Numicorn logosuNumicornÖğren, çöz, ilerle

11. Sınıf Matematik

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Karmaşık Sayılar konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

Karmaşık sayı nedir?

Karmaşık sayılar a+bi biçiminde yazılır; a gerçek kısım, b sanal kısım ve i²=-1’dir. 11. Sınıf Karmaşık Sayılar testleri işlem kurallarını, eşlenik kavramını, modülü, argümenti ve düzlem gösterimini pekiştirir.

İşlemler ve eşlenik

Toplama ve çıkarma gerçek ve sanal kısımlar arasında ayrı ayrı yapılır. Bölme işlemlerinde payda eşleniğiyle genişletilir. Eşlenik, modül ve karmaşık düzlem ilişkisi birçok soruda kısa yol sağlar.

Geometrik yorum

Karmaşık sayı düzlemde bir nokta veya vektör olarak gösterilebilir. Modül uzaklığı, argüment ise pozitif gerçek eksenle yapılan açıyı ifade eder. Kutupsal gösterim özellikle çarpma, bölme ve kuvvet alma işlemlerini kolaylaştırır.

Test seç

10 Test
1. Test2. Test3. Test4. Test5. Test6. Test7. Test8. Test9. Test10. Test

2. Test

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Karmaşık Sayılar konusu 2. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru
0/10 Soru0 %
Doğru 0
Yanlış 0
Boş 10
1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki çarpımı bulunuz.

(2-3i)×(1+2i)

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Çarpımı dağıtalım: ( 2 - 3 i ) × ( 1 + 2 i ) Her terimi çarpalım: = 2 × 1 + 2 × 2 i + ( - 3 i ) × 1 + ( - 3 i ) × 2 i Çarpımları sadeleştirelim: = 2 + 4 i - 3 i - 6 i 2 Şimdi benzer terimleri birleştirelim: = 2 + ( 4 i - 3 i ) - 6 i 2 = 2 + i - 6 i 2 Bilinen özdeşlik: i 2 = - 1 Yerine yazalım: = 2 + i - 6 ( - 1 ) = 2 + i + 6 = 8 + i Sonuç şıkkıB376dır.

  1. Çözüm: Çarpımı dağıtalım: ( 2 - 3 i ) × ( 1 + 2 i ) Her terimi çarpalım: = 2 × 1 + 2 × 2 i + ( - 3 i ) × 1 + ( - 3 i ) × 2 i Çarpımları sadeleştirelim: = 2 + 4 i - 3 i - 6 i 2 Şimdi benzer terimleri birleştirelim: = 2 + ( 4 i - 3 i ) - 6 i 2 = 2 + i - 6 i 2 Bilinen özdeşlik: i 2 = - 1 Yerine yazalım: = 2 + i - 6 ( - 1 ) = 2 + i + 6 = 8 + i Sonuç şıkkıB376dır.

Çarpımı dağıtalım:

(2-3i)×(1+2i)

Her terimi çarpalım:

=2×1+2×2i+(-3i)×1+(-3i)×2i

Çarpımları sadeleştirelim:

=2+4i-3i-6i2

Şimdi benzer terimleri birleştirelim:

=2+(4i-3i)-6i2
=2+i-6i2

Bilinen özdeşlik:

i2=-1

Yerine yazalım:

=2+i-6(-1)
=2+i+6
=8+i

Sonuç A şıkkıdır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki çarpımın sonucu kaçtır?

(2+3i)(1-2i)

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Çarpımı dağıtalım: ( 2 + 3 i ) ( 1 - 2 i ) dağılma özelliği: = 2 · 1 + 2 · ( - 2 i ) + 3 i · 1 + 3 i · ( - 2 i ) Her terimi çarpalım: = 2 - 4 i + 3 i - 6 i 2 Bilinen değer: i 2 = - 1 Yerine yazıp düzenleyelim: = 2 - 4 i + 3 i - 6 ( - 1 ) Gerçek ve sanal kısımları toplayalım: = 2 + 6 + ( - 4 + 3 ) i Sonuç: = 8 - i Bu ifade şıklardan seçeneğiC334 ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C370’dır.

  1. Çözüm: Çarpımı dağıtalım: ( 2 + 3 i ) ( 1 - 2 i ) dağılma özelliği: = 2 · 1 + 2 · ( - 2 i ) + 3 i · 1 + 3 i · ( - 2 i ) Her terimi çarpalım: = 2 - 4 i + 3 i - 6 i 2 Bilinen değer: i 2 = - 1 Yerine yazıp düzenleyelim: = 2 - 4 i + 3 i - 6 ( - 1 ) Gerçek ve sanal kısımları toplayalım: = 2 + 6 + ( - 4 + 3 ) i Sonuç: = 8 - i Bu ifade şıklardan seçeneğiC334 ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C370’dır.

Çarpımı dağıtalım:

(2+3i)(1-2i)

dağılma özelliği:

=2·1+2·(-2i)+3i·1+3i·(-2i)

Her terimi çarpalım:

=2-4i+3i-6i2

Bilinen değer:

i2=-1

Yerine yazıp düzenleyelim:

=2-4i+3i-6(-1)

Gerçek ve sanal kısımları toplayalım:

=2+6+(-4+3)i

Sonuç:

=8-i

Bu ifade şıklardan seçeneğiC1953 ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C1989’dır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki çarpımın sonucunu bulunuz.

(2+3i)(1-2i)

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Çözüm üretilemedi

  1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Çözüm üretilemedi

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin değeri kaçtır?

z=(1-i)4

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) İfadeyi kontrol edelim: z = ( 1 - i ) 4 2) Önce karesini alalım: ( 1 - i ) 2 = ( 1 - i ) ( 1 - i ) 3) Açalım: ( 1 - i ) ( 1 - i ) = 1 - i - i + i 2 4) Şimdi sadeleştirelim: 1 - 2 i + i 2 = 1 - 2 i - 1 = - 2 i 5) Dördüncü kuvvet için tekrar karesini alalım: ( 1 - i ) 4 = ( 1 - i ) 2 2 = ( - 2 i ) 2 6) Son hesap: ( - 2 i ) 2 = - 2 2 i 2 = 4 ( - 1 ) = - 4 7) Sonuç ve şık kontrolü: z = - 4 Doğru cevap A şıkkıdır.

  1. Çözüm: 1) İfadeyi kontrol edelim: z = ( 1 - i ) 4 2) Önce karesini alalım: ( 1 - i ) 2 = ( 1 - i ) ( 1 - i ) 3) Açalım: ( 1 - i ) ( 1 - i ) = 1 - i - i + i 2 4) Şimdi sadeleştirelim: 1 - 2 i + i 2 = 1 - 2 i - 1 = - 2 i 5) Dördüncü kuvvet için tekrar karesini alalım: ( 1 - i ) 4 = ( 1 - i ) 2 2 = ( - 2 i ) 2 6) Son hesap: ( - 2 i ) 2 = - 2 2 i 2 = 4 ( - 1 ) = - 4 7) Sonuç ve şık kontrolü: z = - 4 Doğru cevap A şıkkıdır.

1) İfadeyi kontrol edelim:

z=(1-i)4

2) Önce karesini alalım:

(1-i)2=(1-i)(1-i)

3) Açalım:

(1-i)(1-i)=1-i-i+i2

4) Şimdi sadeleştirelim:

1-2i+i2=1-2i-1=-2i

5) Dördüncü kuvvet için tekrar karesini alalım:

(1-i)4=(1-i)22=(-2i)2

6) Son hesap:

(-2i)2=-22i2=4(-1)=-4

7) Sonuç ve şık kontrolü:

z=-4

Doğru cevap A şıkkıdır.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki çarpımın sonucu nedir?

(2-3i)(1+2i)

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Çarpımı dağıtalım: ( 2 - 3 i ) ( 1 + 2 i ) = 2 · 1 + 2 · 2 i - 3 i · 1 - 3 i · 2 i 2) Çarpımları sadeleştirelim: = 2 + 4 i - 3 i - 6 i 2 3) Bilinen özelliği kullanalım: i 2 = - 1 4) Yerine yazıp benzer terimleri toplayalım: 2 + 4 i - 3 i - 6 ( - 1 ) = 2 + i + 6 = 8 + i 5) Sonuç ve şık kontrolü: ( 2 - 3 i ) ( 1 + 2 i ) = 8 + i Doğru cevap B331 ’dır.

  1. Çözüm: 1) Çarpımı dağıtalım: ( 2 - 3 i ) ( 1 + 2 i ) = 2 · 1 + 2 · 2 i - 3 i · 1 - 3 i · 2 i 2) Çarpımları sadeleştirelim: = 2 + 4 i - 3 i - 6 i 2 3) Bilinen özelliği kullanalım: i 2 = - 1 4) Yerine yazıp benzer terimleri toplayalım: 2 + 4 i - 3 i - 6 ( - 1 ) = 2 + i + 6 = 8 + i 5) Sonuç ve şık kontrolü: ( 2 - 3 i ) ( 1 + 2 i ) = 8 + i Doğru cevap B331 ’dır.

1) Çarpımı dağıtalım:

(2-3i)(1+2i)=2·1+2·2i-3i·1-3i·2i

2) Çarpımları sadeleştirelim:

=2+4i-3i-6i2

3) Bilinen özelliği kullanalım:

i2=-1

4) Yerine yazıp benzer terimleri toplayalım:

2+4i-3i-6(-1)=2+i+6=8+i

5) Sonuç ve şık kontrolü:

(2-3i)(1+2i)=8+i

Doğru cevap A’dır.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin sadeleştirilmiş biçimi nedir?

3+4i1-2i

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

İfade: 3 + 4 i 1 - 2 i Paydayı gerçel yapmak için payda eşleniği ile genişletelim: 3 + 4 i 1 - 2 i = 3 + 4 i ( 1 + 2 i ) 1 - 2 i ( 1 + 2 i ) Payı açalım: 3 + 4 i ( 1 + 2 i ) = 3 + 6 i + 4 i + 8 i 2 Payda çarpımını açalım: 1 - 2 i ( 1 + 2 i ) = 1 - 4 i 2 i 2 = - 1 olduğunu kullanarak sadeleştirelim: 3 + 6 i + 4 i + 8 i 2 = 3 + 10 i - 8 = - 5 + 10 i 1 - 4 i 2 = 1 + 4 = 5 Sonuç: - 5 + 10 i 5 = - 1 + 2 i Doğru seçenek: - 1 + 2 i Yani şıkkıC434 doğrudur.

  1. Çözüm: İfade: 3 + 4 i 1 - 2 i Paydayı gerçel yapmak için payda eşleniği ile genişletelim: 3 + 4 i 1 - 2 i = 3 + 4 i ( 1 + 2 i ) 1 - 2 i ( 1 + 2 i ) Payı açalım: 3 + 4 i ( 1 + 2 i ) = 3 + 6 i + 4 i + 8 i 2 Payda çarpımını açalım: 1 - 2 i ( 1 + 2 i ) = 1 - 4 i 2 i 2 = - 1 olduğunu kullanarak sadeleştirelim: 3 + 6 i + 4 i + 8 i 2 = 3 + 10 i - 8 = - 5 + 10 i 1 - 4 i 2 = 1 + 4 = 5 Sonuç: - 5 + 10 i 5 = - 1 + 2 i Doğru seçenek: - 1 + 2 i Yani şıkkıC434 doğrudur.

İfade:

3+4i1-2i

Paydayı gerçel yapmak için payda eşleniği ile genişletelim:

3+4i1-2i=3+4i(1+2i)1-2i(1+2i)

Payı açalım:

3+4i(1+2i)=3+6i+4i+8i2

Payda çarpımını açalım:

1-2i(1+2i)=1-4i2

i2=-1 olduğunu kullanarak sadeleştirelim:

3+6i+4i+8i2=3+10i-8=-5+10i1-4i2=1+4=5

Sonuç:

-5+10i5=-1+2i

Doğru seçenek:

-1+2i

Yani şıkkıC2528 doğrudur.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin modülünü bulunuz:

|3-4i1+i|

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

İstenen ifade: | 3 - 4 i 1 + i | Modülün bölme özelliğini kullanalım: | 3 - 4 i 1 + i | = | 3 - 4 i | | 1 + i | Payın modülünü bulalım: | 3 - 4 i | = 3 2 + - 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 Paydanın modülünü bulalım: | 1 + i | = 1 2 + 1 2 = 2 Oranı yazalım: | 3 - 4 i | | 1 + i | = 5 2 Paydada kök kalmayacak şekilde düzenleyelim: 5 2 = 5 2 2 Sonuç şıkkıD339dır; verilen cevap doğru.

  1. Çözüm: İstenen ifade: | 3 - 4 i 1 + i | Modülün bölme özelliğini kullanalım: | 3 - 4 i 1 + i | = | 3 - 4 i | | 1 + i | Payın modülünü bulalım: | 3 - 4 i | = 3 2 + - 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 Paydanın modülünü bulalım: | 1 + i | = 1 2 + 1 2 = 2 Oranı yazalım: | 3 - 4 i | | 1 + i | = 5 2 Paydada kök kalmayacak şekilde düzenleyelim: 5 2 = 5 2 2 Sonuç şıkkıD339dır; verilen cevap doğru.

İstenen ifade:

|3-4i1+i|

Modülün bölme özelliğini kullanalım:

|3-4i1+i|=|3-4i||1+i|

Payın modülünü bulalım:

|3-4i|=32+-42=9+16=25=5

Paydanın modülünü bulalım:

|1+i|=12+12=2

Oranı yazalım:

|3-4i||1+i|=52

Paydada kök kalmayacak şekilde düzenleyelim:

52=522

Sonuç şıkkıD2691dır; verilen cevap doğru.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin mutlak değerini bulunuz:
|3-4i1+2i|

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

İfade: | 3 - 4 i 1 + 2 i | Mutlak değer özelliği (karmaşık sayılarda): | z w | = | z | | w | Payın mutlak değeri: | 3 - 4 i | = 3 2 + 4 2 = 25 = 5 Paydanın mutlak değeri: | 1 + 2 i | = 1 2 + 2 2 = 5 Oranın mutlak değeri: | 3 - 4 i 1 + 2 i | = 5 5 = 5 Sonuç: 5 Bu değer A şıkkı ile aynıdır; doğru cevap A’dır.

  1. Çözüm: İfade: | 3 - 4 i 1 + 2 i | Mutlak değer özelliği (karmaşık sayılarda): | z w | = | z | | w | Payın mutlak değeri: | 3 - 4 i | = 3 2 + 4 2 = 25 = 5 Paydanın mutlak değeri: | 1 + 2 i | = 1 2 + 2 2 = 5 Oranın mutlak değeri: | 3 - 4 i 1 + 2 i | = 5 5 = 5 Sonuç: 5 Bu değer A şıkkı ile aynıdır; doğru cevap A’dır.

İfade:

|3-4i1+2i|

Mutlak değer özelliği (karmaşık sayılarda):

|zw|=|z||w|

Payın mutlak değeri:

|3-4i|=32+42=25=5

Paydanın mutlak değeri:

|1+2i|=12+22=5

Oranın mutlak değeri:

|3-4i1+2i|=55=5

Sonuç:

5

Bu değer A şıkkı ile aynıdır; doğru cevap A’dır.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki çarpımın sonucu nedir?

3−2i1+i

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen çarpımı açalım: 3 − 2 i 1 + i dağılma özelliğini uygulayalım: 3 − 2 i 1 + i = 3 · 1 + 3 · i − 2 i · 1 − 2 i · i Benzer terimleri düzenleyelim: 3 + 3 i − 2 i − 2 i 2 Şu bilgiyi kullanalım: i 2 = − 1 Yerine yazıp sadeleştirelim: 3 + 3 − 2 i − 2 − 1 Sonuç: 5 + i Bu ifade şık A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B308 ’dır.

  1. Çözüm: Verilen çarpımı açalım: 3 − 2 i 1 + i dağılma özelliğini uygulayalım: 3 − 2 i 1 + i = 3 · 1 + 3 · i − 2 i · 1 − 2 i · i Benzer terimleri düzenleyelim: 3 + 3 i − 2 i − 2 i 2 Şu bilgiyi kullanalım: i 2 = − 1 Yerine yazıp sadeleştirelim: 3 + 3 − 2 i − 2 − 1 Sonuç: 5 + i Bu ifade şık A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B308 ’dır.

Verilen çarpımı açalım:

3−2i1+i

dağılma özelliğini uygulayalım:

3−2i1+i=3·1+3·i−2i·1−2i·i

Benzer terimleri düzenleyelim:

3+3i−2i−2i2

Şu bilgiyi kullanalım:

i2=−1

Yerine yazıp sadeleştirelim:

3+3−2i−2−1

Sonuç:

5+i

Bu ifade şık A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A’dır.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki tanıma göre z karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır?

z=(2-3i)(1+i)

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen ifade: z = ( 2 - 3 i ) ( 1 + i ) Paydadan sanal kısmı kaldırmak için eşleniği ile genişletelim: z = ( 2 - 3 i ) ( 1 - i ) ( 1 + i ) ( 1 - i ) Paydayı hesaplayalım: ( 1 + i ) ( 1 - i ) = 1 - i 2 = 1 - ( - 1 ) = 2 Payı açalım: ( 2 - 3 i ) ( 1 - i ) = 2 - 2 i - 3 i + 3 i 2 i 2 = - 1 olduğundan yerine yazalım: 2 - 2 i - 3 i + 3 ( - 1 ) = - 1 - 5 i Böylece: z = - 1 - 5 i 2 = - 1 2 - 5 2 i Reel kısım: Re ( z ) = - 1 2 Sonuç: Doğru seçenek C431 ’dır.

  1. Çözüm: Verilen ifade: z = ( 2 - 3 i ) ( 1 + i ) Paydadan sanal kısmı kaldırmak için eşleniği ile genişletelim: z = ( 2 - 3 i ) ( 1 - i ) ( 1 + i ) ( 1 - i ) Paydayı hesaplayalım: ( 1 + i ) ( 1 - i ) = 1 - i 2 = 1 - ( - 1 ) = 2 Payı açalım: ( 2 - 3 i ) ( 1 - i ) = 2 - 2 i - 3 i + 3 i 2 i 2 = - 1 olduğundan yerine yazalım: 2 - 2 i - 3 i + 3 ( - 1 ) = - 1 - 5 i Böylece: z = - 1 - 5 i 2 = - 1 2 - 5 2 i Reel kısım: Re ( z ) = - 1 2 Sonuç: Doğru seçenek C431 ’dır.

Verilen ifade:

z=(2-3i)(1+i)

Paydadan sanal kısmı kaldırmak için eşleniği ile genişletelim:

z=(2-3i)(1-i)(1+i)(1-i)

Paydayı hesaplayalım:

(1+i)(1-i)=1-i2=1-(-1)=2

Payı açalım:

(2-3i)(1-i)=2-2i-3i+3i2

i2=-1 olduğundan yerine yazalım:

2-2i-3i+3(-1)=-1-5i

Böylece:

z=-1-5i2=-12-52i

Reel kısım:

Re(z)=-12

Sonuç: Doğru seçenek A’dır.

Karmaşık sayılar hakkında sık sorulanlar

Karmaşık sayının eşleniği nedir?

a+bi karmaşık sayısının eşleniği a-bi’dir. Eşlenik özellikle bölme işlemlerinde paydayı reel yapmak için kullanılır.

Karmaşık sayının modülü nasıl bulunur?

a+bi sayısının modülü √(a²+b²) ile bulunur ve karmaşık düzlemde orijine uzaklığı gösterir.

i’nin kuvvetleri nasıl tekrar eder?

i’nin kuvvetleri dört adımda tekrar eder: i, -1, -i, 1. Üs 4’e göre kalanına bakmak pratik çözüm sağlar.