9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik Ebob Ekok Testleri

EBOB-EKOK konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

9. Sınıf EBOB-EKOK Testleri

EBOB-EKOK testleri; en büyük ortak bölen, en küçük ortak kat, asal çarpanlara ayırma ve günlük yaşam problemlerinde ortak bölen-kat kullanımını pekiştirir.

EBOB ve EKOK Farkı

EBOB ortak bölenlerin en büyüğüdür ve parçalama, paylaştırma, en büyük eş parça problemlerinde kullanılır. EKOK ortak katların en küçüğüdür ve tekrar eden olayların birlikte gerçekleşme zamanını bulmada kullanılır.

Problem Stratejisi

Soruda eşit parçalara ayırma, en büyük parça veya bölüştürme varsa EBOB; birlikte tekrar etme, karşılaşma veya ortak zaman varsa EKOK düşünülmelidir.

Test seç

10 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test

9. Test

9. Sınıf Matematik Ebob Ekok Testleri

EBOB-EKOK konusu 9. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar $a$ ve $b$ için
$EBOB (a, b) = 12, EKOK (a, b) = 840$
olduğuna göre $a < b$ şartını sağlayan kaç farklı $(a, b)$ ikilisi vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 840 a < b EBOB ortak çarpan olduğundan sayıları şu şekilde yazalım: a = 12 x b = 12 y EBOB ( x, y ) = 1 Bu durumda EKOK bağıntısı: EKOK ( a, b ) = 12 x y Verilen EKOK değerini yerine yazalım: 12 x y = 840 x y = 70 Çarpımı sağlayan ve aralarında asal olan çarpan çiftlerini sayacağız. Önce asal çarpanlara ayıralım: 70 = 2 · 5 · 7 Aralarında asal olabilmeleri için her asal çarpan tamamen ya x tarafına ya da y tarafına gitmelidir (aynı asal iki tarafa birden bölünemez). Toplam 3 farklı asal çarpan olduğu için, her biri için iki seçim vardır. Sıralı (x,y) sayısı: 2 3 = 8 İstenen ise a < b olduğundan x < y demektir. Sıralı çiftlerin yarısı bu koşulu sağlar. Ayrıca x = y olamaz çünkü: x = y ⇒ x 2 = 70 Dolayısıyla uygun çift sayısı: 8 2 = 4 Sonuç: Doğru cevap A818 seçeneğidir.

Çözüm: Verilenler: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 840 a < b EBOB ortak çarpan olduğundan sayıları şu şekilde yazalım: a = 12 x b = 12 y EBOB ( x, y ) = 1 Bu durumda EKOK bağıntısı: EKOK ( a, b ) = 12 x y Verilen EKOK değerini yerine yazalım: 12 x y = 840 x y = 70 Çarpımı sağlayan ve aralarında asal olan çarpan çiftlerini sayacağız. Önce asal çarpanlara ayıralım: 70 = 2 · 5 · 7 Aralarında asal olabilmeleri için her asal çarpan tamamen ya x tarafına ya da y tarafına gitmelidir (aynı asal iki tarafa birden bölünemez). Toplam 3 farklı asal çarpan olduğu için, her biri için iki seçim vardır. Sıralı (x,y) sayısı: 2 3 = 8 İstenen ise a < b olduğundan x < y demektir. Sıralı çiftlerin yarısı bu koşulu sağlar. Ayrıca x = y olamaz çünkü: x = y ⇒ x 2 = 70 Dolayısıyla uygun çift sayısı: 8 2 = 4 Sonuç: Doğru cevap A818 seçeneğidir.

Verilenler:

EBOB (a, b) = 12

EKOK (a, b) = 840

a < b

EBOB ortak çarpan olduğundan sayıları şu şekilde yazalım:

a = 12 x

b = 12 y

EBOB (x, y) = 1

Bu durumda EKOK bağıntısı:

EKOK (a, b) = 12 x y

Verilen EKOK değerini yerine yazalım:

12 x y = 840

x y = 70

Çarpımı sağlayan ve aralarında asal olan çarpan çiftlerini sayacağız. Önce asal çarpanlara ayıralım:

70 = 2 \cdot 5 \cdot 7

Aralarında asal olabilmeleri için her asal çarpan tamamen ya $x$ tarafına ya da $y$ tarafına gitmelidir (aynı asal iki tarafa birden bölünemez).

Toplam $3$ farklı asal çarpan olduğu için, her biri için iki seçim vardır. Sıralı (x,y) sayısı:

2^{3} = 8

İstenen ise $a < b$ olduğundan $x < y$ demektir. Sıralı çiftlerin yarısı bu koşulu sağlar. Ayrıca $x = y$ olamaz çünkü:

x = y \Rightarrow x^{2} = 70

Dolayısıyla uygun çift sayısı:

\frac{8}{2} = 4

Sonuç: Doğru cevap A2971 seçeneğidir.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar $a$ ve $b$ için
$EBOB (a, b) = 24$
$EKOK (a, b) = 1512$
olduğuna göre $(a, b)$ sıralı ikililerinin sayısı kaçtır

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilenlere göre doğru şıkkın B olup olmadığını kontrol edelim. Önce temel bağıntıyı kullanalım: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) Verilen değerleri yerine yazalım: a · b = 24 · 1512 Şimdi, EBOB değeri ortak çarpan olduğundan şu şekilde yazabiliriz: a = 24 x b = 24 y Bu durumda ortak bölenin tam olarak 24 olabilmesi için: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK hesabını yapalım. EBOB(x,y)=1 olduğundan: EKOK ( 24 x, 24 y ) = 24 x y Bu EKOK değeri 1512 verilmişti, eşitleyelim: 24 x y = 1512 Buradan x·y bulunur: x y = 1512 24 x y = 63 Şimdi x ve y pozitif tam sayılar, çarpımları 63 ve aralarında asal olmalı. Asal çarpanlara ayıralım: 63 = 3 2 · 7 Aralarında asal olmaları için aynı asal çarpan iki tarafa birden bölüşülemez; yani 3² bütünüyle ya x 'te ya y 'de olmalı, 7 de bütünüyle ya x 'te ya y 'de olmalı. Bu iki asal çarpan bloğu için dağıtım seçenek sayısı: 2 · 2 = 4 Nitekim aralarında asal olan sıralı ikililer: ( x, y ) = ( 63, 1 ) ( x, y ) = ( 9, 7 ) ( x, y ) = ( 7, 9 ) ( x, y ) = ( 1, 63 ) Her biri için a=24x, b=24y olacağından, (a,b) sıralı ikili sayısı da aynen 4 olur. Sonuç: 4 Dolayısıyla doğru cevap B ’dir.

Çözüm: Verilenlere göre doğru şıkkın B olup olmadığını kontrol edelim. Önce temel bağıntıyı kullanalım: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) Verilen değerleri yerine yazalım: a · b = 24 · 1512 Şimdi, EBOB değeri ortak çarpan olduğundan şu şekilde yazabiliriz: a = 24 x b = 24 y Bu durumda ortak bölenin tam olarak 24 olabilmesi için: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK hesabını yapalım. EBOB(x,y)=1 olduğundan: EKOK ( 24 x, 24 y ) = 24 x y Bu EKOK değeri 1512 verilmişti, eşitleyelim: 24 x y = 1512 Buradan x·y bulunur: x y = 1512 24 x y = 63 Şimdi x ve y pozitif tam sayılar, çarpımları 63 ve aralarında asal olmalı. Asal çarpanlara ayıralım: 63 = 3 2 · 7 Aralarında asal olmaları için aynı asal çarpan iki tarafa birden bölüşülemez; yani 3² bütünüyle ya x 'te ya y 'de olmalı, 7 de bütünüyle ya x 'te ya y 'de olmalı. Bu iki asal çarpan bloğu için dağıtım seçenek sayısı: 2 · 2 = 4 Nitekim aralarında asal olan sıralı ikililer: ( x, y ) = ( 63, 1 ) ( x, y ) = ( 9, 7 ) ( x, y ) = ( 7, 9 ) ( x, y ) = ( 1, 63 ) Her biri için a=24x, b=24y olacağından, (a,b) sıralı ikili sayısı da aynen 4 olur. Sonuç: 4 Dolayısıyla doğru cevap B ’dir.

Verilenlere göre doğru şıkkın B olup olmadığını kontrol edelim.

Önce temel bağıntıyı kullanalım:

a \cdot b = EBOB (a, b) \cdot EKOK (a, b)

Verilen değerleri yerine yazalım:

a \cdot b = 24 \cdot 1512

Şimdi, EBOB değeri ortak çarpan olduğundan şu şekilde yazabiliriz:

a = 24 x

b = 24 y

Bu durumda ortak bölenin tam olarak 24 olabilmesi için:

EBOB (x, y) = 1

EKOK hesabını yapalım. EBOB(x,y)=1 olduğundan:

EKOK (24 x, 24 y) = 24 x y

Bu EKOK değeri 1512 verilmişti, eşitleyelim:

24 x y = 1512

Buradan x·y bulunur:

x y = \frac{1512}{24}

x y = 63

Şimdi x ve y pozitif tam sayılar, çarpımları 63 ve aralarında asal olmalı. Asal çarpanlara ayıralım:

63 = 3^{2} \cdot 7

Aralarında asal olmaları için aynı asal çarpan iki tarafa birden bölüşülemez; yani 3² bütünüyle ya x'te ya y'de olmalı, 7 de bütünüyle ya x'te ya y'de olmalı.

Bu iki asal çarpan bloğu için dağıtım seçenek sayısı:

2 \cdot 2 = 4

Nitekim aralarında asal olan sıralı ikililer:

(x, y) = (63, 1)

(x, y) = (9, 7)

(x, y) = (7, 9)

(x, y) = (1, 63)

Her biri için a=24x, b=24y olacağından, (a,b) sıralı ikili sayısı da aynen 4 olur.

Sonuç:

4

Dolayısıyla doğru cevap B’dir.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Bir doğal sayı $n$ için
$EBOB (120, n) = 24$ ve $EKOK (120, n) = 840$ ise $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar $a$ ve $b$ için $\gcd (a, b) = 12$ ve $lcm (a, b) = 420$ olsun.
$a < b$ koşulunu sağlayan kaç farklı $(a, b)$ ikilisi vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilenler: gcd ( a, b ) = 12 lcm ( a, b ) = 420 İstenen: a < b koşulunu sağlayan ikili sayısı. Adım 1: Ortak böleni ayıralım. a = 12 x b = 12 y Bu durumda gcd ( x, y ) = 1 Adım 2: EKOK bilgisini kullanalım. Bilinen özdeşlik: a b = gcd ( a, b ) · lcm ( a, b ) Buradan a b = 12 · 420 Diğer yandan a b = 12 x · 12 y = 144 x y Eşitleyelim: 144 x y = 5040 Buradan x y = 35 Adım 3: gcd ( x, y ) = 1 ve x y = 35 şartlarını sağlayan çiftleri bulalım. Çarpanlara ayıralım: 35 = 5 · 7 Çarpımı 35 olan pozitif tam sayı çiftleri: ( 1, 35 ), ( 35, 1 ), ( 5, 7 ), ( 7, 5 ) Bu çiftlerin hepsinde ortak bölen 1 olduğu için hepsi uygundur. Adım 4: a < b koşulunu uygulayalım. Çünkü a = 12 x b = 12 y olduğundan a < b ⇔ x < y Bu durumda sadece ( x, y ) = ( 1, 35 ) ve ( x, y ) = ( 5, 7 ) kalır. Adım 5: Gerçek ( a, b ) ikilerini yazalım. ( a, b ) = ( 12 · 1, 12 · 35 ) = ( 12, 420 ) ( a, b ) = ( 12 · 5, 12 · 7 ) = ( 60, 84 ) Sonuç: 2 farklı ikili vardır. Bu nedenle doğru seçenek D950 'dir.

Çözüm: Verilenler: gcd ( a, b ) = 12 lcm ( a, b ) = 420 İstenen: a < b koşulunu sağlayan ikili sayısı. Adım 1: Ortak böleni ayıralım. a = 12 x b = 12 y Bu durumda gcd ( x, y ) = 1 Adım 2: EKOK bilgisini kullanalım. Bilinen özdeşlik: a b = gcd ( a, b ) · lcm ( a, b ) Buradan a b = 12 · 420 Diğer yandan a b = 12 x · 12 y = 144 x y Eşitleyelim: 144 x y = 5040 Buradan x y = 35 Adım 3: gcd ( x, y ) = 1 ve x y = 35 şartlarını sağlayan çiftleri bulalım. Çarpanlara ayıralım: 35 = 5 · 7 Çarpımı 35 olan pozitif tam sayı çiftleri: ( 1, 35 ), ( 35, 1 ), ( 5, 7 ), ( 7, 5 ) Bu çiftlerin hepsinde ortak bölen 1 olduğu için hepsi uygundur. Adım 4: a < b koşulunu uygulayalım. Çünkü a = 12 x b = 12 y olduğundan a < b ⇔ x < y Bu durumda sadece ( x, y ) = ( 1, 35 ) ve ( x, y ) = ( 5, 7 ) kalır. Adım 5: Gerçek ( a, b ) ikilerini yazalım. ( a, b ) = ( 12 · 1, 12 · 35 ) = ( 12, 420 ) ( a, b ) = ( 12 · 5, 12 · 7 ) = ( 60, 84 ) Sonuç: 2 farklı ikili vardır. Bu nedenle doğru seçenek D950 'dir.

Verilenler:

\gcd (a, b) = 12

lcm (a, b) = 420

İstenen:

a < b

koşulunu sağlayan ikili sayısı.

Adım 1: Ortak böleni ayıralım.

a = 12 x

b = 12 y

Bu durumda

\gcd (x, y) = 1

Adım 2: EKOK bilgisini kullanalım.

Bilinen özdeşlik:

a b = \gcd (a, b) \cdot lcm (a, b)

Buradan

a b = 12 \cdot 420

Diğer yandan

a b = 12 x \cdot 12 y = 144 x y

Eşitleyelim:

144 x y = 5040

Buradan

x y = 35

Adım 3:

\gcd (x, y) = 1

x y = 35

şartlarını sağlayan çiftleri bulalım.

Çarpanlara ayıralım:

35 = 5 \cdot 7

Çarpımı 35 olan pozitif tam sayı çiftleri:

(1, 35), (35, 1), (5, 7), (7, 5)

Bu çiftlerin hepsinde ortak bölen

1

olduğu için hepsi uygundur.

Adım 4:

a < b

koşulunu uygulayalım.

Çünkü

a = 12 x

b = 12 y

olduğundan

a < b \Leftrightarrow x < y

Bu durumda sadece

(x, y) = (1, 35)

(x, y) = (5, 7)

kalır.

Adım 5: Gerçek

(a, b)

ikilerini yazalım.

(a, b) = (12 \cdot 1, 12 \cdot 35) = (12, 420)

(a, b) = (12 \cdot 5, 12 \cdot 7) = (60, 84)

Sonuç:

2

farklı ikili vardır. Bu nedenle doğru seçenek B'dir.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar $a$ ve $b$ için $EBOB (a, b) = 12$ ve $EKOK (a, b) = 2160$ ise $(a, b)$ sıralı ikililerinin sayısı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Pozitif tam sayılar için bilinen bağıntıyı kullanalım: a ⋅ b = EBOB a, b ⋅ EKOK a, b Verilenleri yerine yazalım: a ⋅ b = 12 ⋅ 2160 a ⋅ b = 25920 EBOB 12 olduğuna göre şu şekilde yazabiliriz: a = 12 x b = 12 y ve bu durumda EBOB x, y = 1 EKOK ifadesini yazalım. Ortak bölenleri kalmadığı için (aralarında asal olduklarından): EKOK a, b = 12 x y Verilen EKOK değeri 2160 olduğundan: 12 x y = 2160 x y = 180 Şimdi soru, x y = 180 olacak şekilde aralarında asal sıralı ikililerin sayısını bulmaktır. 180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 180 = 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 EBOB x, y = 1 olması için her asal çarpanın tüm kuvveti ya tamamen x 'e ya da tamamen y 'ye gitmelidir (aksi halde ortak bölen oluşur). 180'in farklı asal çarpan sayısı: 3 Her biri için 2 seçim vardır: 2 3 = 8 Bu 8 seçim, aralarında asal olan ( x, y ) sıralı ikililerinin sayısıdır; dolayısıyla ( a, b ) sayısı da aynıdır. Sonuç: 8 Doğru seçenek A938 'dir.

Çözüm: Pozitif tam sayılar için bilinen bağıntıyı kullanalım: a ⋅ b = EBOB a, b ⋅ EKOK a, b Verilenleri yerine yazalım: a ⋅ b = 12 ⋅ 2160 a ⋅ b = 25920 EBOB 12 olduğuna göre şu şekilde yazabiliriz: a = 12 x b = 12 y ve bu durumda EBOB x, y = 1 EKOK ifadesini yazalım. Ortak bölenleri kalmadığı için (aralarında asal olduklarından): EKOK a, b = 12 x y Verilen EKOK değeri 2160 olduğundan: 12 x y = 2160 x y = 180 Şimdi soru, x y = 180 olacak şekilde aralarında asal sıralı ikililerin sayısını bulmaktır. 180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 180 = 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 EBOB x, y = 1 olması için her asal çarpanın tüm kuvveti ya tamamen x 'e ya da tamamen y 'ye gitmelidir (aksi halde ortak bölen oluşur). 180'in farklı asal çarpan sayısı: 3 Her biri için 2 seçim vardır: 2 3 = 8 Bu 8 seçim, aralarında asal olan ( x, y ) sıralı ikililerinin sayısıdır; dolayısıyla ( a, b ) sayısı da aynıdır. Sonuç: 8 Doğru seçenek A938 'dir.

Pozitif tam sayılar için bilinen bağıntıyı kullanalım:

a \cdot b = EBOB (a, b) \cdot EKOK (a, b)

Verilenleri yerine yazalım:

a \cdot b = 12 \cdot 2160

a \cdot b = 25920

EBOB 12 olduğuna göre şu şekilde yazabiliriz:

a = 12 x

b = 12 y

ve bu durumda

EBOB (x, y) = 1

EKOK ifadesini yazalım. Ortak bölenleri kalmadığı için (aralarında asal olduklarından):

EKOK (a, b) = 12 x y

Verilen EKOK değeri 2160 olduğundan:

12 x y = 2160

x y = 180

Şimdi soru,

x y = 180

olacak şekilde aralarında asal sıralı ikililerin sayısını bulmaktır.

180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

180 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5

$EBOB (x, y) = 1$ olması için her asal çarpanın tüm kuvveti ya tamamen $x$ 'e ya da tamamen $y$ 'ye gitmelidir (aksi halde ortak bölen oluşur).

180'in farklı asal çarpan sayısı:

3

Her biri için 2 seçim vardır:

2^{3} = 8

Bu 8 seçim, aralarında asal olan $(x, y)$ sıralı ikililerinin sayısıdır; dolayısıyla $(a, b)$ sayısı da aynıdır.

Sonuç:

8

Doğru seçenek B'dir.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar $a$ ve $b$ için
$EBOB (a, b) = 18$
$EKOK (a, b) = 720$
olduğuna göre $a + b$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilenlerden yararlanalım: EBOB ( a, b ) = 18 EKOK ( a, b ) = 720 Çarpım bağıntısını kullanalım: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) a · b = 18 · 720 = 12960 EBOB 18 olduğuna göre sayıları 18 katı şeklinde yazalım: a = 18 x b = 18 y Bu durumda ortak bölen tamamen 18’de toplandığı için: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK ifadesini kullanalım. EKOK ( 18 x, 18 y ) = 18 · EKOK ( x, y ) ve EBOB ( x, y ) = 1 olduğundan: EKOK ( x, y ) = x · y Dolayısıyla: 720 = 18 · x · y x · y = 40 Şimdi x · y = 40 ve EBOB ( x, y ) = 1 şartlarını sağlayan çarpan çiftlerine bakalım: 40 = 1 · 40 40 = 5 · 8 Diğer çiftler ( 2 · 20, 4 · 10 ) aralarında asal değildir. Amaç a + b değerini küçültmek. Yazalım: a + b = 18 x + 18 y = 18 ( x + y ) Uygun çiftler için toplamları hesaplayalım: ( x, y ) = ( 1, 40 ) ⇒ a + b = 18 ( 1 + 40 ) = 738 ( x, y ) = ( 5, 8 ) ⇒ a + b = 18 ( 5 + 8 ) = 234 En küçük değer: min ( a + b ) = 234 Dolayısıyla doğru cevap şık B’dir.

Çözüm: Verilenlerden yararlanalım: EBOB ( a, b ) = 18 EKOK ( a, b ) = 720 Çarpım bağıntısını kullanalım: a · b = EBOB ( a, b ) · EKOK ( a, b ) a · b = 18 · 720 = 12960 EBOB 18 olduğuna göre sayıları 18 katı şeklinde yazalım: a = 18 x b = 18 y Bu durumda ortak bölen tamamen 18’de toplandığı için: EBOB ( x, y ) = 1 EKOK ifadesini kullanalım. EKOK ( 18 x, 18 y ) = 18 · EKOK ( x, y ) ve EBOB ( x, y ) = 1 olduğundan: EKOK ( x, y ) = x · y Dolayısıyla: 720 = 18 · x · y x · y = 40 Şimdi x · y = 40 ve EBOB ( x, y ) = 1 şartlarını sağlayan çarpan çiftlerine bakalım: 40 = 1 · 40 40 = 5 · 8 Diğer çiftler ( 2 · 20, 4 · 10 ) aralarında asal değildir. Amaç a + b değerini küçültmek. Yazalım: a + b = 18 x + 18 y = 18 ( x + y ) Uygun çiftler için toplamları hesaplayalım: ( x, y ) = ( 1, 40 ) ⇒ a + b = 18 ( 1 + 40 ) = 738 ( x, y ) = ( 5, 8 ) ⇒ a + b = 18 ( 5 + 8 ) = 234 En küçük değer: min ( a + b ) = 234 Dolayısıyla doğru cevap şık B’dir.

Verilenlerden yararlanalım:

EBOB (a, b) = 18

EKOK (a, b) = 720

Çarpım bağıntısını kullanalım:

a \cdot b = EBOB (a, b) \cdot EKOK (a, b)

a \cdot b = 18 \cdot 720 = 12960

EBOB 18 olduğuna göre sayıları 18 katı şeklinde yazalım:

a = 18 x

b = 18 y

Bu durumda ortak bölen tamamen 18’de toplandığı için:

EBOB (x, y) = 1

EKOK ifadesini kullanalım. $EKOK (18 x, 18 y) = 18 \cdot EKOK (x, y)$ ve $EBOB (x, y) = 1$ olduğundan:

EKOK (x, y) = x \cdot y

Dolayısıyla:

720 = 18 \cdot x \cdot y

x \cdot y = 40

Şimdi $x \cdot y = 40$ ve $EBOB (x, y) = 1$ şartlarını sağlayan çarpan çiftlerine bakalım:

40 = 1 \cdot 40

40 = 5 \cdot 8

Diğer çiftler ( $2 \cdot 20$ , $4 \cdot 10$ ) aralarında asal değildir.

Amaç $a + b$ değerini küçültmek. Yazalım:

a + b = 18 x + 18 y = 18 (x + y)

Uygun çiftler için toplamları hesaplayalım:

(x, y) = (1, 40) \Rightarrow a + b = 18 (1 + 40) = 738

(x, y) = (5, 8) \Rightarrow a + b = 18 (5 + 8) = 234

En küçük değer:

\min (a + b) = 234

Dolayısıyla doğru cevap şık B’dir.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda $m$ ve $n$ pozitif tam sayılar için
$EBOB (m, n) = 18$ ve $EKOK (m, n) = 1260$
olduğuna göre $EBOB (m + n, m - n)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilenler: EBOB ( m, n ) = 18 EKOK ( m, n ) = 1260 Çarpım bağıntısını kullanalım: m · n = EBOB ( m, n ) · EKOK ( m, n ) m · n = 18 · 1260 Ortak böleni ayıralım: m = 18 a, n = 18 b, EBOB ( a, b ) = 1 Bu durumda ekok: EKOK ( m, n ) = 18 a b 18 a b = 1260 a b = 70 İstenen ifadeyi dönüştürelim: EBOB ( m + n, m - n ) = EBOB ( 18 ( a + b ), 18 ( a - b ) ) EBOB ( m + n, m - n ) = 18 · EBOB ( a + b, a - b ) Şimdi şu özelliği kullanalım: EBOB ( a + b, a - b ) | ( ( a + b ) + ( a - b ) ) ( a + b ) + ( a - b ) = 2 a EBOB ( a + b, a - b ) | 2 a Benzer şekilde: ( a + b ) - ( a - b ) = 2 b EBOB ( a + b, a - b ) | 2 b Dolayısıyla bu bölen, hem aşağıdakini böler: EBOB ( a + b, a - b ) | EBOB ( 2 a, 2 b ) EBOB ( 2 a, 2 b ) = 2 EBOB ( a, b ) = 2 Yani: EBOB ( a + b, a - b ) ∈ { 1, 2 } Şimdi pariteyi belirleyelim. Aşağıdaki iki bilgi var: a b = 70 EBOB ( a, b ) = 1 Çarpım çift olduğundan en az birisi çifttir; ancak aralarında ortak bölen olmadığından ikisi birden çift olamaz. Bu yüzden biri çift, diğeri tektir ve toplam tektir: a + b ≡ 1 ( mod 2 ) Toplam tek olduğuna göre bu toplamı bölen bir sayı (yukarıda bulunduğu gibi) yalnızca 2 olamaz; dolayısıyla: EBOB ( a + b, a - b ) = 1 Sonuç: EBOB ( m + n, m - n ) = 18 · 1 = 18 Doğru seçenek: 18

Çözüm: Verilenler: EBOB ( m, n ) = 18 EKOK ( m, n ) = 1260 Çarpım bağıntısını kullanalım: m · n = EBOB ( m, n ) · EKOK ( m, n ) m · n = 18 · 1260 Ortak böleni ayıralım: m = 18 a, n = 18 b, EBOB ( a, b ) = 1 Bu durumda ekok: EKOK ( m, n ) = 18 a b 18 a b = 1260 a b = 70 İstenen ifadeyi dönüştürelim: EBOB ( m + n, m - n ) = EBOB ( 18 ( a + b ), 18 ( a - b ) ) EBOB ( m + n, m - n ) = 18 · EBOB ( a + b, a - b ) Şimdi şu özelliği kullanalım: EBOB ( a + b, a - b ) | ( ( a + b ) + ( a - b ) ) ( a + b ) + ( a - b ) = 2 a EBOB ( a + b, a - b ) | 2 a Benzer şekilde: ( a + b ) - ( a - b ) = 2 b EBOB ( a + b, a - b ) | 2 b Dolayısıyla bu bölen, hem aşağıdakini böler: EBOB ( a + b, a - b ) | EBOB ( 2 a, 2 b ) EBOB ( 2 a, 2 b ) = 2 EBOB ( a, b ) = 2 Yani: EBOB ( a + b, a - b ) ∈ { 1, 2 } Şimdi pariteyi belirleyelim. Aşağıdaki iki bilgi var: a b = 70 EBOB ( a, b ) = 1 Çarpım çift olduğundan en az birisi çifttir; ancak aralarında ortak bölen olmadığından ikisi birden çift olamaz. Bu yüzden biri çift, diğeri tektir ve toplam tektir: a + b ≡ 1 ( mod 2 ) Toplam tek olduğuna göre bu toplamı bölen bir sayı (yukarıda bulunduğu gibi) yalnızca 2 olamaz; dolayısıyla: EBOB ( a + b, a - b ) = 1 Sonuç: EBOB ( m + n, m - n ) = 18 · 1 = 18 Doğru seçenek: 18

Verilenler:

EBOB (m, n) = 18

EKOK (m, n) = 1260

Çarpım bağıntısını kullanalım:

m \cdot n = EBOB (m, n) \cdot EKOK (m, n)

m \cdot n = 18 \cdot 1260

Ortak böleni ayıralım:

m = 18 a, n = 18 b, EBOB (a, b) = 1

Bu durumda ekok:

EKOK (m, n) = 18 a b

18 a b = 1260

a b = 70

İstenen ifadeyi dönüştürelim:

EBOB (m + n, m - n) = EBOB (18 (a + b), 18 (a - b))

EBOB (m + n, m - n) = 18 \cdot EBOB (a + b, a - b)

Şimdi şu özelliği kullanalım:

EBOB (a + b, a - b) | ((a + b) + (a - b))

(a + b) + (a - b) = 2 a

EBOB (a + b, a - b) | 2 a

Benzer şekilde:

(a + b) - (a - b) = 2 b

EBOB (a + b, a - b) | 2 b

Dolayısıyla bu bölen, hem aşağıdakini böler:

EBOB (a + b, a - b) | EBOB (2 a, 2 b)

EBOB (2 a, 2 b) = 2 EBOB (a, b) = 2

Yani:

EBOB (a + b, a - b) \in {1, 2}

Şimdi pariteyi belirleyelim. Aşağıdaki iki bilgi var:

a b = 70

EBOB (a, b) = 1

Çarpım çift olduğundan en az birisi çifttir; ancak aralarında ortak bölen olmadığından ikisi birden çift olamaz. Bu yüzden biri çift, diğeri tektir ve toplam tektir:

a + b \equiv 1 (\mod 2)

Toplam tek olduğuna göre bu toplamı bölen bir sayı (yukarıda bulunduğu gibi) yalnızca

2

olamaz; dolayısıyla:

EBOB (a + b, a - b) = 1

Sonuç:

EBOB (m + n, m - n) = 18 \cdot 1 = 18

Doğru seçenek:

18

8. SoruÇoktan Seçmeli

EBOB'ları $12$ ve EKOK'ları $840$ olan kaç farklı sıralı $(a, b)$ çifti vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

1) Verilen koşullar: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 840 2) EBOB ortak çarpanını ayıralım: a = 12 x, b = 12 y Bu durumda ortak çarpan tamamen ayrıldığı için: EBOB ( x, y ) = 1 3) EKOK koşulunu kullanalım. EBOB'ları 1 olan iki sayının EKOK'u çarpımlarına eşittir; dolayısıyla: EKOK ( a, b ) = EKOK ( 12 x, 12 y ) = 12 x y Verilene eşitleyelim: 12 x y = 840 x y = 70 4) Şimdi çarpımı 70 olan ve aralarında asal olan sıralı ikilileri sayacağız. Asal çarpanlarına ayıralım: 70 = 2 × 5 × 7 Aralarında asal olmaları için bu asal çarpanların her biri tamamen ya birinci sayıya ya ikinci sayıya gitmelidir (aynı asal iki tarafta birden olamaz). 5) Her asal çarpan için 2 seçim vardır (birinciye ya da ikinciye). Toplam asal sayısı 3 olduğundan sıralı ikili sayısı: 2 3 = 8 6) Sonuç: 8 farklı sıralı ( a, b ) çifti vardır. Bu da şıklar içinde B 'ye karşılık gelir.

Çözüm: 1) Verilen koşullar: EBOB ( a, b ) = 12 EKOK ( a, b ) = 840 2) EBOB ortak çarpanını ayıralım: a = 12 x, b = 12 y Bu durumda ortak çarpan tamamen ayrıldığı için: EBOB ( x, y ) = 1 3) EKOK koşulunu kullanalım. EBOB'ları 1 olan iki sayının EKOK'u çarpımlarına eşittir; dolayısıyla: EKOK ( a, b ) = EKOK ( 12 x, 12 y ) = 12 x y Verilene eşitleyelim: 12 x y = 840 x y = 70 4) Şimdi çarpımı 70 olan ve aralarında asal olan sıralı ikilileri sayacağız. Asal çarpanlarına ayıralım: 70 = 2 × 5 × 7 Aralarında asal olmaları için bu asal çarpanların her biri tamamen ya birinci sayıya ya ikinci sayıya gitmelidir (aynı asal iki tarafta birden olamaz). 5) Her asal çarpan için 2 seçim vardır (birinciye ya da ikinciye). Toplam asal sayısı 3 olduğundan sıralı ikili sayısı: 2 3 = 8 6) Sonuç: 8 farklı sıralı ( a, b ) çifti vardır. Bu da şıklar içinde B 'ye karşılık gelir.

1) Verilen koşullar:

EBOB (a, b) = 12

EKOK (a, b) = 840

2) EBOB ortak çarpanını ayıralım:

a = 12 x, b = 12 y

Bu durumda ortak çarpan tamamen ayrıldığı için:

EBOB (x, y) = 1

3) EKOK koşulunu kullanalım. EBOB'ları $1$ olan iki sayının EKOK'u çarpımlarına eşittir; dolayısıyla:

EKOK (a, b) = EKOK (12 x, 12 y) = 12 x y

Verilene eşitleyelim:

12 x y = 840

x y = 70

4) Şimdi çarpımı $70$ olan ve aralarında asal olan sıralı ikilileri sayacağız. Asal çarpanlarına ayıralım:

70 = 2 \times 5 \times 7

Aralarında asal olmaları için bu asal çarpanların her biri tamamen ya birinci sayıya ya ikinci sayıya gitmelidir (aynı asal iki tarafta birden olamaz).

5) Her asal çarpan için $2$ seçim vardır (birinciye ya da ikinciye). Toplam asal sayısı $3$ olduğundan sıralı ikili sayısı:

2^{3} = 8

6) Sonuç: $8$ farklı sıralı $(a, b)$ çifti vardır. Bu da şıklar içinde B'ye karşılık gelir.

9. SoruÇoktan Seçmeli

$EBOB (a, b) = 12$ ve $EKOK (a, b) = 420$ olan pozitif tam sayılar için $| a - b |$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar $a, b$ için
$EBOB (a, b) = 18$
$EKOK (a, b) = 1260$
ve $a < b$ koşulları sağlanıyor. Buna göre mümkün olan tüm $a$ değerlerinin toplamı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

EBOB-EKOK Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

EBOB hangi problemlerde kullanılır?

Eşit ve en büyük parçalara ayırma, paylaştırma ve ortak bölen bulma problemlerinde kullanılır.

EKOK hangi problemlerde kullanılır?

Tekrar eden olayların birlikte ne zaman gerçekleşeceğini bulma problemlerinde kullanılır.

EBOB ve EKOK nasıl bulunur?

Sayılar asal çarpanlarına ayrılır; ortak ve farklı çarpanların uygun üsleri kullanılır.

9. Sınıf Matematik Ebob Ekok Testleri

9. Sınıf EBOB-EKOK Testleri

EBOB ve EKOK Farkı

Problem Stratejisi

9. Sınıf Matematik Ebob Ekok Testleri

Pozitif tam sayılar a ve b içinEBOB(a,b)=12,EKOK(a,b)=840olduğuna göre a<b şartını sağlayan kaç farklı (a,b) ikilisi vardır?

Pozitif tam sayılar a ve b içinEBOB(a,b)=24EKOK(a,b)=1512olduğuna göre (a,b) sıralı ikililerinin sayısı kaçtır

Bir doğal sayı n içinEBOB(120,n)=24veEKOK(120,n)=840isenkaçtır?

Pozitif tam sayılar a ve b için gcd(a,b)=12 ve lcm(a,b)=420 olsun.a<b koşulunu sağlayan kaç farklı (a,b) ikilisi vardır?

Pozitif tam sayılar a ve b için EBOBa,b=12 ve EKOKa,b=2160 ise (a,b) sıralı ikililerinin sayısı kaçtır?

Pozitif tam sayılar a ve b içinEBOB(a,b)=18EKOK(a,b)=720olduğuna göre a+b ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Aşağıda m ve n pozitif tam sayılar içinEBOB(m,n)=18veEKOK(m,n)=1260olduğuna göre EBOB(m+n,m-n) kaçtır?

EBOB'ları 12 ve EKOK'ları 840 olan kaç farklı sıralı (a,b) çifti vardır?

EBOB(a,b)=12 ve EKOK(a,b)=420 olan pozitif tam sayılar için |a-b| ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Pozitif tam sayılar a,b içinEBOB(a,b)=18EKOK(a,b)=1260ve a<b koşulları sağlanıyor. Buna göre mümkün olan tüm a değerlerinin toplamı kaçtır?

EBOB-EKOK Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

Pozitif tam sayılar $a$ ve $b$ için
$EBOB (a, b) = 12, EKOK (a, b) = 840$
olduğuna göre $a < b$ şartını sağlayan kaç farklı $(a, b)$ ikilisi vardır?

Pozitif tam sayılar $a$ ve $b$ için
$EBOB (a, b) = 24$
$EKOK (a, b) = 1512$
olduğuna göre $(a, b)$ sıralı ikililerinin sayısı kaçtır

Bir doğal sayı $n$ için
$EBOB (120, n) = 24$ ve $EKOK (120, n) = 840$ ise $n$ kaçtır?

Pozitif tam sayılar $a$ ve $b$ için $\gcd (a, b) = 12$ ve $lcm (a, b) = 420$ olsun.
$a < b$ koşulunu sağlayan kaç farklı $(a, b)$ ikilisi vardır?

Pozitif tam sayılar $a$ ve $b$ için $EBOB (a, b) = 12$ ve $EKOK (a, b) = 2160$ ise $(a, b)$ sıralı ikililerinin sayısı kaçtır?

Pozitif tam sayılar $a$ ve $b$ için
$EBOB (a, b) = 18$
$EKOK (a, b) = 720$
olduğuna göre $a + b$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Aşağıda $m$ ve $n$ pozitif tam sayılar için
$EBOB (m, n) = 18$ ve $EKOK (m, n) = 1260$
olduğuna göre $EBOB (m + n, m - n)$ kaçtır?

EBOB'ları $12$ ve EKOK'ları $840$ olan kaç farklı sıralı $(a, b)$ çifti vardır?

$EBOB (a, b) = 12$ ve $EKOK (a, b) = 420$ olan pozitif tam sayılar için $| a - b |$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Pozitif tam sayılar $a, b$ için
$EBOB (a, b) = 18$
$EKOK (a, b) = 1260$
ve $a < b$ koşulları sağlanıyor. Buna göre mümkün olan tüm $a$ değerlerinin toplamı kaçtır?