11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

$z$ sayısı $z = \frac{(1 - i)}{(1 + i)}$ olarak veriliyor. $z$ sayısını $a + b i$ biçiminde yazınız.

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen ifadeyi blok olarak yazalım: z = ( 1 − i ) ( 1 + i ) Payda eşlenik ile rasyonelleştirmek için, pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım: z = ( 1 − i ) ( 1 + i ) · ( 1 − i ) ( 1 − i ) Çarpımı tek kesir halinde yazalım: z = ( 1 − i ) ( 1 − i ) ( 1 + i ) ( 1 − i ) Payı açalım: ( 1 − i ) ( 1 − i ) = 1 − i − i + i 2 Payı düzenleyelim: 1 − 2 i + i 2 Paydada çarpım farkların çarpımıdır: ( 1 + i ) ( 1 − i ) = 1 2 − i 2 Şimdi temel özelliği kullanalım: i 2 = − 1 Buna göre pay ve paydayı sadeleştirelim: z = 1 − 2 i + ( − 1 ) 1 − ( − 1 ) Son işlemler: z = − 2 i 2 = − i Bu sonuç, seçeneklerden A şıkkına karşılık gelir. Ayrıca istenen biçimde: z = a + b i = 0 + ( − 1 ) i

Çözüm: Verilen ifadeyi blok olarak yazalım: z = ( 1 − i ) ( 1 + i ) Payda eşlenik ile rasyonelleştirmek için, pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım: z = ( 1 − i ) ( 1 + i ) · ( 1 − i ) ( 1 − i ) Çarpımı tek kesir halinde yazalım: z = ( 1 − i ) ( 1 − i ) ( 1 + i ) ( 1 − i ) Payı açalım: ( 1 − i ) ( 1 − i ) = 1 − i − i + i 2 Payı düzenleyelim: 1 − 2 i + i 2 Paydada çarpım farkların çarpımıdır: ( 1 + i ) ( 1 − i ) = 1 2 − i 2 Şimdi temel özelliği kullanalım: i 2 = − 1 Buna göre pay ve paydayı sadeleştirelim: z = 1 − 2 i + ( − 1 ) 1 − ( − 1 ) Son işlemler: z = − 2 i 2 = − i Bu sonuç, seçeneklerden A şıkkına karşılık gelir. Ayrıca istenen biçimde: z = a + b i = 0 + ( − 1 ) i

Verilen ifadeyi blok olarak yazalım:

z = \frac{(1 - i)}{(1 + i)}

Payda eşlenik ile rasyonelleştirmek için, pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarpalım:

z = \frac{(1 - i)}{(1 + i)} \cdot \frac{(1 - i)}{(1 - i)}

Çarpımı tek kesir halinde yazalım:

z = \frac{(1 - i) (1 - i)}{(1 + i) (1 - i)}

Payı açalım:

(1 - i) (1 - i) = 1 - i - i + i^{2}

Payı düzenleyelim:

1 - 2 i + i^{2}

Paydada çarpım farkların çarpımıdır:

(1 + i) (1 - i) = 1^{2} - i^{2}

Şimdi temel özelliği kullanalım:

i^{2} = - 1

Buna göre pay ve paydayı sadeleştirelim:

z = \frac{1 - 2 i + (- 1)}{1 - (- 1)}

Son işlemler:

z = \frac{- 2 i}{2} = - i

Bu sonuç, seçeneklerden A şıkkına karşılık gelir. Ayrıca istenen biçimde:

z = a + b i = 0 + (- 1) i

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan $z$ karmaşık sayısını bulunuz.
$z^{4} = 16 {(1 - i)}^{2}$
$Re (z) > 0, Im (z) > 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Önce sağ tarafı sadeleştirelim. ( 1 - i ) 2 = 1 - 2 i + i 2 = 1 - 2 i - 1 = - 2 i Bunu denklemde yerine yazalım. z 4 = 16 ( - 2 i ) = - 32 i Sağ tarafı kutupsal (trigonometrik) biçime çevirelim. - 32 i = 32 ( cos - π 2 + i sin - π 2 ) Dördüncü dereceden kökleri alalım: modülün dördüncü kökü ve argümanın dörde bölünmüş halleri gelir. r = 32 1 4 = 2 5 1 4 = 2 5 4 = 2 × 2 1 4 = 2 × 2 4 Açıları yazalım. θ k = - π 2 + 2 k π 4 = - π 8 + k π 2 ( k = 0, 1, 2, 3 ) Koşula göre gerçek ve sanal kısımlar pozitif olmalı; bu da açının birinci bölgede olmasını gerektirir. Listeden birinci bölgedeki açıyı seçelim. θ 0 = - π 8, θ 1 = 3 π 8, θ 2 = 7 π 8, θ 3 = 11 π 8 Birinci bölgede olan açı seçimi ile istenen kök: z = 2 × 2 4 ( cos 3 π 8 + i sin 3 π 8 ) Bu ifade şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A.

Çözüm: Önce sağ tarafı sadeleştirelim. ( 1 - i ) 2 = 1 - 2 i + i 2 = 1 - 2 i - 1 = - 2 i Bunu denklemde yerine yazalım. z 4 = 16 ( - 2 i ) = - 32 i Sağ tarafı kutupsal (trigonometrik) biçime çevirelim. - 32 i = 32 ( cos - π 2 + i sin - π 2 ) Dördüncü dereceden kökleri alalım: modülün dördüncü kökü ve argümanın dörde bölünmüş halleri gelir. r = 32 1 4 = 2 5 1 4 = 2 5 4 = 2 × 2 1 4 = 2 × 2 4 Açıları yazalım. θ k = - π 2 + 2 k π 4 = - π 8 + k π 2 ( k = 0, 1, 2, 3 ) Koşula göre gerçek ve sanal kısımlar pozitif olmalı; bu da açının birinci bölgede olmasını gerektirir. Listeden birinci bölgedeki açıyı seçelim. θ 0 = - π 8, θ 1 = 3 π 8, θ 2 = 7 π 8, θ 3 = 11 π 8 Birinci bölgede olan açı seçimi ile istenen kök: z = 2 × 2 4 ( cos 3 π 8 + i sin 3 π 8 ) Bu ifade şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A.

Önce sağ tarafı sadeleştirelim.

{(1 - i)}^{2} = 1 - 2 i + i^{2} = 1 - 2 i - 1 = - 2 i

Bunu denklemde yerine yazalım.

z^{4} = 16 (- 2 i) = - 32 i

Sağ tarafı kutupsal (trigonometrik) biçime çevirelim.

- 32 i = 32 (\cos - \frac{π}{2} + i \sin - \frac{π}{2})

Dördüncü dereceden kökleri alalım: modülün dördüncü kökü ve argümanın dörde bölünmüş halleri gelir.

r = 32^{\frac{1}{4}} = {2^{5}}^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{5}{4}} = 2 \times 2^{\frac{1}{4}} = 2 \times \sqrt[4]{2}

Açıları yazalım.

θ_{k} = \frac{- \frac{π}{2} + 2 k π}{4} = - \frac{π}{8} + k \frac{π}{2} (k = 0, 1, 2, 3)

Koşula göre gerçek ve sanal kısımlar pozitif olmalı; bu da açının birinci bölgede olmasını gerektirir. Listeden birinci bölgedeki açıyı seçelim.

θ_{0} = - \frac{π}{8}, θ_{1} = \frac{3}{π}, θ_{2} = \frac{7}{π}, θ_{3} = \frac{11}{π}

Birinci bölgede olan açı seçimi ile istenen kök:

z = 2 \times \sqrt[4]{2} (\cos \frac{3 π}{8} + i \sin \frac{3 π}{8})

Bu ifade şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
$(2 - 3 i) (1 + i)$

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki değeri bulunuz:
$\frac{{(1 - i)}^{8}}{{(1 + i)}^{4}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

$z = \frac{1 - i}{1 + i}$ işleminin sonucu nedir?

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin değeri kaçtır?
$\frac{{(1 + i)}^{10}}{{(1 - i)}^{8}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki işlemin sonucu nedir?
$\frac{(2 - 3 i)}{(1 + i)}$

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadede yer alan $z$ sayısının değeri hangisidir?
$z = \frac{1 - i}{1 + i}$

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz:
$\frac{{(1 + i)}^{8}}{{(1 - i)}^{6}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz.
$z = \frac{1 - i}{1 + i}$

Lütfen önce bir cevap seç.

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Karmaşık sayı nedir?

İşlemler ve eşlenik

Geometrik yorum

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

$z$ sayısı $z = \frac{(1 - i)}{(1 + i)}$ olarak veriliyor. $z$ sayısını $a + b i$ biçiminde yazınız.

Aşağıdaki koşulları sağlayan $z$ karmaşık sayısını bulunuz.
$z^{4} = 16 {(1 - i)}^{2}$
$Re (z) > 0, Im (z) > 0$

Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
$(2 - 3 i) (1 + i)$

Aşağıdaki değeri bulunuz:
$\frac{{(1 - i)}^{8}}{{(1 + i)}^{4}}$

$z = \frac{1 - i}{1 + i}$ işleminin sonucu nedir?

Aşağıdaki ifadenin değeri kaçtır?
$\frac{{(1 + i)}^{10}}{{(1 - i)}^{8}}$

Aşağıdaki işlemin sonucu nedir?
$\frac{(2 - 3 i)}{(1 + i)}$

Aşağıdaki ifadede yer alan $z$ sayısının değeri hangisidir?
$z = \frac{1 - i}{1 + i}$

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz:
$\frac{{(1 + i)}^{8}}{{(1 - i)}^{6}}$

Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz.
$z = \frac{1 - i}{1 + i}$

Karmaşık sayılar hakkında sık sorulanlar

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Karmaşık sayı nedir?

İşlemler ve eşlenik

Geometrik yorum

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

z sayısı z=(1-i)(1+i) olarak veriliyor. z sayısını a+bi biçiminde yazınız.

Aşağıdaki koşulları sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz.z4=16(1-i)2Re(z)>0,Im(z)>0

Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?(2-3i)(1+i)

Aşağıdaki değeri bulunuz:(1-i)8(1+i)4

z=1-i1+i işleminin sonucu nedir?

Aşağıdaki ifadenin değeri kaçtır?1+i101-i8

Aşağıdaki işlemin sonucu nedir?(2-3i)(1+i)

Aşağıdaki ifadede yer alan z sayısının değeri hangisidir?z=1-i1+i

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz:(1+i)8(1-i)6

Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz.z=1-i1+i

Karmaşık sayılar hakkında sık sorulanlar

$z$ sayısı $z = \frac{(1 - i)}{(1 + i)}$ olarak veriliyor. $z$ sayısını $a + b i$ biçiminde yazınız.

Aşağıdaki koşulları sağlayan $z$ karmaşık sayısını bulunuz.
$z^{4} = 16 {(1 - i)}^{2}$
$Re (z) > 0, Im (z) > 0$

Aşağıdaki işlemin sonucu kaçtır?
$(2 - 3 i) (1 + i)$

Aşağıdaki değeri bulunuz:
$\frac{{(1 - i)}^{8}}{{(1 + i)}^{4}}$

$z = \frac{1 - i}{1 + i}$ işleminin sonucu nedir?

Aşağıdaki ifadenin değeri kaçtır?
$\frac{{(1 + i)}^{10}}{{(1 - i)}^{8}}$

Aşağıdaki işlemin sonucu nedir?
$\frac{(2 - 3 i)}{(1 + i)}$

Aşağıdaki ifadede yer alan $z$ sayısının değeri hangisidir?
$z = \frac{1 - i}{1 + i}$

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz:
$\frac{{(1 + i)}^{8}}{{(1 - i)}^{6}}$

Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz.
$z = \frac{1 - i}{1 + i}$