11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Doğru cevap: C

Verilen karmaşık sayı: z = 3 - 4 i 1 + 2 i Mutlak değer (modül) özelliğini kullanalım: a b = a b Payın modülü: 3 - 4 i = 3 2 + - 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 Paydanın modülü: 1 + 2 i = 1 2 + 2 2 = 1 + 4 = 5 Oranlayarak modülü bulalım: z = 5 5 = 5 5 5 = 5 Sonuç: z = 5 Doğru seçenek C261’dır.

1. Çözüm: Verilen karmaşık sayı: z = 3 - 4 i 1 + 2 i Mutlak değer (modül) özelliğini kullanalım: a b = a b Payın modülü: 3 - 4 i = 3 2 + - 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 Paydanın modülü: 1 + 2 i = 1 2 + 2 2 = 1 + 4 = 5 Oranlayarak modülü bulalım: z = 5 5 = 5 5 5 = 5 Sonuç: z = 5 Doğru seçenek C261’dır.

Doğru cevap: D

Çarpımı açalım: ( 2 − 3 i ) ( 1 + 4 i ) dağılma özelliğini uygulayalım: ( 2 ) ( 1 ) + ( 2 ) ( 4 i ) + ( − 3 i ) ( 1 ) + ( − 3 i ) ( 4 i ) Çarpımları yapalım: 2 + 8 i − 3 i − 12 i 2 Sanal birim için şu özelliği kullanalım: i 2 = − 1 Yerine yazıp düzenleyelim: 2 + 8 i − 3 i − 12 ( − 1 ) Gerçek ve sanal kısımları toplayalım: ( 2 + 12 ) + ( 8 i − 3 i ) 14 + 5 i Sonuç şıkkıD436dır.

1. Çözüm: Çarpımı açalım: ( 2 − 3 i ) ( 1 + 4 i ) dağılma özelliğini uygulayalım: ( 2 ) ( 1 ) + ( 2 ) ( 4 i ) + ( − 3 i ) ( 1 ) + ( − 3 i ) ( 4 i ) Çarpımları yapalım: 2 + 8 i − 3 i − 12 i 2 Sanal birim için şu özelliği kullanalım: i 2 = − 1 Yerine yazıp düzenleyelim: 2 + 8 i − 3 i − 12 ( − 1 ) Gerçek ve sanal kısımları toplayalım: ( 2 + 12 ) + ( 8 i − 3 i ) 14 + 5 i Sonuç şıkkıD436dır.

Doğru cevap: A

Verilen: z = ( 3 + i ) ( 1 - 2 i ) Paydadaki karmaşık ifadeyi yok etmek için eşleniği ile çarpalım: z = ( 3 + i ) ( 1 + 2 i ) ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) Paydayı çarpalım (farklı kareler): ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) = 1 2 - 2 i 2 = 1 - 4 i 2 = 1 - 4 ( - 1 ) = 5 Payı çarpalım: ( 3 + i ) ( 1 + 2 i ) = 3 + 6 i + i + 2 i 2 = 3 + 7 i + 2 ( - 1 ) = 1 + 7 i Sonucu yazalım: z = 1 + 7 i 5 z = 1 5 + 7 5 i Reel kısım: Re ( z ) = 1 5 Doğru seçenek kontrolü: Reel kısım 1 5 olduğundan cevap A seçeneğidir.

1. Çözüm: Verilen: z = ( 3 + i ) ( 1 - 2 i ) Paydadaki karmaşık ifadeyi yok etmek için eşleniği ile çarpalım: z = ( 3 + i ) ( 1 + 2 i ) ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) Paydayı çarpalım (farklı kareler): ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) = 1 2 - 2 i 2 = 1 - 4 i 2 = 1 - 4 ( - 1 ) = 5 Payı çarpalım: ( 3 + i ) ( 1 + 2 i ) = 3 + 6 i + i + 2 i 2 = 3 + 7 i + 2 ( - 1 ) = 1 + 7 i Sonucu yazalım: z = 1 + 7 i 5 z = 1 5 + 7 5 i Reel kısım: Re ( z ) = 1 5 Doğru seçenek kontrolü: Reel kısım 1 5 olduğundan cevap A seçeneğidir.

Doğru cevap: B

İşlem: 2 + 3 i 1 - i Paydadan kökü kaldırmak için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım: 2 + 3 i 1 - i = 2 + 3 i 1 - i ⋅ 1 + i 1 + i Çarpımı tek kesirde toplayalım: ( 2 + 3 i ) ( 1 + i ) ( 1 - i ) ( 1 + i ) Payı açalım: ( 2 + 3 i ) ( 1 + i ) = 2 + 2 i + 3 i + 3 i 2 Paydada çarpım özdeşliğini kullanalım: ( 1 - i ) ( 1 + i ) = 1 - i 2 Şimdi i karesinin değerini kullanarak sadeleştirelim: i 2 = - 1 2 + 2 i + 3 i + 3 i 2 = 2 + 5 i - 3 = - 1 + 5 i 1 - i 2 = 1 - ( - 1 ) = 2 Sonucu yazalım: - 1 + 5 i 2 = - 1 2 + 5 2 i Bu ifade seçeneklerle karşılaştırıldığında doğru cevap B575 şıkkıdır: - 1 2 + 5 2 i

1. Çözüm: İşlem: 2 + 3 i 1 - i Paydadan kökü kaldırmak için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım: 2 + 3 i 1 - i = 2 + 3 i 1 - i ⋅ 1 + i 1 + i Çarpımı tek kesirde toplayalım: ( 2 + 3 i ) ( 1 + i ) ( 1 - i ) ( 1 + i ) Payı açalım: ( 2 + 3 i ) ( 1 + i ) = 2 + 2 i + 3 i + 3 i 2 Paydada çarpım özdeşliğini kullanalım: ( 1 - i ) ( 1 + i ) = 1 - i 2 Şimdi i karesinin değerini kullanarak sadeleştirelim: i 2 = - 1 2 + 2 i + 3 i + 3 i 2 = 2 + 5 i - 3 = - 1 + 5 i 1 - i 2 = 1 - ( - 1 ) = 2 Sonucu yazalım: - 1 + 5 i 2 = - 1 2 + 5 2 i Bu ifade seçeneklerle karşılaştırıldığında doğru cevap B575 şıkkıdır: - 1 2 + 5 2 i

Doğru cevap: C

Doğru seçenek kontrolü: Sonuç Şık A ile aynıdır. Verilen sayı: z = ( 3 − 4 i ) ( 1 + 2 i ) Mutlak değer özelliği: | a b | = | a | | b | Bu özelliği kullanarak: | z | = | 3 − 4 i | | 1 + 2 i | Payın mutlak değeri: | 3 − 4 i | = 3 2 + ( − 4 ) 2 = 9 + 16 = 25 = 5 Paydanın mutlak değeri: | 1 + 2 i | = 1 2 + 2 2 = 1 + 4 = 5 Yerine koyup sadeleştirelim: | z | = 5 5 = 5 Sonuç: Doğru cevap C401.

1. Çözüm: Doğru seçenek kontrolü: Sonuç Şık A ile aynıdır. Verilen sayı: z = ( 3 − 4 i ) ( 1 + 2 i ) Mutlak değer özelliği: | a b | = | a | | b | Bu özelliği kullanarak: | z | = | 3 − 4 i | | 1 + 2 i | Payın mutlak değeri: | 3 − 4 i | = 3 2 + ( − 4 ) 2 = 9 + 16 = 25 = 5 Paydanın mutlak değeri: | 1 + 2 i | = 1 2 + 2 2 = 1 + 4 = 5 Yerine koyup sadeleştirelim: | z | = 5 5 = 5 Sonuç: Doğru cevap C401.

Doğru cevap: D

Doğru şık kontrolü: Sonuç şıkkıD26ndaki değere eşittir. İstenen ifade: | 3 - 4 i 1 + 2 i | Mutlak değer özelliği: | z w | = | z | | w | Burada pay ve payda için uygularsak: | 3 - 4 i 1 + 2 i | = | 3 - 4 i | | 1 + 2 i | Payın mutlak değeri: | 3 - 4 i | = 3 2 + - 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 Paydanın mutlak değeri: | 1 + 2 i | = 1 2 + 2 2 = 5 Oranı bulalım: | 3 - 4 i | | 1 + 2 i | = 5 5 = 5 Sonuç: | 3 - 4 i 1 + 2 i | = 5 Bu değer şıkkıD424dır.

1. Çözüm: Doğru şık kontrolü: Sonuç şıkkıD26ndaki değere eşittir. İstenen ifade: | 3 - 4 i 1 + 2 i | Mutlak değer özelliği: | z w | = | z | | w | Burada pay ve payda için uygularsak: | 3 - 4 i 1 + 2 i | = | 3 - 4 i | | 1 + 2 i | Payın mutlak değeri: | 3 - 4 i | = 3 2 + - 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 Paydanın mutlak değeri: | 1 + 2 i | = 1 2 + 2 2 = 5 Oranı bulalım: | 3 - 4 i | | 1 + 2 i | = 5 5 = 5 Sonuç: | 3 - 4 i 1 + 2 i | = 5 Bu değer şıkkıD424dır.

Doğru cevap: A

Önce işlemi daha kolay yapmak için paydanın eşleniği ile genişletelim (bu, paydada a + bi biçimi elde etmemizi sağlar). z = 1 - i 1 + i ⋅ 1 - i 1 - i Payı ve paydayı ayrı ayrı çarpalım. z = ( 1 - i ) 2 ( 1 + i ) ( 1 - i ) Payı açalım. ( 1 - i ) 2 = 1 - 2 i + i 2 i 2 yerine -1 yazalım. 1 - 2 i + i 2 = 1 - 2 i - 1 = - 2 i Şimdi paydayı çarpalım (çarpanlar eşlenik olduğu için farkların çarpımı oluşur). ( 1 + i ) ( 1 - i ) = 1 2 - i 2 = 1 - ( - 1 ) = 2 Sonuçları yerine yazıp sadeleştirelim. z = - 2 i 2 = - i Buna göre a ve b gerçek sayılar olmak üzere: z = 0 + ( - 1 ) i Doğru seçenek A ’dır.

1. Çözüm: Önce işlemi daha kolay yapmak için paydanın eşleniği ile genişletelim (bu, paydada a + bi biçimi elde etmemizi sağlar). z = 1 - i 1 + i ⋅ 1 - i 1 - i Payı ve paydayı ayrı ayrı çarpalım. z = ( 1 - i ) 2 ( 1 + i ) ( 1 - i ) Payı açalım. ( 1 - i ) 2 = 1 - 2 i + i 2 i 2 yerine -1 yazalım. 1 - 2 i + i 2 = 1 - 2 i - 1 = - 2 i Şimdi paydayı çarpalım (çarpanlar eşlenik olduğu için farkların çarpımı oluşur). ( 1 + i ) ( 1 - i ) = 1 2 - i 2 = 1 - ( - 1 ) = 2 Sonuçları yerine yazıp sadeleştirelim. z = - 2 i 2 = - i Buna göre a ve b gerçek sayılar olmak üzere: z = 0 + ( - 1 ) i Doğru seçenek A ’dır.

Doğru cevap: B

Verilen karmaşık sayı: z = 3 − 4 i 1 + 2 i Paydadan sanal kısmı kaldırmak için eşleniği ile genişletelim: z = 3 − 4 i ( 1 − 2 i ) 1 + 2 i ( 1 − 2 i ) Paydayı açalım: 1 + 2 i ( 1 − 2 i ) = 1 2 − 2 i 2 = 1 − 4 i 2 = 1 + 4 = 5 Payı açalım: 3 − 4 i ( 1 − 2 i ) = 3 − 6 i − 4 i + 8 i 2 = 3 − 10 i − 8 = − 5 − 10 i Bunları birleştirirsek: z = − 5 − 10 i 5 = − 1 − 2 i Şimdi modülü hesaplayalım: | z | = − 1 2 + − 2 2 = 1 + 4 = 5 Sonuç: Doğru cevap B577 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen karmaşık sayı: z = 3 − 4 i 1 + 2 i Paydadan sanal kısmı kaldırmak için eşleniği ile genişletelim: z = 3 − 4 i ( 1 − 2 i ) 1 + 2 i ( 1 − 2 i ) Paydayı açalım: 1 + 2 i ( 1 − 2 i ) = 1 2 − 2 i 2 = 1 − 4 i 2 = 1 + 4 = 5 Payı açalım: 3 − 4 i ( 1 − 2 i ) = 3 − 6 i − 4 i + 8 i 2 = 3 − 10 i − 8 = − 5 − 10 i Bunları birleştirirsek: z = − 5 − 10 i 5 = − 1 − 2 i Şimdi modülü hesaplayalım: | z | = − 1 2 + − 2 2 = 1 + 4 = 5 Sonuç: Doğru cevap B577 şıkkıdır.

Doğru cevap: C

Önce sağ tarafı sadeleştirelim: 1 - i 1 + i = ( 1 - i ) ( 1 - i ) ( 1 + i ) ( 1 - i ) Pay ve paydayı açalım: ( 1 - i ) ( 1 - i ) = 1 - 2 i + i 2 = 1 - 2 i - 1 = - 2 i ( 1 + i ) ( 1 - i ) = 1 2 - i 2 = 1 - ( - 1 ) = 2 Buna göre: 1 - i 1 + i = - 2 i 2 = - i Dolayısıyla denklem: z 2 = - i Şimdi -i sayısını trigonometrik formda yazalım. Birim çemberde: - i = cos ( - π 2 ) + i sin ( - π 2 ) Karekök alırken açı ikiye bölünür ve iki kök gelir: z = cos ( - π 2 + 2 π k 2 ) + i sin ( - π 2 + 2 π k 2 ), k ∈ { 0, 1 } Sırasıyla k = 0 ve k = 1 için açıları bulalım: k = 0 ⇒ - π 2 2 = - π 4 k = 1 ⇒ - π 2 + 2 π 2 = 3 π 4 Buna göre iki kök: z = cos ( - π 4 ) + i sin ( - π 4 ) = 1 2 - 1 2 i z = cos ( 3 π 4 ) + i sin ( 3 π 4 ) = - 1 2 + 1 2 i Koşul: Im ( z ) > 0 Sanal kısmı pozitif olan kök seçilir: z = - 1 2 + 1 2 i Bu değer şıklarda seçeneğiC953dir. Dolayısıyla doğru cevap C980.

1. Çözüm: Önce sağ tarafı sadeleştirelim: 1 - i 1 + i = ( 1 - i ) ( 1 - i ) ( 1 + i ) ( 1 - i ) Pay ve paydayı açalım: ( 1 - i ) ( 1 - i ) = 1 - 2 i + i 2 = 1 - 2 i - 1 = - 2 i ( 1 + i ) ( 1 - i ) = 1 2 - i 2 = 1 - ( - 1 ) = 2 Buna göre: 1 - i 1 + i = - 2 i 2 = - i Dolayısıyla denklem: z 2 = - i Şimdi -i sayısını trigonometrik formda yazalım. Birim çemberde: - i = cos ( - π 2 ) + i sin ( - π 2 ) Karekök alırken açı ikiye bölünür ve iki kök gelir: z = cos ( - π 2 + 2 π k 2 ) + i sin ( - π 2 + 2 π k 2 ), k ∈ { 0, 1 } Sırasıyla k = 0 ve k = 1 için açıları bulalım: k = 0 ⇒ - π 2 2 = - π 4 k = 1 ⇒ - π 2 + 2 π 2 = 3 π 4 Buna göre iki kök: z = cos ( - π 4 ) + i sin ( - π 4 ) = 1 2 - 1 2 i z = cos ( 3 π 4 ) + i sin ( 3 π 4 ) = - 1 2 + 1 2 i Koşul: Im ( z ) > 0 Sanal kısmı pozitif olan kök seçilir: z = - 1 2 + 1 2 i Bu değer şıklarda seçeneğiC953dir. Dolayısıyla doğru cevap C980.

Doğru cevap: D

İfade: 3 + 4 i 1 - 2 i Paydadaki karmaşık sayıdan kurtulmak için pay ve paydayı eşleniği ile çarparız: 3 + 4 i 1 - 2 i = ( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i ) ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) Payı açalım: ( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i ) = 3 + 6 i + 4 i + 8 i 2 Burada i karesini kullanıp sadeleştirelim: 3 + 6 i + 4 i + 8 i 2 = 3 + 10 i + 8 ( - 1 ) = - 5 + 10 i Paydayı açalım: ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) = 1 2 - 2 i 2 = 1 - 4 i 2 = 1 + 4 = 5 Böylece kesir: - 5 + 10 i 5 = - 1 + 2 i Sonuç, şıkkıD456 ile aynıdır. Doğru cevap: D477.

1. Çözüm: İfade: 3 + 4 i 1 - 2 i Paydadaki karmaşık sayıdan kurtulmak için pay ve paydayı eşleniği ile çarparız: 3 + 4 i 1 - 2 i = ( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i ) ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) Payı açalım: ( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i ) = 3 + 6 i + 4 i + 8 i 2 Burada i karesini kullanıp sadeleştirelim: 3 + 6 i + 4 i + 8 i 2 = 3 + 10 i + 8 ( - 1 ) = - 5 + 10 i Paydayı açalım: ( 1 - 2 i ) ( 1 + 2 i ) = 1 2 - 2 i 2 = 1 - 4 i 2 = 1 + 4 = 5 Böylece kesir: - 5 + 10 i 5 = - 1 + 2 i Sonuç, şıkkıD456 ile aynıdır. Doğru cevap: D477.