11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan karmaşık sayı için isteneni bulunuz.
$z + \frac{1}{z} = 2 i$
$Im (z) > 0$
$z^{2}$ değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen koşul: z + 1 z = 2 i Im ( z ) > 0 Denklemi paydadan kurtarmak için ( z ≠ 0 ) her iki tarafı z ile çarpalım: z 2 + 1 = 2 i z Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: z 2 - 2 i z + 1 = 0 İkinci dereceden denklemi çözelim: z = 2 i ± ( - 2 i ) 2 - 4 2 Kök içini hesaplayalım: ( - 2 i ) 2 - 4 = - 4 - 4 = - 8 Dolayısıyla: - 8 = 2 2 i Yerine yazalım: z = 2 i ± 2 2 i 2 = i ( 1 ± 2 ) Koşul Im ( z ) > 0 olduğuna göre, sanal kısmı pozitif olan kökü seçeriz: z = i ( 1 + 2 ) Şimdi z 2 değerini bulalım: z 2 = i ( 1 + 2 ) 2 = i 2 ( 1 + 2 ) 2 i 2 = - 1 ( 1 + 2 ) 2 = 1 + 2 2 + 2 = 3 + 2 2 O hâlde: z 2 = - ( 3 + 2 2 ) Bu sonuç şıklardan - 3 + 2 2 ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap C693 şıkkıdır.

Çözüm: Verilen koşul: z + 1 z = 2 i Im ( z ) > 0 Denklemi paydadan kurtarmak için ( z ≠ 0 ) her iki tarafı z ile çarpalım: z 2 + 1 = 2 i z Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: z 2 - 2 i z + 1 = 0 İkinci dereceden denklemi çözelim: z = 2 i ± ( - 2 i ) 2 - 4 2 Kök içini hesaplayalım: ( - 2 i ) 2 - 4 = - 4 - 4 = - 8 Dolayısıyla: - 8 = 2 2 i Yerine yazalım: z = 2 i ± 2 2 i 2 = i ( 1 ± 2 ) Koşul Im ( z ) > 0 olduğuna göre, sanal kısmı pozitif olan kökü seçeriz: z = i ( 1 + 2 ) Şimdi z 2 değerini bulalım: z 2 = i ( 1 + 2 ) 2 = i 2 ( 1 + 2 ) 2 i 2 = - 1 ( 1 + 2 ) 2 = 1 + 2 2 + 2 = 3 + 2 2 O hâlde: z 2 = - ( 3 + 2 2 ) Bu sonuç şıklardan - 3 + 2 2 ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap C693 şıkkıdır.

Verilen koşul:

z + \frac{1}{z} = 2 i

Im (z) > 0

Denklemi paydadan kurtarmak için (

z \neq 0

) her iki tarafı

z

ile çarpalım:

z^{2} + 1 = 2 i z

Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

z^{2} - 2 i z + 1 = 0

İkinci dereceden denklemi çözelim:

z = \frac{2 i \pm \sqrt{{(- 2 i)}^{2} - 4}}{2}

Kök içini hesaplayalım:

{(- 2 i)}^{2} - 4 = - 4 - 4 = - 8

Dolayısıyla:

\sqrt{- 8} = 2 \sqrt{2} i

Yerine yazalım:

z = \frac{2 i \pm 2 \sqrt{2} i}{2} = i (1 \pm \sqrt{2})

Koşul

Im (z) > 0

olduğuna göre, sanal kısmı pozitif olan kökü seçeriz:

z = i (1 + \sqrt{2})

Şimdi

z^{2}

değerini bulalım:

z^{2} = {i (1 + \sqrt{2})}^{2} = i^{2} {(1 + \sqrt{2})}^{2}

i^{2} = - 1

{(1 + \sqrt{2})}^{2} = 1 + 2 \sqrt{2} + 2 = 3 + 2 \sqrt{2}

O hâlde:

z^{2} = - (3 + 2 \sqrt{2})

Bu sonuç şıklardan

- 3 + 2 \sqrt{2}

ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki
$z = \frac{1 - i}{1 + i}$
karmaşık sayısının eşiti hangisidir?

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan karmaşık sayı için istenen değeri bulun.
$| z | = 1$
$z \neq 1$
$z + \frac{1}{z} = - 1$
Değeri bulun.
$z^{5} + \frac{1}{z^{5}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilenler: | z | = 1 z ≠ 1 z + 1 z = - 1 Koşul |z|=1 olduğundan z birim çember üzerindedir. Bu yüzden z = e i θ ve 1 z = e - i θ Verilen eşitliğe yazalım: e i θ + e - i θ = - 1 Bilinen dönüşüm: e i θ + e - i θ = 2 cos θ Dolayısıyla 2 cos θ = - 1 Buradan açı değerleri: cos θ = - 1 2 θ = 2 3 π + 2 k π θ = 4 3 π + 2 k π Bu iki açı, z ’nin 1 ’den farklı küp kökleri olduğunu gösterir. Yani z 3 = 1 ve verilen koşulla uyumlu olarak z ≠ 1 İstenen ifade: z 5 + 1 z 5 Kullanacağız: z 3 = 1 Üsleri sadeleştirelim: z 5 = z 3 · z 2 = 1 · z 2 = z 2 1 z 5 = z - 5 = z - 6 + 1 = z - 6 · z = z 3 - 2 · z = 1 - 2 · z = z Dolayısıyla istenen ifade z 2 + z Verilen denklemi kullanarak z ile ilgili bir bağıntı yazalım: z + 1 z = - 1 Her iki tarafı z ile çarpalım: z 2 + 1 = - z Buradan z 2 + z = - 1 Sonuç: z 5 + 1 z 5 = - 1 Dolayısıyla doğru şık A ’dır.

Çözüm: Verilenler: | z | = 1 z ≠ 1 z + 1 z = - 1 Koşul |z|=1 olduğundan z birim çember üzerindedir. Bu yüzden z = e i θ ve 1 z = e - i θ Verilen eşitliğe yazalım: e i θ + e - i θ = - 1 Bilinen dönüşüm: e i θ + e - i θ = 2 cos θ Dolayısıyla 2 cos θ = - 1 Buradan açı değerleri: cos θ = - 1 2 θ = 2 3 π + 2 k π θ = 4 3 π + 2 k π Bu iki açı, z ’nin 1 ’den farklı küp kökleri olduğunu gösterir. Yani z 3 = 1 ve verilen koşulla uyumlu olarak z ≠ 1 İstenen ifade: z 5 + 1 z 5 Kullanacağız: z 3 = 1 Üsleri sadeleştirelim: z 5 = z 3 · z 2 = 1 · z 2 = z 2 1 z 5 = z - 5 = z - 6 + 1 = z - 6 · z = z 3 - 2 · z = 1 - 2 · z = z Dolayısıyla istenen ifade z 2 + z Verilen denklemi kullanarak z ile ilgili bir bağıntı yazalım: z + 1 z = - 1 Her iki tarafı z ile çarpalım: z 2 + 1 = - z Buradan z 2 + z = - 1 Sonuç: z 5 + 1 z 5 = - 1 Dolayısıyla doğru şık A ’dır.

Verilenler:

| z | = 1

z \neq 1

z + \frac{1}{z} = - 1

Koşul |z|=1 olduğundan z birim çember üzerindedir. Bu yüzden

z = e^{i θ}

ve

\frac{1}{z} = e^{- i θ}

Verilen eşitliğe yazalım:

e^{i θ} + e^{- i θ} = - 1

Bilinen dönüşüm:

e^{i θ} + e^{- i θ} = 2 \cos θ

Dolayısıyla

2 \cos θ = - 1

Buradan açı değerleri:

\cos θ = - \frac{1}{2}

θ = \frac{2}{3} π + 2 k π

θ = \frac{4}{3} π + 2 k π

Bu iki açı, z’nin 1’den farklı küp kökleri olduğunu gösterir. Yani

z^{3} = 1

ve verilen koşulla uyumlu olarak

z \neq 1

İstenen ifade:

z^{5} + \frac{1}{z^{5}}

Kullanacağız:

z^{3} = 1

Üsleri sadeleştirelim:

z^{5} = z^{3} \cdot z^{2} = 1 \cdot z^{2} = z^{2}

\frac{1}{z^{5}} = z^{- 5} = z^{- 6 + 1} = z^{- 6} \cdot z = {z^{3}}^{- 2} \cdot z = 1^{- 2} \cdot z = z

Dolayısıyla istenen ifade

z^{2} + z

Verilen denklemi kullanarak z ile ilgili bir bağıntı yazalım:

z + \frac{1}{z} = - 1

Her iki tarafı z ile çarpalım:

z^{2} + 1 = - z

Buradan

z^{2} + z = - 1

Sonuç:

z^{5} + \frac{1}{z^{5}} = - 1

Dolayısıyla doğru şık A’dır.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun.
$\frac{{(1 - i)}^{10}}{{(1 + i)}^{8}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

İfade: ( 1 - i ) 10 ( 1 + i ) 8 1 ± i sayılarını kutupsal (trigonometrik) biçimde yazalım: 1 - i = 2 ( cos ( - π 4 ) + i sin ( - π 4 ) ) 1 + i = 2 ( cos ( π 4 ) + i sin ( π 4 ) ) De Moivre kuralı ile üsleri alalım: ( 1 - i ) 10 = ( 2 ) 10 ( cos ( - 10 π 4 ) + i sin ( - 10 π 4 ) ) ( 1 + i ) 8 = ( 2 ) 8 ( cos ( 8 π 4 ) + i sin ( 8 π 4 ) ) Üstel ve açı ifadelerini sadeleştirelim: ( 2 ) 10 = 2 5 = 32 - 10 π 4 = - 5 π 2 ( 2 ) 8 = 2 4 = 16 8 4 π = 2 π Şimdi trigonometrik değerleri kullanalım: cos ( - 5 π 2 ) + i sin ( - 5 π 2 ) = cos ( - π 2 ) + i sin ( - π 2 ) cos ( - π 2 ) = 0 sin ( - π 2 ) = - 1 cos ( 2 π ) + i sin ( 2 π ) = 1 Bu durumda pay ve paydayı bulalım: ( 1 - i ) 10 = 32 ( 0 + i ( - 1 ) ) = - 32 i ( 1 + i ) 8 = 16 ( 1 ) = 16 Oranı hesaplayalım: ( 1 - i ) 10 ( 1 + i ) 8 = - 32 i 16 = - 2 i Sonuç −2i olduğundan doğru seçenek B826 'dir; yani şıkkıB856 doğru.

Çözüm: İfade: ( 1 - i ) 10 ( 1 + i ) 8 1 ± i sayılarını kutupsal (trigonometrik) biçimde yazalım: 1 - i = 2 ( cos ( - π 4 ) + i sin ( - π 4 ) ) 1 + i = 2 ( cos ( π 4 ) + i sin ( π 4 ) ) De Moivre kuralı ile üsleri alalım: ( 1 - i ) 10 = ( 2 ) 10 ( cos ( - 10 π 4 ) + i sin ( - 10 π 4 ) ) ( 1 + i ) 8 = ( 2 ) 8 ( cos ( 8 π 4 ) + i sin ( 8 π 4 ) ) Üstel ve açı ifadelerini sadeleştirelim: ( 2 ) 10 = 2 5 = 32 - 10 π 4 = - 5 π 2 ( 2 ) 8 = 2 4 = 16 8 4 π = 2 π Şimdi trigonometrik değerleri kullanalım: cos ( - 5 π 2 ) + i sin ( - 5 π 2 ) = cos ( - π 2 ) + i sin ( - π 2 ) cos ( - π 2 ) = 0 sin ( - π 2 ) = - 1 cos ( 2 π ) + i sin ( 2 π ) = 1 Bu durumda pay ve paydayı bulalım: ( 1 - i ) 10 = 32 ( 0 + i ( - 1 ) ) = - 32 i ( 1 + i ) 8 = 16 ( 1 ) = 16 Oranı hesaplayalım: ( 1 - i ) 10 ( 1 + i ) 8 = - 32 i 16 = - 2 i Sonuç −2i olduğundan doğru seçenek B826 'dir; yani şıkkıB856 doğru.

İfade:

\frac{{(1 - i)}^{10}}{{(1 + i)}^{8}}

1 ± i sayılarını kutupsal (trigonometrik) biçimde yazalım:

1 - i = \sqrt{2} (\cos (\frac{- π}{4}) + i \sin (\frac{- π}{4}))

1 + i = \sqrt{2} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))

De Moivre kuralı ile üsleri alalım:

{(1 - i)}^{10} = {(\sqrt{2})}^{10} (\cos (\frac{- 10 π}{4}) + i \sin (\frac{- 10 π}{4}))

{(1 + i)}^{8} = {(\sqrt{2})}^{8} (\cos (\frac{8}{π}) + i \sin (\frac{8}{π}))

Üstel ve açı ifadelerini sadeleştirelim:

{(\sqrt{2})}^{10} = 2^{5} = 32

\frac{- 10 π}{4} = \frac{- 5 π}{2}

{(\sqrt{2})}^{8} = 2^{4} = 16

\frac{8}{4} π = 2 π

Şimdi trigonometrik değerleri kullanalım:

\cos (\frac{- 5 π}{2}) + i \sin (\frac{- 5 π}{2}) = \cos (\frac{- π}{2}) + i \sin (\frac{- π}{2})

\cos (\frac{- π}{2}) = 0

\sin (\frac{- π}{2}) = - 1

\cos (2 π) + i \sin (2 π) = 1

Bu durumda pay ve paydayı bulalım:

{(1 - i)}^{10} = 32 (0 + i (- 1)) = - 32 i

{(1 + i)}^{8} = 16 (1) = 16

Oranı hesaplayalım:

\frac{{(1 - i)}^{10}}{{(1 + i)}^{8}} = \frac{- 32 i}{16} = - 2 i

Sonuç −2i olduğundan doğru seçenek C'dir; yani şıkkıB5047 doğru.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun:
${\frac{1 + i \sqrt{3}}{1 - i \sqrt{3}}}^{5}$

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz.
$\frac{{(1 + i)}^{10}}{{(1 - i)}^{4}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan $z$ karmaşık sayısını bulun:
$| z - 1 | = | z + 1 |$
$\frac{z - 1}{z + 1}$ ifadesi $saf$ $sanal$ ve $Im (z) > 0$ .

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan $z$ karmaşık sayısını bulun.
$| z - 1 | = | z + 1 |$
$z^{2} = 4 i \bar{z}$

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulu sağlayan ve sanal kısmı pozitif olan $z$ karmaşık sayısının gerçel kısmı kaçtır?
$z^{2} = \frac{3 - 4 i}{3 + 4 i}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

1) Önce verilen ifadeyi sadeleştirelim: z 2 = 3 − 4 i 3 + 4 i Paydanın eşleniği ile genişletelim: z 2 = 3 − 4 i ⋅ 3 − 4 i 3 + 4 i ⋅ 3 − 4 i Payda ve paydayı açalım: z 2 = 3 − 4 i 2 3 2 + 4 2 Üstü açalım: 3 − 4 i 2 = 3 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ 4 i + 4 2 i 2 Buradan: 3 − 4 i 2 = 9 − 24 i + 16 ⋅ − 1 Yani: 3 − 4 i 2 = − 7 − 24 i Payda: 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 Dolayısıyla: z 2 = − 7 − 24 i 25 = − 7 25 − 24 25 i 2) Şimdi z sayısını z = a + b i şeklinde alalım. (Sanal kısmı pozitif olduğundan) b > 0 Karesini alalım: z 2 = a + b i 2 = a 2 − b 2 + 2 a b i 3) Gerçel ve sanal kısımları eşitleyelim: a − b a − b (Not: Yukarıdaki satır bir hata olmaması için dikkate alınmasın; eşitlemeleri aşağıda doğru biçimde veriyorum.) a 2 − b 2 = − 7 25 2 a b = − 24 25 4) Ayrıca z 2 sayısının modülü: z 2 = − 7 25 2 + − 24 25 2 Hesaplayalım: z 2 = 49 + 576 625 = 625 625 = 1 Buradan: z = 1 Dolayısıyla: a 2 + b 2 = 1 5) Şimdi iki denklemi toplayalım: a 2 + b 2 + a 2 − b 2 = 1 + − 7 25 Sadeleşir: 2 a 2 = 18 25 Buradan: a 2 = 9 25 Dolayısıyla: a = ± 3 5 6) 2 a b = − 24 25 denklemine göre sanal kısmın pozitif olması için b > 0 iken a negatif olmalıdır. Bu yüzden: a = − 3 5 7) Sonuç: Gerçel kısım Re z = − 3 5 Doğru seçenek C1435 ’dır.

Çözüm: 1) Önce verilen ifadeyi sadeleştirelim: z 2 = 3 − 4 i 3 + 4 i Paydanın eşleniği ile genişletelim: z 2 = 3 − 4 i ⋅ 3 − 4 i 3 + 4 i ⋅ 3 − 4 i Payda ve paydayı açalım: z 2 = 3 − 4 i 2 3 2 + 4 2 Üstü açalım: 3 − 4 i 2 = 3 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ 4 i + 4 2 i 2 Buradan: 3 − 4 i 2 = 9 − 24 i + 16 ⋅ − 1 Yani: 3 − 4 i 2 = − 7 − 24 i Payda: 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 Dolayısıyla: z 2 = − 7 − 24 i 25 = − 7 25 − 24 25 i 2) Şimdi z sayısını z = a + b i şeklinde alalım. (Sanal kısmı pozitif olduğundan) b > 0 Karesini alalım: z 2 = a + b i 2 = a 2 − b 2 + 2 a b i 3) Gerçel ve sanal kısımları eşitleyelim: a − b a − b (Not: Yukarıdaki satır bir hata olmaması için dikkate alınmasın; eşitlemeleri aşağıda doğru biçimde veriyorum.) a 2 − b 2 = − 7 25 2 a b = − 24 25 4) Ayrıca z 2 sayısının modülü: z 2 = − 7 25 2 + − 24 25 2 Hesaplayalım: z 2 = 49 + 576 625 = 625 625 = 1 Buradan: z = 1 Dolayısıyla: a 2 + b 2 = 1 5) Şimdi iki denklemi toplayalım: a 2 + b 2 + a 2 − b 2 = 1 + − 7 25 Sadeleşir: 2 a 2 = 18 25 Buradan: a 2 = 9 25 Dolayısıyla: a = ± 3 5 6) 2 a b = − 24 25 denklemine göre sanal kısmın pozitif olması için b > 0 iken a negatif olmalıdır. Bu yüzden: a = − 3 5 7) Sonuç: Gerçel kısım Re z = − 3 5 Doğru seçenek C1435 ’dır.

1) Önce verilen ifadeyi sadeleştirelim:

z^{2} = \frac{3 - 4 i}{3 + 4 i}

Paydanın eşleniği ile genişletelim:

z^{2} = \frac{3 - 4 i \cdot 3 - 4 i}{3 + 4 i \cdot 3 - 4 i}

Payda ve paydayı açalım:

z^{2} = \frac{{3 - 4 i}^{2}}{3^{2} + 4^{2}}

Üstü açalım:

{3 - 4 i}^{2} = 3^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 i + 4^{2} i^{2}

Buradan:

{3 - 4 i}^{2} = 9 - 24 i + 16 \cdot - 1

Yani:

{3 - 4 i}^{2} = - 7 - 24 i

Payda:

3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25

Dolayısıyla:

z^{2} = \frac{- 7 - 24 i}{25} = - \frac{7}{25} - \frac{24}{25} i

2) Şimdi $z$ sayısını

z = a + b i

şeklinde alalım. (Sanal kısmı pozitif olduğundan)

b > 0

Karesini alalım:

z^{2} = {a + b i}^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 a b i

3) Gerçel ve sanal kısımları eşitleyelim:

a - b

a - b

(Not: Yukarıdaki satır bir hata olmaması için dikkate alınmasın; eşitlemeleri aşağıda doğru biçimde veriyorum.)

a^{2} - b^{2} = - \frac{7}{25}

2 a b = - \frac{24}{25}

4) Ayrıca $z^{2}$ sayısının modülü:

(z^{2}) = \sqrt{{- \frac{7}{25}}^{2} + {- \frac{24}{25}}^{2}}

Hesaplayalım:

(z^{2}) = \sqrt{\frac{49 + 576}{625}} = \sqrt{\frac{625}{625}} = 1

Buradan:

(z) = 1

Dolayısıyla:

a^{2} + b^{2} = 1

5) Şimdi iki denklemi toplayalım:

a^{2} + b^{2} + a^{2} - b^{2} = 1 + - \frac{7}{25}

Sadeleşir:

2 a^{2} = \frac{18}{25}

Buradan:

a^{2} = \frac{9}{25}

Dolayısıyla:

a = \pm \frac{3}{5}

6) $2 a b = - \frac{24}{25}$ denklemine göre sanal kısmın pozitif olması için $b > 0$ iken $a$ negatif olmalıdır. Bu yüzden:

a = - \frac{3}{5}

7) Sonuç: Gerçel kısım

Re (z) = - \frac{3}{5}

Doğru seçenek A’dır.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan $z$ karmaşık sayısını bulunuz.
$\{\begin{matrix} z^{3} = 8 i \\ Re (z) > 0 \\ Im (z) > 0 \end{matrix}\}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Koşullar: z 3 = 8 i Re ( z ) > 0 Im ( z ) > 0 Önce 8 i sayısını kutupsal (trigonometrik) biçimde yazalım. Modül: | 8 i | = 8 Açı (argüman): arg ( 8 i ) = π 2 Dolayısıyla: 8 i = 8 ( cos π 2 + i sin π 2 ) z 3 = 8 i denkleminin küpkökleri için genel formül: z = 8 1 3 ( cos π 2 + 2 k π 3 + i sin π 2 + 2 k π 3 ) Burada: k ∈ { 0, 1, 2 } Modülün küpkökü: 8 1 3 = 2 Açıları hesaplayalım: π 2 + 2 k π 3 = π 6 + 2 k π 3 k = 0 için: z = 2 ( cos π 6 + i sin π 6 ) z = 2 ( 3 2 + i 1 2 ) z = 3 + i k = 1 için: z = 2 ( cos 5 π 6 + i sin 5 π 6 ) z = 2 ( - 3 2 + i 1 2 ) z = - 3 + i k = 2 için: z = 2 ( cos 3 π 2 + i sin 3 π 2 ) z = 2 ( 0 - i ) z = - 2 i Şimdi Re ( z ) ve Im ( z ) pozitif olma şartını sağlayanı seçelim: 3 + i Bu kökte hem gerçel kısım hem de sanal kısım pozitiftir. Diğer iki kökten biri negatif gerçel kısma, diğeri negatif sanal kısma sahiptir. Sonuç: z = 3 + i Dolayısıyla doğru seçenek D1002 ’dır.

Çözüm: Koşullar: z 3 = 8 i Re ( z ) > 0 Im ( z ) > 0 Önce 8 i sayısını kutupsal (trigonometrik) biçimde yazalım. Modül: | 8 i | = 8 Açı (argüman): arg ( 8 i ) = π 2 Dolayısıyla: 8 i = 8 ( cos π 2 + i sin π 2 ) z 3 = 8 i denkleminin küpkökleri için genel formül: z = 8 1 3 ( cos π 2 + 2 k π 3 + i sin π 2 + 2 k π 3 ) Burada: k ∈ { 0, 1, 2 } Modülün küpkökü: 8 1 3 = 2 Açıları hesaplayalım: π 2 + 2 k π 3 = π 6 + 2 k π 3 k = 0 için: z = 2 ( cos π 6 + i sin π 6 ) z = 2 ( 3 2 + i 1 2 ) z = 3 + i k = 1 için: z = 2 ( cos 5 π 6 + i sin 5 π 6 ) z = 2 ( - 3 2 + i 1 2 ) z = - 3 + i k = 2 için: z = 2 ( cos 3 π 2 + i sin 3 π 2 ) z = 2 ( 0 - i ) z = - 2 i Şimdi Re ( z ) ve Im ( z ) pozitif olma şartını sağlayanı seçelim: 3 + i Bu kökte hem gerçel kısım hem de sanal kısım pozitiftir. Diğer iki kökten biri negatif gerçel kısma, diğeri negatif sanal kısma sahiptir. Sonuç: z = 3 + i Dolayısıyla doğru seçenek D1002 ’dır.

Koşullar:

\{\begin{matrix} z^{3} = 8 i \\ Re (z) > 0 \\ Im (z) > 0 \end{matrix}\}

Önce $8 i$ sayısını kutupsal (trigonometrik) biçimde yazalım. Modül:

| 8 i | = 8

Açı (argüman):

\arg (8 i) = \frac{π}{2}

Dolayısıyla:

8 i = 8 (\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2})

$z^{3} = 8 i$ denkleminin küpkökleri için genel formül:

z = 8^{\frac{1}{3}} (\cos \frac{\frac{π}{2} + 2 k π}{3} + i \sin \frac{\frac{π}{2} + 2 k π}{3})

Burada:

k \in {0, 1, 2}

Modülün küpkökü:

8^{\frac{1}{3}} = 2

Açıları hesaplayalım:

\frac{\frac{π}{2} + 2 k π}{3} = \frac{π}{6} + \frac{2}{k}

$k = 0$ için:

z = 2 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})

z = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2})

z = \sqrt{3} + i

$k = 1$ için:

z = 2 (\cos \frac{5 π}{6} + i \sin \frac{5 π}{6})

z = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2})

z = - \sqrt{3} + i

$k = 2$ için:

z = 2 (\cos \frac{3 π}{2} + i \sin \frac{3 π}{2})

z = 2 (0 - i)

z = - 2 i

Şimdi $Re (z)$ ve $Im (z)$ pozitif olma şartını sağlayanı seçelim:

\sqrt{3} + i

Bu kökte hem gerçel kısım hem de sanal kısım pozitiftir. Diğer iki kökten biri negatif gerçel kısma, diğeri negatif sanal kısma sahiptir.

Sonuç:

z = \sqrt{3} + i

Dolayısıyla doğru seçenek A’dır.

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Karmaşık sayı nedir?

İşlemler ve eşlenik

Geometrik yorum

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Aşağıdaki koşulları sağlayan karmaşık sayı için isteneni bulunuz.
$z + \frac{1}{z} = 2 i$
$Im (z) > 0$
$z^{2}$ değeri kaçtır?

Aşağıdaki
$z = \frac{1 - i}{1 + i}$
karmaşık sayısının eşiti hangisidir?

Aşağıdaki koşulları sağlayan karmaşık sayı için istenen değeri bulun.
$| z | = 1$
$z \neq 1$
$z + \frac{1}{z} = - 1$
Değeri bulun.
$z^{5} + \frac{1}{z^{5}}$

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun.
$\frac{{(1 - i)}^{10}}{{(1 + i)}^{8}}$

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun:
${\frac{1 + i \sqrt{3}}{1 - i \sqrt{3}}}^{5}$

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz.
$\frac{{(1 + i)}^{10}}{{(1 - i)}^{4}}$

Aşağıdaki koşulları sağlayan $z$ karmaşık sayısını bulun:
$| z - 1 | = | z + 1 |$
$\frac{z - 1}{z + 1}$ ifadesi $saf$ $sanal$ ve $Im (z) > 0$ .

Aşağıdaki koşulları sağlayan $z$ karmaşık sayısını bulun.
$| z - 1 | = | z + 1 |$
$z^{2} = 4 i \bar{z}$

Aşağıdaki koşulu sağlayan ve sanal kısmı pozitif olan $z$ karmaşık sayısının gerçel kısmı kaçtır?
$z^{2} = \frac{3 - 4 i}{3 + 4 i}$

Aşağıdaki koşulları sağlayan $z$ karmaşık sayısını bulunuz.
$\{\begin{matrix} z^{3} = 8 i \\ Re (z) > 0 \\ Im (z) > 0 \end{matrix}\}$

Karmaşık sayılar hakkında sık sorulanlar

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Karmaşık sayı nedir?

İşlemler ve eşlenik

Geometrik yorum

11. Sınıf Matematik Karmaşık Sayılar Testleri

Aşağıdaki koşulları sağlayan karmaşık sayı için isteneni bulunuz.z+1z=2iIm(z)>0z2 değeri kaçtır?

Aşağıdakiz=1-i1+ikarmaşık sayısının eşiti hangisidir?

Aşağıdaki koşulları sağlayan karmaşık sayı için istenen değeri bulun.|z|=1z≠1z+1z=-1Değeri bulun.z5+1z5

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun.(1-i)10(1+i)8

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun:1+i31-i35

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz.(1+i)10(1-i)4

Aşağıdaki koşulları sağlayan z karmaşık sayısını bulun:|z−1|=|z+1|z−1z+1 ifadesi safsanal ve Im(z)>0.

Aşağıdaki koşulları sağlayan z karmaşık sayısını bulun.|z-1|=|z+1|z2=4iz¯

Aşağıdaki koşulu sağlayan ve sanal kısmı pozitif olan z karmaşık sayısının gerçel kısmı kaçtır?z2=3−4i3+4i

Aşağıdaki koşulları sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz.z3=8iRe(z)>0Im(z)>0

Karmaşık sayılar hakkında sık sorulanlar

Aşağıdaki koşulları sağlayan karmaşık sayı için isteneni bulunuz.
$z + \frac{1}{z} = 2 i$
$Im (z) > 0$
$z^{2}$ değeri kaçtır?

Aşağıdaki
$z = \frac{1 - i}{1 + i}$
karmaşık sayısının eşiti hangisidir?

Aşağıdaki koşulları sağlayan karmaşık sayı için istenen değeri bulun.
$| z | = 1$
$z \neq 1$
$z + \frac{1}{z} = - 1$
Değeri bulun.
$z^{5} + \frac{1}{z^{5}}$

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun.
$\frac{{(1 - i)}^{10}}{{(1 + i)}^{8}}$

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun:
${\frac{1 + i \sqrt{3}}{1 - i \sqrt{3}}}^{5}$

Aşağıdaki ifadenin değerini bulunuz.
$\frac{{(1 + i)}^{10}}{{(1 - i)}^{4}}$

Aşağıdaki koşulları sağlayan $z$ karmaşık sayısını bulun:
$| z - 1 | = | z + 1 |$
$\frac{z - 1}{z + 1}$ ifadesi $saf$ $sanal$ ve $Im (z) > 0$ .

Aşağıdaki koşulları sağlayan $z$ karmaşık sayısını bulun.
$| z - 1 | = | z + 1 |$
$z^{2} = 4 i \bar{z}$

Aşağıdaki koşulu sağlayan ve sanal kısmı pozitif olan $z$ karmaşık sayısının gerçel kısmı kaçtır?
$z^{2} = \frac{3 - 4 i}{3 + 4 i}$

Aşağıdaki koşulları sağlayan $z$ karmaşık sayısını bulunuz.
$\{\begin{matrix} z^{3} = 8 i \\ Re (z) > 0 \\ Im (z) > 0 \end{matrix}\}$