11. Sınıf Matematik

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Karmaşık Sayılar konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

Karmaşık sayı nedir?

Karmaşık sayılar a+bi biçiminde yazılır; a gerçek kısım, b sanal kısım ve i²=-1’dir. 11. Sınıf Karmaşık Sayılar testleri işlem kurallarını, eşlenik kavramını, modülü, argümenti ve düzlem gösterimini pekiştirir.

İşlemler ve eşlenik

Toplama ve çıkarma gerçek ve sanal kısımlar arasında ayrı ayrı yapılır. Bölme işlemlerinde payda eşleniğiyle genişletilir. Eşlenik, modül ve karmaşık düzlem ilişkisi birçok soruda kısa yol sağlar.

Geometrik yorum

Karmaşık sayı düzlemde bir nokta veya vektör olarak gösterilebilir. Modül uzaklığı, argüment ise pozitif gerçek eksenle yapılan açıyı ifade eder. Kutupsal gösterim özellikle çarpma, bölme ve kuvvet alma işlemlerini kolaylaştırır.

Günlük Liderler

BÇ

Beren Çelebi@berenncelebii5test 2

Yaren T@yarynaaw6test 3

Kç

Kbr çalışıyor@öylesine5test 4

Berfin Bozkurt@elina_mina12test 5

Batuhan Dundar@Batuhan9test 6

Ranad Fayyad@ranadfayyad16test 7

Mir' 🌙@mirmoon31test 10

Zumi Diva@ZUMIQUEEN20test

Test seç

10 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test

10. Test

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Karmaşık Sayılar konusu 10. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/100%

Okuma ayarları

Metin boyutu

18px

Satır aralığı

1.70

D Doğru 0Y Yanlış 0B Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitliği sağlayan ve
$</mo><mi>z</mi><mo>$ , $</mo><mi>z</mi><mo>$ olan $z$ karmaşık sayısı nedir?
$z^{4} = \frac{1 - i}{1 + i}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Önce sağ tarafı sadeleştirelim: 1 - i 1 + i = ( 1 - i ) ( 1 - i ) ( 1 + i ) ( 1 - i ) Pay ve paydayı açalım: ( 1 - i ) ( 1 - i ) = ( 1 - i ) $2 = 1$ - 2 i + i $2 = 1$ - 2 i - 1 = - 2 i ( 1 + i ) ( 1 - i ) = 1 2 - i $2 = 1$ - ( - 1 ) = 2 Böylece: 1 - i 1 + i = - 2 i 2 = - i Dolayısıyla denklem: z 4 = - i Şimdi - i sayısını kutupsal biçimde yazalım. Mutlak değeri 1 ve argümanı: - $i = cos$ ( - π 2 ) + i sin ( - π 2 ) Dördüncü dereceden kökler için genel formül: $z = cos$ ( - π 2 + 2 k π 4 ) + i sin ( - π 2 + 2 k π 4 ), k ∈ { 0, 1, 2, 3 } Açıyı sadeleştirelim: - π 2 + 2 k π 4 = - π 8 + k π 2 Şimdi Re ( z ) > 0 ve Im ( z ) > 0 şartı için açının birinci bölgede olması gerekir. Seçenekler: $k = 0$ ⇒ θ = - π 8 $k = 1$ ⇒ θ = - π 8 + π $2 = 3$ π 8 $k = 2$ ⇒ θ = 7 π 8 $k = 3$ ⇒ θ = 11 π 8 Birinci bölgede olan tek açı θ = 3 π 8 olduğundan istenen kök: $z = cos$ ( 3 π 8 ) + i sin ( 3 π 8 ) Şıklardaki köklü ifadeye çevirelim. Yarım açı formülleriyle: cos ( 3 π 8 ) = 1 + cos ( 3 π 4 ) 2 sin ( 3 π 8 ) = 1 - cos ( 3 π 4 ) 2 Ayrıca: cos ( 3 π 4 ) = - 2 2 Yerine yazınca: cos ( 3 π 8 ) = 1 - 2 2 $2 = 2$ - 2 $4 = 1$ 2 2 - 2 sin ( 3 π 8 ) = 1 + 2 2 $2 = 2$ + 2 $4 = 1$ 2 2 + 2 Sonuç: $z = 1$ 2 ( 2 - 2 + i 2 + 2 ) Bu ifade şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek B1470 ’dır.

Çözüm: Önce sağ tarafı sadeleştirelim: 1 - i 1 + i = ( 1 - i ) ( 1 - i ) ( 1 + i ) ( 1 - i ) Pay ve paydayı açalım: ( 1 - i ) ( 1 - i ) = ( 1 - i ) $2 = 1$ - 2 i + i $2 = 1$ - 2 i - 1 = - 2 i ( 1 + i ) ( 1 - i ) = 1 2 - i $2 = 1$ - ( - 1 ) = 2 Böylece: 1 - i 1 + i = - 2 i 2 = - i Dolayısıyla denklem: z 4 = - i Şimdi - i sayısını kutupsal biçimde yazalım. Mutlak değeri 1 ve argümanı: - $i = cos$ ( - π 2 ) + i sin ( - π 2 ) Dördüncü dereceden kökler için genel formül: $z = cos$ ( - π 2 + 2 k π 4 ) + i sin ( - π 2 + 2 k π 4 ), k ∈ { 0, 1, 2, 3 } Açıyı sadeleştirelim: - π 2 + 2 k π 4 = - π 8 + k π 2 Şimdi Re ( z ) > 0 ve Im ( z ) > 0 şartı için açının birinci bölgede olması gerekir. Seçenekler: $k = 0$ ⇒ θ = - π 8 $k = 1$ ⇒ θ = - π 8 + π $2 = 3$ π 8 $k = 2$ ⇒ θ = 7 π 8 $k = 3$ ⇒ θ = 11 π 8 Birinci bölgede olan tek açı θ = 3 π 8 olduğundan istenen kök: $z = cos$ ( 3 π 8 ) + i sin ( 3 π 8 ) Şıklardaki köklü ifadeye çevirelim. Yarım açı formülleriyle: cos ( 3 π 8 ) = 1 + cos ( 3 π 4 ) 2 sin ( 3 π 8 ) = 1 - cos ( 3 π 4 ) 2 Ayrıca: cos ( 3 π 4 ) = - 2 2 Yerine yazınca: cos ( 3 π 8 ) = 1 - 2 2 $2 = 2$ - 2 $4 = 1$ 2 2 - 2 sin ( 3 π 8 ) = 1 + 2 2 $2 = 2$ + 2 $4 = 1$ 2 2 + 2 Sonuç: $z = 1$ 2 ( 2 - 2 + i 2 + 2 ) Bu ifade şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek B1470 ’dır.

Önce sağ tarafı sadeleştirelim:

</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>i</mi><mo>

Pay ve paydayı açalım:

</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>i</mi><mo>

</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>

Böylece:

\frac{1 - i}{1 + i} = \frac{- 2 i}{2} = - i

Dolayısıyla denklem:

z^{4} = - i

Şimdi $- i$ sayısını kutupsal biçimde yazalım. Mutlak değeri $1$ ve argümanı:

- i = cos (- \frac{π}{2}) + i sin (- \frac{π}{2})

Dördüncü dereceden kökler için genel formül:

z = cos (\frac{- \frac{π}{2} + 2 k π}{4}) + i sin (\frac{- \frac{π}{2} + 2 k π}{4}), k \in {0, 1, 2, 3}

Açıyı sadeleştirelim:

\frac{- \frac{π}{2} + 2 k π}{4} = - \frac{π}{8} + k \frac{π}{2}

Şimdi $</mo><mi>z</mi><mo>$ ve $</mo><mi>z</mi><mo>$ şartı için açının birinci bölgede olması gerekir. Seçenekler:

k = 0 \Rightarrow θ = - \frac{π}{8}

k = 1 \Rightarrow θ = - \frac{π}{8} + \frac{π}{2} = \frac{3}{π}

k = 2 \Rightarrow θ = \frac{7}{π}

k = 3 \Rightarrow θ = \frac{11}{π}

Birinci bölgede olan tek açı $θ = \frac{3}{π}$ olduğundan istenen kök:

z = cos (\frac{3}{π}) + i sin (\frac{3}{π})

Şıklardaki köklü ifadeye çevirelim. Yarım açı formülleriyle:

cos (\frac{3}{π}) = \sqrt{\frac{1 + cos (\frac{3}{π})}{2}}

sin (\frac{3}{π}) = \sqrt{\frac{1 - cos (\frac{3}{π})}{2}}

Ayrıca:

cos (\frac{3}{π}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}

Yerine yazınca:

cos (\frac{3}{π}) = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}}

sin (\frac{3}{π}) = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}

Sonuç:

</mo><msqrt><mrow><mn>2</mn><mo>-</mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow></msqrt><mo>+</mo><mi>i</mi><msqrt><mrow><mn>2</mn><mo>+</mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow></msqrt><mo>

Bu ifade şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek B7560’dır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan karmaşık sayı $z$ kaçtır?
$|z| = 2$
$Re (\frac{z}{1 - i}) = 0$
$Im (z) > 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

1) Koşulları yazalım: $z = 2$ Re z 1 - $i = 0$ Im z > 0 2) Karmaşık sayıyı bileşenleriyle yazalım: $z = a + b$ i 3) Bölme ifadesini düzenleyelim (eşleniğiyle çarparak): z 1 - i = ( a + b i ) ( 1 + i ) ( 1 - i ) ( 1 + i ) 4) Paydadan başlayalım: ( 1 - i ) ( 1 + i ) = 1 - i $2 = 2$ 5) Payı açalım: ( a + b i ) ( 1 + i ) = a + a i + b i + b i 2 = ( a - b ) + ( a + b ) i 6) Böylece bölümün reel kısmı: z 1 - i = ( a - b ) + ( a + b ) i 2 Re z 1 - $i = a - b$ 2 7) Verilen koşula göre reel kısım sıfır olmalı: a - b $2 = 0$ ⟹ $a = b$ 8) Modül koşulunu kullanalım: $z = a + a$ $i = a$ ( 1 + i ) $z = a$ · 1 + $i = a$ · $2 = 2$ $a = 2$ $2 = 2$ 9) İmajiner kısmın pozitif olması şartı: Im $z = a$ > 0 ⟹ $a = 2$ 10) Sonuç: $z = 2 + i$ 2 Bu değer şıklardan seçeneğiC765dir. Dolayısıyla doğru cevap C792’dır.

Çözüm: 1) Koşulları yazalım: $z = 2$ Re z 1 - $i = 0$ Im z > 0 2) Karmaşık sayıyı bileşenleriyle yazalım: $z = a + b$ i 3) Bölme ifadesini düzenleyelim (eşleniğiyle çarparak): z 1 - i = ( a + b i ) ( 1 + i ) ( 1 - i ) ( 1 + i ) 4) Paydadan başlayalım: ( 1 - i ) ( 1 + i ) = 1 - i $2 = 2$ 5) Payı açalım: ( a + b i ) ( 1 + i ) = a + a i + b i + b i 2 = ( a - b ) + ( a + b ) i 6) Böylece bölümün reel kısmı: z 1 - i = ( a - b ) + ( a + b ) i 2 Re z 1 - $i = a - b$ 2 7) Verilen koşula göre reel kısım sıfır olmalı: a - b $2 = 0$ ⟹ $a = b$ 8) Modül koşulunu kullanalım: $z = a + a$ $i = a$ ( 1 + i ) $z = a$ · 1 + $i = a$ · $2 = 2$ $a = 2$ $2 = 2$ 9) İmajiner kısmın pozitif olması şartı: Im $z = a$ > 0 ⟹ $a = 2$ 10) Sonuç: $z = 2 + i$ 2 Bu değer şıklardan seçeneğiC765dir. Dolayısıyla doğru cevap C792’dır.

1) Koşulları yazalım:

|z| = 2

Re (\frac{z}{1 - i}) = 0

Im (z) > 0

2) Karmaşık sayıyı bileşenleriyle yazalım:

z = a + b i

3) Bölme ifadesini düzenleyelim (eşleniğiyle çarparak):

</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>

4) Paydadan başlayalım:

</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>i</mi><mo>

5) Payı açalım:

</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>

6) Böylece bölümün reel kısmı:

</mo><mi>a</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mo>

Re (\frac{z}{1 - i}) = \frac{a - b}{2}

7) Verilen koşula göre reel kısım sıfır olmalı:

\frac{a - b}{2} = 0 ⟹ a = b

8) Modül koşulunu kullanalım:

</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>

|z| = |a| \cdot |1 + i| = |a| \cdot \sqrt{2} = 2

|a| = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}

9) İmajiner kısmın pozitif olması şartı:

Im (z) = a > 0 ⟹ a = \sqrt{2}

10) Sonuç:

z = \sqrt{2} + i \sqrt{2}

Bu değer şıklardan A seçeneğidir. Dolayısıyla doğru cevap C3999’dır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

$z$ karmaşık sayısı aşağıdaki koşulları sağlıyor:
$| z | = 2$
$</mo><msup><mi>z</mi><mn>3</mn></msup><mo>$
$</mo><mi>z</mi><mo>$ ve $</mo><mi>z</mi><mo>$
Buna göre $z$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

1) Şıkları kontrol etmek için verilen koşulları kutupsal (trigonometrik) biçimle kullanacağız. İlk koşul: | z | = 2 2) Bu nedenle z sayısını kutupsal biçimde yazalım: $z = 2$ ( cos θ + i sin θ ) 3) İkinci koşul Im $z^3$ =0 diyor. De Moivre formülünü uygulayalım: z $3 = 2$ 3 ( cos ( 3 θ ) + i sin ( 3 θ ) ) Buradan sanal kısım: Im ( z 3 ) = 2 3 sin ( 3 θ ) 4) Im $z^3$ =0 olduğuna göre: 2 3 sin ( 3 θ ) = 0 2^3 sıfır olmadığı için: sin ( 3 θ ) = 0 Bu da şu anlama gelir: 3 θ = k π 5) Üçüncü koşul Re(z)>0 ve Im(z)>0 dediği için z birinci bölgede olmalı: 0 < θ < π 2 θ=kπ/3 olduğundan bu aralıkta yalnızca: θ = π 3 6) Şimdi z yi bulalım: $z = 2$ ( cos π 3 + i sin π 3 ) Bilinen değerler: cos π $3 = 1$ 2 sin π $3 = 3$ 2 Yerine yazarsak: $z = 2$ ( 1 2 + i 3 2 ) $z = 1 + i$ 3 7) Sonuç: Bulduğumuz değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap: $z = 1 + i$ 3 Bu, şıkkıD975dır. Dolayısıyla “doğru cevap D1000 mı?” kontrolü: Evet, A doğrudur.

Çözüm: 1) Şıkları kontrol etmek için verilen koşulları kutupsal (trigonometrik) biçimle kullanacağız. İlk koşul: | z | = 2 2) Bu nedenle z sayısını kutupsal biçimde yazalım: $z = 2$ ( cos θ + i sin θ ) 3) İkinci koşul Im $z^3$ =0 diyor. De Moivre formülünü uygulayalım: z $3 = 2$ 3 ( cos ( 3 θ ) + i sin ( 3 θ ) ) Buradan sanal kısım: Im ( z 3 ) = 2 3 sin ( 3 θ ) 4) Im $z^3$ =0 olduğuna göre: 2 3 sin ( 3 θ ) = 0 2^3 sıfır olmadığı için: sin ( 3 θ ) = 0 Bu da şu anlama gelir: 3 θ = k π 5) Üçüncü koşul Re(z)>0 ve Im(z)>0 dediği için z birinci bölgede olmalı: 0 < θ < π 2 θ=kπ/3 olduğundan bu aralıkta yalnızca: θ = π 3 6) Şimdi z yi bulalım: $z = 2$ ( cos π 3 + i sin π 3 ) Bilinen değerler: cos π $3 = 1$ 2 sin π $3 = 3$ 2 Yerine yazarsak: $z = 2$ ( 1 2 + i 3 2 ) $z = 1 + i$ 3 7) Sonuç: Bulduğumuz değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap: $z = 1 + i$ 3 Bu, şıkkıD975dır. Dolayısıyla “doğru cevap D1000 mı?” kontrolü: Evet, A doğrudur.

1) Şıkları kontrol etmek için verilen koşulları kutupsal (trigonometrik) biçimle kullanacağız. İlk koşul:

| z | = 2

2) Bu nedenle $z$ sayısını kutupsal biçimde yazalım:

z = 2 (\cos θ + i \sin θ)

3) İkinci koşul $Im$ $z^3$ =0 diyor. De Moivre formülünü uygulayalım:

z^{3} = 2^{3} (\cos (3 θ) + i \sin (3 θ))

Buradan sanal kısım:

</mo><msup><mi>z</mi><mn>3</mn></msup><mo>

4) $Im$ $z^3$ =0 olduğuna göre:

2^{3} \sin (3 θ) = 0

$2^3$ sıfır olmadığı için:

\sin (3 θ) = 0

Bu da şu anlama gelir:

3 θ = k π

5) Üçüncü koşul $Re(z)>0$ ve $Im(z)>0$ dediği için $z$ birinci bölgede olmalı:

0 < θ < \frac{π}{2}

$θ=kπ/3$ olduğundan bu aralıkta yalnızca:

θ = \frac{π}{3}

6) Şimdi $z$ yi bulalım:

z = 2 (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3})

Bilinen değerler:

\cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

\sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Yerine yazarsak:

</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>i</mi><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>2</mn></mfrac><mo>

z = 1 + i \sqrt{3}

7) Sonuç: Bulduğumuz değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap:

z = 1 + i \sqrt{3}

Bu, şıkkıD3755dır. Dolayısıyla “doğru cevap D3784 mı?” kontrolü: Evet, A doğrudur.

4. SoruÇoktan Seçmeli

$z$ karmaşık sayısı için aşağıdaki koşullar sağlanıyor:
$| \frac{z - 1}{z + 1} | = 2$
$</mo><mfrac><mrow><mi>z</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>z</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>$
$z \neq - 1$
$z$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Önce verilen ifadeyi tek bir karmaşık sayıya indirgeme yapalım: $w = z - 1$ z + 1 Bu durumda koşullar: | w | = 2 Arg ( w ) = π 3 Modül ve argümanı bilinen karmaşık sayı kutupsal biçimde yazılır: $w = 2$ ( cos π 3 + i sin π 3 ) Trigonometrik değerleri yerine koyalım: $w = 2$ ( 1 2 + i 3 2 ) = 1 + i 3 Şimdi w tanımından z ’yi çözelim: $w = z - 1$ z + 1 İçler dışlar çarpımı: w ( z + 1 ) = z - 1 Düzenleyelim: wz + $w = z - 1$ wz - z = - 1 - w Ortak çarpan alalım: z ( w - 1 ) = - ( 1 + w ) Buradan: z = - 1 + w w - 1 Şimdi w yerine 1 + i√3 yazalım: z = - 1 + ( 1 + i 3 ) ( 1 + i 3 ) - 1 Pay ve paydayı sadeleştirelim: z = - 2 + i 3 i 3 Kesri iki parçaya ayıralım: z = - ( 2 i 3 + i 3 i 3 ) İkinci kesir 1 eder, birincide ise 1/i = -i kullanılır: 2 i $3 = 2$ 3 ⋅ 1 i = - 2 3 i Dolayısıyla: z = - ( - 2 3 i + 1 ) = 2 3 i - 1 Sonuç: z = - 1 + 2 3 i Bu değer şıklarla karşılaştırılırsa doğru cevap A ’dır.

Çözüm: Önce verilen ifadeyi tek bir karmaşık sayıya indirgeme yapalım: $w = z - 1$ z + 1 Bu durumda koşullar: | w | = 2 Arg ( w ) = π 3 Modül ve argümanı bilinen karmaşık sayı kutupsal biçimde yazılır: $w = 2$ ( cos π 3 + i sin π 3 ) Trigonometrik değerleri yerine koyalım: $w = 2$ ( 1 2 + i 3 2 ) = 1 + i 3 Şimdi w tanımından z ’yi çözelim: $w = z - 1$ z + 1 İçler dışlar çarpımı: w ( z + 1 ) = z - 1 Düzenleyelim: wz + $w = z - 1$ wz - z = - 1 - w Ortak çarpan alalım: z ( w - 1 ) = - ( 1 + w ) Buradan: z = - 1 + w w - 1 Şimdi w yerine 1 + i√3 yazalım: z = - 1 + ( 1 + i 3 ) ( 1 + i 3 ) - 1 Pay ve paydayı sadeleştirelim: z = - 2 + i 3 i 3 Kesri iki parçaya ayıralım: z = - ( 2 i 3 + i 3 i 3 ) İkinci kesir 1 eder, birincide ise 1/i = -i kullanılır: 2 i $3 = 2$ 3 ⋅ 1 i = - 2 3 i Dolayısıyla: z = - ( - 2 3 i + 1 ) = 2 3 i - 1 Sonuç: z = - 1 + 2 3 i Bu değer şıklarla karşılaştırılırsa doğru cevap A ’dır.

Önce verilen ifadeyi tek bir karmaşık sayıya indirgeme yapalım:

$w = \frac{z - 1}{z + 1}$

Bu durumda koşullar:

$| w | = 2$

$</mo><mi>w</mi><mo>$

Modül ve argümanı bilinen karmaşık sayı kutupsal biçimde yazılır:

$w = 2 (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3})$

Trigonometrik değerleri yerine koyalım:

$</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>i</mi><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>2</mn></mfrac><mo>$

Şimdi w tanımından z’yi çözelim:

$w = \frac{z - 1}{z + 1}$

İçler dışlar çarpımı:

$</mo><mi>z</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>$

Düzenleyelim:

$wz + w = z - 1$

$wz - z = - 1 - w$

Ortak çarpan alalım:

$</mo><mi>w</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>$

Buradan:

$z = - \frac{1 + w}{w - 1}$

Şimdi w yerine 1 + i√3 yazalım:

$</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>$

Pay ve paydayı sadeleştirelim:

$z = - \frac{2 + i \sqrt{3}}{i \sqrt{3}}$

Kesri iki parçaya ayıralım:

$</mo><mfrac><mn>2</mn><mrow><mi>i</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>i</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mrow><mi>i</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow></mfrac><mo>$

İkinci kesir 1 eder, birincide ise 1/i = -i kullanılır:

$\frac{2}{i \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{i} = - \frac{2}{\sqrt{3}} i$

Dolayısıyla:

$</mo><mo>-</mo><mfrac><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mfrac><mi>i</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>$

Sonuç:

$z = - 1 + \frac{2}{\sqrt{3}} i$

Bu değer şıklarla karşılaştırılırsa doğru cevap A’dır.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin değeri kaçtır?
$</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>i</mi><mo>$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

İfade: ( 1 + i 3 ) 6 ( 1 - i ) 4 1) Üstteki sayıyı kutupsal (polar) biçime yazalım: 1 + i $3 = 2$ ( 1 2 + i 3 2 ) = 2 ( π 3 + i π 3 ) 2) Şimdi 6. kuvvetini alalım: ( 1 + i 3 ) $6 = 2$ 6 ( 6 ⋅ π 3 + i 6 ⋅ π 3 ) = 64 ( 2 π + i 2 π ) = 64 3) Alttaki sayıyı kutupsal biçime yazalım: 1 - $i = 2$ ( - π 4 + i - π 4 ) 4) 4. kuvvetini alalım: ( 1 - i ) $4 = 2$ 4 ( 4 ⋅ ( - π 4 ) + i 4 ⋅ ( - π 4 ) ) = 4 ( - π + i - π ) = 4 ( - 1 ) = - 4 5) Bölmeyi yapalım: ( 1 + i 3 ) 6 ( 1 - i ) $4 = 64$ - 4 = - 16 Sonuç: Değer -16 olduğu için doğru seçenek B624 ’dır. - 16

Çözüm: İfade: ( 1 + i 3 ) 6 ( 1 - i ) 4 1) Üstteki sayıyı kutupsal (polar) biçime yazalım: 1 + i $3 = 2$ ( 1 2 + i 3 2 ) = 2 ( π 3 + i π 3 ) 2) Şimdi 6. kuvvetini alalım: ( 1 + i 3 ) $6 = 2$ 6 ( 6 ⋅ π 3 + i 6 ⋅ π 3 ) = 64 ( 2 π + i 2 π ) = 64 3) Alttaki sayıyı kutupsal biçime yazalım: 1 - $i = 2$ ( - π 4 + i - π 4 ) 4) 4. kuvvetini alalım: ( 1 - i ) $4 = 2$ 4 ( 4 ⋅ ( - π 4 ) + i 4 ⋅ ( - π 4 ) ) = 4 ( - π + i - π ) = 4 ( - 1 ) = - 4 5) Bölmeyi yapalım: ( 1 + i 3 ) 6 ( 1 - i ) $4 = 64$ - 4 = - 16 Sonuç: Değer -16 olduğu için doğru seçenek B624 ’dır. - 16

İfade:

</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>

1) Üstteki sayıyı kutupsal (polar) biçime yazalım:

</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>i</mi><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>2</mn></mfrac><mo>

2) Şimdi 6. kuvvetini alalım:

</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>

= 64 (2 π + i 2 π) = 64

3) Alttaki sayıyı kutupsal biçime yazalım:

1 - i = \sqrt{2} (- \frac{π}{4} + i - \frac{π}{4})

4) 4. kuvvetini alalım:

</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>i</mi><mo>

</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>

5) Bölmeyi yapalım:

</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>

Sonuç: Değer -16 olduğu için doğru seçenek A’dır.

- 16

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulu sağlayan karmaşık sayılar için gerçek kısmın alabileceği en büyük değer kaçtır?
$z^{4} = 16 i$
$</mo><mi>z</mi><mo>$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen koşul: z $4 = 16$ i Önce sağ tarafı kutupsal (trigonometrik) biçimde yazalım. Büyüklük ve argüman: 16 $i = 16$ ( cos ⁡ π 2 + i sin ⁡ π 2 ) Dördüncü dereceden kökler için modülün dördüncü kökünü ve argümanın dörtte birini alırız: $z = 16$ 1 4 ( cos ⁡ π 2 + 2 k π 4 + i sin ⁡ π 2 + 2 k π 4 ) Buradan modül: 16 1 $4 = 2$ Açıları sadeleştirelim: π 2 + 2 k π 4 = π 8 + k π 2 Dolayısıyla kökler: $z = 2$ ( cos ⁡ π 8 + k π 2 + i sin ⁡ π 8 + k π 2 ) Gerçek kısım: Re ( z ) = 2 cos ⁡ π 8 + k π 2 Maksimum değer, kosinüsün en büyük olduğu açı için elde edilir. Bu açı kökler arasında π 8 olduğundan maksimum gerçek kısım: max ⁡ Re ( z ) = 2 cos ⁡ π 8 Şimdi cos ⁡ π 8 değerini yarım açı formülü ile bulalım: cos ⁡ π 8 $2 = 1$ + cos ⁡ π 4 2 Bilinen değer: cos ⁡ π $4 = 2$ 2 Yerine yazalım: cos ⁡ π 8 $2 = 1$ + 2 2 $2 = 2$ + 2 4 Açı π 8 birinci bölgede olduğundan kosinüs pozitiftir: cos ⁡ π $8 = 2$ + 2 $4 = 2$ + 2 2 Maksimum gerçek kısım: max ⁡ Re ( z ) = 2 × 2 + 2 $2 = 2$ + 2 Bu değer şıklardan 2 + 2 olduğuna göre doğru cevap C1284 ’dır.

Çözüm: Verilen koşul: z $4 = 16$ i Önce sağ tarafı kutupsal (trigonometrik) biçimde yazalım. Büyüklük ve argüman: 16 $i = 16$ ( cos ⁡ π 2 + i sin ⁡ π 2 ) Dördüncü dereceden kökler için modülün dördüncü kökünü ve argümanın dörtte birini alırız: $z = 16$ 1 4 ( cos ⁡ π 2 + 2 k π 4 + i sin ⁡ π 2 + 2 k π 4 ) Buradan modül: 16 1 $4 = 2$ Açıları sadeleştirelim: π 2 + 2 k π 4 = π 8 + k π 2 Dolayısıyla kökler: $z = 2$ ( cos ⁡ π 8 + k π 2 + i sin ⁡ π 8 + k π 2 ) Gerçek kısım: Re ( z ) = 2 cos ⁡ π 8 + k π 2 Maksimum değer, kosinüsün en büyük olduğu açı için elde edilir. Bu açı kökler arasında π 8 olduğundan maksimum gerçek kısım: max ⁡ Re ( z ) = 2 cos ⁡ π 8 Şimdi cos ⁡ π 8 değerini yarım açı formülü ile bulalım: cos ⁡ π 8 $2 = 1$ + cos ⁡ π 4 2 Bilinen değer: cos ⁡ π $4 = 2$ 2 Yerine yazalım: cos ⁡ π 8 $2 = 1$ + 2 2 $2 = 2$ + 2 4 Açı π 8 birinci bölgede olduğundan kosinüs pozitiftir: cos ⁡ π $8 = 2$ + 2 $4 = 2$ + 2 2 Maksimum gerçek kısım: max ⁡ Re ( z ) = 2 × 2 + 2 $2 = 2$ + 2 Bu değer şıklardan 2 + 2 olduğuna göre doğru cevap C1284 ’dır.

Verilen koşul:

z^{4} = 16 i

Önce sağ tarafı kutupsal (trigonometrik) biçimde yazalım. Büyüklük ve argüman:

16 i = 16 (\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2})

Dördüncü dereceden kökler için modülün dördüncü kökünü ve argümanın dörtte birini alırız:

z = 16^{\frac{1}{4}} (\cos \frac{\frac{π}{2} + 2 k π}{4} + i \sin \frac{\frac{π}{2} + 2 k π}{4})

Buradan modül:

16^{\frac{1}{4}} = 2

Açıları sadeleştirelim:

\frac{\frac{π}{2} + 2 k π}{4} = \frac{π}{8} + k \frac{π}{2}

Dolayısıyla kökler:

z = 2 (\cos \frac{π}{8} + k \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{8} + k \frac{π}{2})

Gerçek kısım:

</mo><mi>z</mi><mo>

Maksimum değer, kosinüsün en büyük olduğu açı için elde edilir. Bu açı kökler arasında

\frac{π}{8}

olduğundan maksimum gerçek kısım:

</mo><mi>z</mi><mo>

Şimdi

\cos \frac{π}{8}

değerini yarım açı formülü ile bulalım:

{\cos \frac{π}{8}}^{2} = \frac{1 + \cos \frac{π}{4}}{2}

Bilinen değer:

\cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Yerine yazalım:

{\cos \frac{π}{8}}^{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}

Açı

\frac{π}{8}

birinci bölgede olduğundan kosinüs pozitiftir:

\cos \frac{π}{8} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}

Maksimum gerçek kısım:

</mo><mi>z</mi><mo>

Bu değer şıklardan

\sqrt{2 + \sqrt{2}}

olduğuna göre doğru cevap A’dır.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan karmaşık sayıyı bulun.
$|z - 1| = 2$
$\arg (z - 1) = \frac{π}{3}$
Seçeneklerden hangisidir?

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

$i^2$ değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

$(3+2i)+(1-5i)$ işleminin sonucu kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

$(2+i)(2-i)$ işleminin sonucu kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Test çözümleri

Bu sayfadaki tüm çözümleri tek seferde incele.

Önceki testSonraki test

İlgili yazılı sınavlar

11. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Soruları

11. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı hazırlığına geç.

11. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Soruları

11. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı hazırlığına geç.

Karmaşık sayılar hakkında sık sorulanlar

Karmaşık sayının eşleniği nedir?

a+bi karmaşık sayısının eşleniği a-bi’dir. Eşlenik özellikle bölme işlemlerinde paydayı reel yapmak için kullanılır.

Karmaşık sayının modülü nasıl bulunur?

a+bi sayısının modülü √(a²+b²) ile bulunur ve karmaşık düzlemde orijine uzaklığı gösterir.

i’nin kuvvetleri nasıl tekrar eder?

i’nin kuvvetleri dört adımda tekrar eder: i, -1, -i, 1. Üs 4’e göre kalanına bakmak pratik çözüm sağlar.

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Karmaşık sayı nedir?

İşlemler ve eşlenik

Geometrik yorum

Günlük Liderler

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Aşağıdaki eşitliği sağlayan veRe</mo><mi>z</mi><mo></mo><mi>z</mi><mo></mo><mi>z</mi><mo>>0, Im</mo><mi>z</mi><mo></mo><mi>z</mi><mo></mo><mi>z</mi><mo>>0 olan z karmaşık sayısı nedir?z4=1-i1+i

Aşağıdaki koşulları sağlayan karmaşık sayı z kaçtır?z=2Rez1-i=0Imz>0

Aşağıdaki ifadenin değeri kaçtır?(1+i⁢3)6</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>i</mi><mo></mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>i</mi><mo></mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>i</mi><mo>4

Aşağıdaki koşulu sağlayan karmaşık sayılar için gerçek kısmın alabileceği en büyük değer kaçtır?z4=16imax⁡Re</mo><mi>z</mi><mo></mo><mi>z</mi><mo></mo><mi>z</mi><mo>

Aşağıdaki koşulları sağlayan karmaşık sayıyı bulun.z-1=2argz-1=π3Seçeneklerden hangisidir?

i2i^2i2 değeri kaçtır?

(3+2i)+(1−5i)(3+2i)+(1-5i)(3+2i)+(1−5i) işleminin sonucu kaçtır?

(2+i)(2−i)(2+i)(2-i)(2+i)(2−i) işleminin sonucu kaçtır?

Test çözümleri

İlgili yazılı sınavlar

11. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Soruları

11. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Soruları

Karmaşık sayılar hakkında sık sorulanlar

Aşağıdaki eşitliği sağlayan ve
$</mo><mi>z</mi><mo>$ , $</mo><mi>z</mi><mo>$ olan $z$ karmaşık sayısı nedir?
$z^{4} = \frac{1 - i}{1 + i}$

Aşağıdaki koşulları sağlayan karmaşık sayı $z$ kaçtır?
$|z| = 2$
$Re (\frac{z}{1 - i}) = 0$
$Im (z) > 0$

Aşağıdaki ifadenin değeri kaçtır?
$</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>i</mi><mo>$

Aşağıdaki koşulu sağlayan karmaşık sayılar için gerçek kısmın alabileceği en büyük değer kaçtır?
$z^{4} = 16 i$
$</mo><mi>z</mi><mo>$

Aşağıdaki koşulları sağlayan karmaşık sayıyı bulun.
$|z - 1| = 2$
$\arg (z - 1) = \frac{π}{3}$
Seçeneklerden hangisidir?

$i^2$ değeri kaçtır?

$(3+2i)+(1-5i)$ işleminin sonucu kaçtır?

$(2+i)(2-i)$ işleminin sonucu kaçtır?