11. Sınıf Matematik

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Karmaşık Sayılar konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

Karmaşık sayı nedir?

Karmaşık sayılar a+bi biçiminde yazılır; a gerçek kısım, b sanal kısım ve i²=-1’dir. 11. Sınıf Karmaşık Sayılar testleri işlem kurallarını, eşlenik kavramını, modülü, argümenti ve düzlem gösterimini pekiştirir.

İşlemler ve eşlenik

Toplama ve çıkarma gerçek ve sanal kısımlar arasında ayrı ayrı yapılır. Bölme işlemlerinde payda eşleniğiyle genişletilir. Eşlenik, modül ve karmaşık düzlem ilişkisi birçok soruda kısa yol sağlar.

Geometrik yorum

Karmaşık sayı düzlemde bir nokta veya vektör olarak gösterilebilir. Modül uzaklığı, argüment ise pozitif gerçek eksenle yapılan açıyı ifade eder. Kutupsal gösterim özellikle çarpma, bölme ve kuvvet alma işlemlerini kolaylaştırır.

Test seç

10 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test

8. Test

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Karmaşık Sayılar konusu 8. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

$z \neq 0, z + \frac{1}{z} = 2 \cos (\frac{5 π}{6})$ koşulunu sağlayan karmaşık sayısı için $z^{6}$ değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Önce sağ tarafı hesaplayalım: 2 cos ( 5 π 6 ) = 2 · cos ( 5 π 6 ) = 2 · ( - 3 2 ) = - 3 Verilen denklem böylece şu hale gelir: z + 1 z = - 3 Kesirden kurtulmak için ( z ≠ 0 ) olduğundan her iki tarafı z ile çarpalım: z · ( z + 1 z ) = z · ( - 3 ) Düzenleyelim: z 2 + 1 = - 3 z Tüm terimleri bir tarafa alalım (ikinci dereceden denklem): z 2 + 3 z + 1 = 0 Bu denklem z 2 - 2 cos ( θ ) z + 1 = 0 formundadır ve kökleri bilinen şekilde z = cos ( θ ) ± i sin ( θ ) olur. Burada sağ taraf 2 cos ( θ ) = 2 cos ( 5 π 6 ) olduğundan θ = 5 π 6 yazabiliriz. Dolayısıyla z = cos ( 5 π 6 ) ± i sin ( 5 π 6 ) Şimdi 6. kuvvetini alalım. De Moivre’e göre: z 6 = cos ( 6 · 5 π 6 ) ± i sin ( 6 · 5 π 6 ) Çarpımı sadeleştirelim: 6 · 5 π 6 = 5 π Yerine yazalım: z 6 = cos ( 5 π ) ± i sin ( 5 π ) Trigonometrik değerler: cos ( 5 π ) = - 1 sin ( 5 π ) = 0 Sonuç: z 6 = - 1 Doğru seçenek D852 ’dır.

Çözüm: Önce sağ tarafı hesaplayalım: 2 cos ( 5 π 6 ) = 2 · cos ( 5 π 6 ) = 2 · ( - 3 2 ) = - 3 Verilen denklem böylece şu hale gelir: z + 1 z = - 3 Kesirden kurtulmak için ( z ≠ 0 ) olduğundan her iki tarafı z ile çarpalım: z · ( z + 1 z ) = z · ( - 3 ) Düzenleyelim: z 2 + 1 = - 3 z Tüm terimleri bir tarafa alalım (ikinci dereceden denklem): z 2 + 3 z + 1 = 0 Bu denklem z 2 - 2 cos ( θ ) z + 1 = 0 formundadır ve kökleri bilinen şekilde z = cos ( θ ) ± i sin ( θ ) olur. Burada sağ taraf 2 cos ( θ ) = 2 cos ( 5 π 6 ) olduğundan θ = 5 π 6 yazabiliriz. Dolayısıyla z = cos ( 5 π 6 ) ± i sin ( 5 π 6 ) Şimdi 6. kuvvetini alalım. De Moivre’e göre: z 6 = cos ( 6 · 5 π 6 ) ± i sin ( 6 · 5 π 6 ) Çarpımı sadeleştirelim: 6 · 5 π 6 = 5 π Yerine yazalım: z 6 = cos ( 5 π ) ± i sin ( 5 π ) Trigonometrik değerler: cos ( 5 π ) = - 1 sin ( 5 π ) = 0 Sonuç: z 6 = - 1 Doğru seçenek D852 ’dır.

Önce sağ tarafı hesaplayalım:

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) = 2 \cdot \cos (\frac{5 π}{6}) = 2 \cdot (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \sqrt{3}$

Verilen denklem böylece şu hale gelir:

$z + \frac{1}{z} = - \sqrt{3}$

Kesirden kurtulmak için (

$z \neq 0$

) olduğundan her iki tarafı z ile çarpalım:

$z \cdot (z + \frac{1}{z}) = z \cdot (- \sqrt{3})$

Düzenleyelim:

$z^{2} + 1 = - \sqrt{3} z$

Tüm terimleri bir tarafa alalım (ikinci dereceden denklem):

$z^{2} + \sqrt{3} z + 1 = 0$

Bu denklem

$z^{2} - 2 \cos (θ) z + 1 = 0$

formundadır ve kökleri bilinen şekilde

$z = \cos (θ) \pm i \sin (θ)$

olur. Burada sağ taraf

$2 \cos (θ) = 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

olduğundan

$θ = \frac{5 π}{6}$

yazabiliriz. Dolayısıyla

$z = \cos (\frac{5 π}{6}) \pm i \sin (\frac{5 π}{6})$

Şimdi 6. kuvvetini alalım. De Moivre’e göre:

$z^{6} = \cos (6 \cdot \frac{5 π}{6}) \pm i \sin (6 \cdot \frac{5 π}{6})$

Çarpımı sadeleştirelim:

$6 \cdot \frac{5 π}{6} = 5 π$

Yerine yazalım:

$z^{6} = \cos (5 π) \pm i \sin (5 π)$

Trigonometrik değerler:

$\cos (5 π) = - 1$

$\sin (5 π) = 0$

Sonuç:

$z^{6} = - 1$

Doğru seçenek A’dır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz.
$\frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{7} {(1 - i)}^{5}}{{(2 + 2 i)}^{6}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun:
$E = \frac{{\frac{1 - i}{1 + i}}^{6} \cdot {(\sqrt{3} + i)}^{8}}{{(- 2 i)}^{5}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz:
$\frac{{(1 + i)}^{8}}{{(1 - i)}^{4}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan sayı için istenen değeri bulunuz.
$\begin{matrix} z^{2} = - 3 + 4 i \\ Im (z) > 0 \end{matrix}$
$z^{5} + {\bar{z}}^{5}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen koşullardan başlayalım: z 2 = − 3 + 4 i Im ( z ) > 0 Karekök adayını bulmak için şu denemeyi yapalım: ( 1 + 2 i ) 2 Açalım: 1 2 + 2 ⋅ 1 ⋅ 2 i + 2 i 2 1 + 4 i + 4 i 2 1 + 4 i − 4 − 3 + 4 i Demek ki koşulu sağlayan (sanal kısmı pozitif olan) kök: z = 1 + 2 i İstenen ifadeyi yazalım: z 5 + z ¯ 5 Önce kuvvetleri daha hızlı hesaplamak için ara adımlar: z 2 = − 3 + 4 i z 4 = ( − 3 + 4 i ) 2 Açalım: − 3 2 + 2 ⋅ − 3 ⋅ 4 i + 4 i 2 9 − 24 i + 16 i 2 9 − 24 i − 16 − 7 − 24 i Şimdi z 5 = z 4 ⋅ z yerine koyup çarpalım: z 5 = ( − 7 − 24 i ) ⋅ ( 1 + 2 i ) ( − 7 − 24 i ) + 2 i ⋅ ( − 7 − 24 i ) ( − 7 − 24 i ) + ( − 14 i − 48 i 2 ) ( − 7 + 48 ) + ( − 24 − 14 ) i 41 − 38 i Eşlenik kuvveti, kuvvetin eşleniğine eşittir: z ¯ 5 = z 5 ¯ Dolayısıyla: z ¯ 5 = 41 + 38 i Toplayalım: z 5 + z ¯ 5 = ( 41 − 38 i ) + ( 41 + 38 i ) 82 Sonuç 82 olur. Bu da şık olarak seçeneğiD1126dir; yani verilen öneri doğrudur.

Çözüm: Verilen koşullardan başlayalım: z 2 = − 3 + 4 i Im ( z ) > 0 Karekök adayını bulmak için şu denemeyi yapalım: ( 1 + 2 i ) 2 Açalım: 1 2 + 2 ⋅ 1 ⋅ 2 i + 2 i 2 1 + 4 i + 4 i 2 1 + 4 i − 4 − 3 + 4 i Demek ki koşulu sağlayan (sanal kısmı pozitif olan) kök: z = 1 + 2 i İstenen ifadeyi yazalım: z 5 + z ¯ 5 Önce kuvvetleri daha hızlı hesaplamak için ara adımlar: z 2 = − 3 + 4 i z 4 = ( − 3 + 4 i ) 2 Açalım: − 3 2 + 2 ⋅ − 3 ⋅ 4 i + 4 i 2 9 − 24 i + 16 i 2 9 − 24 i − 16 − 7 − 24 i Şimdi z 5 = z 4 ⋅ z yerine koyup çarpalım: z 5 = ( − 7 − 24 i ) ⋅ ( 1 + 2 i ) ( − 7 − 24 i ) + 2 i ⋅ ( − 7 − 24 i ) ( − 7 − 24 i ) + ( − 14 i − 48 i 2 ) ( − 7 + 48 ) + ( − 24 − 14 ) i 41 − 38 i Eşlenik kuvveti, kuvvetin eşleniğine eşittir: z ¯ 5 = z 5 ¯ Dolayısıyla: z ¯ 5 = 41 + 38 i Toplayalım: z 5 + z ¯ 5 = ( 41 − 38 i ) + ( 41 + 38 i ) 82 Sonuç 82 olur. Bu da şık olarak seçeneğiD1126dir; yani verilen öneri doğrudur.

Verilen koşullardan başlayalım:

\begin{matrix} z^{2} = - 3 + 4 i \\ Im (z) > 0 \end{matrix}

Karekök adayını bulmak için şu denemeyi yapalım:

{(1 + 2 i)}^{2}

Açalım:

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot 2 i + {2 i}^{2}

1 + 4 i + 4 i^{2}

1 + 4 i - 4

- 3 + 4 i

Demek ki koşulu sağlayan (sanal kısmı pozitif olan) kök:

z = 1 + 2 i

İstenen ifadeyi yazalım:

z^{5} + {\bar{z}}^{5}

Önce kuvvetleri daha hızlı hesaplamak için ara adımlar:

z^{2} = - 3 + 4 i

z^{4} = {(- 3 + 4 i)}^{2}

Açalım:

{- 3}^{2} + 2 \cdot - 3 \cdot 4 i + {4 i}^{2}

9 - 24 i + 16 i^{2}

9 - 24 i - 16

- 7 - 24 i

Şimdi

z^{5} = z^{4} \cdot z

yerine koyup çarpalım:

z^{5} = (- 7 - 24 i) \cdot (1 + 2 i)

(- 7 - 24 i) + 2 i \cdot (- 7 - 24 i)

(- 7 - 24 i) + (- 14 i - 48 i^{2})

(- 7 + 48) + (- 24 - 14) i

41 - 38 i

Eşlenik kuvveti, kuvvetin eşleniğine eşittir:

{\bar{z}}^{5} = \bar{z^{5}}

Dolayısıyla:

{\bar{z}}^{5} = 41 + 38 i

Toplayalım:

z^{5} + {\bar{z}}^{5} = (41 - 38 i) + (41 + 38 i)

82

Sonuç

82

olur. Bu da şık olarak

seçeneğidir; yani verilen öneri doğrudur.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulu sağlayan $z$ karmaşık sayısı için $z^{7} + \frac{1}{z^{7}}$ değerini bulunuz:
$z \neq 0, z + \frac{1}{z} = 2 \cos (\frac{π}{7})$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) Doğru şık kontrolü: Verilen koşuldan hesaplanan değer şıkkıA57ndaki gibi -2 çıkacaktır. 2) Verilen koşulu daha kısa yazalım: z ≠ 0, z + 1 z = 2 cos π 7 3) Aşağıdaki diziyi tanımlayalım (bu tür sorularda standart yöntem): a n = z n + z - n İstenen ifade bu tanımla şudur: z 7 + 1 z 7 = a 7 4) Verilen koşuldan başlangıç değerleri gelir: a 1 = z + 1 z = 2 cos π 7 Ayrıca: a 0 = z 0 + z 0 = 2 5) Şimdi temel bağıntıyı (reküransı) kuralım. Önce şu çarpımı yazalım: a 1 a n = z + 1 z z n + z - n dağıtırsak: a 1 a n = z n + 1 + z n - 1 + z - n + 1 + z - n - 1 Burada ilk ve son terim birlikte a n+1, ortadaki iki terim birlikte a n-1 eder. Yani: a 1 a n = a n + 1 + a n - 1 Buradan rekürans: a n + 1 = a 1 a n - a n - 1 6) Şimdi trigonometrik yorum: Verilen a 1 = 2 cos π 7 Bu tip dizide standart sonuç şudur: Eğer a 1 = 2 cos θ ise reküransı sağlayan değerler a n = 2 cos n θ şeklinde gider (De Moivre / Chebyshev bağıntısı). Burada θ = π 7 7) O halde istenen: a 7 = 2 cos 7 × π 7 = 2 cos π = - 2 Sonuç: Doğru cevap A1079 şıkkıdır.

Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü: Verilen koşuldan hesaplanan değer şıkkıA57ndaki gibi -2 çıkacaktır. 2) Verilen koşulu daha kısa yazalım: z ≠ 0, z + 1 z = 2 cos π 7 3) Aşağıdaki diziyi tanımlayalım (bu tür sorularda standart yöntem): a n = z n + z - n İstenen ifade bu tanımla şudur: z 7 + 1 z 7 = a 7 4) Verilen koşuldan başlangıç değerleri gelir: a 1 = z + 1 z = 2 cos π 7 Ayrıca: a 0 = z 0 + z 0 = 2 5) Şimdi temel bağıntıyı (reküransı) kuralım. Önce şu çarpımı yazalım: a 1 a n = z + 1 z z n + z - n dağıtırsak: a 1 a n = z n + 1 + z n - 1 + z - n + 1 + z - n - 1 Burada ilk ve son terim birlikte a n+1, ortadaki iki terim birlikte a n-1 eder. Yani: a 1 a n = a n + 1 + a n - 1 Buradan rekürans: a n + 1 = a 1 a n - a n - 1 6) Şimdi trigonometrik yorum: Verilen a 1 = 2 cos π 7 Bu tip dizide standart sonuç şudur: Eğer a 1 = 2 cos θ ise reküransı sağlayan değerler a n = 2 cos n θ şeklinde gider (De Moivre / Chebyshev bağıntısı). Burada θ = π 7 7) O halde istenen: a 7 = 2 cos 7 × π 7 = 2 cos π = - 2 Sonuç: Doğru cevap A1079 şıkkıdır.

1) Doğru şık kontrolü: Verilen koşuldan hesaplanan değer B şıkkındaki gibi -2 çıkacaktır.

2) Verilen koşulu daha kısa yazalım:

z \neq 0, z + \frac{1}{z} = 2 \cos (\frac{π}{7})

3) Aşağıdaki diziyi tanımlayalım (bu tür sorularda standart yöntem):

a_{n} = z^{n} + z^{- n}

İstenen ifade bu tanımla şudur:

z^{7} + \frac{1}{z^{7}} = a_{7}

4) Verilen koşuldan başlangıç değerleri gelir:

a_{1} = z + \frac{1}{z} = 2 \cos (\frac{π}{7})

Ayrıca:

a_{0} = z^{0} + z^{0} = 2

5) Şimdi temel bağıntıyı (reküransı) kuralım. Önce şu çarpımı yazalım:

a_{1} a_{n} = (z + \frac{1}{z}) (z^{n} + z^{- n})

dağıtırsak:

a_{1} a_{n} = z^{n + 1} + z^{n - 1} + z^{- n + 1} + z^{- n - 1}

Burada ilk ve son terim birlikte a_n+1, ortadaki iki terim birlikte a_n-1 eder. Yani:

a_{1} a_{n} = a_{n + 1} + a_{n - 1}

Buradan rekürans:

a_{n + 1} = a_{1} a_{n} - a_{n - 1}

6) Şimdi trigonometrik yorum: Verilen

a_{1} = 2 \cos (\frac{π}{7})

Bu tip dizide standart sonuç şudur: Eğer

a_{1} = 2 \cos (θ)

ise reküransı sağlayan değerler

a_{n} = 2 \cos (n θ)

şeklinde gider (De Moivre / Chebyshev bağıntısı). Burada

θ = \frac{π}{7}

7) O halde istenen:

a_{7} = 2 \cos (7 \times \frac{π}{7}) = 2 \cos (π) = - 2

Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin $Im (z) > 0$ koşulunu sağlayan köklerinin çarpımı kaçtır?
$z^{4} = 16 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Şık kontrolü: Bulacağımız çarpım değeri B şıkkındaki ifadeye eşit çıkarsa, doğru cevap B’dir. Verilen denklem: z 4 = 16 ( cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 ) Sağ tarafın kutupsal (trigonometrik) biçimi hazırdır. Dördüncü dereceden kökleri alacağız. Modülün dördüncü dereceden kökü: 16 1 4 = 2 Açıların (argümanların) dördüncü dereceden kökleri için genel formül: z = 2 ( cos ⁡ π 3 + 2 k π 4 + i sin ⁡ π 3 + 2 k π 4 ) Buradan açı sadeleşir: π 3 4 = π 12 Dolayısıyla kökler (k değerlerine göre): z = 2 ( cos ⁡ π 12 + i sin ⁡ π 12 ), z = 2 ( cos ⁡ 7 π 12 + i sin ⁡ 7 π 12 ), z = 2 ( cos ⁡ 13 π 12 + i sin ⁡ 13 π 12 ), z = 2 ( cos ⁡ 19 π 12 + i sin ⁡ 19 π 12 ) Koşul: İmajiner kısmı pozitif olan kökler seçilecek. Im ⁡ z > 0 İmajiner kısmın pozitif olması için açıların aralığı: 0 < θ < π Bu aralıkta kalan açılar: π 12, 7 π 12 İstenen çarpım (bu iki kökün çarpımı): 2 ( cos ⁡ π 12 + i sin ⁡ π 12 ) ⋅ 2 ( cos ⁡ 7 π 12 + i sin ⁡ 7 π 12 ) Trigonometrik biçimde çarpımda modüller çarpılır, açılar toplanır: 4 ( cos ⁡ π + 7 π 12 + i sin ⁡ π + 7 π 12 ) Açı sadeleşmesi: π + 7 π 12 = 8 π 12 = 2 π 3 Değeri bulalım: 4 ( cos ⁡ 2 π 3 + i sin ⁡ 2 π 3 ) = 4 ( - 1 2 + i 3 2 ) = -2 + 2 i 3 Sonuç B şıkkıyla aynıdır. Doğru cevap: B.

Çözüm: 1) Şık kontrolü: Bulacağımız çarpım değeri B şıkkındaki ifadeye eşit çıkarsa, doğru cevap B’dir. Verilen denklem: z 4 = 16 ( cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 ) Sağ tarafın kutupsal (trigonometrik) biçimi hazırdır. Dördüncü dereceden kökleri alacağız. Modülün dördüncü dereceden kökü: 16 1 4 = 2 Açıların (argümanların) dördüncü dereceden kökleri için genel formül: z = 2 ( cos ⁡ π 3 + 2 k π 4 + i sin ⁡ π 3 + 2 k π 4 ) Buradan açı sadeleşir: π 3 4 = π 12 Dolayısıyla kökler (k değerlerine göre): z = 2 ( cos ⁡ π 12 + i sin ⁡ π 12 ), z = 2 ( cos ⁡ 7 π 12 + i sin ⁡ 7 π 12 ), z = 2 ( cos ⁡ 13 π 12 + i sin ⁡ 13 π 12 ), z = 2 ( cos ⁡ 19 π 12 + i sin ⁡ 19 π 12 ) Koşul: İmajiner kısmı pozitif olan kökler seçilecek. Im ⁡ z > 0 İmajiner kısmın pozitif olması için açıların aralığı: 0 < θ < π Bu aralıkta kalan açılar: π 12, 7 π 12 İstenen çarpım (bu iki kökün çarpımı): 2 ( cos ⁡ π 12 + i sin ⁡ π 12 ) ⋅ 2 ( cos ⁡ 7 π 12 + i sin ⁡ 7 π 12 ) Trigonometrik biçimde çarpımda modüller çarpılır, açılar toplanır: 4 ( cos ⁡ π + 7 π 12 + i sin ⁡ π + 7 π 12 ) Açı sadeleşmesi: π + 7 π 12 = 8 π 12 = 2 π 3 Değeri bulalım: 4 ( cos ⁡ 2 π 3 + i sin ⁡ 2 π 3 ) = 4 ( - 1 2 + i 3 2 ) = -2 + 2 i 3 Sonuç B şıkkıyla aynıdır. Doğru cevap: B.

1) Şık kontrolü: Bulacağımız çarpım değeri B şıkkındaki ifadeye eşit çıkarsa, doğru cevap B’dir.

Verilen denklem:

z^{4} = 16 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))

Sağ tarafın kutupsal (trigonometrik) biçimi hazırdır. Dördüncü dereceden kökleri alacağız.

Modülün dördüncü dereceden kökü:

16^{\frac{1}{4}} = 2

Açıların (argümanların) dördüncü dereceden kökleri için genel formül:

z = 2 (\cos (\frac{\frac{π}{3}}{+}, 4) + i \sin (\frac{\frac{π}{3}}{+}, 4))

Buradan açı sadeleşir:

\frac{\frac{π}{3}}{4} = \frac{π}{12}

Dolayısıyla kökler (k değerlerine göre):

z = 2 (\cos (\frac{π}{12}) + i \sin (\frac{π}{12})), z = 2 (\cos (\frac{7}{π}) + i \sin (\frac{7}{π})), z = 2 (\cos (\frac{13}{π}) + i \sin (\frac{13}{π})), z = 2 (\cos (\frac{19}{π}) + i \sin (\frac{19}{π}))

Koşul: İmajiner kısmı pozitif olan kökler seçilecek.

Im (z) > 0

İmajiner kısmın pozitif olması için açıların aralığı:

0 < θ < π

Bu aralıkta kalan açılar:

\frac{π}{12}, \frac{7}{π}

İstenen çarpım (bu iki kökün çarpımı):

2 (\cos (\frac{π}{12}) + i \sin (\frac{π}{12})) \cdot 2 (\cos (\frac{7}{π}) + i \sin (\frac{7}{π}))

Trigonometrik biçimde çarpımda modüller çarpılır, açılar toplanır:

4 (\cos (\frac{π + 7 π}{12}) + i \sin (\frac{π + 7 π}{12}))

Açı sadeleşmesi:

\frac{π + 7 π}{12} = \frac{8}{π} = \frac{2}{π}

Değeri bulalım:

4 (\cos (\frac{2}{π}) + i \sin (\frac{2}{π})) = 4 (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 + 2 i \sqrt{3}

Sonuç B şıkkıyla aynıdır. Doğru cevap: B.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Karmaşık düzlemde aşağıdaki koşulları sağlayan $z$ sayısı kaçtır?
$| z - 1 | = | z + 1 |$
$| z - i | = 2$
$Im (z) > 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

1) şıkkıC3 kontrolü (geometrik yorum): İlk koşul, karmaşık düzlemde noktaların 1 ve -1 noktalarına uzaklıklarının eşit olduğunu söyler. Bu koşulu denklem olarak yazalım: | z - 1 | = | z + 1 | 2) Birinci koşulun verdiği doğru: Eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri, -1 ile 1 arasındaki doğru parçasının orta dikmesidir. Bu iki noktanın orta noktası: ( - 1 + 1 ) 2 = 0 Dolayısıyla bu orta dikme, imajiner eksen (gerçel kısmı 0 olan doğru) olur. Yani sayı şu biçimdedir: z = y i 3) İkinci koşulun verdiği çember: | z - i | = 2 Bu, merkezi i olan ve yarıçapı 2 olan çemberdir. Şimdi z = y i yazıp yerine koyalım: | y i - i | = 2 Ortak i parantezine alalım: | ( y - 1 ) i | = 2 Mutlak değer özelliğiyle: | y - 1 | ⋅ | i | = 2 ve | i | = 1 olduğundan: | y - 1 | = 2 Buradan iki olasılık gelir: y - 1 = 2 y = 3 veya y - 1 = - 2 y = - 1 4) Üçüncü koşul (imajiner kısmın pozitif olması): Im ( z ) > 0 Bizde z = y i olduğu için Im ( z ) = y Dolayısıyla y > 0 Bu şartı sağlayan değer: y = 3 5) Sonuç: z = 3 i Doğru cevap C1003 şıkkıdır. Re Im -1 1 i 60 px --> 3i -i

Çözüm: 1) şıkkıC3 kontrolü (geometrik yorum): İlk koşul, karmaşık düzlemde noktaların 1 ve -1 noktalarına uzaklıklarının eşit olduğunu söyler. Bu koşulu denklem olarak yazalım: | z - 1 | = | z + 1 | 2) Birinci koşulun verdiği doğru: Eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri, -1 ile 1 arasındaki doğru parçasının orta dikmesidir. Bu iki noktanın orta noktası: ( - 1 + 1 ) 2 = 0 Dolayısıyla bu orta dikme, imajiner eksen (gerçel kısmı 0 olan doğru) olur. Yani sayı şu biçimdedir: z = y i 3) İkinci koşulun verdiği çember: | z - i | = 2 Bu, merkezi i olan ve yarıçapı 2 olan çemberdir. Şimdi z = y i yazıp yerine koyalım: | y i - i | = 2 Ortak i parantezine alalım: | ( y - 1 ) i | = 2 Mutlak değer özelliğiyle: | y - 1 | ⋅ | i | = 2 ve | i | = 1 olduğundan: | y - 1 | = 2 Buradan iki olasılık gelir: y - 1 = 2 y = 3 veya y - 1 = - 2 y = - 1 4) Üçüncü koşul (imajiner kısmın pozitif olması): Im ( z ) > 0 Bizde z = y i olduğu için Im ( z ) = y Dolayısıyla y > 0 Bu şartı sağlayan değer: y = 3 5) Sonuç: z = 3 i Doğru cevap C1003 şıkkıdır. Re Im -1 1 i 60 px --> 3i -i

1) şıkkıC56 kontrolü (geometrik yorum): İlk koşul, karmaşık düzlemde noktaların 1 ve -1 noktalarına uzaklıklarının eşit olduğunu söyler.

Bu koşulu denklem olarak yazalım:

| z - 1 | = | z + 1 |

2) Birinci koşulun verdiği doğru: Eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri, -1 ile 1 arasındaki doğru parçasının orta dikmesidir. Bu iki noktanın orta noktası:

\frac{(- 1 + 1)}{2} = 0

Dolayısıyla bu orta dikme, imajiner eksen (gerçel kısmı 0 olan doğru) olur. Yani sayı şu biçimdedir:

z = y i

3) İkinci koşulun verdiği çember:

| z - i | = 2

Bu, merkezi $i$ olan ve yarıçapı $2$ olan çemberdir. Şimdi $z = y i$ yazıp yerine koyalım:

| y i - i | = 2

Ortak $i$ parantezine alalım:

| (y - 1) i | = 2

Mutlak değer özelliğiyle:

| y - 1 | \cdot | i | = 2

| i | = 1

olduğundan:

| y - 1 | = 2

Buradan iki olasılık gelir:

y - 1 = 2

y = 3

veya

y - 1 = - 2

y = - 1

4) Üçüncü koşul (imajiner kısmın pozitif olması):

Im (z) > 0

Bizde

z = y i

olduğu için

Im (z) = y

Dolayısıyla

y > 0

Bu şartı sağlayan değer:

y = 3

5) Sonuç:

z = 3 i

Doğru cevap C5229 şıkkıdır.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda verilen koşulları sağlayan $z$ karmaşık sayısı için $z^{2}$ değerini bulunuz.
$z^{8} = 256 i$
$0 < \arg (z) < \frac{π}{4}$

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin cebirsel biçimde eşiti nedir?
$\frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{8}}{{(1 - i)}^{6}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Karmaşık sayılar hakkında sık sorulanlar

Karmaşık sayının eşleniği nedir?

a+bi karmaşık sayısının eşleniği a-bi’dir. Eşlenik özellikle bölme işlemlerinde paydayı reel yapmak için kullanılır.

Karmaşık sayının modülü nasıl bulunur?

a+bi sayısının modülü √(a²+b²) ile bulunur ve karmaşık düzlemde orijine uzaklığı gösterir.

i’nin kuvvetleri nasıl tekrar eder?

i’nin kuvvetleri dört adımda tekrar eder: i, -1, -i, 1. Üs 4’e göre kalanına bakmak pratik çözüm sağlar.

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Karmaşık sayı nedir?

İşlemler ve eşlenik

Geometrik yorum

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

z≠0,z+1z=2cos(5π6) koşulunu sağlayan karmaşık sayısı için z6 değeri kaçtır?

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz.(1+i3)7(1-i)5(2+2i)6

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun:E=1-i1+i6⋅(3+i)8(-2i)5

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz:(1+i)8(1-i)4

Aşağıdaki koşulları sağlayan sayı için istenen değeri bulunuz.z2=−3+4iIm(z)>0z5+z¯5

Aşağıdaki koşulu sağlayan z karmaşık sayısı için z7+1z7 değerini bulunuz:z≠0,z+1z=2cosπ7

Aşağıdaki denklemin Im⁡z>0 koşulunu sağlayan köklerinin çarpımı kaçtır?z4=16(cos⁡π3+isin⁡π3)

Karmaşık düzlemde aşağıdaki koşulları sağlayan z sayısı kaçtır?|z-1|=|z+1||z-i|=2Im(z)>0

Aşağıda verilen koşulları sağlayanzkarmaşık sayısı içinz2değerini bulunuz.z8=256i0<arg(z)<π4

Aşağıdaki ifadenin cebirsel biçimde eşiti nedir?1+i381-i6

Karmaşık sayılar hakkında sık sorulanlar

$z \neq 0, z + \frac{1}{z} = 2 \cos (\frac{5 π}{6})$ koşulunu sağlayan karmaşık sayısı için $z^{6}$ değeri kaçtır?

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz.
$\frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{7} {(1 - i)}^{5}}{{(2 + 2 i)}^{6}}$

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun:
$E = \frac{{\frac{1 - i}{1 + i}}^{6} \cdot {(\sqrt{3} + i)}^{8}}{{(- 2 i)}^{5}}$

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz:
$\frac{{(1 + i)}^{8}}{{(1 - i)}^{4}}$

Aşağıdaki koşulları sağlayan sayı için istenen değeri bulunuz.
$\begin{matrix} z^{2} = - 3 + 4 i \\ Im (z) > 0 \end{matrix}$
$z^{5} + {\bar{z}}^{5}$

Aşağıdaki koşulu sağlayan $z$ karmaşık sayısı için $z^{7} + \frac{1}{z^{7}}$ değerini bulunuz:
$z \neq 0, z + \frac{1}{z} = 2 \cos (\frac{π}{7})$

Aşağıdaki denklemin $Im (z) > 0$ koşulunu sağlayan köklerinin çarpımı kaçtır?
$z^{4} = 16 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$

Karmaşık düzlemde aşağıdaki koşulları sağlayan $z$ sayısı kaçtır?
$| z - 1 | = | z + 1 |$
$| z - i | = 2$
$Im (z) > 0$

Aşağıda verilen koşulları sağlayan $z$ karmaşık sayısı için $z^{2}$ değerini bulunuz.
$z^{8} = 256 i$
$0 < \arg (z) < \frac{π}{4}$

Aşağıdaki ifadenin cebirsel biçimde eşiti nedir?
$\frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{8}}{{(1 - i)}^{6}}$