11. Sınıf Matematik

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Karmaşık Sayılar konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

Karmaşık sayı nedir?

Karmaşık sayılar a+bi biçiminde yazılır; a gerçek kısım, b sanal kısım ve i²=-1’dir. 11. Sınıf Karmaşık Sayılar testleri işlem kurallarını, eşlenik kavramını, modülü, argümenti ve düzlem gösterimini pekiştirir.

İşlemler ve eşlenik

Toplama ve çıkarma gerçek ve sanal kısımlar arasında ayrı ayrı yapılır. Bölme işlemlerinde payda eşleniğiyle genişletilir. Eşlenik, modül ve karmaşık düzlem ilişkisi birçok soruda kısa yol sağlar.

Geometrik yorum

Karmaşık sayı düzlemde bir nokta veya vektör olarak gösterilebilir. Modül uzaklığı, argüment ise pozitif gerçek eksenle yapılan açıyı ifade eder. Kutupsal gösterim özellikle çarpma, bölme ve kuvvet alma işlemlerini kolaylaştırır.

Test seç

10 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test

9. Test

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Karmaşık Sayılar konusu 9. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun:
$\frac{{(1 - i)}^{10}}{{(\sqrt{3} + i)}^{6}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Doğru şıkkı kontrol etmek için ifadeyi kutupsal (trigonometrik) biçime çevirip kuvvet alacağız. ( 1 − i ) 10 ( 3 + i ) 6 Önce paydaki karmaşık sayının modül ve argümanını yazalım. | 1 − i | 2 = 1 2 + 1 2 = 2 | 1 − i | = 2 arg ( 1 − i ) = − π 4 Buna göre paydaki ifade trigonometrik biçimde yazılır ve kuvvet alınır. 1 − i = 2 ( cos ( − π 4 ) + i sin ( − π 4 ) ) ( 1 − i ) 10 = ( 2 ) 10 ( cos ( 10 ⋅ ( − π 4 ) ) + i sin ( 10 ⋅ ( − π 4 ) ) ) Katsayı ve açıyı sadeleştirelim. ( 2 ) 10 = 2 5 = 32 10 ⋅ ( − π 4 ) = − 10 4 π = − 5 2 π − 5 2 π = − π 2 − 2 π Bu yüzden payın değeri bulunur. ( 1 − i ) 10 = 32 ( cos ( − π 2 ) + i sin ( − π 2 ) ) cos ( − π 2 ) = 0, sin ( − π 2 ) = − 1 ( 1 − i ) 10 = 32 ( 0 − i ) = − 32 i Şimdi paydadaki karmaşık sayının modül ve argümanını bulalım. | 3 + i | 2 = 3 2 + 1 2 = 3 + 1 = 4 | 3 + i | = 2 arg ( 3 + i ) = π 6 Paydayı trigonometrik biçimde yazıp kuvvet alalım. 3 + i = 2 ( cos ( π 6 ) + i sin ( π 6 ) ) ( 3 + i ) 6 = 2 6 ( cos ( 6 ⋅ π 6 ) + i sin ( 6 ⋅ π 6 ) ) Açıyı ve değeri sadeleştirelim. 2 6 = 64 6 ⋅ π 6 = π ( 3 + i ) 6 = 64 ( cos ( π ) + i sin ( π ) ) cos ( π ) = − 1, sin ( π ) = 0 ( 3 + i ) 6 = 64 ( − 1 ) = − 64 Son olarak bölmeyi yapalım. ( 1 − i ) 10 ( 3 + i ) 6 = − 32 i − 64 = i 2 Sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap A şıkkıdır. i 2

Çözüm: Doğru şıkkı kontrol etmek için ifadeyi kutupsal (trigonometrik) biçime çevirip kuvvet alacağız. ( 1 − i ) 10 ( 3 + i ) 6 Önce paydaki karmaşık sayının modül ve argümanını yazalım. | 1 − i | 2 = 1 2 + 1 2 = 2 | 1 − i | = 2 arg ( 1 − i ) = − π 4 Buna göre paydaki ifade trigonometrik biçimde yazılır ve kuvvet alınır. 1 − i = 2 ( cos ( − π 4 ) + i sin ( − π 4 ) ) ( 1 − i ) 10 = ( 2 ) 10 ( cos ( 10 ⋅ ( − π 4 ) ) + i sin ( 10 ⋅ ( − π 4 ) ) ) Katsayı ve açıyı sadeleştirelim. ( 2 ) 10 = 2 5 = 32 10 ⋅ ( − π 4 ) = − 10 4 π = − 5 2 π − 5 2 π = − π 2 − 2 π Bu yüzden payın değeri bulunur. ( 1 − i ) 10 = 32 ( cos ( − π 2 ) + i sin ( − π 2 ) ) cos ( − π 2 ) = 0, sin ( − π 2 ) = − 1 ( 1 − i ) 10 = 32 ( 0 − i ) = − 32 i Şimdi paydadaki karmaşık sayının modül ve argümanını bulalım. | 3 + i | 2 = 3 2 + 1 2 = 3 + 1 = 4 | 3 + i | = 2 arg ( 3 + i ) = π 6 Paydayı trigonometrik biçimde yazıp kuvvet alalım. 3 + i = 2 ( cos ( π 6 ) + i sin ( π 6 ) ) ( 3 + i ) 6 = 2 6 ( cos ( 6 ⋅ π 6 ) + i sin ( 6 ⋅ π 6 ) ) Açıyı ve değeri sadeleştirelim. 2 6 = 64 6 ⋅ π 6 = π ( 3 + i ) 6 = 64 ( cos ( π ) + i sin ( π ) ) cos ( π ) = − 1, sin ( π ) = 0 ( 3 + i ) 6 = 64 ( − 1 ) = − 64 Son olarak bölmeyi yapalım. ( 1 − i ) 10 ( 3 + i ) 6 = − 32 i − 64 = i 2 Sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap A şıkkıdır. i 2

Doğru şıkkı kontrol etmek için ifadeyi kutupsal (trigonometrik) biçime çevirip kuvvet alacağız.

\frac{{(1 - i)}^{10}}{{(\sqrt{3} + i)}^{6}}

Önce paydaki karmaşık sayının modül ve argümanını yazalım.

{| 1 - i |}^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2

| 1 - i | = \sqrt{2}

\arg (1 - i) = - \frac{π}{4}

Buna göre paydaki ifade trigonometrik biçimde yazılır ve kuvvet alınır.

1 - i = \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))

{(1 - i)}^{10} = {(\sqrt{2})}^{10} (\cos (10 \cdot (- \frac{π}{4})) + i \sin (10 \cdot (- \frac{π}{4})))

Katsayı ve açıyı sadeleştirelim.

{(\sqrt{2})}^{10} = 2^{5} = 32

10 \cdot (- \frac{π}{4}) = - \frac{10}{4} π = - \frac{5}{2} π

- \frac{5}{2} π = - \frac{π}{2} - 2 π

Bu yüzden payın değeri bulunur.

{(1 - i)}^{10} = 32 (\cos (- \frac{π}{2}) + i \sin (- \frac{π}{2}))

\cos (- \frac{π}{2}) = 0, \sin (- \frac{π}{2}) = - 1

{(1 - i)}^{10} = 32 (0 - i) = - 32 i

Şimdi paydadaki karmaşık sayının modül ve argümanını bulalım.

{| \sqrt{3} + i |}^{2} = {\sqrt{3}}^{2} + 1^{2} = 3 + 1 = 4

| \sqrt{3} + i | = 2

\arg (\sqrt{3} + i) = \frac{π}{6}

Paydayı trigonometrik biçimde yazıp kuvvet alalım.

\sqrt{3} + i = 2 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))

{(\sqrt{3} + i)}^{6} = 2^{6} (\cos (6 \cdot \frac{π}{6}) + i \sin (6 \cdot \frac{π}{6}))

Açıyı ve değeri sadeleştirelim.

2^{6} = 64

6 \cdot \frac{π}{6} = π

{(\sqrt{3} + i)}^{6} = 64 (\cos (π) + i \sin (π))

\cos (π) = - 1, \sin (π) = 0

{(\sqrt{3} + i)}^{6} = 64 (- 1) = - 64

Son olarak bölmeyi yapalım.

\frac{{(1 - i)}^{10}}{{(\sqrt{3} + i)}^{6}} = \frac{- 32 i}{- 64} = \frac{i}{2}

Sonuç şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap A şıkkıdır.

\frac{i}{2}

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan karmaşık sayının reel kısmı kaçtır?
$| z | = 2$
$\frac{z - 1}{z - 2 i}$ saf sanal sayıdır.
$Re (z) > 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Şık kontrolü: Bulacağımız reel kısım, şıkkıB41ndaki değerle aynı çıkarsa A doğrudur. 2) Değişken tanımı: Karmaşık sayıyı z = x + i y şeklinde yazalım. 3) Mutlak değer koşulu: | z | = 2 olduğundan x 2 + y 2 = 4 4) Kesrin saf sanal olması: Verilen ifade saf sanal ise reel kısmı sıfırdır. İfadeyi yazalım: z - 1 z - 2 i x - 1 + i y x + i ( y - 2 ) 5) Eşlenikle genişletme: Payda eşleniği ile çarpalım: x - 1 + i y x - i ( y - 2 ) x 2 + ( y - 2 ) 2 Paydanın reel ve pozitif olduğunu görüyoruz; bu yüzden ifadenin reel kısmının sıfır olması için payın reel kısmı sıfır olmalıdır. 6) Payın reel kısmını bulma: Payı açalım: x - 1 + i y x - i ( y - 2 ) = x 2 - x + y 2 - 2 y + i ( x y - x - 1 ( y - 2 ) ) Buradan reel kısım: x 2 - x + y 2 - 2 y Saf sanal olma koşulundan: x 2 - x + y 2 - 2 y = 0 7) İki denklemi birleştirme: x 2 + y 2 = 4 x 2 + y 2 - x - 2 y = 0 Birinciyi ikinci denklemde yerine koyarsak: 4 - x - 2 y = 0 Buradan: x + 2 y = 4 8) Çözüm: x = 4 - 2 y Bunu x 2 + y 2 = 4 denkleminde kullanalım: ( 4 - 2 y ) 2 + y 2 = 4 16 - 16 y + 4 y 2 + y 2 = 4 5 y 2 - 16 y + 12 = 0 Kökler: y = 2 veya y = 6 5 9) Reel kısmı pozitif olma şartı: x = 4 - 2 y için y = 2 ⇒ x = 0 olur, bu durum x > 0 şartını sağlamaz. Diğer kök için: y = 6 5 ⇒ x = 4 - 2 6 5 = 8 5 Bu değer pozitiftir. 10) Sonuç: Karmaşık sayının reel kısmı 8 5 olur. Bu nedenle doğru cevap B1350 şıkkıdır.

Çözüm: 1) Şık kontrolü: Bulacağımız reel kısım, şıkkıB41ndaki değerle aynı çıkarsa A doğrudur. 2) Değişken tanımı: Karmaşık sayıyı z = x + i y şeklinde yazalım. 3) Mutlak değer koşulu: | z | = 2 olduğundan x 2 + y 2 = 4 4) Kesrin saf sanal olması: Verilen ifade saf sanal ise reel kısmı sıfırdır. İfadeyi yazalım: z - 1 z - 2 i x - 1 + i y x + i ( y - 2 ) 5) Eşlenikle genişletme: Payda eşleniği ile çarpalım: x - 1 + i y x - i ( y - 2 ) x 2 + ( y - 2 ) 2 Paydanın reel ve pozitif olduğunu görüyoruz; bu yüzden ifadenin reel kısmının sıfır olması için payın reel kısmı sıfır olmalıdır. 6) Payın reel kısmını bulma: Payı açalım: x - 1 + i y x - i ( y - 2 ) = x 2 - x + y 2 - 2 y + i ( x y - x - 1 ( y - 2 ) ) Buradan reel kısım: x 2 - x + y 2 - 2 y Saf sanal olma koşulundan: x 2 - x + y 2 - 2 y = 0 7) İki denklemi birleştirme: x 2 + y 2 = 4 x 2 + y 2 - x - 2 y = 0 Birinciyi ikinci denklemde yerine koyarsak: 4 - x - 2 y = 0 Buradan: x + 2 y = 4 8) Çözüm: x = 4 - 2 y Bunu x 2 + y 2 = 4 denkleminde kullanalım: ( 4 - 2 y ) 2 + y 2 = 4 16 - 16 y + 4 y 2 + y 2 = 4 5 y 2 - 16 y + 12 = 0 Kökler: y = 2 veya y = 6 5 9) Reel kısmı pozitif olma şartı: x = 4 - 2 y için y = 2 ⇒ x = 0 olur, bu durum x > 0 şartını sağlamaz. Diğer kök için: y = 6 5 ⇒ x = 4 - 2 6 5 = 8 5 Bu değer pozitiftir. 10) Sonuç: Karmaşık sayının reel kısmı 8 5 olur. Bu nedenle doğru cevap B1350 şıkkıdır.

1) Şık kontrolü: Bulacağımız reel kısım, şıkkıB132ndaki değerle aynı çıkarsa A doğrudur.

2) Değişken tanımı: Karmaşık sayıyı

z = x + i y

şeklinde yazalım.

3) Mutlak değer koşulu:

| z | = 2

olduğundan

x^{2} + y^{2} = 4

4) Kesrin saf sanal olması: Verilen ifade saf sanal ise reel kısmı sıfırdır. İfadeyi yazalım:

\frac{z - 1}{z - 2 i}

$\frac{x - 1 + i y}{x + i (y - 2)}$

5) Eşlenikle genişletme: Payda eşleniği ile çarpalım:

\frac{x - 1 + i y x - i (y - 2)}{x^{2} + {(y - 2)}^{2}}

Paydanın reel ve pozitif olduğunu görüyoruz; bu yüzden ifadenin reel kısmının sıfır olması için payın reel kısmı sıfır olmalıdır.

6) Payın reel kısmını bulma: Payı açalım:

x - 1 + i y x - i (y - 2) = x^{2} - x + y^{2} - 2 y + i (x y - x - 1 (y - 2))

Buradan reel kısım:

x^{2} - x + y^{2} - 2 y

Saf sanal olma koşulundan:

x^{2} - x + y^{2} - 2 y = 0

7) İki denklemi birleştirme:

x^{2} + y^{2} = 4

x^{2} + y^{2} - x - 2 y = 0

Birinciyi ikinci denklemde yerine koyarsak:

4 - x - 2 y = 0

Buradan:

x + 2 y = 4

8) Çözüm:

x = 4 - 2 y

Bunu

x^{2} + y^{2} = 4

denkleminde kullanalım:

{(4 - 2 y)}^{2} + y^{2} = 4

16 - 16 y + 4 y^{2} + y^{2} = 4

5 y^{2} - 16 y + 12 = 0

Kökler:

y = 2 veya y = \frac{6}{5}

9) Reel kısmı pozitif olma şartı:

x = 4 - 2 y

için

y = 2 \Rightarrow x = 0

olur, bu durum

x > 0

şartını sağlamaz.

Diğer kök için:

y = \frac{6}{5} \Rightarrow x = 4 - 2 \frac{6}{5} = \frac{8}{5}

Bu değer pozitiftir.

10) Sonuç: Karmaşık sayının reel kısmı

\frac{8}{5}

olur. Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadede $z$ karmaşık sayısının değerini bulun.
$z = \frac{{(1 + i)}^{5}}{{(1 - i)}^{3}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda tanımlanan $w$ karmaşık sayısının asal argümanı kaçtır?
$w = \frac{{(1 - i)}^{6} {(1 + i)}^{2}}{{(\sqrt{3} - i)}^{4}}$
$Asal argüman aralığı: (- π, π]$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

1) Verilen ifade: w = ( 1 − i ) 6 ( 1 + i ) 2 ( 3 − i ) 4 2) Her çarpanı kutupsal forma yazalım. 1 − i = 2 ( cos ( − π 4 ) + i sin ( − π 4 ) ) 1 + i = 2 ( cos ( π 4 ) + i sin ( π 4 ) ) 3 − i = 2 ( cos ( − π 6 ) + i sin ( − π 6 ) ) 3) Üslere geçelim (argümanlar üs ile çarpılır). ( 1 − i ) 6 = ( 2 ) 6 ( cos ( 6 · ( − π 4 ) ) + i sin ( 6 · ( − π 4 ) ) ) ( 1 + i ) 2 = ( 2 ) 2 ( cos ( 2 · π 4 ) + i sin ( 2 · π 4 ) ) ( 3 − i ) 4 = ( 2 ) 4 ( cos ( 4 · ( − π 6 ) ) + i sin ( 4 · ( − π 6 ) ) ) 4) Açısal ve modül kısımlarını sadeleştirelim. ( 2 ) 6 = 2 3 = 8 6 · ( − π 4 ) = − 6 π 4 = − 3 π 2 ( 2 ) 2 = 2 2 · π 4 = π 2 ( 2 ) 4 = 16 4 · ( − π 6 ) = − 4 π 6 = − 2 π 3 5) Şimdi argümanları kullanarak toplam-çıkarma yapalım. arg ( ( 1 − i ) 6 ( 1 + i ) 2 ) = ( − 3 π 2 ) + π 2 = − π arg ( ( 3 − i ) 4 ) = − 2 π 3 6) Bölmede argümanlar çıkarılır: arg ( w ) = arg ( pay ) − arg ( payda ) = ( − π ) − ( − 2 π 3 ) = − π 3 7) Asal argüman aralığı kontrolü: ( − π, π ] − π 3 ∈ ( − π, π ] 8) Sonuç: Doğru cevap D984’dır. Arg ( w ) = − π 3

Çözüm: 1) Verilen ifade: w = ( 1 − i ) 6 ( 1 + i ) 2 ( 3 − i ) 4 2) Her çarpanı kutupsal forma yazalım. 1 − i = 2 ( cos ( − π 4 ) + i sin ( − π 4 ) ) 1 + i = 2 ( cos ( π 4 ) + i sin ( π 4 ) ) 3 − i = 2 ( cos ( − π 6 ) + i sin ( − π 6 ) ) 3) Üslere geçelim (argümanlar üs ile çarpılır). ( 1 − i ) 6 = ( 2 ) 6 ( cos ( 6 · ( − π 4 ) ) + i sin ( 6 · ( − π 4 ) ) ) ( 1 + i ) 2 = ( 2 ) 2 ( cos ( 2 · π 4 ) + i sin ( 2 · π 4 ) ) ( 3 − i ) 4 = ( 2 ) 4 ( cos ( 4 · ( − π 6 ) ) + i sin ( 4 · ( − π 6 ) ) ) 4) Açısal ve modül kısımlarını sadeleştirelim. ( 2 ) 6 = 2 3 = 8 6 · ( − π 4 ) = − 6 π 4 = − 3 π 2 ( 2 ) 2 = 2 2 · π 4 = π 2 ( 2 ) 4 = 16 4 · ( − π 6 ) = − 4 π 6 = − 2 π 3 5) Şimdi argümanları kullanarak toplam-çıkarma yapalım. arg ( ( 1 − i ) 6 ( 1 + i ) 2 ) = ( − 3 π 2 ) + π 2 = − π arg ( ( 3 − i ) 4 ) = − 2 π 3 6) Bölmede argümanlar çıkarılır: arg ( w ) = arg ( pay ) − arg ( payda ) = ( − π ) − ( − 2 π 3 ) = − π 3 7) Asal argüman aralığı kontrolü: ( − π, π ] − π 3 ∈ ( − π, π ] 8) Sonuç: Doğru cevap D984’dır. Arg ( w ) = − π 3

1) Verilen ifade:

w = \frac{{(1 - i)}^{6} {(1 + i)}^{2}}{{(\sqrt{3} - i)}^{4}}

2) Her çarpanı kutupsal forma yazalım.

1 - i = \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))

1 + i = \sqrt{2} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))

\sqrt{3} - i = 2 (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))

3) Üslere geçelim (argümanlar üs ile çarpılır).

{(1 - i)}^{6} = {(\sqrt{2})}^{6} (\cos (6 \cdot (- \frac{π}{4})) + i \sin (6 \cdot (- \frac{π}{4})))

{(1 + i)}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2} (\cos (2 \cdot \frac{π}{4}) + i \sin (2 \cdot \frac{π}{4}))

{(\sqrt{3} - i)}^{4} = {(2)}^{4} (\cos (4 \cdot (- \frac{π}{6})) + i \sin (4 \cdot (- \frac{π}{6})))

4) Açısal ve modül kısımlarını sadeleştirelim.

{(\sqrt{2})}^{6} = 2^{3} = 8

6 \cdot (- \frac{π}{4}) = - \frac{6}{π} = - \frac{3}{π}

{(\sqrt{2})}^{2} = 2

2 \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

{(2)}^{4} = 16

4 \cdot (- \frac{π}{6}) = - \frac{4}{π} = - \frac{2}{π}

5) Şimdi argümanları kullanarak toplam-çıkarma yapalım.

\arg ({(1 - i)}^{6} {(1 + i)}^{2}) = (- \frac{3}{π}) + \frac{π}{2} = - π

\arg ({(\sqrt{3} - i)}^{4}) = - \frac{2}{π}

6) Bölmede argümanlar çıkarılır:

\arg (w) = \arg (pay) - \arg (payda) = (- π) - (- \frac{2}{π}) = - \frac{π}{3}

7) Asal argüman aralığı kontrolü:

(- π, π]

- \frac{π}{3} \in (- π, π]

8) Sonuç: Doğru cevap D5729’dır.

Arg (w) = - \frac{π}{3}

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz.
$\frac{{(1 + i)}^{8}}{{(1 - i)}^{6}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

İfade: ( 1 + i ) 8 ( 1 - i ) 6 Birinci adım: 1 + i ve 1 - i sayılarını kutupsal biçimde yazalım. 1 + i = 2 ( cos ( π 4 ) + i sin ( π 4 ) ) 1 - i = 2 ( cos ( - π 4 ) + i sin ( - π 4 ) ) İkinci adım: De Moivre kuralını uygulayalım. ( r ( cos ( θ ) + i sin ( θ ) ) ) n = r n ( cos ( n θ ) + i sin ( n θ ) ) Üçüncü adım: Payı hesaplayalım. ( 1 + i ) 8 = 2 8 ( cos ( 8 ⋅ π 4 ) + i sin ( 8 ⋅ π 4 ) ) 2 8 = 2 4 = 16 8 ⋅ π 4 = 2 π ( 1 + i ) 8 = 16 ( cos ( 2 π ) + i sin ( 2 π ) ) cos ( 2 π ) = 1, sin ( 2 π ) = 0 ( 1 + i ) 8 = 16 Dördüncü adım: Paydayı hesaplayalım. ( 1 - i ) 6 = 2 6 ( cos ( 6 ⋅ - π 4 ) + i sin ( 6 ⋅ - π 4 ) ) 2 6 = 2 3 = 8 6 ⋅ - π 4 = - 6 4 π = - 3 2 π ( 1 - i ) 6 = 8 ( cos ( - 3 2 π ) + i sin ( - 3 2 π ) ) cos ( - 3 2 π ) = 0, sin ( - 3 2 π ) = 1 ( 1 - i ) 6 = 8 i Beşinci adım: Bölmeyi yapalım. ( 1 + i ) 8 ( 1 - i ) 6 = 16 8 i 16 8 i = 2 i = 2 ( 1 i ) 1 i = 1 i ⋅ i i = i i 2 = i - 1 = - i ( 1 + i ) 8 ( 1 - i ) 6 = 2 ⋅ ( - i ) = - 2 i Sonuç: Doğru cevap A1191 şıkkıdır. - 2 i

Çözüm: İfade: ( 1 + i ) 8 ( 1 - i ) 6 Birinci adım: 1 + i ve 1 - i sayılarını kutupsal biçimde yazalım. 1 + i = 2 ( cos ( π 4 ) + i sin ( π 4 ) ) 1 - i = 2 ( cos ( - π 4 ) + i sin ( - π 4 ) ) İkinci adım: De Moivre kuralını uygulayalım. ( r ( cos ( θ ) + i sin ( θ ) ) ) n = r n ( cos ( n θ ) + i sin ( n θ ) ) Üçüncü adım: Payı hesaplayalım. ( 1 + i ) 8 = 2 8 ( cos ( 8 ⋅ π 4 ) + i sin ( 8 ⋅ π 4 ) ) 2 8 = 2 4 = 16 8 ⋅ π 4 = 2 π ( 1 + i ) 8 = 16 ( cos ( 2 π ) + i sin ( 2 π ) ) cos ( 2 π ) = 1, sin ( 2 π ) = 0 ( 1 + i ) 8 = 16 Dördüncü adım: Paydayı hesaplayalım. ( 1 - i ) 6 = 2 6 ( cos ( 6 ⋅ - π 4 ) + i sin ( 6 ⋅ - π 4 ) ) 2 6 = 2 3 = 8 6 ⋅ - π 4 = - 6 4 π = - 3 2 π ( 1 - i ) 6 = 8 ( cos ( - 3 2 π ) + i sin ( - 3 2 π ) ) cos ( - 3 2 π ) = 0, sin ( - 3 2 π ) = 1 ( 1 - i ) 6 = 8 i Beşinci adım: Bölmeyi yapalım. ( 1 + i ) 8 ( 1 - i ) 6 = 16 8 i 16 8 i = 2 i = 2 ( 1 i ) 1 i = 1 i ⋅ i i = i i 2 = i - 1 = - i ( 1 + i ) 8 ( 1 - i ) 6 = 2 ⋅ ( - i ) = - 2 i Sonuç: Doğru cevap A1191 şıkkıdır. - 2 i

İfade:

\frac{{(1 + i)}^{8}}{{(1 - i)}^{6}}

Birinci adım: 1+i ve 1-i sayılarını kutupsal biçimde yazalım.

1 + i = \sqrt{2} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))

1 - i = \sqrt{2} (\cos (\frac{-}{π}) + i \sin (\frac{-}{π}))

İkinci adım: De Moivre kuralını uygulayalım.

{(r (\cos (θ) + i \sin (θ)))}^{n} = r^{n} (\cos (n θ) + i \sin (n θ))

Üçüncü adım: Payı hesaplayalım.

{(1 + i)}^{8} = {\sqrt{2}}^{8} (\cos (8 \cdot \frac{π}{4}) + i \sin (8 \cdot \frac{π}{4}))

{\sqrt{2}}^{8} = 2^{4} = 16

8 \cdot \frac{π}{4} = 2 π

{(1 + i)}^{8} = 16 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))

\cos (2 π) = 1, \sin (2 π) = 0

{(1 + i)}^{8} = 16

Dördüncü adım: Paydayı hesaplayalım.

{(1 - i)}^{6} = {\sqrt{2}}^{6} (\cos (6 \cdot \frac{-}{π}) + i \sin (6 \cdot \frac{-}{π}))

{\sqrt{2}}^{6} = 2^{3} = 8

6 \cdot \frac{-}{π} = \frac{-}{6} π = \frac{-}{3} π

{(1 - i)}^{6} = 8 (\cos (\frac{-}{3} π) + i \sin (\frac{-}{3} π))

\cos (\frac{-}{3} π) = 0, \sin (\frac{-}{3} π) = 1

{(1 - i)}^{6} = 8 i

Beşinci adım: Bölmeyi yapalım.

\frac{{(1 + i)}^{8}}{{(1 - i)}^{6}} = \frac{16}{8}

\frac{16}{8} = \frac{2}{i} = 2 (\frac{1}{i})

\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{i^{2}} = \frac{i}{-} = - i

\frac{{(1 + i)}^{8}}{{(1 - i)}^{6}} = 2 \cdot (- i) = - 2 i

Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

- 2 i

6. SoruÇoktan Seçmeli

Sıfırdan farklı $z$ karmaşık sayısı için
$z + \frac{1}{z} = 1$
veriliyor. Buna göre
$z^{6} + \frac{1}{z^{6}}$
değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda tanımlanan $w$ karmaşık sayısının değerini bulunuz.
$w = \frac{{(1 + i)}^{10}}{{(1 - i)}^{6}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Doğru seçenek C ’dır. Verilen ifade: w = ( 1 + i ) 10 ( 1 - i ) 6 1 + i ve 1 - i sayılarını kutupsal (trigonometrik) biçime yazalım. Modüller: | 1 + i | = 1 2 + 1 2 = 2 | 1 - i | = 1 2 + ( - 1 ) 2 = 2 Açıları: arg ( 1 + i ) = π 4 arg ( 1 - i ) = - π 4 Buna göre trigonometrik biçimler: 1 + i = 2 ( cos π 4 + i sin π 4 ) 1 - i = 2 ( cos - π 4 + i sin - π 4 ) Kuvvet alalım (De Moivre): ( 1 + i ) 10 = ( 2 ) 10 ( cos 10 · π 4 + i sin 10 · π 4 ) ( 1 - i ) 6 = ( 2 ) 6 ( cos 6 · ( - π 4 ) + i sin 6 · ( - π 4 ) ) Oranı yazalım: w = ( 2 ) 10 ( 2 ) 6 · cos 10 · π 4 + i sin 10 · π 4 cos 6 · ( - π 4 ) + i sin 6 · ( - π 4 ) Önce modül kısmı: ( 2 ) 10 ( 2 ) 6 = 2 10 - 6 = 2 4 = 2 2 = 4 Açı kısmında bölme, açıların farkına karşılık gelir: 10 · π 4 - 6 · ( - π 4 ) = 10 4 π + 6 4 π = 16 4 π = 4 π Sonuç: w = 4 ( cos 4 π + i sin 4 π ) cos 4 π = 1, sin 4 π = 0 w = 4

Çözüm: Doğru seçenek C ’dır. Verilen ifade: w = ( 1 + i ) 10 ( 1 - i ) 6 1 + i ve 1 - i sayılarını kutupsal (trigonometrik) biçime yazalım. Modüller: | 1 + i | = 1 2 + 1 2 = 2 | 1 - i | = 1 2 + ( - 1 ) 2 = 2 Açıları: arg ( 1 + i ) = π 4 arg ( 1 - i ) = - π 4 Buna göre trigonometrik biçimler: 1 + i = 2 ( cos π 4 + i sin π 4 ) 1 - i = 2 ( cos - π 4 + i sin - π 4 ) Kuvvet alalım (De Moivre): ( 1 + i ) 10 = ( 2 ) 10 ( cos 10 · π 4 + i sin 10 · π 4 ) ( 1 - i ) 6 = ( 2 ) 6 ( cos 6 · ( - π 4 ) + i sin 6 · ( - π 4 ) ) Oranı yazalım: w = ( 2 ) 10 ( 2 ) 6 · cos 10 · π 4 + i sin 10 · π 4 cos 6 · ( - π 4 ) + i sin 6 · ( - π 4 ) Önce modül kısmı: ( 2 ) 10 ( 2 ) 6 = 2 10 - 6 = 2 4 = 2 2 = 4 Açı kısmında bölme, açıların farkına karşılık gelir: 10 · π 4 - 6 · ( - π 4 ) = 10 4 π + 6 4 π = 16 4 π = 4 π Sonuç: w = 4 ( cos 4 π + i sin 4 π ) cos 4 π = 1, sin 4 π = 0 w = 4

Doğru seçenek A’dır.

Verilen ifade:

w = \frac{{(1 + i)}^{10}}{{(1 - i)}^{6}}

$1 + i$ ve $1 - i$ sayılarını kutupsal (trigonometrik) biçime yazalım.

Modüller:

| 1 + i | = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}

| 1 - i | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2}

Açıları:

\arg (1 + i) = \frac{π}{4}

\arg (1 - i) = - \frac{π}{4}

Buna göre trigonometrik biçimler:

1 + i = \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})

1 - i = \sqrt{2} (\cos - \frac{π}{4} + i \sin - \frac{π}{4})

Kuvvet alalım (De Moivre):

{(1 + i)}^{10} = {(\sqrt{2})}^{10} (\cos 10 \cdot \frac{π}{4} + i \sin 10 \cdot \frac{π}{4})

{(1 - i)}^{6} = {(\sqrt{2})}^{6} (\cos 6 \cdot (- \frac{π}{4}) + i \sin 6 \cdot (- \frac{π}{4}))

Oranı yazalım:

w = \frac{{(\sqrt{2})}^{10}}{{(\sqrt{2})}^{6}} \cdot \frac{\cos 10 \cdot \frac{π}{4} + i \sin 10 \cdot \frac{π}{4}}{\cos 6 \cdot (- \frac{π}{4}) + i \sin 6 \cdot (- \frac{π}{4})}

Önce modül kısmı:

\frac{{(\sqrt{2})}^{10}}{{(\sqrt{2})}^{6}} = {\sqrt{2}}^{10 - 6} = {\sqrt{2}}^{4} = 2^{2} = 4

Açı kısmında bölme, açıların farkına karşılık gelir:

10 \cdot \frac{π}{4} - 6 \cdot (- \frac{π}{4}) = \frac{10}{4} π + \frac{6}{4} π = \frac{16}{4} π = 4 π

Sonuç:

w = 4 (\cos 4 π + i \sin 4 π)

\cos 4 π = 1, \sin 4 π = 0

w = 4

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin sanal kısmı pozitif olan köklerinin toplamı kaçtır?
$z^{4} = - 16$

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulu sağlayan karmaşık sayı için modül değeri kaçtır?
$\bar{z} = (1 - i) z + 2$
$| z |$ değerini bulun.

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun.
$\frac{{(1 + i)}^{8}}{{(1 - i)}^{6}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Karmaşık sayılar hakkında sık sorulanlar

Karmaşık sayının eşleniği nedir?

a+bi karmaşık sayısının eşleniği a-bi’dir. Eşlenik özellikle bölme işlemlerinde paydayı reel yapmak için kullanılır.

Karmaşık sayının modülü nasıl bulunur?

a+bi sayısının modülü √(a²+b²) ile bulunur ve karmaşık düzlemde orijine uzaklığı gösterir.

i’nin kuvvetleri nasıl tekrar eder?

i’nin kuvvetleri dört adımda tekrar eder: i, -1, -i, 1. Üs 4’e göre kalanına bakmak pratik çözüm sağlar.

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Karmaşık sayı nedir?

İşlemler ve eşlenik

Geometrik yorum

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun:(1−i)10(3+i)6

Aşağıdaki koşulları sağlayan karmaşık sayının reel kısmı kaçtır?|z|=2z-1z-2i saf sanal sayıdır.Re(z)>0

Aşağıdaki ifadede z karmaşık sayısının değerini bulun.z=(1+i)5(1-i)3

Aşağıda tanımlanan w karmaşık sayısının asal argümanı kaçtır?w=(1−i)6(1+i)2(3−i)4Asal argüman aralığı: (−π,π]

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz.(1+i)8(1-i)6

Sıfırdan farklı z karmaşık sayısı içinz+1z=1veriliyor. Buna görez6+1z6değeri kaçtır?

Aşağıda tanımlanan w karmaşık sayısının değerini bulunuz.w=(1+i)10(1-i)6

Aşağıdaki denklemin sanal kısmı pozitif olan köklerinin toplamı kaçtır?z4=-16

Aşağıdaki koşulu sağlayan karmaşık sayı için modül değeri kaçtır?z¯=1−i⁢z+2|z| değerini bulun.

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun.(1+i)8(1-i)6

Karmaşık sayılar hakkında sık sorulanlar

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun:
$\frac{{(1 - i)}^{10}}{{(\sqrt{3} + i)}^{6}}$

Aşağıdaki koşulları sağlayan karmaşık sayının reel kısmı kaçtır?
$| z | = 2$
$\frac{z - 1}{z - 2 i}$ saf sanal sayıdır.
$Re (z) > 0$

Aşağıdaki ifadede $z$ karmaşık sayısının değerini bulun.
$z = \frac{{(1 + i)}^{5}}{{(1 - i)}^{3}}$

Aşağıda tanımlanan $w$ karmaşık sayısının asal argümanı kaçtır?
$w = \frac{{(1 - i)}^{6} {(1 + i)}^{2}}{{(\sqrt{3} - i)}^{4}}$
$Asal argüman aralığı: (- π, π]$

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz.
$\frac{{(1 + i)}^{8}}{{(1 - i)}^{6}}$

Sıfırdan farklı $z$ karmaşık sayısı için
$z + \frac{1}{z} = 1$
veriliyor. Buna göre
$z^{6} + \frac{1}{z^{6}}$
değeri kaçtır?

Aşağıda tanımlanan $w$ karmaşık sayısının değerini bulunuz.
$w = \frac{{(1 + i)}^{10}}{{(1 - i)}^{6}}$

Aşağıdaki denklemin sanal kısmı pozitif olan köklerinin toplamı kaçtır?
$z^{4} = - 16$

Aşağıdaki koşulu sağlayan karmaşık sayı için modül değeri kaçtır?
$\bar{z} = (1 - i) z + 2$
$| z |$ değerini bulun.

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun.
$\frac{{(1 + i)}^{8}}{{(1 - i)}^{6}}$