11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Doğru cevap: C

Verilen koşul: z + 1 $z = 2$i Im ( z ) > 0 Denklemi paydadan kurtarmak için ( z ≠ 0 ) her iki tarafı z ile çarpalım: z $2 + 1 = 2$ i z Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: z 2 - 2 i z + $1 = 0$ İkinci dereceden denklemi çözelim: $z = 2$i ± ( - 2 i ) 2 - 4 2 Kök içini hesaplayalım: ( - 2 i ) 2 - 4 = - 4 - 4 = - 8 Dolayısıyla: - $8 = 2$ 2 i Yerine yazalım: $z = 2$i ± 2 2 i 2 = i ( 1 ± 2 ) Koşul Im ( z ) > 0 olduğuna göre, sanal kısmı pozitif olan kökü seçeriz: $z = i$( 1 + 2 ) Şimdi z 2 değerini bulalım: z 2 = i ( 1 + 2 ) 2 = i 2 ( 1 + 2 ) 2 i 2 = - 1 ( 1 + 2 ) $2 = 1$ + 2 $2 + 2 = 3$ + 2 2 O hâlde: z 2 = - ( 3 + 2 2 ) Bu sonuç şıklardan - 3 + 2 2 ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap C693 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen koşul: z + 1 $z = 2$i Im ( z ) > 0 Denklemi paydadan kurtarmak için ( z ≠ 0 ) her iki tarafı z ile çarpalım: z $2 + 1 = 2$ i z Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: z 2 - 2 i z + $1 = 0$ İkinci dereceden denklemi çözelim: $z = 2$i ± ( - 2 i ) 2 - 4 2 Kök içini hesaplayalım: ( - 2 i ) 2 - 4 = - 4 - 4 = - 8 Dolayısıyla: - $8 = 2$ 2 i Yerine yazalım: $z = 2$i ± 2 2 i 2 = i ( 1 ± 2 ) Koşul Im ( z ) > 0 olduğuna göre, sanal kısmı pozitif olan kökü seçeriz: $z = i$( 1 + 2 ) Şimdi z 2 değerini bulalım: z 2 = i ( 1 + 2 ) 2 = i 2 ( 1 + 2 ) 2 i 2 = - 1 ( 1 + 2 ) $2 = 1$ + 2 $2 + 2 = 3$ + 2 2 O hâlde: z 2 = - ( 3 + 2 2 ) Bu sonuç şıklardan - 3 + 2 2 ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap C693 şıkkıdır.

Doğru cevap: D

Doğru cevap kontrolü: Sonuç şıkkıD28ndaki ifadeye eşittir. Verilen karmaşık sayı: z = 1 - i 1 + i Paydadan sanal kısmı yok etmek için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız: z = 1 - i 1 + i · 1 - i 1 - i Çarpınca: z = 1 - i 2 1 + i 1 - i Payı açalım: 1 - i 2 = 1 - 2 i + i 2 = 1 - 2 i - 1 = - 2 i Paydayı açalım: 1 + i 1 - i = 1 2 - i 2 = 1 - - 1 = 2 Şimdi yerine yazıp sadeleştirelim: z = - 2 i 2 = - i Sonuç ( şıkkıD417ndaki ifade): - i

1. Çözüm: Doğru cevap kontrolü: Sonuç şıkkıD28ndaki ifadeye eşittir. Verilen karmaşık sayı: z = 1 - i 1 + i Paydadan sanal kısmı yok etmek için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız: z = 1 - i 1 + i · 1 - i 1 - i Çarpınca: z = 1 - i 2 1 + i 1 - i Payı açalım: 1 - i 2 = 1 - 2 i + i 2 = 1 - 2 i - 1 = - 2 i Paydayı açalım: 1 + i 1 - i = 1 2 - i 2 = 1 - - 1 = 2 Şimdi yerine yazıp sadeleştirelim: z = - 2 i 2 = - i Sonuç ( şıkkıD417ndaki ifade): - i

Doğru cevap: A

Verilenler: | z | = 1 z ≠ 1 z + 1 z = - 1 Koşul |z|=1 olduğundan z birim çember üzerindedir. Bu yüzden z = e i θ ve 1 z = e - i θ Verilen eşitliğe yazalım: e i θ + e - i θ = - 1 Bilinen dönüşüm: e i θ + e - i θ = 2 cos θ Dolayısıyla 2 cos θ = - 1 Buradan açı değerleri: cos θ = - 1 2 θ = 2 3 π + 2 k π θ = 4 3 π + 2 k π Bu iki açı, z ’nin 1 ’den farklı küp kökleri olduğunu gösterir. Yani z 3 = 1 ve verilen koşulla uyumlu olarak z ≠ 1 İstenen ifade: z 5 + 1 z 5 Kullanacağız: z 3 = 1 Üsleri sadeleştirelim: z 5 = z 3 · z 2 = 1 · z 2 = z 2 1 z 5 = z - 5 = z - 6 + 1 = z - 6 · z = z 3 - 2 · z = 1 - 2 · z = z Dolayısıyla istenen ifade z 2 + z Verilen denklemi kullanarak z ile ilgili bir bağıntı yazalım: z + 1 z = - 1 Her iki tarafı z ile çarpalım: z 2 + 1 = - z Buradan z 2 + z = - 1 Sonuç: z 5 + 1 z 5 = - 1 Dolayısıyla doğru şık A ’dır.

1. Çözüm: Verilenler: | z | = 1 z ≠ 1 z + 1 z = - 1 Koşul |z|=1 olduğundan z birim çember üzerindedir. Bu yüzden z = e i θ ve 1 z = e - i θ Verilen eşitliğe yazalım: e i θ + e - i θ = - 1 Bilinen dönüşüm: e i θ + e - i θ = 2 cos θ Dolayısıyla 2 cos θ = - 1 Buradan açı değerleri: cos θ = - 1 2 θ = 2 3 π + 2 k π θ = 4 3 π + 2 k π Bu iki açı, z ’nin 1 ’den farklı küp kökleri olduğunu gösterir. Yani z 3 = 1 ve verilen koşulla uyumlu olarak z ≠ 1 İstenen ifade: z 5 + 1 z 5 Kullanacağız: z 3 = 1 Üsleri sadeleştirelim: z 5 = z 3 · z 2 = 1 · z 2 = z 2 1 z 5 = z - 5 = z - 6 + 1 = z - 6 · z = z 3 - 2 · z = 1 - 2 · z = z Dolayısıyla istenen ifade z 2 + z Verilen denklemi kullanarak z ile ilgili bir bağıntı yazalım: z + 1 z = - 1 Her iki tarafı z ile çarpalım: z 2 + 1 = - z Buradan z 2 + z = - 1 Sonuç: z 5 + 1 z 5 = - 1 Dolayısıyla doğru şık A ’dır.

Doğru cevap: B

İfade: ( 1 - i ) 10 ( 1 + i ) 8 1 ± i sayılarını kutupsal (trigonometrik) biçimde yazalım: 1 - $i = 2$( cos ( - π 4 ) + i sin ( - π 4 ) ) 1 + $i = 2$( cos ( π 4 ) + i sin ( π 4 ) ) De Moivre kuralı ile üsleri alalım: ( 1 - i ) 10 = ( 2 ) 10 ( cos ( - 10 π 4 ) + i sin ( - 10 π 4 ) ) ( 1 + i ) 8 = ( 2 ) 8 ( cos ( 8 π 4 ) + i sin ( 8 π 4 ) ) Üstel ve açı ifadelerini sadeleştirelim: ( 2 ) $10 = 2$ $5 = 32$ - 10 π 4 = - 5 π 2 ( 2 ) $8 = 2$ $4 = 16$ 8 4 π = 2 π Şimdi trigonometrik değerleri kullanalım: cos ( - 5 π 2 ) + i sin ( - 5 π 2 ) = cos ( - π 2 ) + i sin ( - π 2 ) cos ( - π 2 ) = 0 sin ( - π 2 ) = - 1 cos ( 2 π ) + i sin ( 2 π ) = 1 Bu durumda pay ve paydayı bulalım: ( 1 - i ) $10 = 32$ ( 0 + i ( - 1 ) ) = - 32 i ( 1 + i ) $8 = 16$ ( 1 ) = 16 Oranı hesaplayalım: ( 1 - i ) 10 ( 1 + i ) 8 = - 32 i 16 = - 2 i Sonuç −2i olduğundan doğru seçenek B826 'dir; yani şıkkıB856 doğru.

1. Çözüm: İfade: ( 1 - i ) 10 ( 1 + i ) 8 1 ± i sayılarını kutupsal (trigonometrik) biçimde yazalım: 1 - $i = 2$( cos ( - π 4 ) + i sin ( - π 4 ) ) 1 + $i = 2$( cos ( π 4 ) + i sin ( π 4 ) ) De Moivre kuralı ile üsleri alalım: ( 1 - i ) 10 = ( 2 ) 10 ( cos ( - 10 π 4 ) + i sin ( - 10 π 4 ) ) ( 1 + i ) 8 = ( 2 ) 8 ( cos ( 8 π 4 ) + i sin ( 8 π 4 ) ) Üstel ve açı ifadelerini sadeleştirelim: ( 2 ) $10 = 2$ $5 = 32$ - 10 π 4 = - 5 π 2 ( 2 ) $8 = 2$ $4 = 16$ 8 4 π = 2 π Şimdi trigonometrik değerleri kullanalım: cos ( - 5 π 2 ) + i sin ( - 5 π 2 ) = cos ( - π 2 ) + i sin ( - π 2 ) cos ( - π 2 ) = 0 sin ( - π 2 ) = - 1 cos ( 2 π ) + i sin ( 2 π ) = 1 Bu durumda pay ve paydayı bulalım: ( 1 - i ) $10 = 32$ ( 0 + i ( - 1 ) ) = - 32 i ( 1 + i ) $8 = 16$ ( 1 ) = 16 Oranı hesaplayalım: ( 1 - i ) 10 ( 1 + i ) 8 = - 32 i 16 = - 2 i Sonuç −2i olduğundan doğru seçenek B826 'dir; yani şıkkıB856 doğru.

Doğru cevap: C

Çözüm üretilemedi

1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Doğru cevap: D

İfade: ( 1 + i ) 10 ( 1 - i ) 4 Önce tabanları trigonometrik (kutupsal) biçimde yazalım. Modül: | 1 + i | = 1 2 + 1 $2 = 2$ | 1 - i | = 1 2 + 1 $2 = 2$ Açıları belirleyelim: 1 + $i = 2$( π 4 + i π 4 ) 1 - $i = 2$( - π 4 + i - π 4 ) Şimdi kuvvetleri alalım (De Moivre): ( 1 + i ) $10 = 2$ 10 ( 10 ⋅ π 4 + i 10 ⋅ π 4 ) ( 1 - i ) $4 = 2$ 4 ( 4 ⋅ - π 4 + i 4 ⋅ - π 4 ) Üstel ifadeleri sadeleştirelim: 2 $10 = 2$ 10 $2 = 2$ $5 = 32$ 2 $4 = 2$ 4 $2 = 2$ $2 = 4$ 10 ⋅ π $4 = 10$ 4 π = 5 2 π 4 ⋅ - π 4 = - π Trigonometrik değerleri kullanalım: 5 2 π = 0, 5 2 π = 1 - π = - 1, - π = 0 Bunları yerine koyup sadeleştirelim: ( 1 + i ) $10 = 32$ ( 0 + i ⋅ 1 ) = 32 i ( 1 - i ) $4 = 4$ ( - 1 + i ⋅ 0 ) = - 4 Son olarak bölme işlemi: ( 1 + i ) 10 ( 1 - i ) $4 = 32$ i - 4 = - 8 i Sonuç: - 8 i Bu değer şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap D969 ’dır.

1. Çözüm: İfade: ( 1 + i ) 10 ( 1 - i ) 4 Önce tabanları trigonometrik (kutupsal) biçimde yazalım. Modül: | 1 + i | = 1 2 + 1 $2 = 2$ | 1 - i | = 1 2 + 1 $2 = 2$ Açıları belirleyelim: 1 + $i = 2$( π 4 + i π 4 ) 1 - $i = 2$( - π 4 + i - π 4 ) Şimdi kuvvetleri alalım (De Moivre): ( 1 + i ) $10 = 2$ 10 ( 10 ⋅ π 4 + i 10 ⋅ π 4 ) ( 1 - i ) $4 = 2$ 4 ( 4 ⋅ - π 4 + i 4 ⋅ - π 4 ) Üstel ifadeleri sadeleştirelim: 2 $10 = 2$ 10 $2 = 2$ $5 = 32$ 2 $4 = 2$ 4 $2 = 2$ $2 = 4$ 10 ⋅ π $4 = 10$ 4 π = 5 2 π 4 ⋅ - π 4 = - π Trigonometrik değerleri kullanalım: 5 2 π = 0, 5 2 π = 1 - π = - 1, - π = 0 Bunları yerine koyup sadeleştirelim: ( 1 + i ) $10 = 32$ ( 0 + i ⋅ 1 ) = 32 i ( 1 - i ) $4 = 4$ ( - 1 + i ⋅ 0 ) = - 4 Son olarak bölme işlemi: ( 1 + i ) 10 ( 1 - i ) $4 = 32$ i - 4 = - 8 i Sonuç: - 8 i Bu değer şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap D969 ’dır.

Doğru cevap: A

Önce $z = x + i$y şeklinde yazalım. Uzaklık eşitliğini kare alarak açalım: $| z − 1 | 2 = | z + 1 | 2 ( x − 1 ) 2 + y 2 = ( x + 1 ) 2 + y 2 Buradan ( x − 1 ) 2 = ( x + 1 ) 2 olur ve bu da x = 0 sonucunu verir$. Dolayısıyla $z = i$y Verilen şarttan Im ( z ) > 0 olduğuna göre y > 0 Şimdi z − 1 z + 1 ifadesinde $z = i$y yazalım: i y − 1 i y + 1 Eşleniğiyle çarpalım: ( i y − 1 ) ( 1 − i y ) ( 1 + i y ) ( 1 − i y ) Pay ve paydayı düzenleyelim: ( i y − 1 ) ( 1 − i y ) = ( y 2 − 1 ) + i ( 2 y ) ( 1 + i y ) ( 1 − i y ) = 1 + y 2 Buna göre kesir ( y 2 − 1 ) + i ( 2 y ) 1 + y 2 olur, yani y 2 − 1 1 + y 2 + i 2 y 1 + y 2 İfade saf sanal olduğundan reel kısmı sıfır olmalı: y 2 − 1 1 + y $2 = 0$ Buradan y 2 − $1 = 0$ ve $y = 1$(çünkü y > 0 ). Sonuç: $z = i$Dolayısıyla doğru seçenek A olur.

1. Çözüm: Önce $z = x + i$y şeklinde yazalım. Uzaklık eşitliğini kare alarak açalım: $| z − 1 | 2 = | z + 1 | 2 ( x − 1 ) 2 + y 2 = ( x + 1 ) 2 + y 2 Buradan ( x − 1 ) 2 = ( x + 1 ) 2 olur ve bu da x = 0 sonucunu verir$. Dolayısıyla $z = i$y Verilen şarttan Im ( z ) > 0 olduğuna göre y > 0 Şimdi z − 1 z + 1 ifadesinde $z = i$y yazalım: i y − 1 i y + 1 Eşleniğiyle çarpalım: ( i y − 1 ) ( 1 − i y ) ( 1 + i y ) ( 1 − i y ) Pay ve paydayı düzenleyelim: ( i y − 1 ) ( 1 − i y ) = ( y 2 − 1 ) + i ( 2 y ) ( 1 + i y ) ( 1 − i y ) = 1 + y 2 Buna göre kesir ( y 2 − 1 ) + i ( 2 y ) 1 + y 2 olur, yani y 2 − 1 1 + y 2 + i 2 y 1 + y 2 İfade saf sanal olduğundan reel kısmı sıfır olmalı: y 2 − 1 1 + y $2 = 0$ Buradan y 2 − $1 = 0$ ve $y = 1$(çünkü y > 0 ). Sonuç: $z = i$Dolayısıyla doğru seçenek A olur.

Doğru cevap: B

1) Birinci koşuldan başlayalım. Modüller eşit olduğuna göre (her iki taraf da negatif olamayacağı için) karelerini eşitleyebiliriz: | z - 1 | 2 = | z + 1 | 2 2) z ’yi $z = x + y$i alalım. O hâlde: | z - 1 | 2 = | x - 1 + y i | 2 = x - 1 2 + y 2 | z + 1 | 2 = | x + 1 + y i | 2 = x + 1 2 + y 2 3) Eşitleyip sadeleştirelim: x - 1 2 + y 2 = x + 1 2 + y 2 x - 1 2 = x + 1 2 x 2 - 2 x + 1 = x 2 + 2 x + 1 - 2 $x = 2$x $x = 0$4) Demek ki Re ( z ) sıfırdır ve $z = y$i yazabiliriz. Şimdi ikinci koşulu kullanalım: z $2 = 4$ i z ¯ 5) $z = y$i ise z ¯ = - y i olur. Yerine yazalım: y i $2 = 4$ i ( - y i ) - y $2 = 4$ y 6) Düzenleyip çözelim: y 2 + 4 $y = 0$y ( y + 4 ) = 0 $y = 0$  veya   y = - 4 7) Buna göre çözüm kümesi: $z = 0$  veya   z = - 4 i 8) Şıklarda 0 yoktur; şıklardan yalnızca - 4 i bulunduğu için test mantığında doğru seçenek B826’dır. z = - 4 i

1. Çözüm: 1) Birinci koşuldan başlayalım. Modüller eşit olduğuna göre (her iki taraf da negatif olamayacağı için) karelerini eşitleyebiliriz: | z - 1 | 2 = | z + 1 | 2 2) z ’yi $z = x + y$i alalım. O hâlde: | z - 1 | 2 = | x - 1 + y i | 2 = x - 1 2 + y 2 | z + 1 | 2 = | x + 1 + y i | 2 = x + 1 2 + y 2 3) Eşitleyip sadeleştirelim: x - 1 2 + y 2 = x + 1 2 + y 2 x - 1 2 = x + 1 2 x 2 - 2 x + 1 = x 2 + 2 x + 1 - 2 $x = 2$x $x = 0$4) Demek ki Re ( z ) sıfırdır ve $z = y$i yazabiliriz. Şimdi ikinci koşulu kullanalım: z $2 = 4$ i z ¯ 5) $z = y$i ise z ¯ = - y i olur. Yerine yazalım: y i $2 = 4$ i ( - y i ) - y $2 = 4$ y 6) Düzenleyip çözelim: y 2 + 4 $y = 0$y ( y + 4 ) = 0 $y = 0$  veya   y = - 4 7) Buna göre çözüm kümesi: $z = 0$  veya   z = - 4 i 8) Şıklarda 0 yoktur; şıklardan yalnızca - 4 i bulunduğu için test mantığında doğru seçenek B826’dır. z = - 4 i

Doğru cevap: C

1) Önce verilen ifadeyi sadeleştirelim: z 2 = 3 − 4 i 3 + 4 i Paydanın eşleniği ile genişletelim: z 2 = 3 − 4 i ⋅ 3 − 4 i 3 + 4 i ⋅ 3 − 4 i Payda ve paydayı açalım: z 2 = 3 − 4 i 2 3 2 + 4 2 Üstü açalım: 3 − 4 i 2 = 3 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ 4 i + 4 2 i 2 Buradan: 3 − 4 i 2 = 9 − 24 i + 16 ⋅ − 1 Yani: 3 − 4 i 2 = − 7 − 24 i Payda: 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 Dolayısıyla: z 2 = − 7 − 24 i 25 = − 7 25 − 24 25 i 2) Şimdi z sayısını z = a + b i şeklinde alalım. (Sanal kısmı pozitif olduğundan) b > 0 Karesini alalım: z 2 = a + b i 2 = a 2 − b 2 + 2 a b i 3) Gerçel ve sanal kısımları eşitleyelim: a − b a − b (Not: Yukarıdaki satır bir hata olmaması için dikkate alınmasın; eşitlemeleri aşağıda doğru biçimde veriyorum.) a 2 − b 2 = − 7 25 2 a b = − 24 25 4) Ayrıca z 2 sayısının modülü: z 2 = − 7 25 2 + − 24 25 2 Hesaplayalım: z 2 = 49 + 576 625 = 625 625 = 1 Buradan: z = 1 Dolayısıyla: a 2 + b 2 = 1 5) Şimdi iki denklemi toplayalım: a 2 + b 2 + a 2 − b 2 = 1 + − 7 25 Sadeleşir: 2 a 2 = 18 25 Buradan: a 2 = 9 25 Dolayısıyla: a = ± 3 5 6) 2 a b = − 24 25 denklemine göre sanal kısmın pozitif olması için b > 0 iken a negatif olmalıdır. Bu yüzden: a = − 3 5 7) Sonuç: Gerçel kısım Re z = − 3 5 Doğru seçenek C1435 ’dır.

1. Çözüm: 1) Önce verilen ifadeyi sadeleştirelim: z 2 = 3 − 4 i 3 + 4 i Paydanın eşleniği ile genişletelim: z 2 = 3 − 4 i ⋅ 3 − 4 i 3 + 4 i ⋅ 3 − 4 i Payda ve paydayı açalım: z 2 = 3 − 4 i 2 3 2 + 4 2 Üstü açalım: 3 − 4 i 2 = 3 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ 4 i + 4 2 i 2 Buradan: 3 − 4 i 2 = 9 − 24 i + 16 ⋅ − 1 Yani: 3 − 4 i 2 = − 7 − 24 i Payda: 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 Dolayısıyla: z 2 = − 7 − 24 i 25 = − 7 25 − 24 25 i 2) Şimdi z sayısını z = a + b i şeklinde alalım. (Sanal kısmı pozitif olduğundan) b > 0 Karesini alalım: z 2 = a + b i 2 = a 2 − b 2 + 2 a b i 3) Gerçel ve sanal kısımları eşitleyelim: a − b a − b (Not: Yukarıdaki satır bir hata olmaması için dikkate alınmasın; eşitlemeleri aşağıda doğru biçimde veriyorum.) a 2 − b 2 = − 7 25 2 a b = − 24 25 4) Ayrıca z 2 sayısının modülü: z 2 = − 7 25 2 + − 24 25 2 Hesaplayalım: z 2 = 49 + 576 625 = 625 625 = 1 Buradan: z = 1 Dolayısıyla: a 2 + b 2 = 1 5) Şimdi iki denklemi toplayalım: a 2 + b 2 + a 2 − b 2 = 1 + − 7 25 Sadeleşir: 2 a 2 = 18 25 Buradan: a 2 = 9 25 Dolayısıyla: a = ± 3 5 6) 2 a b = − 24 25 denklemine göre sanal kısmın pozitif olması için b > 0 iken a negatif olmalıdır. Bu yüzden: a = − 3 5 7) Sonuç: Gerçel kısım Re z = − 3 5 Doğru seçenek C1435 ’dır.