Numicorn logosuNumicornÖğren, çöz, ilerle

11. Sınıf Matematik

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Karmaşık Sayılar konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

Karmaşık sayı nedir?

Karmaşık sayılar a+bi biçiminde yazılır; a gerçek kısım, b sanal kısım ve i²=-1’dir. 11. Sınıf Karmaşık Sayılar testleri işlem kurallarını, eşlenik kavramını, modülü, argümenti ve düzlem gösterimini pekiştirir.

İşlemler ve eşlenik

Toplama ve çıkarma gerçek ve sanal kısımlar arasında ayrı ayrı yapılır. Bölme işlemlerinde payda eşleniğiyle genişletilir. Eşlenik, modül ve karmaşık düzlem ilişkisi birçok soruda kısa yol sağlar.

Geometrik yorum

Karmaşık sayı düzlemde bir nokta veya vektör olarak gösterilebilir. Modül uzaklığı, argüment ise pozitif gerçek eksenle yapılan açıyı ifade eder. Kutupsal gösterim özellikle çarpma, bölme ve kuvvet alma işlemlerini kolaylaştırır.

Test seç

10 Test
1. Test2. Test3. Test4. Test5. Test6. Test7. Test8. Test9. Test10. Test

6. Test

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Karmaşık Sayılar konusu 6. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru
0/10 Soru0 %
Doğru 0
Yanlış 0
Boş 10
1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki karmaşık sayının değerini bulunuz:

z=(1-i)2

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Soruda verilen sayı: z = ( 1 − i ) 2 Kare açılımını kullanalım: ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 Burada a yerine 1, b yerine sanal birimi yerleştirelim: ( 1 − i ) 2 = 1 2 − 2 · 1 · i + i 2 Sadeleştirelim: z = 1 − 2 i + i 2 Sanal birimin karesi: i 2 = − 1 Yerine koyup sonuç bulalım: z = 1 − 2 i − 1 Gerçel kısımlar birbirini götürür: z = − 2 i Bulunan değer şıklarla karşılaştırıldığında: − 2 i Bu ifade şıkkıB494dır. Dolayısıyla “doğru cevap B519 mı?” sorusunun cevabı: Evet.

  1. Çözüm: Soruda verilen sayı: z = ( 1 − i ) 2 Kare açılımını kullanalım: ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 Burada a yerine 1, b yerine sanal birimi yerleştirelim: ( 1 − i ) 2 = 1 2 − 2 · 1 · i + i 2 Sadeleştirelim: z = 1 − 2 i + i 2 Sanal birimin karesi: i 2 = − 1 Yerine koyup sonuç bulalım: z = 1 − 2 i − 1 Gerçel kısımlar birbirini götürür: z = − 2 i Bulunan değer şıklarla karşılaştırıldığında: − 2 i Bu ifade şıkkıB494dır. Dolayısıyla “doğru cevap B519 mı?” sorusunun cevabı: Evet.

Soruda verilen sayı:

z=(1−i)2

Kare açılımını kullanalım:

(a−b)2=a2−2ab+b2

Burada a yerine 1, b yerine sanal birimi yerleştirelim:

(1−i)2=12−2·1·i+i2

Sadeleştirelim:

z=1−2i+i2

Sanal birimin karesi:

i2=−1

Yerine koyup sonuç bulalım:

z=1−2i−1

Gerçel kısımlar birbirini götürür:

z=−2i

Bulunan değer şıklarla karşılaştırıldığında:

−2i

Bu ifade A şıkkıdır. Dolayısıyla “doğru cevap B2209 mı?” sorusunun cevabı: Evet.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin kökleri z1 ve z2 olsun:

z2+(2-2i)z+8i=0

|z1-z2| değerini bulunuz.

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen ikinci dereceden denklem: z 2 + ( 2 - 2 i ) z + 8 i = 0 Kökler için toplam ve çarpım (Vieta): z 1 + z 2 = - ( 2 - 2 i ) = - 2 + 2 i z 1 × z 2 = 8 i Farkın karesi özdeşliği: ( z 1 - z 2 ) 2 = ( z 1 + z 2 ) 2 - 4 × z 1 × z 2 Yerine yazıp hesaplayalım: ( z 1 - z 2 ) 2 = ( - 2 + 2 i ) 2 - 4 × 8 i ( - 2 + 2 i ) 2 = 4 - 8 i - 4 = - 8 i ( z 1 - z 2 ) 2 = - 8 i - 32 i = - 40 i Mutlak değer alalım: | ( z 1 - z 2 ) 2 | = | - 40 i | | z 1 - z 2 | 2 = 40 | z 1 - z 2 | = 40 = 2 × 10 Sonuç: doğru seçenek C525.

  1. Çözüm: Verilen ikinci dereceden denklem: z 2 + ( 2 - 2 i ) z + 8 i = 0 Kökler için toplam ve çarpım (Vieta): z 1 + z 2 = - ( 2 - 2 i ) = - 2 + 2 i z 1 × z 2 = 8 i Farkın karesi özdeşliği: ( z 1 - z 2 ) 2 = ( z 1 + z 2 ) 2 - 4 × z 1 × z 2 Yerine yazıp hesaplayalım: ( z 1 - z 2 ) 2 = ( - 2 + 2 i ) 2 - 4 × 8 i ( - 2 + 2 i ) 2 = 4 - 8 i - 4 = - 8 i ( z 1 - z 2 ) 2 = - 8 i - 32 i = - 40 i Mutlak değer alalım: | ( z 1 - z 2 ) 2 | = | - 40 i | | z 1 - z 2 | 2 = 40 | z 1 - z 2 | = 40 = 2 × 10 Sonuç: doğru seçenek C525.

Verilen ikinci dereceden denklem:

z2+(2-2i)z+8i=0

Kökler için toplam ve çarpım (Vieta):

z1+z2=-(2-2i)=-2+2iz1×z2=8i

Farkın karesi özdeşliği:

(z1-z2)2=(z1+z2)2-4×z1×z2

Yerine yazıp hesaplayalım:

(z1-z2)2=(-2+2i)2-4×8i(-2+2i)2=4-8i-4=-8i(z1-z2)2=-8i-32i=-40i

Mutlak değer alalım:

|(z1-z2)2|=|-40i||z1-z2|2=40|z1-z2|=40=2×10

Sonuç: doğru seçenek B.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki karmaşık sayı için reel kısmı bulunuz.

z=3−4i1+2i

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

1) Verilen karmaşık sayı: z = 3 − 4 i 1 + 2 i 2) Paydayı gerçel yapmak için payda eşleniği ile genişletelim: z = 3 − 4 i 1 + 2 i ⋅ 1 − 2 i 1 − 2 i 3) Pay ve paydayı çarpalım: z = ( 3 − 4 i ) ( 1 − 2 i ) ( 1 + 2 i ) ( 1 − 2 i ) 4) Pay kısmını açalım: ( 3 − 4 i ) ( 1 − 2 i ) = 3 − 6 i − 4 i + 8 i 2 5) i 2 = -1 kullanarak sadeleştirelim: 3 − 6 i − 4 i + 8 i 2 = 3 − 10 i − 8 = − 5 − 10 i 6) Payda kısmını açalım (eşlenik çarpımı): ( 1 + 2 i ) ( 1 − 2 i ) = 1 2 − 2 i 2 1 2 − 2 i 2 = 1 − 4 i 2 = 1 + 4 = 5 7) z sayısını bulalım: z = − 5 − 10 i 5 = − 1 − 2 i 8) Reel kısım: Re ( z ) = − 1 Sonuç: Doğru seçenek D782.

  1. Çözüm: 1) Verilen karmaşık sayı: z = 3 − 4 i 1 + 2 i 2) Paydayı gerçel yapmak için payda eşleniği ile genişletelim: z = 3 − 4 i 1 + 2 i ⋅ 1 − 2 i 1 − 2 i 3) Pay ve paydayı çarpalım: z = ( 3 − 4 i ) ( 1 − 2 i ) ( 1 + 2 i ) ( 1 − 2 i ) 4) Pay kısmını açalım: ( 3 − 4 i ) ( 1 − 2 i ) = 3 − 6 i − 4 i + 8 i 2 5) i 2 = -1 kullanarak sadeleştirelim: 3 − 6 i − 4 i + 8 i 2 = 3 − 10 i − 8 = − 5 − 10 i 6) Payda kısmını açalım (eşlenik çarpımı): ( 1 + 2 i ) ( 1 − 2 i ) = 1 2 − 2 i 2 1 2 − 2 i 2 = 1 − 4 i 2 = 1 + 4 = 5 7) z sayısını bulalım: z = − 5 − 10 i 5 = − 1 − 2 i 8) Reel kısım: Re ( z ) = − 1 Sonuç: Doğru seçenek D782.

1) Verilen karmaşık sayı:

z=3−4i1+2i

2) Paydayı gerçel yapmak için payda eşleniği ile genişletelim:

z=3−4i1+2i⋅1−2i1−2i

3) Pay ve paydayı çarpalım:

z=(3−4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)

4) Pay kısmını açalım:

(3−4i)(1−2i)=3−6i−4i+8i2

5) i2 = -1 kullanarak sadeleştirelim:

3−6i−4i+8i2=3−10i−8=−5−10i

6) Payda kısmını açalım (eşlenik çarpımı):

(1+2i)(1−2i)=12−2i212−2i2=1−4i2=1+4=5

7) z sayısını bulalım:

z=−5−10i5=−1−2i

8) Reel kısım:

Re(z)=−1

Sonuç: Doğru seçenek A.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki işlemin sonucunu bulun.

(3-2i)(1+i)

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

İşlemi açarak hesaplayalım ve şıkları kontrol edelim. Verilen ifade: ( 3 - 2 i ) ( 1 + i ) dağıtma özelliğini uygulayalım: ( 3 - 2 i ) ( 1 + i ) = 3 · 1 + 3 · i + ( - 2 i ) · 1 + ( - 2 i ) · i Çarpımları sadeleştirelim: = 3 + 3 i - 2 i - 2 i 2 Karmaşık sayılarda şu özelliği kullanalım: i 2 = - 1 Yerine yazıp düzenleyelim: 3 + 3 i - 2 i - 2 i 2 = 3 + 3 i - 2 i + 2 Benzer terimleri toplayalım: = ( 3 + 2 ) + ( 3 i - 2 i ) = 5 + i Sonuç şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap A ’dır.

  1. Çözüm: İşlemi açarak hesaplayalım ve şıkları kontrol edelim. Verilen ifade: ( 3 - 2 i ) ( 1 + i ) dağıtma özelliğini uygulayalım: ( 3 - 2 i ) ( 1 + i ) = 3 · 1 + 3 · i + ( - 2 i ) · 1 + ( - 2 i ) · i Çarpımları sadeleştirelim: = 3 + 3 i - 2 i - 2 i 2 Karmaşık sayılarda şu özelliği kullanalım: i 2 = - 1 Yerine yazıp düzenleyelim: 3 + 3 i - 2 i - 2 i 2 = 3 + 3 i - 2 i + 2 Benzer terimleri toplayalım: = ( 3 + 2 ) + ( 3 i - 2 i ) = 5 + i Sonuç şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap A ’dır.

İşlemi açarak hesaplayalım ve şıkları kontrol edelim.

Verilen ifade:

(3-2i)(1+i)

dağıtma özelliğini uygulayalım:

(3-2i)(1+i)=3·1+3·i+(-2i)·1+(-2i)·i

Çarpımları sadeleştirelim:

=3+3i-2i-2i2

Karmaşık sayılarda şu özelliği kullanalım:

i2=-1

Yerine yazıp düzenleyelim:

3+3i-2i-2i2=3+3i-2i+2

Benzer terimleri toplayalım:

=(3+2)+(3i-2i)=5+i

Sonuç şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap A’dır.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin değeri kaçtır?

(1+i)8(1-i)6

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Çözüm üretilemedi

  1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Çözüm üretilemedi

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda tanımlı karmaşık sayıyı a ve b reel olmak üzere a+bi biçiminde yazınız:
z=2-3i1+i

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen karmaşık sayıyı a ve b reel olmak üzere a+bi biçimine getirmek için paydanın eşleniği ile genişletiriz. z = 2 - 3 i 1 + i Paydanın eşleniği 1−i olduğundan, kesri 1−i ile genişletiriz: z = 2 - 3 i 1 + i ⋅ 1 - i 1 - i Payı açalım: ( 2 - 3 i ) ( 1 - i ) = 2 - 2 i - 3 i + 3 i 2 i² = −1 olduğu için sadeleştirelim: 2 - 2 i - 3 i + 3 i 2 = 2 - 5 i - 3 = - 1 - 5 i Paydayı hesaplayalım: ( 1 + i ) ( 1 - i ) = 1 - i 2 = 1 - ( - 1 ) = 2 Sonucu a+bi biçiminde yazalım: z = - 1 - 5 i 2 = - 1 2 - 5 2 i Bu ifade şıklardan B ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C553 ’dir.

  1. Çözüm: Verilen karmaşık sayıyı a ve b reel olmak üzere a+bi biçimine getirmek için paydanın eşleniği ile genişletiriz. z = 2 - 3 i 1 + i Paydanın eşleniği 1−i olduğundan, kesri 1−i ile genişletiriz: z = 2 - 3 i 1 + i ⋅ 1 - i 1 - i Payı açalım: ( 2 - 3 i ) ( 1 - i ) = 2 - 2 i - 3 i + 3 i 2 i² = −1 olduğu için sadeleştirelim: 2 - 2 i - 3 i + 3 i 2 = 2 - 5 i - 3 = - 1 - 5 i Paydayı hesaplayalım: ( 1 + i ) ( 1 - i ) = 1 - i 2 = 1 - ( - 1 ) = 2 Sonucu a+bi biçiminde yazalım: z = - 1 - 5 i 2 = - 1 2 - 5 2 i Bu ifade şıklardan B ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C553 ’dir.

Verilen karmaşık sayıyı a ve b reel olmak üzere a+bi biçimine getirmek için paydanın eşleniği ile genişletiriz.

z=2-3i1+i

Paydanın eşleniği 1−i olduğundan, kesri 1−i ile genişletiriz:

z=2-3i1+i⋅1-i1-i

Payı açalım:

(2-3i)(1-i)=2-2i-3i+3i2

i² = −1 olduğu için sadeleştirelim:

2-2i-3i+3i2=2-5i-3=-1-5i

Paydayı hesaplayalım:

(1+i)(1-i)=1-i2=1-(-1)=2

Sonucu a+bi biçiminde yazalım:

z=-1-5i2=-12-52i

Bu ifade şıklardan B ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B’dir.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki karmaşık sayının mutlak değerini bulunuz.

|3-4i1+2i|

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

İstenen ifade bir bölümün mutlak değeridir. Karmaşık sayılarda bölümün mutlak değeri, mutlak değerlerin bölümüne eşittir. 3 - 4 i 1 + 2 i = 3 - 4 i 1 + 2 i Şimdi pay ve paydanın mutlak değerlerini ayrı ayrı bulalım. 3 - 4 i = 3 2 + 4 2 = 25 = 5 1 + 2 i = 1 2 + 2 2 = 5 Bu değerleri bölümde yerine yazalım. 3 - 4 i 1 + 2 i = 5 5 = 5 Sonuç 5 olduğundan doğru cevap D351 şıkkıdır.

  1. Çözüm: İstenen ifade bir bölümün mutlak değeridir. Karmaşık sayılarda bölümün mutlak değeri, mutlak değerlerin bölümüne eşittir. 3 - 4 i 1 + 2 i = 3 - 4 i 1 + 2 i Şimdi pay ve paydanın mutlak değerlerini ayrı ayrı bulalım. 3 - 4 i = 3 2 + 4 2 = 25 = 5 1 + 2 i = 1 2 + 2 2 = 5 Bu değerleri bölümde yerine yazalım. 3 - 4 i 1 + 2 i = 5 5 = 5 Sonuç 5 olduğundan doğru cevap D351 şıkkıdır.

İstenen ifade bir bölümün mutlak değeridir. Karmaşık sayılarda bölümün mutlak değeri, mutlak değerlerin bölümüne eşittir.

3-4i1+2i=3-4i1+2i

Şimdi pay ve paydanın mutlak değerlerini ayrı ayrı bulalım.

3-4i=32+42=25=5

1+2i=12+22=5

Bu değerleri bölümde yerine yazalım.

3-4i1+2i=55=5

Sonuç 5 olduğundan doğru cevap D2237 şıkkıdır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan z karmaşık sayısı için

|z|=2,arg(z)=5π6

z4z¯2 ifadesinin değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilenler: | z | = 2 arg ( z ) = 5 π 6 Karmaşık sayıyı kutupsal biçimde yazalım: z = r ( cos ( θ ) + i sin ( θ ) ) Burada r = 2, θ = 5 π 6 Eşlenik (konjüge) alınca modül değişmez, argüman işaret değiştirir: z ¯ = r ( cos ( - θ ) + i sin ( - θ ) ) De Moivre ile üs alalım: z 4 = r 4 ( cos ( 4 θ ) + i sin ( 4 θ ) ) z ¯ 2 = r 2 ( cos ( - 2 θ ) + i sin ( - 2 θ ) ) Şimdi oranı yazalım. Modüller bölünür, argümanlar çıkarılır (paydaki argümandan paydanın argümanı çıkarılır): z 4 z ¯ 2 = r 2 ( cos ( 6 θ ) + i sin ( 6 θ ) ) Çünkü 4 θ - ( - 2 θ ) = 6 θ Sayısal değerleri yerine koyalım: r 2 = 2 2 = 4 6 θ = 6 × 5 π 6 = 5 π z 4 z ¯ 2 = 4 ( cos ( 5 π ) + i sin ( 5 π ) ) Bilinen değerler: cos ( 5 π ) = - 1 sin ( 5 π ) = 0 Sonuç: z 4 z ¯ 2 = 4 × ( - 1 ) = - 4 Doğru cevap A şıkkıdır.

  1. Çözüm: Verilenler: | z | = 2 arg ( z ) = 5 π 6 Karmaşık sayıyı kutupsal biçimde yazalım: z = r ( cos ( θ ) + i sin ( θ ) ) Burada r = 2, θ = 5 π 6 Eşlenik (konjüge) alınca modül değişmez, argüman işaret değiştirir: z ¯ = r ( cos ( - θ ) + i sin ( - θ ) ) De Moivre ile üs alalım: z 4 = r 4 ( cos ( 4 θ ) + i sin ( 4 θ ) ) z ¯ 2 = r 2 ( cos ( - 2 θ ) + i sin ( - 2 θ ) ) Şimdi oranı yazalım. Modüller bölünür, argümanlar çıkarılır (paydaki argümandan paydanın argümanı çıkarılır): z 4 z ¯ 2 = r 2 ( cos ( 6 θ ) + i sin ( 6 θ ) ) Çünkü 4 θ - ( - 2 θ ) = 6 θ Sayısal değerleri yerine koyalım: r 2 = 2 2 = 4 6 θ = 6 × 5 π 6 = 5 π z 4 z ¯ 2 = 4 ( cos ( 5 π ) + i sin ( 5 π ) ) Bilinen değerler: cos ( 5 π ) = - 1 sin ( 5 π ) = 0 Sonuç: z 4 z ¯ 2 = 4 × ( - 1 ) = - 4 Doğru cevap A şıkkıdır.

Verilenler:

|z|=2arg(z)=5π6

Karmaşık sayıyı kutupsal biçimde yazalım:

z=r(cos(θ)+isin(θ))

Burada

r=2,θ=5π6

Eşlenik (konjüge) alınca modül değişmez, argüman işaret değiştirir:

z¯=r(cos(-θ)+isin(-θ))

De Moivre ile üs alalım:

z4=r4(cos(4θ)+isin(4θ))z¯2=r2(cos(-2θ)+isin(-2θ))

Şimdi oranı yazalım. Modüller bölünür, argümanlar çıkarılır (paydaki argümandan paydanın argümanı çıkarılır):

z4z¯2=r2(cos(6θ)+isin(6θ))

Çünkü

4θ-(-2θ)=6θ

Sayısal değerleri yerine koyalım:

r2=22=46θ=6×5π6=5πz4z¯2=4(cos(5π)+isin(5π))

Bilinen değerler:

cos(5π)=-1sin(5π)=0

Sonuç:

z4z¯2=4×(-1)=-4

Doğru cevap A şıkkıdır.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda verilen karmaşık sayı için

z=(3−4i)(1+i)

|z| değerini bulun.

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Önce verilen karmaşık sayı ifadesini blok olarak yazalım. z = ( 3 − 4 i ) ( 1 + i ) Modülün bölme üzerindeki özelliğini kullanalım. | z | = | 3 − 4 i | | 1 + i | Payın modülünü hesaplayalım. | 3 − 4 i | = 3 2 + ( − 4 ) 2 = 9 + 16 = 5 Paydanın modülünü hesaplayalım. | 1 + i | = 1 2 + 1 2 = 2 Şimdi oranlayıp sadeleştirelim. | z | = 5 2 = 5 2 2 Bulunan değer şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: B383.

  1. Çözüm: Önce verilen karmaşık sayı ifadesini blok olarak yazalım. z = ( 3 − 4 i ) ( 1 + i ) Modülün bölme üzerindeki özelliğini kullanalım. | z | = | 3 − 4 i | | 1 + i | Payın modülünü hesaplayalım. | 3 − 4 i | = 3 2 + ( − 4 ) 2 = 9 + 16 = 5 Paydanın modülünü hesaplayalım. | 1 + i | = 1 2 + 1 2 = 2 Şimdi oranlayıp sadeleştirelim. | z | = 5 2 = 5 2 2 Bulunan değer şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: B383.

Önce verilen karmaşık sayı ifadesini blok olarak yazalım.

z=(3−4i)(1+i)

Modülün bölme üzerindeki özelliğini kullanalım.

|z|=|3−4i||1+i|

Payın modülünü hesaplayalım.

|3−4i|=32+(−4)2=9+16=5

Paydanın modülünü hesaplayalım.

|1+i|=12+12=2

Şimdi oranlayıp sadeleştirelim.

|z|=52=522

Bulunan değer şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: B2001.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?

1+2i1-i

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

İşlem: 1 + 2 i 1 - i Paydadaki karmaşık ifadeyi yok etmek için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız: 1 + 2 i 1 - i = ( 1 + 2 i ) ( 1 + i ) ( 1 - i ) ( 1 + i ) Payı açalım: ( 1 + 2 i ) ( 1 + i ) = 1 + i + 2 i + 2 i 2 Şimdi i 2 = - 1 bilgisini kullanarak sadeleştirelim: 1 + i + 2 i + 2 i 2 = 1 + 3 i - 2 = - 1 + 3 i Paydayı açalım: ( 1 - i ) ( 1 + i ) = 1 2 - i 2 = 1 - ( - 1 ) = 2 Sonucu yazalım: 1 + 2 i 1 - i = - 1 + 3 i 2 = - 1 2 + 3 2 i Bu sonuç şıklar arasında seçeneğiC475dir. Dolayısıyla doğru cevap C502’dır.

  1. Çözüm: İşlem: 1 + 2 i 1 - i Paydadaki karmaşık ifadeyi yok etmek için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız: 1 + 2 i 1 - i = ( 1 + 2 i ) ( 1 + i ) ( 1 - i ) ( 1 + i ) Payı açalım: ( 1 + 2 i ) ( 1 + i ) = 1 + i + 2 i + 2 i 2 Şimdi i 2 = - 1 bilgisini kullanarak sadeleştirelim: 1 + i + 2 i + 2 i 2 = 1 + 3 i - 2 = - 1 + 3 i Paydayı açalım: ( 1 - i ) ( 1 + i ) = 1 2 - i 2 = 1 - ( - 1 ) = 2 Sonucu yazalım: 1 + 2 i 1 - i = - 1 + 3 i 2 = - 1 2 + 3 2 i Bu sonuç şıklar arasında seçeneğiC475dir. Dolayısıyla doğru cevap C502’dır.

İşlem:

1+2i1-i

Paydadaki karmaşık ifadeyi yok etmek için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız:

1+2i1-i=(1+2i)(1+i)(1-i)(1+i)

Payı açalım:

(1+2i)(1+i)=1+i+2i+2i2

Şimdi i2=-1 bilgisini kullanarak sadeleştirelim:

1+i+2i+2i2=1+3i-2=-1+3i

Paydayı açalım:

(1-i)(1+i)=12-i2=1-(-1)=2

Sonucu yazalım:

1+2i1-i=-1+3i2=-12+32i

Bu sonuç şıklar arasında A seçeneğidir. Dolayısıyla doğru cevap C2752’dır.

Karmaşık sayılar hakkında sık sorulanlar

Karmaşık sayının eşleniği nedir?

a+bi karmaşık sayısının eşleniği a-bi’dir. Eşlenik özellikle bölme işlemlerinde paydayı reel yapmak için kullanılır.

Karmaşık sayının modülü nasıl bulunur?

a+bi sayısının modülü √(a²+b²) ile bulunur ve karmaşık düzlemde orijine uzaklığı gösterir.

i’nin kuvvetleri nasıl tekrar eder?

i’nin kuvvetleri dört adımda tekrar eder: i, -1, -i, 1. Üs 4’e göre kalanına bakmak pratik çözüm sağlar.