklığı bulalım. D = 150 t - 35 = 150 ⋅ 21 10 - 35 = 315 - 35 = 280 Uzaklık 280 km bulundu. Bu da şıklarda seçeneğiD1179dir. Dolayısıyla “doğru cevap D1207 mı?” kontrolü: Evet, A doğrudur.

Hızlar ve gecikmeyi saat cinsinden yazalım. İkinci araç yarım saat geç başlıyor.

v_{1} = 80 km/sa, v_{2} = 70 km/sa, g = \frac{1}{2} sa

Şehirler arası uzaklık D, karşılaşma anına kadar (birinci aracın çıkışından itibaren) geçen süre t saat olsun. İkinci araç geç çıktığı için karşılaşmaya kadar t − g saat yol alır.

D = v_{1} t + v_{2} (t - g)

Sayıları yerine yazalım.

D = 80 t + 70 (t - \frac{1}{2}) = 150 t - 35

Karşılaşmadan sonra araçlar durmadan devam ediyor. Karşılaşma noktasından sonra birinci aracın gideceği yol, ikinci aracın karşılaşmaya kadar aldığı yoldur; ikinci aracın gideceği yol da birinci aracın karşılaşmaya kadar aldığı yoldur.

s_{1} = v_{1} t, s_{2} = v_{2} (t - g), s_{1} + s_{2} = D

Karşılaşmadan sonra kalan süreler:

T_{1} = \frac{s_{2}}{v_{1}} = \frac{v_{2}}{v_{1}} (t - g) = \frac{70}{80} (t - \frac{1}{2})

T_{2} = \frac{s_{1}}{v_{2}} = \frac{v_{1}}{v_{2}} t = \frac{80}{70} t

Birinci araç karşılaşmadan itibaren 1 saat daha erken vardığına göre:

T_{2} - T_{1} = 1

Denklemi çözelim.

\frac{80}{70} t - \frac{70}{80} (t - \frac{1}{2}) = 1

\frac{8}{7} t - \frac{7}{8} (t - \frac{1}{2}) = 1

\frac{8}{7} t - \frac{7}{8} t + \frac{7}{16} = 1

(\frac{8}{7} - \frac{7}{8}) t = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}

\frac{15}{56} t = \frac{9}{16} \Rightarrow t = \frac{21}{10}

Şimdi uzaklığı bulalım.

D = 150 t - 35 = 150 \cdot \frac{21}{10} - 35 = 315 - 35 = 280

Uzaklık 280 km bulundu. Bu da şıklarda A seçeneğidir. Dolayısıyla “doğru cevap D5167 mı?” kontrolü: Evet, A doğrudur.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Birbirine $105$ $km$ uzaklıktaki $X$ ve $Y$ şehirlerinden aynı anda yola çıkan iki araç, $\frac{3}{2}$ saat sonra karşılaşıyor.
$Y$ şehrinden çıkan araç, karşılaşmadan sonra $2$ saatte $X$ şehrine ulaştığına göre, $X$ şehrinden çıkan aracın hızı kaç $km/sa$ tir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

İki aracın hızları sabit olsun. v X: X şehrinden çıkan aracın hızı (km/sa) v Y: Y şehrinden çıkan aracın hızı (km/sa) Karşılaşma süresi 3 2 saat ve şehirler arası mesafe 105 km olduğuna göre, karşılaşıncaya kadar alınan toplam yol: ( v X + v Y ) ⋅ 3 2 = 105 Buradan hızların toplamını bulalım: v X + v Y = 105 ⋅ 2 3 = 70 Karşılaşmadan sonra Y şehrinden çıkan araç, 2 saatte X şehrine ulaşıyor. Demek ki karşılaşma noktasından X şehrine kalan mesafe: v Y ⋅ 2 Y aracının karşılaşmaya kadar aldığı yol: v Y ⋅ 3 2 O hâlde toplam mesafeden çıkarırsak, karşılaşma noktasından X şehrine kalan yol: 105 - v Y ⋅ 3 2 Bu kalan yol, az önce bulduğumuz gibi v Y ⋅ 2 olmalı: 105 - v Y ⋅ 3 2 = v Y ⋅ 2 Denklemi çözelim: 105 = v Y ⋅ 2 + v Y ⋅ 3 2 105 = v Y ⋅ ( 2 + 3 2 ) 105 = v Y ⋅ 7 2 v Y = 105 ⋅ 2 7 = 30 Hızlar toplamı 70 olduğundan: v X = 70 - 30 = 40 Sonuç: v X = 40 km/sa olduğundan doğru seçenek A965 ’dir.

Çözüm: İki aracın hızları sabit olsun. v X: X şehrinden çıkan aracın hızı (km/sa) v Y: Y şehrinden çıkan aracın hızı (km/sa) Karşılaşma süresi 3 2 saat ve şehirler arası mesafe 105 km olduğuna göre, karşılaşıncaya kadar alınan toplam yol: ( v X + v Y ) ⋅ 3 2 = 105 Buradan hızların toplamını bulalım: v X + v Y = 105 ⋅ 2 3 = 70 Karşılaşmadan sonra Y şehrinden çıkan araç, 2 saatte X şehrine ulaşıyor. Demek ki karşılaşma noktasından X şehrine kalan mesafe: v Y ⋅ 2 Y aracının karşılaşmaya kadar aldığı yol: v Y ⋅ 3 2 O hâlde toplam mesafeden çıkarırsak, karşılaşma noktasından X şehrine kalan yol: 105 - v Y ⋅ 3 2 Bu kalan yol, az önce bulduğumuz gibi v Y ⋅ 2 olmalı: 105 - v Y ⋅ 3 2 = v Y ⋅ 2 Denklemi çözelim: 105 = v Y ⋅ 2 + v Y ⋅ 3 2 105 = v Y ⋅ ( 2 + 3 2 ) 105 = v Y ⋅ 7 2 v Y = 105 ⋅ 2 7 = 30 Hızlar toplamı 70 olduğundan: v X = 70 - 30 = 40 Sonuç: v X = 40 km/sa olduğundan doğru seçenek A965 ’dir.

İki aracın hızları sabit olsun. $v_{X} : X şehrinden çıkan aracın hızı (km/sa)$ $v_{Y} : Y şehrinden çıkan aracın hızı (km/sa)$

Karşılaşma süresi $\frac{3}{2}$ saat ve şehirler arası mesafe $105$ km olduğuna göre, karşılaşıncaya kadar alınan toplam yol:

(v_{X} + v_{Y}) \cdot \frac{3}{2} = 105

Buradan hızların toplamını bulalım:

v_{X} + v_{Y} = 105 \cdot \frac{2}{3} = 70

Karşılaşmadan sonra $Y$ şehrinden çıkan araç, $2$ saatte $X$ şehrine ulaşıyor. Demek ki karşılaşma noktasından $X$ şehrine kalan mesafe:

v_{Y} \cdot 2

$Y$ aracının karşılaşmaya kadar aldığı yol:

v_{Y} \cdot \frac{3}{2}

O hâlde toplam mesafeden çıkarırsak, karşılaşma noktasından $X$ şehrine kalan yol:

105 - v_{Y} \cdot \frac{3}{2}

Bu kalan yol, az önce bulduğumuz gibi $v_{Y} \cdot 2$ olmalı:

105 - v_{Y} \cdot \frac{3}{2} = v_{Y} \cdot 2

Denklemi çözelim:

105 = v_{Y} \cdot 2 + v_{Y} \cdot \frac{3}{2}

105 = v_{Y} \cdot (2 + \frac{3}{2})

105 = v_{Y} \cdot \frac{7}{2}

v_{Y} = 105 \cdot \frac{2}{7} = 30

Hızlar toplamı $70$ olduğundan:

v_{X} = 70 - 30 = 40

Sonuç: $v_{X} = 40 km/sa$ olduğundan doğru seçenek B’dir.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aralarında $360 km$ bulunan iki şehirden aynı anda hareket eden iki araç birbirlerine doğru ilerliyor. Karşılaştıktan sonra birinci araç varış noktasına $2 saat$ , ikinci araç varış noktasına $8 saat$ sonra ulaşıyor. Birinci aracın hızı kaç $km/saat$ tir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Değişkenleri tanımlayalım. v 1: birinci aracın hızı (km/saat) v 2: ikinci aracın hızı (km/saat) t: karşılaşma anına kadar geçen süre (saat) 2) Karşılaşıncaya kadar alınan yolların toplamı iki şehir arası mesafeye eşittir. v 1 t + v 2 t = 360 3) Karşılaşmadan sonra birinci araç, ikinci aracın karşılaşmaya kadar aldığı yol kadar mesafe daha gider; bu yolu v 2 t sürede alır ve bu süre 2 saattir. v 1 · 2 = v 2 t 4) Benzer şekilde, karşılaşmadan sonra ikinci araç, birinci aracın karşılaşmaya kadar aldığı yol kadar mesafe daha gider; bu yolu v 1 t sürede alır ve bu süre 8 saattir. v 2 · 8 = v 1 t 5) (3) ve (4) eşitliklerinden t yi yalnız bırakıp eşitleyelim. t = v 1 · 2 v 2 t = v 2 · 8 v 1 v 1 · 2 v 2 = v 2 · 8 v 1 6) Buradan hızlar oranını bulalım. 2 · v 1 2 = 8 · v 2 2 v 1 2 = 4 · v 2 2 v 1 = 2 · v 2 7) Karşılaşma süresini bulalım (örneğin 4. eşitlikten). v 2 · 8 = v 1 t v 2 · 8 = 2 · v 2 t 8 = 2 t t = 4 8) Toplam yol denklemine yerleştirip hızları bulalım. v 1 t + v 2 t = 360 ( v 1 + v 2 ) · 4 = 360 v 1 + v 2 = 90 2 · v 2 + v 2 = 90 3 · v 2 = 90 v 2 = 30 v 1 = 2 · 30 = 60 9) Sonuç: Birinci aracın hızı 60 km/saat olduğundan doğru seçenek B’dir.

Çözüm: 1) Değişkenleri tanımlayalım. v 1: birinci aracın hızı (km/saat) v 2: ikinci aracın hızı (km/saat) t: karşılaşma anına kadar geçen süre (saat) 2) Karşılaşıncaya kadar alınan yolların toplamı iki şehir arası mesafeye eşittir. v 1 t + v 2 t = 360 3) Karşılaşmadan sonra birinci araç, ikinci aracın karşılaşmaya kadar aldığı yol kadar mesafe daha gider; bu yolu v 2 t sürede alır ve bu süre 2 saattir. v 1 · 2 = v 2 t 4) Benzer şekilde, karşılaşmadan sonra ikinci araç, birinci aracın karşılaşmaya kadar aldığı yol kadar mesafe daha gider; bu yolu v 1 t sürede alır ve bu süre 8 saattir. v 2 · 8 = v 1 t 5) (3) ve (4) eşitliklerinden t yi yalnız bırakıp eşitleyelim. t = v 1 · 2 v 2 t = v 2 · 8 v 1 v 1 · 2 v 2 = v 2 · 8 v 1 6) Buradan hızlar oranını bulalım. 2 · v 1 2 = 8 · v 2 2 v 1 2 = 4 · v 2 2 v 1 = 2 · v 2 7) Karşılaşma süresini bulalım (örneğin 4. eşitlikten). v 2 · 8 = v 1 t v 2 · 8 = 2 · v 2 t 8 = 2 t t = 4 8) Toplam yol denklemine yerleştirip hızları bulalım. v 1 t + v 2 t = 360 ( v 1 + v 2 ) · 4 = 360 v 1 + v 2 = 90 2 · v 2 + v 2 = 90 3 · v 2 = 90 v 2 = 30 v 1 = 2 · 30 = 60 9) Sonuç: Birinci aracın hızı 60 km/saat olduğundan doğru seçenek B’dir.

1) Değişkenleri tanımlayalım.

v_{1} : birinci aracın hızı (km/saat)

v_{2} : ikinci aracın hızı (km/saat)

t : karşılaşma anına kadar geçen süre (saat)

2) Karşılaşıncaya kadar alınan yolların toplamı iki şehir arası mesafeye eşittir.

v_{1} t + v_{2} t = 360

3) Karşılaşmadan sonra birinci araç, ikinci aracın karşılaşmaya kadar aldığı yol kadar mesafe daha gider; bu yolu $v_{2} t$ sürede alır ve bu süre $2$ saattir.

v_{1} \cdot 2 = v_{2} t

4) Benzer şekilde, karşılaşmadan sonra ikinci araç, birinci aracın karşılaşmaya kadar aldığı yol kadar mesafe daha gider; bu yolu $v_{1} t$ sürede alır ve bu süre $8$ saattir.

v_{2} \cdot 8 = v_{1} t

5) (3) ve (4) eşitliklerinden $t$ yi yalnız bırakıp eşitleyelim.

t = \frac{v_{1} \cdot 2}{v_{2}}

t = \frac{v_{2} \cdot 8}{v_{1}}

\frac{v_{1} \cdot 2}{v_{2}} = \frac{v_{2} \cdot 8}{v_{1}}

6) Buradan hızlar oranını bulalım.

2 \cdot v_{1}^{2} = 8 \cdot v_{2}^{2}

v_{1}^{2} = 4 \cdot v_{2}^{2}

v_{1} = 2 \cdot v_{2}

7) Karşılaşma süresini bulalım (örneğin 4. eşitlikten).

v_{2} \cdot 8 = v_{1} t

v_{2} \cdot 8 = 2 \cdot v_{2} t

8 = 2 t

t = 4

8) Toplam yol denklemine yerleştirip hızları bulalım.

v_{1} t + v_{2} t = 360

(v_{1} + v_{2}) \cdot 4 = 360

v_{1} + v_{2} = 90

2 \cdot v_{2} + v_{2} = 90

3 \cdot v_{2} = 90

v_{2} = 30

v_{1} = 2 \cdot 30 = 60

9) Sonuç: Birinci aracın hızı $60 km/saat$ olduğundan doğru seçenek B’dir.

5. SoruÇoktan Seçmeli

A noktasından B noktasına doğru hareket eden bir otomobilin hızı $80 km/sa$ dir.
B noktasından A noktasına doğru hareket eden ikinci otomobilin hızı $70 km/sa$ olup, birinciden $\frac{1}{2} saat$ sonra yola çıkıyor.
Otomobiller, AB nin orta noktasından B yönüne doğru $25 km$ uzaklıktaki noktada karşılaşıyor.
AB uzaklığı kaç $km$ dir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Şıkları kontrol etmek için AB uzaklığını D ile gösterelim. A M P B M → P M, AB nin orta noktası; P ise karşılaşma noktası olsun. P, orta noktadan B yönüne doğru verilen kadar ileridedir. Bu yüzden A’dan P’ye ve B’den P’ye olan yolları şöyle yazabiliriz: AP = D 2 + 25 BP = D 2 - 25 Birinci araç A’dan başlayıp P’ye kadar gider. Başlangıçtan karşılaşmaya kadar geçen süreyi t saat alalım: 80 t = D 2 + 25 İkinci araç yarım saat geç çıktığı için hareket süresi t − 1/2 olur ve B’den P’ye kadar gider: 70 ( t - 1 2 ) = D 2 - 25 Her iki eşitlikten de D/2 yi yalnız bırakalım: D 2 = 80 t - 25 D 2 = 70 ( t - 1 2 ) + 25 = 70 t - 10 Aynı büyüklük olan D/2 için bu iki ifade eşit olmalı: 80 t - 25 = 70 t - 10 Buradan t yi bulalım: 10 t = 15 ⇒ t = 3 2 Şimdi D/2 yi ve ardından D yi hesaplayalım: D 2 = 80 × 3 2 - 25 = 95 D = 190 Sonuç olarak AB uzaklığı 190 km’dir. Doğru şık B dir.

Çözüm: Şıkları kontrol etmek için AB uzaklığını D ile gösterelim. A M P B M → P M, AB nin orta noktası; P ise karşılaşma noktası olsun. P, orta noktadan B yönüne doğru verilen kadar ileridedir. Bu yüzden A’dan P’ye ve B’den P’ye olan yolları şöyle yazabiliriz: AP = D 2 + 25 BP = D 2 - 25 Birinci araç A’dan başlayıp P’ye kadar gider. Başlangıçtan karşılaşmaya kadar geçen süreyi t saat alalım: 80 t = D 2 + 25 İkinci araç yarım saat geç çıktığı için hareket süresi t − 1/2 olur ve B’den P’ye kadar gider: 70 ( t - 1 2 ) = D 2 - 25 Her iki eşitlikten de D/2 yi yalnız bırakalım: D 2 = 80 t - 25 D 2 = 70 ( t - 1 2 ) + 25 = 70 t - 10 Aynı büyüklük olan D/2 için bu iki ifade eşit olmalı: 80 t - 25 = 70 t - 10 Buradan t yi bulalım: 10 t = 15 ⇒ t = 3 2 Şimdi D/2 yi ve ardından D yi hesaplayalım: D 2 = 80 × 3 2 - 25 = 95 D = 190 Sonuç olarak AB uzaklığı 190 km’dir. Doğru şık B dir.

Şıkları kontrol etmek için AB uzaklığını D ile gösterelim.

M, AB nin orta noktası; P ise karşılaşma noktası olsun. P, orta noktadan B yönüne doğru verilen kadar ileridedir. Bu yüzden A’dan P’ye ve B’den P’ye olan yolları şöyle yazabiliriz:

AP = \frac{D}{2} + 25

BP = \frac{D}{2} - 25

Birinci araç A’dan başlayıp P’ye kadar gider. Başlangıçtan karşılaşmaya kadar geçen süreyi t saat alalım:

80 t = \frac{D}{2} + 25

İkinci araç yarım saat geç çıktığı için hareket süresi t − 1/2 olur ve B’den P’ye kadar gider:

70 (t - \frac{1}{2}) = \frac{D}{2} - 25

Her iki eşitlikten de D/2 yi yalnız bırakalım:

\frac{D}{2} = 80 t - 25

\frac{D}{2} = 70 (t - \frac{1}{2}) + 25 = 70 t - 10

Aynı büyüklük olan D/2 için bu iki ifade eşit olmalı:

80 t - 25 = 70 t - 10

Buradan t yi bulalım:

10 t = 15 \Rightarrow t = \frac{3}{2}

Şimdi D/2 yi ve ardından D yi hesaplayalım:

\frac{D}{2} = 80 \times \frac{3}{2} - 25 = 95

D = 190

Sonuç olarak AB uzaklığı 190 km’dir. Doğru şık B dir.

6. SoruÇoktan Seçmeli

$A$ ve $B$ şehirleri arasındaki mesafe $300 km$ dir.
$A$ şehrinden $B$ şehrine hareket eden Araç $1$ sabit hızla $v km/saat$ hızla yola çıkıyor.
$B$ şehrinden $A$ şehrine hareket eden Araç $2$ ise $1 saat$ sonra yola çıkıp sabit $60 km/saat$ hızla ilerliyor.
Araçlar ilk kez karşılaştıktan sonra Araç $1$ yoluna devam edip $B$ şehrine varır varmaz beklemeden aynı hızla geri dönüyor ve araçlar ilk karşılaşmadan tam $2 saat$ sonra ikinci kez karşılaşıyor.
$v$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

1) Doğru şık kontrolü: Hesap sonunda hızın aşağıdaki çıktığını göstereceğiz; bu da şıkkıD83dır. v = 120 2) Zaman ve konum tanımları: • Zamanı, Araç 1’in hareket ettiği anı başlangıç alarak ölçelim. • A noktası başlangıç, B noktası bitiş olsun; doğrultuyu A’dan B’ye doğru pozitif seçelim. • İlk karşılaşma zamanı: t = T 3) İlk karşılaşma denklemi: Araç 1, başlangıçtan itibaren T saatte aldığı yol: x = v ⋅ T Araç 2, 1 saat geç çıktıktan sonra hareket ettiği için, T anına kadar hareket süresi: T - 1 Araç 2’nin aldığı yol: 60 ⋅ ( T - 1 ) Toplam mesafe 300 olduğu için: v ⋅ T + 60 ⋅ ( T - 1 ) = 300 Düzenleyelim: v T + 60 T - 60 = 300 ( v + 60 ) T = 360 T = 360 v + 60 4) İkinci karşılaşma anı: İkinci karşılaşma, ilk karşılaşmadan tam 2 saat sonra olduğuna göre toplam zaman: t = T + 2 Araç 1’in B’ye varış zamanı: t = 300 v Bu soruda ikinci karşılaşma, Araç 1’in B’ye varıp geri döndükten sonra gerçekleştiği için, Araç 1’in dönüşteki konum denklemini kullanacağız. 5) Konum denklemleri (A başlangıç kabul edilerek): Araç 2 (başlangıçta B’de, sonra A’ya doğru): x = 300 - 60 ⋅ ( t - 1 ) x = 360 - 60 t Araç 1 dönüşteyken (B’den A’ya dönerken): x = 300 - v ⋅ ( t - 300 v ) x = 600 - v t 6) İkinci karşılaşma koşulu: İkinci karşılaşma anında t = T + 2 iken konumlar eşittir. 600 - v ⋅ ( T + 2 ) = 360 - 60 ⋅ ( T + 2 ) Açalım ve sadeleştirelim: 600 - v T - 2 v = 360 - 60 T - 120 360 - 2 v = ( v - 60 ) T Burada T yerine daha önce bulduğumuz ifadeyi yazalım: 360 - 2 v = ( v - 60 ) 360 v + 60 Her iki tarafı 360 ’a bölelim: 1 - v 180 = v - 60 v + 60 Denklemi çözelim (içler-dışlar çarpımı): 180 - v 180 = v - 60 v + 60 ( 180 - v ) ( v + 60 ) = 180 ( v - 60 ) Açıp düzenleyelim: - v 2 + 120 v + 10800 = 180 v - 10800 v 2 + 60 v - 21600 = 0 Kökleri bulalım: v = - 60 ± 60 2 + 4 ⋅ 21600 2 v = - 60 ± 300 2 v = 120 7) Sonuç: Doğru cevap D1896 ’dir.

Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü: Hesap sonunda hızın aşağıdaki çıktığını göstereceğiz; bu da şıkkıD83dır. v = 120 2) Zaman ve konum tanımları: • Zamanı, Araç 1’in hareket ettiği anı başlangıç alarak ölçelim. • A noktası başlangıç, B noktası bitiş olsun; doğrultuyu A’dan B’ye doğru pozitif seçelim. • İlk karşılaşma zamanı: t = T 3) İlk karşılaşma denklemi: Araç 1, başlangıçtan itibaren T saatte aldığı yol: x = v ⋅ T Araç 2, 1 saat geç çıktıktan sonra hareket ettiği için, T anına kadar hareket süresi: T - 1 Araç 2’nin aldığı yol: 60 ⋅ ( T - 1 ) Toplam mesafe 300 olduğu için: v ⋅ T + 60 ⋅ ( T - 1 ) = 300 Düzenleyelim: v T + 60 T - 60 = 300 ( v + 60 ) T = 360 T = 360 v + 60 4) İkinci karşılaşma anı: İkinci karşılaşma, ilk karşılaşmadan tam 2 saat sonra olduğuna göre toplam zaman: t = T + 2 Araç 1’in B’ye varış zamanı: t = 300 v Bu soruda ikinci karşılaşma, Araç 1’in B’ye varıp geri döndükten sonra gerçekleştiği için, Araç 1’in dönüşteki konum denklemini kullanacağız. 5) Konum denklemleri (A başlangıç kabul edilerek): Araç 2 (başlangıçta B’de, sonra A’ya doğru): x = 300 - 60 ⋅ ( t - 1 ) x = 360 - 60 t Araç 1 dönüşteyken (B’den A’ya dönerken): x = 300 - v ⋅ ( t - 300 v ) x = 600 - v t 6) İkinci karşılaşma koşulu: İkinci karşılaşma anında t = T + 2 iken konumlar eşittir. 600 - v ⋅ ( T + 2 ) = 360 - 60 ⋅ ( T + 2 ) Açalım ve sadeleştirelim: 600 - v T - 2 v = 360 - 60 T - 120 360 - 2 v = ( v - 60 ) T Burada T yerine daha önce bulduğumuz ifadeyi yazalım: 360 - 2 v = ( v - 60 ) 360 v + 60 Her iki tarafı 360 ’a bölelim: 1 - v 180 = v - 60 v + 60 Denklemi çözelim (içler-dışlar çarpımı): 180 - v 180 = v - 60 v + 60 ( 180 - v ) ( v + 60 ) = 180 ( v - 60 ) Açıp düzenleyelim: - v 2 + 120 v + 10800 = 180 v - 10800 v 2 + 60 v - 21600 = 0 Kökleri bulalım: v = - 60 ± 60 2 + 4 ⋅ 21600 2 v = - 60 ± 300 2 v = 120 7) Sonuç: Doğru cevap D1896 ’dir.

1) Doğru şık kontrolü: Hesap sonunda hızın aşağıdaki çıktığını göstereceğiz; bu da C şıkkıdır.

v = 120

2) Zaman ve konum tanımları:

• Zamanı, Araç 1’in hareket ettiği anı başlangıç alarak ölçelim.

• A noktası başlangıç, B noktası bitiş olsun; doğrultuyu A’dan B’ye doğru pozitif seçelim.

• İlk karşılaşma zamanı:

t = T

3) İlk karşılaşma denklemi:

Araç 1, başlangıçtan itibaren T saatte aldığı yol:

x = v \cdot T

Araç 2, 1 saat geç çıktıktan sonra hareket ettiği için, T anına kadar hareket süresi:

T - 1

Araç 2’nin aldığı yol:

60 \cdot (T - 1)

Toplam mesafe 300 olduğu için:

v \cdot T + 60 \cdot (T - 1) = 300

Düzenleyelim:

v T + 60 T - 60 = 300

(v + 60) T = 360

T = \frac{360}{v + 60}

4) İkinci karşılaşma anı:

İkinci karşılaşma, ilk karşılaşmadan tam 2 saat sonra olduğuna göre toplam zaman:

t = T + 2

Araç 1’in B’ye varış zamanı:

t = \frac{300}{v}

Bu soruda ikinci karşılaşma, Araç 1’in B’ye varıp geri döndükten sonra gerçekleştiği için, Araç 1’in dönüşteki konum denklemini kullanacağız.

5) Konum denklemleri (A başlangıç kabul edilerek):

Araç 2 (başlangıçta B’de, sonra A’ya doğru):

x = 300 - 60 \cdot (t - 1)

x = 360 - 60 t

Araç 1 dönüşteyken (B’den A’ya dönerken):

x = 300 - v \cdot (t - \frac{300}{v})

x = 600 - v t

6) İkinci karşılaşma koşulu:

İkinci karşılaşma anında t = T + 2 iken konumlar eşittir.

600 - v \cdot (T + 2) = 360 - 60 \cdot (T + 2)

Açalım ve sadeleştirelim:

600 - v T - 2 v = 360 - 60 T - 120

360 - 2 v = (v - 60) T

Burada T yerine daha önce bulduğumuz ifadeyi yazalım:

360 - 2 v = (v - 60) \frac{360}{v + 60}

Her iki tarafı 360’a bölelim:

1 - \frac{v}{180} = \frac{v - 60}{v + 60}

Denklemi çözelim (içler-dışlar çarpımı):

\frac{180 - v}{180} = \frac{v - 60}{v + 60}

(180 - v) (v + 60) = 180 (v - 60)

Açıp düzenleyelim:

- v^{2} + 120 v + 10800 = 180 v - 10800

v^{2} + 60 v - 21600 = 0

Kökleri bulalım:

v = \frac{- 60 \pm \sqrt{60^{2} + 4 \cdot 21600}}{2}

v = \frac{- 60 \pm 300}{2}

v = 120

7) Sonuç: Doğru cevap C’dir.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Bir şehirden diğerine olan yol uzunluğu $300$ kilometredir.
Birinci otobüs bu yola sabit hızla çıkar; hızı $v$ kilometre/saat olsun.
İkinci otobüs birinciden $30$ dakika sonra yola çıkar, hızı birinciden $20$ kilometre/saat fazladır ve yol üzerinde $15$ dakika mola verir.
İki otobüs varış noktasına aynı anda ulaştığına göre $v$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

İki otobüsün varışa aynı anda ulaşması için, birinci otobüsün toplam yolculuk süresi ile ikinci otobüsün (geç çıkma + yolculuk + mola) toplam süresi eşit olmalıdır. Birinci otobüsün süresi: t 1 = 300 v İkinci otobüs için: - Geç çıkma süresi: 30 60 = 1 2 - Mola süresi: 15 60 = 1 4 - Hızı: v + 20 - Sürüş süresi: 300 v + 20 Dolayısıyla ikinci otobüsün, birinci otobüsün çıkış anından itibaren toplam süresi: t 2 = 1 2 + 300 v + 20 + 1 4 Aynı anda varış şartı: 300 v = 1 2 + 300 v + 20 + 1 4 Sabit terimleri birleştirelim: 1 2 + 1 4 = 3 4 300 v = 300 v + 20 + 3 4 Kesirli ifadeleri düzenleyelim: 300 v - 300 v + 20 = 3 4 Sol tarafı ortak paydada toplayalım: 300 ( v + 20 ) - 300 v v ( v + 20 ) = 3 4 Payı sadeleştirelim: 300 ( v + 20 ) - 300 v = 6000 6000 v ( v + 20 ) = 3 4 Çapraz çarpım yapalım: 6000 = 3 4 v ( v + 20 ) v ( v + 20 ) = 8000 İkinci dereceden denklemi çözelim: v 2 + 20 v - 8000 = 0 v = - 20 + 20 2 + 4 · 8000 2 v = - 20 + 32400 2 = - 20 + 180 2 = 80 Sonuç: v = 80 Doğru cevap A979 şıkkıdır.

Çözüm: İki otobüsün varışa aynı anda ulaşması için, birinci otobüsün toplam yolculuk süresi ile ikinci otobüsün (geç çıkma + yolculuk + mola) toplam süresi eşit olmalıdır. Birinci otobüsün süresi: t 1 = 300 v İkinci otobüs için: - Geç çıkma süresi: 30 60 = 1 2 - Mola süresi: 15 60 = 1 4 - Hızı: v + 20 - Sürüş süresi: 300 v + 20 Dolayısıyla ikinci otobüsün, birinci otobüsün çıkış anından itibaren toplam süresi: t 2 = 1 2 + 300 v + 20 + 1 4 Aynı anda varış şartı: 300 v = 1 2 + 300 v + 20 + 1 4 Sabit terimleri birleştirelim: 1 2 + 1 4 = 3 4 300 v = 300 v + 20 + 3 4 Kesirli ifadeleri düzenleyelim: 300 v - 300 v + 20 = 3 4 Sol tarafı ortak paydada toplayalım: 300 ( v + 20 ) - 300 v v ( v + 20 ) = 3 4 Payı sadeleştirelim: 300 ( v + 20 ) - 300 v = 6000 6000 v ( v + 20 ) = 3 4 Çapraz çarpım yapalım: 6000 = 3 4 v ( v + 20 ) v ( v + 20 ) = 8000 İkinci dereceden denklemi çözelim: v 2 + 20 v - 8000 = 0 v = - 20 + 20 2 + 4 · 8000 2 v = - 20 + 32400 2 = - 20 + 180 2 = 80 Sonuç: v = 80 Doğru cevap A979 şıkkıdır.

İki otobüsün varışa aynı anda ulaşması için, birinci otobüsün toplam yolculuk süresi ile ikinci otobüsün (geç çıkma + yolculuk + mola) toplam süresi eşit olmalıdır.

Birinci otobüsün süresi:

t_{1} = \frac{300}{v}

İkinci otobüs için:

- Geç çıkma süresi:

\frac{30}{60} = \frac{1}{2}

- Mola süresi:

\frac{15}{60} = \frac{1}{4}

- Hızı:

v + 20

- Sürüş süresi:

\frac{300}{v + 20}

Dolayısıyla ikinci otobüsün, birinci otobüsün çıkış anından itibaren toplam süresi:

t_{2} = \frac{1}{2} + \frac{300}{v + 20} + \frac{1}{4}

Aynı anda varış şartı:

\frac{300}{v} = \frac{1}{2} + \frac{300}{v + 20} + \frac{1}{4}

Sabit terimleri birleştirelim:

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

\frac{300}{v} = \frac{300}{v + 20} + \frac{3}{4}

Kesirli ifadeleri düzenleyelim:

\frac{300}{v} - \frac{300}{v + 20} = \frac{3}{4}

Sol tarafı ortak paydada toplayalım:

\frac{300 (v + 20) - 300 v}{v (v + 20)} = \frac{3}{4}

Payı sadeleştirelim:

300 (v + 20) - 300 v = 6000

\frac{6000}{v (v + 20)} = \frac{3}{4}

Çapraz çarpım yapalım:

6000 = \frac{3}{4} v (v + 20)

v (v + 20) = 8000

İkinci dereceden denklemi çözelim:

v^{2} + 20 v - 8000 = 0

v = \frac{- 20 + \sqrt{20^{2} + 4 \cdot 8000}}{2}

v = \frac{- 20 + \sqrt{32400}}{2} = \frac{- 20 + 180}{2} = 80

Sonuç:

v = 80

Doğru cevap B şıkkıdır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Bir araç $A$ noktasından $B$ noktasına sabit hızla giderken toplamda $5 saat$ sürüyor; bu sürenin içinde $30 dakika$ mola da vardır.
Araç $B$ 'den $A$ 'ya dönerken hızını gidiş hızına göre $20 km/saat$ artırıyor ve dönüş yolculuğunu (molasız) $3.5 saat$ 'te tamamlıyor.
$A - B$ mesafesi kaç $km$ 'dir?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Birinci tren iki şehir arasındaki yolda $80 km/h$ sabit hızla $08:00$ ’de hareket ediyor, yol üzerinde toplam $20 dk$ durup sonra aynı hızla devam ediyor.
İkinci tren diğer şehirden $90 km/h$ hızla $09:00$ ’da hareket ediyor.
İki tren $11:00$ ’de karşılaştığına göre şehirler arası mesafe kaç kilometredir?

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

$A$ şehrinden $B$ şehrine giden bir kamyon sabit $60 km/saat$ hızla yola çıkıyor.
Kamyondan $1 saat$ sonra aynı noktadan çıkan bir otomobil sabit $90 km/saat$ hızla kamyona yetişiyor; yetiştiği noktada kamyon $30 dakika$ mola veriyor ve otomobil hiç durmadan hızını $50 km/saat$ yapıp devam ediyor.
İkisi $B$ şehrine aynı anda vardığına göre $AB$ kaç $km$ ’dir?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. Sınıf Matematik Hareket Hız Problemleri Testleri

9. Sınıf Hareket Hız Problemleri Testleri

Hız-Zaman-Yol İlişkisi

Karşılaşma ve Yakalama

9. Sınıf Matematik Hareket Hız Problemleri Testleri

Bir motorlu tekne, $A$ noktasından $B$ noktasına akıntıya karşı gidip aynı yolu akıntı yönünde geri dönüyor.
İki nokta arası uzaklık $48 km$ , akıntı hızı $2 km/saat$ ve gidiş-dönüş toplam süresi $8 saat$ olduğuna göre, teknenin durgun sudaki hızı kaçtır?

Birbirine $105$ $km$ uzaklıktaki $X$ ve $Y$ şehirlerinden aynı anda yola çıkan iki araç, $\frac{3}{2}$ saat sonra karşılaşıyor.
$Y$ şehrinden çıkan araç, karşılaşmadan sonra $2$ saatte $X$ şehrine ulaştığına göre, $X$ şehrinden çıkan aracın hızı kaç $km/sa$ tir?

Aralarında $360 km$ bulunan iki şehirden aynı anda hareket eden iki araç birbirlerine doğru ilerliyor. Karşılaştıktan sonra birinci araç varış noktasına $2 saat$ , ikinci araç varış noktasına $8 saat$ sonra ulaşıyor. Birinci aracın hızı kaç $km/saat$ tir?

Hareket Hız Problemleri Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

9. Sınıf Matematik Hareket Hız Problemleri Testleri

9. Sınıf Hareket Hız Problemleri Testleri

Hız-Zaman-Yol İlişkisi

Karşılaşma ve Yakalama

9. Sınıf Matematik Hareket Hız Problemleri Testleri

Bir motorlu tekne, A noktasından B noktasına akıntıya karşı gidip aynı yolu akıntı yönünde geri dönüyor.İki nokta arası uzaklık 48 km, akıntı hızı 2 km/saat ve gidiş-dönüş toplam süresi 8 saat olduğuna göre, teknenin durgun sudaki hızı kaçtır?

Birbirine 105km uzaklıktaki X ve Y şehirlerinden aynı anda yola çıkan iki araç, 32 saat sonra karşılaşıyor.Y şehrinden çıkan araç, karşılaşmadan sonra 2 saatte X şehrine ulaştığına göre, X şehrinden çıkan aracın hızı kaç km/satir?

Aralarında 360 km bulunan iki şehirden aynı anda hareket eden iki araç birbirlerine doğru ilerliyor. Karşılaştıktan sonra birinci araç varış noktasına 2 saat, ikinci araç varış noktasına 8 saat sonra ulaşıyor. Birinci aracın hızı kaç km/saattir?

Hareket Hız Problemleri Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

Bir motorlu tekne, $A$ noktasından $B$ noktasına akıntıya karşı gidip aynı yolu akıntı yönünde geri dönüyor.
İki nokta arası uzaklık $48 km$ , akıntı hızı $2 km/saat$ ve gidiş-dönüş toplam süresi $8 saat$ olduğuna göre, teknenin durgun sudaki hızı kaçtır?

Birbirine $105$ $km$ uzaklıktaki $X$ ve $Y$ şehirlerinden aynı anda yola çıkan iki araç, $\frac{3}{2}$ saat sonra karşılaşıyor.
$Y$ şehrinden çıkan araç, karşılaşmadan sonra $2$ saatte $X$ şehrine ulaştığına göre, $X$ şehrinden çıkan aracın hızı kaç $km/sa$ tir?

Aralarında $360 km$ bulunan iki şehirden aynı anda hareket eden iki araç birbirlerine doğru ilerliyor. Karşılaştıktan sonra birinci araç varış noktasına $2 saat$ , ikinci araç varış noktasına $8 saat$ sonra ulaşıyor. Birinci aracın hızı kaç $km/saat$ tir?