8. Sınıf Matematik Üçgenler Testleri

Doğru cevap: C

Şıkları kontrol edelim: Önce üçgenin alanını Heron formülüyle bulup, sonra tabanı verilen kenar olan yükşekliği hesaplayacağız. 1) Yarı çevreyi bulalım: s = 13 + 14 + 15 2 = 42 2 = 21 2) Heron formülüyle alanı bulalım: A = s ( s - 13 ) ( s - 14 ) ( s - 15 ) 3) Yerine koyup sadeleştirelim: A = 21 ( 21 - 13 ) ( 21 - 14 ) ( 21 - 15 ) = 21 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 4) Karekök içini çarpalım: A = 7056 = 84 5) Alan bağıntısından, tabanı (14 uzunluklu kenar) olan yükşekliği bulalım: A = b ⋅ h 2 6) b = 14 ve A = 84 yerine yazalım: 84 = 14 ⋅ h 2 ⇒ h = 2 ⋅ 84 14 = 12 Sonuç: Yükşeklik 12 birimdir. Doğru cevap C.

1. Çözüm: Şıkları kontrol edelim: Önce üçgenin alanını Heron formülüyle bulup, sonra tabanı verilen kenar olan yükşekliği hesaplayacağız. 1) Yarı çevreyi bulalım: s = 13 + 14 + 15 2 = 42 2 = 21 2) Heron formülüyle alanı bulalım: A = s ( s - 13 ) ( s - 14 ) ( s - 15 ) 3) Yerine koyup sadeleştirelim: A = 21 ( 21 - 13 ) ( 21 - 14 ) ( 21 - 15 ) = 21 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 4) Karekök içini çarpalım: A = 7056 = 84 5) Alan bağıntısından, tabanı (14 uzunluklu kenar) olan yükşekliği bulalım: A = b ⋅ h 2 6) b = 14 ve A = 84 yerine yazalım: 84 = 14 ⋅ h 2 ⇒ h = 2 ⋅ 84 14 = 12 Sonuç: Yükşeklik 12 birimdir. Doğru cevap C.

Doğru cevap: A

1) Önce doğru şıkkı kontrol edelim: Üçgen C köşesinde dik, AC=6, BC=8. CD, C açısının açıortayıdır ve D noktası AB üzerindedir. İstenen CD uzunluğudur. 2) Hipotenüsü bulalım (Pisagor): A B = A C 2 + B C 2 A B = 6 2 + 8 2 A B = 36 + 64 = 100 = 10 3) Açıortay uzunluğu formülünü kullanalım. C açısının açıortayı için (C açısına komşu kenarlar AC ve BC, karşı kenar AB ): C D = A C × B C × ( 1 - A B 2 A C + B C 2 ) 4) Sayıları yerine yazalım: C D = 6 × 8 × ( 1 - 10 2 6 + 8 2 ) C D = 48 × ( 1 - 100 196 ) C D = 48 × ( 1 - 25 49 ) 5) Parantez içini sadeleştirelim: 1 - 25 49 = 24 49 C D = 48 × 24 49 = 1152 49 6) Karekök alalım: C D = 1152 7 1152 = 576 × 2 = 24 2 × 2 1152 = 24 2 C D = 24 2 7 7) Sonuç ve şık kontrolü: Bulduğumuz değer C D = 24 2 7 Bu da A şıkkıdır. Yani doğru cevap A.

1. Çözüm: 1) Önce doğru şıkkı kontrol edelim: Üçgen C köşesinde dik, AC=6, BC=8. CD, C açısının açıortayıdır ve D noktası AB üzerindedir. İstenen CD uzunluğudur. 2) Hipotenüsü bulalım (Pisagor): A B = A C 2 + B C 2 A B = 6 2 + 8 2 A B = 36 + 64 = 100 = 10 3) Açıortay uzunluğu formülünü kullanalım. C açısının açıortayı için (C açısına komşu kenarlar AC ve BC, karşı kenar AB ): C D = A C × B C × ( 1 - A B 2 A C + B C 2 ) 4) Sayıları yerine yazalım: C D = 6 × 8 × ( 1 - 10 2 6 + 8 2 ) C D = 48 × ( 1 - 100 196 ) C D = 48 × ( 1 - 25 49 ) 5) Parantez içini sadeleştirelim: 1 - 25 49 = 24 49 C D = 48 × 24 49 = 1152 49 6) Karekök alalım: C D = 1152 7 1152 = 576 × 2 = 24 2 × 2 1152 = 24 2 C D = 24 2 7 7) Sonuç ve şık kontrolü: Bulduğumuz değer C D = 24 2 7 Bu da A şıkkıdır. Yani doğru cevap A.

Doğru cevap: B

Verilenler ve adlandırma: | AB | = 13, | AC | = 15, | BC | = 14 a = | BC | = 14, b = | CA | = 15, c = | AB | = 13 l = | AD | İç açıortay uzunluğu formülü (Stewart teoremi + açıortay teoremi ile elde edilir): l 2 = b c ( 1 - a 2 b + c 2 ) Önce parantez içindeki oranı hesaplayalım: b + c = 15 + 13 = 28 a 2 b + c 2 = 14 2 28 2 = 196 784 = 1 4 Şimdi formülde yerine yazalım: l 2 = b c ( 1 - 1 4 ) l 2 = 15 × 13 ( 3 4 ) = 195 × 3 4 = 585 4 Karekök alalım: l = 585 4 = 585 2 Kök içini sadeleştirelim: 585 = 9 × 65 ⇒ 585 = 3 65 l = 3 65 2 Sonuç ve şık kontrolü: | AD | = 3 65 2 Bu değer B şıkkı ile aynıdır; doğru cevap B.

1. Çözüm: Verilenler ve adlandırma: | AB | = 13, | AC | = 15, | BC | = 14 a = | BC | = 14, b = | CA | = 15, c = | AB | = 13 l = | AD | İç açıortay uzunluğu formülü (Stewart teoremi + açıortay teoremi ile elde edilir): l 2 = b c ( 1 - a 2 b + c 2 ) Önce parantez içindeki oranı hesaplayalım: b + c = 15 + 13 = 28 a 2 b + c 2 = 14 2 28 2 = 196 784 = 1 4 Şimdi formülde yerine yazalım: l 2 = b c ( 1 - 1 4 ) l 2 = 15 × 13 ( 3 4 ) = 195 × 3 4 = 585 4 Karekök alalım: l = 585 4 = 585 2 Kök içini sadeleştirelim: 585 = 9 × 65 ⇒ 585 = 3 65 l = 3 65 2 Sonuç ve şık kontrolü: | AD | = 3 65 2 Bu değer B şıkkı ile aynıdır; doğru cevap B.

Doğru cevap: A

Verilen üçgende kenarları sırasıyla şöyle adlandıralım: a = 13, b = 14, c = 15 Önce yarı çevreyi bulalım: s = a + b + c 2 = 13 + 14 + 15 2 = 42 2 = 21 Heron formülü ile alanı bulalım: \Delta = s ( s - a ) ( s - b ) ( s - c ) \Delta = 21 ( 21 - 13 ) ( 21 - 14 ) ( 21 - 15 ) = 21 · 8 · 7 · 6 \Delta = 7056 = 84 Çevrel çember yarıçapı formülü: R = a b c 4 \Delta Değerleri yerine yazalım: R = 13 · 14 · 15 4 · 84 = 2730 336 Sadeleştirelim: 2730 336 = 2730 ÷ 42 336 ÷ 42 = 65 8 Sonuç olarak çevrel çemberin yarıçapı: R = 65 8 Bu değer A şıkkı ile aynıdır; yani doğru cevap A’dır.

1. Çözüm: Verilen üçgende kenarları sırasıyla şöyle adlandıralım: a = 13, b = 14, c = 15 Önce yarı çevreyi bulalım: s = a + b + c 2 = 13 + 14 + 15 2 = 42 2 = 21 Heron formülü ile alanı bulalım: \Delta = s ( s - a ) ( s - b ) ( s - c ) \Delta = 21 ( 21 - 13 ) ( 21 - 14 ) ( 21 - 15 ) = 21 · 8 · 7 · 6 \Delta = 7056 = 84 Çevrel çember yarıçapı formülü: R = a b c 4 \Delta Değerleri yerine yazalım: R = 13 · 14 · 15 4 · 84 = 2730 336 Sadeleştirelim: 2730 336 = 2730 ÷ 42 336 ÷ 42 = 65 8 Sonuç olarak çevrel çemberin yarıçapı: R = 65 8 Bu değer A şıkkı ile aynıdır; yani doğru cevap A’dır.

Doğru cevap: C

Önce verilenlerden üçgenin türünü belirleyelim: A B = B C Bu nedenle üçgen ikizkenardır ve taban açıları eşittir: ∠ A = ∠ C Verilen açıya göre: ∠ A = 40 ° O hâlde taban açıları eşit olduğundan: ∠ C = 40 ° Üçgenin iç açılar toplamını kullanarak tepe açısını bulalım: ∠ B = 180 ° − ( 40 ° + 40 ° ) = 100 ° Verilen bilgiye göre BD, ∠ABC açısının iç açıortayıdır. Bu yüzden: ∠ A B D = ∠ D B C = 100 ° 2 = 50 ° D noktası AC doğrusu üzerinde olduğundan, CD ışını CA ile aynı doğrultudadır. Bu nedenle: ∠ B C D = ∠ B C A = 40 ° Şimdi BDC üçgeninde iç açılar toplamını kullanalım: ∠ B D C = 180 ° − ( 50 ° + 40 ° ) = 90 ° Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce verilenlerden üçgenin türünü belirleyelim: A B = B C Bu nedenle üçgen ikizkenardır ve taban açıları eşittir: ∠ A = ∠ C Verilen açıya göre: ∠ A = 40 ° O hâlde taban açıları eşit olduğundan: ∠ C = 40 ° Üçgenin iç açılar toplamını kullanarak tepe açısını bulalım: ∠ B = 180 ° − ( 40 ° + 40 ° ) = 100 ° Verilen bilgiye göre BD, ∠ABC açısının iç açıortayıdır. Bu yüzden: ∠ A B D = ∠ D B C = 100 ° 2 = 50 ° D noktası AC doğrusu üzerinde olduğundan, CD ışını CA ile aynı doğrultudadır. Bu nedenle: ∠ B C D = ∠ B C A = 40 ° Şimdi BDC üçgeninde iç açılar toplamını kullanalım: ∠ B D C = 180 ° − ( 50 ° + 40 ° ) = 90 ° Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Şık B kontrolü için, A noktasından BC kenarına indirilen dikmenin ayağı D olduğundan ABD ve ACD dik üçgenlerini kullanırız. 1) ABD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı: AD 2 = AB 2 - BD 2 Verilen uzunlukları yerine yazalım: AD 2 = 13 2 - 5 2 Hesaplayalım: AD 2 = 169 - 25 = 144 Buradan: AD = 12 2) ACD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı: AC 2 = AD 2 + DC 2 Verilenleri yerine yazalım: 15 2 = 12 2 + DC 2 Düzenleyelim: 225 = 144 + DC 2 Buradan: DC 2 = 81 Dolayısıyla: DC = 9 3) BC uzunluğu, BD ve DC toplamıdır: BC = BD + DC Yerine yazalım: BC = 5 + 9 = 14 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

1. Çözüm: Şık B kontrolü için, A noktasından BC kenarına indirilen dikmenin ayağı D olduğundan ABD ve ACD dik üçgenlerini kullanırız. 1) ABD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı: AD 2 = AB 2 - BD 2 Verilen uzunlukları yerine yazalım: AD 2 = 13 2 - 5 2 Hesaplayalım: AD 2 = 169 - 25 = 144 Buradan: AD = 12 2) ACD dik üçgeninde Pisagor bağıntısı: AC 2 = AD 2 + DC 2 Verilenleri yerine yazalım: 15 2 = 12 2 + DC 2 Düzenleyelim: 225 = 144 + DC 2 Buradan: DC 2 = 81 Dolayısıyla: DC = 9 3) BC uzunluğu, BD ve DC toplamıdır: BC = BD + DC Yerine yazalım: BC = 5 + 9 = 14 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

Doğru cevap: C

1) Kenarları adlandıralım: a = B ^ C = 14 cm b = A ^ C = 15 cm c = A ^ B = 13 cm 2) A köşesinden çizilen iç açıortayın uzunluğu için formül: l a = b c ( ( b + c ) 2 - a 2 ) b + c 3) Sayıları yerine yazalım: l a = 15 × 13 × ( ( 15 + 13 ) 2 - 14 2 ) 15 + 13 4) Parantez içini hesaplayalım: 15 + 13 = 28 28 2 - 14 2 = 784 - 196 = 588 5) Kök içini düzenleyelim: 15 × 13 = 195 l a = 195 × 588 28 195 × 588 = 114660 6) Kök içini çarpanlarına ayıralım: 114660 = 42 2 × 65 114660 = 42 2 × 65 = 42 65 7) Son adım: l a = 42 65 28 = 3 2 65 = 3 65 2 8) Şık kontrolü: Elde edilen değer 3 65 2 olduğundan doğru cevap C şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Kenarları adlandıralım: a = B ^ C = 14 cm b = A ^ C = 15 cm c = A ^ B = 13 cm 2) A köşesinden çizilen iç açıortayın uzunluğu için formül: l a = b c ( ( b + c ) 2 - a 2 ) b + c 3) Sayıları yerine yazalım: l a = 15 × 13 × ( ( 15 + 13 ) 2 - 14 2 ) 15 + 13 4) Parantez içini hesaplayalım: 15 + 13 = 28 28 2 - 14 2 = 784 - 196 = 588 5) Kök içini düzenleyelim: 15 × 13 = 195 l a = 195 × 588 28 195 × 588 = 114660 6) Kök içini çarpanlarına ayıralım: 114660 = 42 2 × 65 114660 = 42 2 × 65 = 42 65 7) Son adım: l a = 42 65 28 = 3 2 65 = 3 65 2 8) Şık kontrolü: Elde edilen değer 3 65 2 olduğundan doğru cevap C şıkkıdır.

Doğru cevap: B

1) Doğru şık kontrolü Verilenlere göre hesaplanan BC uzunluğu 10 cm çıkacaktır. Bu nedenle doğru cevap B şıkkıdır. 2) Verilenleri isimlendirelim Üçgende standart gösterimle: c = A B = 8 b = A C = 6 m a = 5 Aranan: a = B C 3) Kenarortunun (median) uzunluğu formülünü yazalım A köşesinden BC kenarına inen kenarortunun uzunluğu için: m a 2 = 2 b 2 + 2 c 2 - a 2 4 4) Sayıları yerine yazalım 5 2 = 2 6 2 + 2 8 2 - a 2 4 5) İşlemleri yapalım 25 = 2 × 36 + 2 × 64 - a 2 4 25 = 72 + 128 - a 2 4 25 = 200 - a 2 4 6) Denklemi çözelim 25 × 4 = 200 - a 2 100 = 200 - a 2 a 2 = 100 a = 10 7) Sonuç B C = 10 Doğru cevap: B

1. Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü Verilenlere göre hesaplanan BC uzunluğu 10 cm çıkacaktır. Bu nedenle doğru cevap B şıkkıdır. 2) Verilenleri isimlendirelim Üçgende standart gösterimle: c = A B = 8 b = A C = 6 m a = 5 Aranan: a = B C 3) Kenarortunun (median) uzunluğu formülünü yazalım A köşesinden BC kenarına inen kenarortunun uzunluğu için: m a 2 = 2 b 2 + 2 c 2 - a 2 4 4) Sayıları yerine yazalım 5 2 = 2 6 2 + 2 8 2 - a 2 4 5) İşlemleri yapalım 25 = 2 × 36 + 2 × 64 - a 2 4 25 = 72 + 128 - a 2 4 25 = 200 - a 2 4 6) Denklemi çözelim 25 × 4 = 200 - a 2 100 = 200 - a 2 a 2 = 100 a = 10 7) Sonuç B C = 10 Doğru cevap: B

Doğru cevap: A

Önce verilenleri yazalım. A B = 10 A C = 6 m ( ∠ A ) = 120 ° A D açıortay ve D ∈ B C Önce kosinüs teoremi ile B C uzunluğunu bulalım. B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 ⋅ A B ⋅ A C ⋅ cos ( ∠ A ) Yerine koyup hesaplayalım. B C 2 = 10 2 + 6 2 - 2 ⋅ 10 ⋅ 6 ⋅ cos ( 120 ° ) cos ( 120 ° ) = - 1 2 B C 2 = 100 + 36 - 120 ⋅ ( - 1 2 ) B C 2 = 136 + 60 = 196 B C = 14 Açıortay teoremine göre B D D C = A B A C olur. Yerine koyarsak: B D D C = 10 6 = 5 3 Bu oran toplam B C üzerinde paylaştırılır: B D = A B A B + A C ⋅ B C B D = 10 10 + 6 ⋅ 14 B D = 10 16 ⋅ 14 = 140 16 = 35 4 Sonuç: B D = 35 4 Doğru seçenek: A

1. Çözüm: Önce verilenleri yazalım. A B = 10 A C = 6 m ( ∠ A ) = 120 ° A D açıortay ve D ∈ B C Önce kosinüs teoremi ile B C uzunluğunu bulalım. B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 ⋅ A B ⋅ A C ⋅ cos ( ∠ A ) Yerine koyup hesaplayalım. B C 2 = 10 2 + 6 2 - 2 ⋅ 10 ⋅ 6 ⋅ cos ( 120 ° ) cos ( 120 ° ) = - 1 2 B C 2 = 100 + 36 - 120 ⋅ ( - 1 2 ) B C 2 = 136 + 60 = 196 B C = 14 Açıortay teoremine göre B D D C = A B A C olur. Yerine koyarsak: B D D C = 10 6 = 5 3 Bu oran toplam B C üzerinde paylaştırılır: B D = A B A B + A C ⋅ B C B D = 10 10 + 6 ⋅ 14 B D = 10 16 ⋅ 14 = 140 16 = 35 4 Sonuç: B D = 35 4 Doğru seçenek: A

Doğru cevap: C

Önce verilen açıların toplamının üçgende 180° olduğunu kullanarak x değerini bulalım. ( x + 30 ) + ( 2 x + 10 ) + ( 3 x - 40 ) = 180 Düzenleyelim. 6 x = 180 x = 30 Şimdi üçgenin açılarını bulalım. m ( ∠ A ) = x + 30 = 30 + 30 = 60 m ( ∠ B ) = 2 x + 10 = 2 · 30 + 10 = 70 m ( ∠ C ) = 3 x - 40 = 3 · 30 - 40 = 50 A ve B açıortayları I noktasında kesiştiğine göre I içmerkezdir. İçmerkezdeki açı için bilinen bağıntı: m ( ∠ A I B ) = 90 + m ( ∠ C ) 2 Yerine yazalım. m ( ∠ A I B ) = 90 + 50 2 = 90 + 25 = 115 Sonuç: Doğru cevap C seçeneğidir. m ( ∠ A I B ) = 115

1. Çözüm: Önce verilen açıların toplamının üçgende 180° olduğunu kullanarak x değerini bulalım. ( x + 30 ) + ( 2 x + 10 ) + ( 3 x - 40 ) = 180 Düzenleyelim. 6 x = 180 x = 30 Şimdi üçgenin açılarını bulalım. m ( ∠ A ) = x + 30 = 30 + 30 = 60 m ( ∠ B ) = 2 x + 10 = 2 · 30 + 10 = 70 m ( ∠ C ) = 3 x - 40 = 3 · 30 - 40 = 50 A ve B açıortayları I noktasında kesiştiğine göre I içmerkezdir. İçmerkezdeki açı için bilinen bağıntı: m ( ∠ A I B ) = 90 + m ( ∠ C ) 2 Yerine yazalım. m ( ∠ A I B ) = 90 + 50 2 = 90 + 25 = 115 Sonuç: Doğru cevap C seçeneğidir. m ( ∠ A I B ) = 115