9. Sınıf Matematik Ebob Ekok Testleri

Doğru cevap: B

Verilenler: EBOB ( a, b ) = 18 EKOK ( a, b ) = 1260 Bilinen bağıntıyı kullanalım: a · $b = EBOB$( a, b ) · EKOK ( a, b ) a · $b = 18$· 1260 EBOB ( a, b ) = 18 olduğundan $a = 18$x ve $b = 18$y yazalım. Bu durumda: EBOB ( x, y ) = 1 Şimdi EKOK bilgisini kullanalım. EKOK şu olur: EKOK ( a, b ) = EKOK ( 18 x, 18 y ) = 18 x y (Çünkü EBOB ( x, y ) = 1 iken EKOK ( x, y ) = x y olur.) O halde: 18 x $y = 1260$x $y = 70$x $y = 70$ve EBOB ( x, y ) = 1 olduğundan $70 = 2$ · 5 · 7 asal çarpanları iki sayıya ortak olmayacak biçimde paylaştırılır. Uygun (aralarında asal) çarpan çiftleri: ( x, y ) = ( 1, 70 ) ( x, y ) = ( 2, 35 ) ( x, y ) = ( 5, 14 ) ( x, y ) = ( 7, 10 ) İstenen ifade: | a - b | $a = 18$x ve $b = 18$y olduğundan: | a - b | = | 18 x - 18 y | = 18 · | x - y | Şimdi her çift için | x - y | hesaplayıp en küçüğünü bulalım: | 1 - 70 | = 69 | 2 - 35 | = 33 | 5 - 14 | = 9 | 7 - 10 | = 3 En küçük değer: | x - y | = 3 O halde: | a - b | = 18 · $3 = 54$ Sonuç: En küçük değer 54 olur. Doğru seçenek B977 'dır.

1. Çözüm: Verilenler: EBOB ( a, b ) = 18 EKOK ( a, b ) = 1260 Bilinen bağıntıyı kullanalım: a · $b = EBOB$( a, b ) · EKOK ( a, b ) a · $b = 18$· 1260 EBOB ( a, b ) = 18 olduğundan $a = 18$x ve $b = 18$y yazalım. Bu durumda: EBOB ( x, y ) = 1 Şimdi EKOK bilgisini kullanalım. EKOK şu olur: EKOK ( a, b ) = EKOK ( 18 x, 18 y ) = 18 x y (Çünkü EBOB ( x, y ) = 1 iken EKOK ( x, y ) = x y olur.) O halde: 18 x $y = 1260$x $y = 70$x $y = 70$ve EBOB ( x, y ) = 1 olduğundan $70 = 2$ · 5 · 7 asal çarpanları iki sayıya ortak olmayacak biçimde paylaştırılır. Uygun (aralarında asal) çarpan çiftleri: ( x, y ) = ( 1, 70 ) ( x, y ) = ( 2, 35 ) ( x, y ) = ( 5, 14 ) ( x, y ) = ( 7, 10 ) İstenen ifade: | a - b | $a = 18$x ve $b = 18$y olduğundan: | a - b | = | 18 x - 18 y | = 18 · | x - y | Şimdi her çift için | x - y | hesaplayıp en küçüğünü bulalım: | 1 - 70 | = 69 | 2 - 35 | = 33 | 5 - 14 | = 9 | 7 - 10 | = 3 En küçük değer: | x - y | = 3 O halde: | a - b | = 18 · $3 = 54$ Sonuç: En küçük değer 54 olur. Doğru seçenek B977 'dır.

Doğru cevap: C

Verilenler: EBOB ( a, b ) = 18 EKOK ( a, b ) = 27720 EBOB değeri ortak çarpan olduğundan sayıları bu ortak çarpan üzerinden yazalım: $a = 18$x, $b = 18$y, EBOB ( x, y ) = 1 Bilinen bağıntı: a $b = EBOB$( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) Yerine yazalım: ( 18 x ) ( 18 y ) = 18 ⋅ 27720 Sadeleştirelim: 324 x $y = 498960$x $y = 1540$Şimdi amaç toplamı en küçük yapmak. Çünkü a + $b = 18$( x + y ) olduğundan, toplamı en küçük yapan durum çarpımları sabit olan ve aralarında asal iki çarpanın birbirine en yakın olduğu durumdur. Çarpımı asal çarpanlarına ayıralım: $1540 = 2$ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 Aralarında asal olabilmesi için her asal çarpan (ve tam kuvveti ) iki sayıdan yalnız birine verilmelidir. Bu yüzden 2 $2 = 4$ tamamı tek tarafta olmalıdır. Yakınlığı sağlamak için uygun bir paylaştırma seçelim: $x = 4$⋅ $11 = 44$ $y = 5$⋅ $7 = 35$ Kontrol: x $y = 44$⋅ $35 = 1540$ EBOB ( 44, 35 ) = 1 Bu durumda toplam: a + $b = 18$( 44 + 35 ) a + $b = 18$⋅ $79 = 1422$ Sonuç: En küçük değer 1422 olur. Bu da şıkkıC963dır; yani verilen cevap B doğru.

1. Çözüm: Verilenler: EBOB ( a, b ) = 18 EKOK ( a, b ) = 27720 EBOB değeri ortak çarpan olduğundan sayıları bu ortak çarpan üzerinden yazalım: $a = 18$x, $b = 18$y, EBOB ( x, y ) = 1 Bilinen bağıntı: a $b = EBOB$( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) Yerine yazalım: ( 18 x ) ( 18 y ) = 18 ⋅ 27720 Sadeleştirelim: 324 x $y = 498960$x $y = 1540$Şimdi amaç toplamı en küçük yapmak. Çünkü a + $b = 18$( x + y ) olduğundan, toplamı en küçük yapan durum çarpımları sabit olan ve aralarında asal iki çarpanın birbirine en yakın olduğu durumdur. Çarpımı asal çarpanlarına ayıralım: $1540 = 2$ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 Aralarında asal olabilmesi için her asal çarpan (ve tam kuvveti ) iki sayıdan yalnız birine verilmelidir. Bu yüzden 2 $2 = 4$ tamamı tek tarafta olmalıdır. Yakınlığı sağlamak için uygun bir paylaştırma seçelim: $x = 4$⋅ $11 = 44$ $y = 5$⋅ $7 = 35$ Kontrol: x $y = 44$⋅ $35 = 1540$ EBOB ( 44, 35 ) = 1 Bu durumda toplam: a + $b = 18$( 44 + 35 ) a + $b = 18$⋅ $79 = 1422$ Sonuç: En küçük değer 1422 olur. Bu da şıkkıC963dır; yani verilen cevap B doğru.

Doğru cevap: D

1) Şık kontrolü: Verilenlere göre doğru cevabın A olup olmadığını bulalım. Verilenler: EBOB ( a, b ) = 18 EKOK ( a, b ) = 1260 2) Temel özellik: Pozitif tamsayılarda a · $b = EBOB$( a, b ) · EKOK ( a, b ) Buradan a · $b = 18$· $1260 = 22680$ 3) EBOB ile sadeleştirelim: EBOB EBOB ( a, b ) = 18 olduğundan $a = 18$x $b = 18$y ve EBOB ( x, y ) = 1 4) EKOK’u kullanma: EBOB EBOB ( x, y ) = 1 olduğundan EKOK ( x, y ) = x · y Dolayısıyla EKOK ( a, b ) = EKOK ( 18 x, 18 y ) = 18 · EKOK ( x, y ) = 18 · x · y Bu değer 1260 olduğuna göre 18 · x · $y = 1260$x · $y = 70$5) Şimdi istenen, x · $y = 70$ve EBOB ( x, y ) = 1 şartlarını sağlayan sıralı ( x, y ) ikililerinin sayısıdır. 6) Asal çarpanlara ayıralım: $70 = 2$ · 5 · 7 Bu üç asalın her biri, EBOB ( x, y ) = 1 olması için aynı anda hem x hem de y içinde bulunamaz; her asal çarpan ya tamamen x e ya da tamamen y ye verilir. 7) Sayma: Her bir asal çarpan için 2 seçenek vardır ( x e ver veya y ye ver). Üç asal olduğundan sıralı ikili sayısı 2 $3 = 8$ 8) Sonuç ve şık kontrolü: Sıralı ( a, b ) ikilisi sayısı 8 bulunur. Bu da şıkkıD1063dır.

1. Çözüm: 1) Şık kontrolü: Verilenlere göre doğru cevabın A olup olmadığını bulalım. Verilenler: EBOB ( a, b ) = 18 EKOK ( a, b ) = 1260 2) Temel özellik: Pozitif tamsayılarda a · $b = EBOB$( a, b ) · EKOK ( a, b ) Buradan a · $b = 18$· $1260 = 22680$ 3) EBOB ile sadeleştirelim: EBOB EBOB ( a, b ) = 18 olduğundan $a = 18$x $b = 18$y ve EBOB ( x, y ) = 1 4) EKOK’u kullanma: EBOB EBOB ( x, y ) = 1 olduğundan EKOK ( x, y ) = x · y Dolayısıyla EKOK ( a, b ) = EKOK ( 18 x, 18 y ) = 18 · EKOK ( x, y ) = 18 · x · y Bu değer 1260 olduğuna göre 18 · x · $y = 1260$x · $y = 70$5) Şimdi istenen, x · $y = 70$ve EBOB ( x, y ) = 1 şartlarını sağlayan sıralı ( x, y ) ikililerinin sayısıdır. 6) Asal çarpanlara ayıralım: $70 = 2$ · 5 · 7 Bu üç asalın her biri, EBOB ( x, y ) = 1 olması için aynı anda hem x hem de y içinde bulunamaz; her asal çarpan ya tamamen x e ya da tamamen y ye verilir. 7) Sayma: Her bir asal çarpan için 2 seçenek vardır ( x e ver veya y ye ver). Üç asal olduğundan sıralı ikili sayısı 2 $3 = 8$ 8) Sonuç ve şık kontrolü: Sıralı ( a, b ) ikilisi sayısı 8 bulunur. Bu da şıkkıD1063dır.

Doğru cevap: A

Verilenlere göre iki sayı gcd (EBOB) ve lcm (EKOK) ilişkisiyle yazılır. Sayıları, EBOB ortak çarpan olacak şekilde yazalım: $x = 12$a $y = 12$b Burada a ve b aralarında asal olmalıdır. EBOB ( a, b ) = 1 Aralarında asal oldukları için EKOK: EKOK ( x, y ) = 12 a b Verilen EKOK değeri ile eşitleyelim: 12 a $b = 420$Buradan a ile b çarpımı: a $b = 420$$12 = 35$ a ve b aralarında asal olacak şekilde 35 ’in çarpan çiftlerini yazalım: a, b ∈ { 1, 35 } a, b ∈ { 5, 7 } Toplamı en küçük yapmak için a ve b birbirine en yakın seçilir: $a = 5$, $b = 7$Bu durumda sayılar: $x = 12$· $5 = 60$ $y = 12$· $7 = 84$ Toplam: x + y = $60 + 84 = 144$ Kontrol: Diğer aralarında asal çift (1,35) olursa toplam daha büyük olur. 12 · 1 + 12 · $35 = 12$ · $36 = 432$ Sonuç: En küçük toplam 144 olur. Bu nedenle doğru seçenek A769 ’dir.

1. Çözüm: Verilenlere göre iki sayı gcd (EBOB) ve lcm (EKOK) ilişkisiyle yazılır. Sayıları, EBOB ortak çarpan olacak şekilde yazalım: $x = 12$a $y = 12$b Burada a ve b aralarında asal olmalıdır. EBOB ( a, b ) = 1 Aralarında asal oldukları için EKOK: EKOK ( x, y ) = 12 a b Verilen EKOK değeri ile eşitleyelim: 12 a $b = 420$Buradan a ile b çarpımı: a $b = 420$$12 = 35$ a ve b aralarında asal olacak şekilde 35 ’in çarpan çiftlerini yazalım: a, b ∈ { 1, 35 } a, b ∈ { 5, 7 } Toplamı en küçük yapmak için a ve b birbirine en yakın seçilir: $a = 5$, $b = 7$Bu durumda sayılar: $x = 12$· $5 = 60$ $y = 12$· $7 = 84$ Toplam: x + y = $60 + 84 = 144$ Kontrol: Diğer aralarında asal çift (1,35) olursa toplam daha büyük olur. 12 · 1 + 12 · $35 = 12$ · $36 = 432$ Sonuç: En küçük toplam 144 olur. Bu nedenle doğru seçenek A769 ’dir.

Doğru cevap: B

Seçenek D doğru mu diye kontrol etmek için verilen EBOB ve EKOK bilgisini birlikte kullanacağız. Verilenler: EBOB ( a, b ) = 24 EKOK ( a, b ) = 2160 7 | a + b EBOB değeri ortak çarpan olduğundan şu şekilde yazabiliriz: $a = 24$x $b = 24$y Burada ortak bölen tamamen ayrıldığı için: EBOB ( x, y ) = 1 Bu durumda EKOK hesabı sadeleşir: EKOK ( a, b ) = EKOK ( 24 x, 24 y ) = 24 x y Verilen EKOK değerini yerine yazalım: 24 x $y = 2160$x $y = 90$Şimdi çarpımları bu olan ve aralarında asal olan ikilileri bulacağız. Önce asal çarpanlara ayıralım: $90 = 2$ · 3 2 · 5 Aralarında asal olmaları için asal çarpanlar iki sayıya paylaşılır (aynı asal iki tarafta birden bulunmaz). Uygun ikililer: ( x, y ) = ( 1, 90 ) ( x, y ) = ( 2, 45 ) ( x, y ) = ( 5, 18 ) ( x, y ) = ( 9, 10 ) Bölünebilme şartını kullanalım: 7 | a + b Yerine yazalım: a + $b = 24$x + 24 $y = 24$( x + y ) Bu yüzden: 7 | 24 ( x + y ) ve aşağıdaki bilgiyle: EBOB ( 24, 7 ) = 1 şu sonuca varırız: 7 | x + y Şimdi aday ikililer için toplamları kontrol edelim: $1 + 90 = 91$ $2 + 45 = 47$ $5 + 18 = 23$ $9 + 10 = 19$ Bunlardan sadece aşağıdaki toplam 7 ile bölünür: $91 = 7$ · 13 Dolayısıyla: ( x, y ) = ( 1, 90 ) Son olarak a+b değerini bulalım: $a = 24$· $1 = 24$ $b = 24$· $90 = 2160$ a + b = $24 + 2160 = 2184$ Sonuç: 2184 bulunduğu için doğru cevap B1271 ’dir.

1. Çözüm: Seçenek D doğru mu diye kontrol etmek için verilen EBOB ve EKOK bilgisini birlikte kullanacağız. Verilenler: EBOB ( a, b ) = 24 EKOK ( a, b ) = 2160 7 | a + b EBOB değeri ortak çarpan olduğundan şu şekilde yazabiliriz: $a = 24$x $b = 24$y Burada ortak bölen tamamen ayrıldığı için: EBOB ( x, y ) = 1 Bu durumda EKOK hesabı sadeleşir: EKOK ( a, b ) = EKOK ( 24 x, 24 y ) = 24 x y Verilen EKOK değerini yerine yazalım: 24 x $y = 2160$x $y = 90$Şimdi çarpımları bu olan ve aralarında asal olan ikilileri bulacağız. Önce asal çarpanlara ayıralım: $90 = 2$ · 3 2 · 5 Aralarında asal olmaları için asal çarpanlar iki sayıya paylaşılır (aynı asal iki tarafta birden bulunmaz). Uygun ikililer: ( x, y ) = ( 1, 90 ) ( x, y ) = ( 2, 45 ) ( x, y ) = ( 5, 18 ) ( x, y ) = ( 9, 10 ) Bölünebilme şartını kullanalım: 7 | a + b Yerine yazalım: a + $b = 24$x + 24 $y = 24$( x + y ) Bu yüzden: 7 | 24 ( x + y ) ve aşağıdaki bilgiyle: EBOB ( 24, 7 ) = 1 şu sonuca varırız: 7 | x + y Şimdi aday ikililer için toplamları kontrol edelim: $1 + 90 = 91$ $2 + 45 = 47$ $5 + 18 = 23$ $9 + 10 = 19$ Bunlardan sadece aşağıdaki toplam 7 ile bölünür: $91 = 7$ · 13 Dolayısıyla: ( x, y ) = ( 1, 90 ) Son olarak a+b değerini bulalım: $a = 24$· $1 = 24$ $b = 24$· $90 = 2160$ a + b = $24 + 2160 = 2184$ Sonuç: 2184 bulunduğu için doğru cevap B1271 ’dir.

Doğru cevap: C

Verilen koşullarda sayıları ortak bölenlerine ayırarak yazalım. $a = 24$x, $b = 24$y, EBOB ( x, y ) = 1 Bu durumda EKOK bağıntısını kullanalım. EKOK ( a, b ) = 24 x y 24 x $y = 3600$x $y = 150$Maksimize edilmek istenen ifade: | a - b | = | 24 x - 24 y | = 24 | x - y | Çarpımları sabitken farkı en büyük yapmak için (ve ayrıca aralarında asal kalacak şekilde) biri en küçük, diğeri en büyük seçilir. Çarpım şartı gereği uygun seçim: $x = 1$, $y = 150$Aralarında asal kontrolü: EBOB ( 1, 150 ) = 1 Buna karşılık gelen sayılar ve fark: $a = 24$· $1 = 24$, $b = 24$· $150 = 3600$ | a - b | = | 24 - 3600 | = 3576 Sonuç seçeneklerle karşılaştırılınca doğru cevabın B olduğu görülür. 3576

1. Çözüm: Verilen koşullarda sayıları ortak bölenlerine ayırarak yazalım. $a = 24$x, $b = 24$y, EBOB ( x, y ) = 1 Bu durumda EKOK bağıntısını kullanalım. EKOK ( a, b ) = 24 x y 24 x $y = 3600$x $y = 150$Maksimize edilmek istenen ifade: | a - b | = | 24 x - 24 y | = 24 | x - y | Çarpımları sabitken farkı en büyük yapmak için (ve ayrıca aralarında asal kalacak şekilde) biri en küçük, diğeri en büyük seçilir. Çarpım şartı gereği uygun seçim: $x = 1$, $y = 150$Aralarında asal kontrolü: EBOB ( 1, 150 ) = 1 Buna karşılık gelen sayılar ve fark: $a = 24$· $1 = 24$, $b = 24$· $150 = 3600$ | a - b | = | 24 - 3600 | = 3576 Sonuç seçeneklerle karşılaştırılınca doğru cevabın B olduğu görülür. 3576

Doğru cevap: D

1) Şık kontrolü: Önce çarpım ilişkisini kullanalım. a ⋅ $b = EBOB$( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) Verilenleri yerine yazalım. a ⋅ $b = 12$⋅ 840 a ⋅ $b = 10080$2) Oran bilgisine göre sayıları parametreleyelim. a: $b = 7$: 10 $a = 7$k, $b = 10$k 3) Çarpımı eşitleyelim. a ⋅ b = ( 7 k ) ⋅ ( 10 k ) 70 k $2 = 10080$ 4) k 'yı bulalım. k $2 = 10080$ 70 k $2 = 144$ $k = 12$5) a ve b 'yi bulup toplayalım. $a = 7$⋅ $12 = 84$ $b = 10$⋅ $12 = 120$ a + b = $84 + 120 = 204$ Sonuç: Doğru cevap D505 şıkkıdır. 204

1. Çözüm: 1) Şık kontrolü: Önce çarpım ilişkisini kullanalım. a ⋅ $b = EBOB$( a, b ) ⋅ EKOK ( a, b ) Verilenleri yerine yazalım. a ⋅ $b = 12$⋅ 840 a ⋅ $b = 10080$2) Oran bilgisine göre sayıları parametreleyelim. a: $b = 7$: 10 $a = 7$k, $b = 10$k 3) Çarpımı eşitleyelim. a ⋅ b = ( 7 k ) ⋅ ( 10 k ) 70 k $2 = 10080$ 4) k 'yı bulalım. k $2 = 10080$ 70 k $2 = 144$ $k = 12$5) a ve b 'yi bulup toplayalım. $a = 7$⋅ $12 = 84$ $b = 10$⋅ $12 = 120$ a + b = $84 + 120 = 204$ Sonuç: Doğru cevap D505 şıkkıdır. 204

Doğru cevap: A

18 ve 24’ün ortak bölenlerinin en büyüğü 6’dır.

1. Çözüm: 18 ve 24’ün ortak bölenlerinin en büyüğü 6’dır.

Doğru cevap: B

6 ve 8’in ortak katlarının en küçüğü 24’tür.

1. Çözüm: 6 ve 8’in ortak katlarının en küçüğü 24’tür.

Doğru cevap: C

Aralarında asal sayıların 1’den başka ortak böleni yoktur; EBOB 1’dir.

1. Çözüm: Aralarında asal sayıların 1’den başka ortak böleni yoktur; EBOB 1’dir.