8. Sınıf Matematik Üçgenler Testleri

Doğru cevap: C

Önce şıkları kontrol edebilmek için istenen açıyı bulalım. (Soruda, doğru parçasının çevrel çemberi “ D dışında ” kestiği yazıyor; burada kastedilenin, açıortayın çevrel çemberi A dışında ikinci kez kestiği nokta olduğu kabul edilir.) Üçgende iç açılar toplamından A açısını bulalım: ∠ A = 180 ° − ( 50 ° + 60 ° ) = 70 ° Açıortay doğrusu çevrel çemberi ikinci kez kestiği noktada, bu nokta A köşesinin gördüğü BC yayının (A’yı içermeyen) orta noktasıdır. Bu nedenle BC küçük yayının ölçüsü, A açısının iki katıdır: m ( BC yayı ) = 2 · ∠ B A C = 2 · 70 ° = 140 ° Nokta E, BC küçük yayı üzerinde olduğundan, ∠BEC açısı BC büyük yayını görür. Büyük yay ölçüsü: m ( BC büyük yay ) = 360 ° − 140 ° = 220 ° Çevrel çemberde çevre açı, gördüğü yayın yarısına eşittir: ∠ B E C = 1 2 · 220 ° = 110 ° Sonuç olarak doğru değer: ∠ B E C = 110 ° Bu değer şıklarda yoktur; dolayısıyla şıkkıC870 (verilen 125° ) doğru değildir. Şekli zihinde canlandırmak için basit bir çizim (ölçeksiz): A B C D (BC üzerinde) E

1. Çözüm: Önce şıkları kontrol edebilmek için istenen açıyı bulalım. (Soruda, doğru parçasının çevrel çemberi “ D dışında ” kestiği yazıyor; burada kastedilenin, açıortayın çevrel çemberi A dışında ikinci kez kestiği nokta olduğu kabul edilir.) Üçgende iç açılar toplamından A açısını bulalım: ∠ A = 180 ° − ( 50 ° + 60 ° ) = 70 ° Açıortay doğrusu çevrel çemberi ikinci kez kestiği noktada, bu nokta A köşesinin gördüğü BC yayının (A’yı içermeyen) orta noktasıdır. Bu nedenle BC küçük yayının ölçüsü, A açısının iki katıdır: m ( BC yayı ) = 2 · ∠ B A C = 2 · 70 ° = 140 ° Nokta E, BC küçük yayı üzerinde olduğundan, ∠BEC açısı BC büyük yayını görür. Büyük yay ölçüsü: m ( BC büyük yay ) = 360 ° − 140 ° = 220 ° Çevrel çemberde çevre açı, gördüğü yayın yarısına eşittir: ∠ B E C = 1 2 · 220 ° = 110 ° Sonuç olarak doğru değer: ∠ B E C = 110 ° Bu değer şıklarda yoktur; dolayısıyla şıkkıC870 (verilen 125° ) doğru değildir. Şekli zihinde canlandırmak için basit bir çizim (ölçeksiz): A B C D (BC üzerinde) E

Doğru cevap: D

Önce verilenleri blok hâlinde yazalım: AB = 13 AC = 15 BC = 14 A açısının iç açıortayı olan AD, BC kenarını D noktasında kestiğine göre iç açıortay teoremini kullanırız: BD DC = AB AC Verilen uzunlukları yerine yazalım: BD DC = 13 15 BC kenarı D noktasında iki parçaya ayrıldığı için: BD + DC = BC BD + DC = 14 Oran BD:DC için: BD: DC = 13: 15 Toplam parça sayısı: 13 + 15 = 28 BD, toplamın 13/28 ’i kadar olur: BD = BC × 13 28 BD = 14 × 13 28 Sadeleştirelim: BD = 14 28 × 13 BD = 1 2 × 13 BD = 13 2 Sonuç olarak doğru cevap D541 şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce verilenleri blok hâlinde yazalım: AB = 13 AC = 15 BC = 14 A açısının iç açıortayı olan AD, BC kenarını D noktasında kestiğine göre iç açıortay teoremini kullanırız: BD DC = AB AC Verilen uzunlukları yerine yazalım: BD DC = 13 15 BC kenarı D noktasında iki parçaya ayrıldığı için: BD + DC = BC BD + DC = 14 Oran BD:DC için: BD: DC = 13: 15 Toplam parça sayısı: 13 + 15 = 28 BD, toplamın 13/28 ’i kadar olur: BD = BC × 13 28 BD = 14 × 13 28 Sadeleştirelim: BD = 14 28 × 13 BD = 1 2 × 13 BD = 13 2 Sonuç olarak doğru cevap D541 şıkkıdır.

Doğru cevap: A

1) Verilenler: A B = 8, A C = 10, m ( ∠ B A C ) = 60 ° 2) Önce BC kenarını kosinüs teoremi ile bulalım: B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 · A B · A C · cos ( 60 ° ) 3) Sayıları yerine yazıp hesaplayalım: B C 2 = 8 2 + 10 2 − 2 · 8 · 10 · 1 2 B C 2 = 64 + 100 − 80 = 84 4) Buradan BC: B C = 84 = 4 · 21 = 2 · 21 5) AD iç açıortay olduğundan Açıortay Teoremi: B D D C = A B A C = 8 10 = 4 5 6) Toplam uzunluk BD + DC = BC olduğundan oranla paylaştıralım: B D = 4 4 + 5 · B C = 4 9 · B C 7) BC = 2√21 bulunduğuna göre: B D = 4 9 · 2 · 21 = 8 · 21 9 8) Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Verilenler: A B = 8, A C = 10, m ( ∠ B A C ) = 60 ° 2) Önce BC kenarını kosinüs teoremi ile bulalım: B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 · A B · A C · cos ( 60 ° ) 3) Sayıları yerine yazıp hesaplayalım: B C 2 = 8 2 + 10 2 − 2 · 8 · 10 · 1 2 B C 2 = 64 + 100 − 80 = 84 4) Buradan BC: B C = 84 = 4 · 21 = 2 · 21 5) AD iç açıortay olduğundan Açıortay Teoremi: B D D C = A B A C = 8 10 = 4 5 6) Toplam uzunluk BD + DC = BC olduğundan oranla paylaştıralım: B D = 4 4 + 5 · B C = 4 9 · B C 7) BC = 2√21 bulunduğuna göre: B D = 4 9 · 2 · 21 = 8 · 21 9 8) Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

1) Cevap şıkkı kontrolü (A mı?): A açıortay teoremini kullanacağız. Verilenler: AB = 13, AC = 15, BC = 14 A açısının iç açıortayı, BC kenarını D noktasında kestiğine göre açıortay teoremi: BD DC = AB AC Sayıları yerine yazalım: BD DC = 13 15 Ayrıca D, BC üzerinde olduğundan: BD + DC = BC = 14 Oranla uyumlu olacak şekilde parçaları yazalım: BD = 13 k, DC = 15 k Toplamı 14 olmalı: 13 k + 15 k = 14 k değerini bulalım: 28 k = 14 k = 14 28 = 1 2 Şimdi BD uzunluğu: BD = 13 k = 13 × 1 2 = 13 2 Sonuç: Doğru cevap B504 şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Cevap şıkkı kontrolü (A mı?): A açıortay teoremini kullanacağız. Verilenler: AB = 13, AC = 15, BC = 14 A açısının iç açıortayı, BC kenarını D noktasında kestiğine göre açıortay teoremi: BD DC = AB AC Sayıları yerine yazalım: BD DC = 13 15 Ayrıca D, BC üzerinde olduğundan: BD + DC = BC = 14 Oranla uyumlu olacak şekilde parçaları yazalım: BD = 13 k, DC = 15 k Toplamı 14 olmalı: 13 k + 15 k = 14 k değerini bulalım: 28 k = 14 k = 14 28 = 1 2 Şimdi BD uzunluğu: BD = 13 k = 13 × 1 2 = 13 2 Sonuç: Doğru cevap B504 şıkkıdır.

Doğru cevap: C

1) Kenarları standart gösterimle adlandıralım: a = B ^ C ^ = 14, b = C ^ A ^ = 15, c = A ^ B ^ = 13 2) İç açıortay uzunluğu formülü (A köşesinden, karşı kenara): t a = b c · ( b + c 2 - a 2 ) b + c 3) Sayıları yerine yazalım: t a = 15 · 13 · ( 15 + 13 2 - 14 2 ) 15 + 13 4) Parantez içini sadeleştirelim: 15 + 13 2 - 14 2 = 28 2 - 196 = 784 - 196 = 588 5) Kök içini düzenleyelim: t a = 195 · 588 28 6) Kök içini çarpanlarına ayıralım: 195 · 588 = 3 · 5 · 13 · 4 · 3 · 7 · 7 = 4 · 9 · 49 · 65 7) Karekökten tam kareleri dışarı alalım: 4 · 9 · 49 · 65 = 2 · 3 · 7 · 65 = 42 · 65 8) Son bölmeyi yapalım: t a = 42 · 65 28 = 3 · 65 2 Sonuç: İç açıortay uzunluğu şıkkıC772dır.

1. Çözüm: 1) Kenarları standart gösterimle adlandıralım: a = B ^ C ^ = 14, b = C ^ A ^ = 15, c = A ^ B ^ = 13 2) İç açıortay uzunluğu formülü (A köşesinden, karşı kenara): t a = b c · ( b + c 2 - a 2 ) b + c 3) Sayıları yerine yazalım: t a = 15 · 13 · ( 15 + 13 2 - 14 2 ) 15 + 13 4) Parantez içini sadeleştirelim: 15 + 13 2 - 14 2 = 28 2 - 196 = 784 - 196 = 588 5) Kök içini düzenleyelim: t a = 195 · 588 28 6) Kök içini çarpanlarına ayıralım: 195 · 588 = 3 · 5 · 13 · 4 · 3 · 7 · 7 = 4 · 9 · 49 · 65 7) Karekökten tam kareleri dışarı alalım: 4 · 9 · 49 · 65 = 2 · 3 · 7 · 65 = 42 · 65 8) Son bölmeyi yapalım: t a = 42 · 65 28 = 3 · 65 2 Sonuç: İç açıortay uzunluğu şıkkıC772dır.

Doğru cevap: D

Verilenlere göre, D noktası A ile B arasındaki doğru parçası üzerinde, E noktası A ile C arasındaki doğru parçası üzerindedir ve DE doğrusu BC doğrusuna paraleldir. D E ¯ ∥ B C ¯ m ( ∠ A D E ) = 50 ° m ( ∠ A E D ) = 40 ° A, D, E noktalarının oluşturduğu üçgende iç açılar toplamını kullanırız. m ( ∠ D A E ) = 180 ° − ( 50 ° + 40 ° ) m ( ∠ D A E ) = 90 ° D noktası AB üzerinde olduğu için AD ışını ile AB ışını çakışıktır. E noktası AC üzerinde olduğu için AE ışını ile AC ışını çakışıktır. Bu yüzden DAE açısı, BAC açısına eşittir. m ( ∠ D A E ) = m ( ∠ B A C ) Sonuç olarak istenen açı ölçüsü aşağıdaki değerdir ve doğru seçenek bu değeri veren şıktır. m ( ∠ B A C ) = 90 °

1. Çözüm: Verilenlere göre, D noktası A ile B arasındaki doğru parçası üzerinde, E noktası A ile C arasındaki doğru parçası üzerindedir ve DE doğrusu BC doğrusuna paraleldir. D E ¯ ∥ B C ¯ m ( ∠ A D E ) = 50 ° m ( ∠ A E D ) = 40 ° A, D, E noktalarının oluşturduğu üçgende iç açılar toplamını kullanırız. m ( ∠ D A E ) = 180 ° − ( 50 ° + 40 ° ) m ( ∠ D A E ) = 90 ° D noktası AB üzerinde olduğu için AD ışını ile AB ışını çakışıktır. E noktası AC üzerinde olduğu için AE ışını ile AC ışını çakışıktır. Bu yüzden DAE açısı, BAC açısına eşittir. m ( ∠ D A E ) = m ( ∠ B A C ) Sonuç olarak istenen açı ölçüsü aşağıdaki değerdir ve doğru seçenek bu değeri veren şıktır. m ( ∠ B A C ) = 90 °

Doğru cevap: A

Verilen açı ölçülerini yazalım: m ( ∠ A ) = 30 ° m ( ∠ B ) = 45 ° Üçgende iç açılar toplamından ∠C ’yi bulalım: m ( ∠ C ) = 180 ° - 30 ° - 45 ° = 105 ° Sinüs teoremine göre: A B sin ( ∠ C ) = A C sin ( ∠ B ) Buradan istenen oran: A B A C = sin ( 105 ° ) sin ( 45 ° ) sin(105°) değerini açı toplamı ile bulalım: sin ( 105 ° ) = sin ( 60 ° + 45 ° ) sin ( 60 ° + 45 ° ) = sin ( 60 ° ) cos ( 45 ° ) + cos ( 60 ° ) sin ( 45 ° ) Bilinen trigonometrik değerleri yerine yazalım: sin ( 60 ° ) = 3 2 cos ( 45 ° ) = 2 2 cos ( 60 ° ) = 1 2 sin ( 45 ° ) = 2 2 sin ( 105 ° ) = 3 2 · 2 2 + 1 2 · 2 2 sin ( 105 ° ) = 6 4 + 2 4 = 6 + 2 4 Şimdi oranı hesaplayalım: A B A C = sin ( 105 ° ) sin ( 45 ° ) = 6 + 2 4 2 2 A B A C = 6 + 2 4 · 2 2 A B A C = 6 + 2 2 2 = 3 2 + 1 2 = 3 + 1 2 Sonuç: A B A C = 3 + 1 2 Bu değer şıklardan A seçeneğidir; dolayısıyla doğru cevap A dır.

1. Çözüm: Verilen açı ölçülerini yazalım: m ( ∠ A ) = 30 ° m ( ∠ B ) = 45 ° Üçgende iç açılar toplamından ∠C ’yi bulalım: m ( ∠ C ) = 180 ° - 30 ° - 45 ° = 105 ° Sinüs teoremine göre: A B sin ( ∠ C ) = A C sin ( ∠ B ) Buradan istenen oran: A B A C = sin ( 105 ° ) sin ( 45 ° ) sin(105°) değerini açı toplamı ile bulalım: sin ( 105 ° ) = sin ( 60 ° + 45 ° ) sin ( 60 ° + 45 ° ) = sin ( 60 ° ) cos ( 45 ° ) + cos ( 60 ° ) sin ( 45 ° ) Bilinen trigonometrik değerleri yerine yazalım: sin ( 60 ° ) = 3 2 cos ( 45 ° ) = 2 2 cos ( 60 ° ) = 1 2 sin ( 45 ° ) = 2 2 sin ( 105 ° ) = 3 2 · 2 2 + 1 2 · 2 2 sin ( 105 ° ) = 6 4 + 2 4 = 6 + 2 4 Şimdi oranı hesaplayalım: A B A C = sin ( 105 ° ) sin ( 45 ° ) = 6 + 2 4 2 2 A B A C = 6 + 2 4 · 2 2 A B A C = 6 + 2 2 2 = 3 2 + 1 2 = 3 + 1 2 Sonuç: A B A C = 3 + 1 2 Bu değer şıklardan A seçeneğidir; dolayısıyla doğru cevap A dır.

Doğru cevap: B

Verilenler: AB = 12 AC = 9 BD = 8 AD açıortaydır. Açıortay teoremine göre, açıortayın ayırdığı kenar parçalarının oranı komşu kenarların oranına eşittir: BD DC = AB AC Verilen değerleri oran içinde yerine yazalım: 8 DC = 12 9 Sağ tarafı sadeleştirelim: 12 9 = 4 3 Buna göre: 8 DC = 4 3 İçler-dışlar çarpımı yapalım: 8 × 3 = 4 × DC Hesaplayalım: 24 = 4 DC Her iki tarafı 4 ile bölelim: DC = 6 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilenler: AB = 12 AC = 9 BD = 8 AD açıortaydır. Açıortay teoremine göre, açıortayın ayırdığı kenar parçalarının oranı komşu kenarların oranına eşittir: BD DC = AB AC Verilen değerleri oran içinde yerine yazalım: 8 DC = 12 9 Sağ tarafı sadeleştirelim: 12 9 = 4 3 Buna göre: 8 DC = 4 3 İçler-dışlar çarpımı yapalım: 8 × 3 = 4 × DC Hesaplayalım: 24 = 4 DC Her iki tarafı 4 ile bölelim: DC = 6 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

Doğru cevap: C

Verilen üçgende kenarlar eşit olduğundan ikizkenardır. A B = A C = 13, B C = 10 Tabana indirilen yükşeklik, tabanı iki eş parçaya böler. B D = D C = B C 2 = 10 2 = 5 Pisagor ile yükşekliği bulalım. h = 13 2 - 5 2 = 169 - 25 = 144 = 12 Üçgenin alanını taban-yükşeklik ile hesaplayalım. S = B C · h 2 = 10 · 12 2 = 60 Yarı çevreyi bulalım. s = A B + A C + B C 2 = 13 + 13 + 10 2 = 18 İçteğet çemberi yarıçapı alan formülüyle bulunur. r = S s = 60 18 = 10 3 Bulunan değer seçeneklerle karşılaştırıldığında doğru cevap C503 şıkkıdır. r = 10 3

1. Çözüm: Verilen üçgende kenarlar eşit olduğundan ikizkenardır. A B = A C = 13, B C = 10 Tabana indirilen yükşeklik, tabanı iki eş parçaya böler. B D = D C = B C 2 = 10 2 = 5 Pisagor ile yükşekliği bulalım. h = 13 2 - 5 2 = 169 - 25 = 144 = 12 Üçgenin alanını taban-yükşeklik ile hesaplayalım. S = B C · h 2 = 10 · 12 2 = 60 Yarı çevreyi bulalım. s = A B + A C + B C 2 = 13 + 13 + 10 2 = 18 İçteğet çemberi yarıçapı alan formülüyle bulunur. r = S s = 60 18 = 10 3 Bulunan değer seçeneklerle karşılaştırıldığında doğru cevap C503 şıkkıdır. r = 10 3

Doğru cevap: D

1) Verilenlere göre tepe açısı ve açıortay bilgisi: m ( ∠ B A C ) = 40 ° Açıortay olduğundan: m ( ∠ B A D ) = m ( ∠ D A C ) = 20 ° 2) Verilen eşitlikten üçgenin ikizkenar olduğunu belirleyelim: A B = A D Buna göre ABD üçgeninde taban açılar eşittir: m ( ∠ A B D ) = m ( ∠ B D A ) 3) ABD üçgeninde iç açılar toplamını kullanalım: m ( ∠ A B D ) = m ( ∠ B D A ) = 180 ° − 20 ° 2 = 80 ° 4) D noktası BC doğrusu üzerinde olduğundan BD ışını BC ışını ile aynı doğrultudadır. Bu yüzden: m ( ∠ A B C ) = m ( ∠ A B D ) = 80 ° 5) ABC üçgeninde iç açılar toplamı ile istenen açıyı bulalım: m ( ∠ A C B ) = 180 ° − 40 ° − 80 ° = 60 ° 6) Sonuç: Doğru cevap D632 seçeneğidir.

1. Çözüm: 1) Verilenlere göre tepe açısı ve açıortay bilgisi: m ( ∠ B A C ) = 40 ° Açıortay olduğundan: m ( ∠ B A D ) = m ( ∠ D A C ) = 20 ° 2) Verilen eşitlikten üçgenin ikizkenar olduğunu belirleyelim: A B = A D Buna göre ABD üçgeninde taban açılar eşittir: m ( ∠ A B D ) = m ( ∠ B D A ) 3) ABD üçgeninde iç açılar toplamını kullanalım: m ( ∠ A B D ) = m ( ∠ B D A ) = 180 ° − 20 ° 2 = 80 ° 4) D noktası BC doğrusu üzerinde olduğundan BD ışını BC ışını ile aynı doğrultudadır. Bu yüzden: m ( ∠ A B C ) = m ( ∠ A B D ) = 80 ° 5) ABC üçgeninde iç açılar toplamı ile istenen açıyı bulalım: m ( ∠ A C B ) = 180 ° − 40 ° − 80 ° = 60 ° 6) Sonuç: Doğru cevap D632 seçeneğidir.