10. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Testleri

Doğru cevap: C

Verilenlere göre şıkkıC17 (18) doğrudur. (Aşağıda tek bir değer bulunabilmesi için en küçük dereceli/başka çarpanı olmayan monik polinom alınır; aksi halde P ( 4 ) sabit kalmaz.) 1) P ( 1 ) = 0, P ( 2 ) = 0, P ( 3 ) = 0 olduğundan P ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) Q ( x ) şeklinde yazılabilir. 2) P ( 0 ) = 6 verisini kullanalım: P ( 0 ) = ( 0 − 1 ) ( 0 − 2 ) ( 0 − 3 ) Q ( 0 ) 6 = ( −1 ) ( −2 ) ( −3 ) Q ( 0 ) = −6 Q ( 0 ) Q ( 0 ) = −1 3) Sorunun tek bir cevabı olması için en küçük dereceli (başka çarpanı olmayan) monik seçim yapılır. Bu durumda Q ( x ) monik olup Q ( 0 ) = −1 koşulunu en basit şekilde sağlayan Q ( x ) = x − 1 olur. Böylece P ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 1 ) P ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 1 ) 1 ( x − 2 ) ( x − 3 ) yani P ( x ) = ( x − 1 ) 2 ( x − 2 ) ( x − 3 ) 4) Şimdi P ( 4 ) hesaplayalım: P ( 4 ) = ( 4 − 1 ) 2 ( 4 − 2 ) ( 4 − 3 ) P ( 4 ) = 3 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 18 Sonuç: P ( 4 ) = 18 olduğu için doğru seçenek C933 ’dir.

1. Çözüm: Verilenlere göre şıkkıC17 (18) doğrudur. (Aşağıda tek bir değer bulunabilmesi için en küçük dereceli/başka çarpanı olmayan monik polinom alınır; aksi halde P ( 4 ) sabit kalmaz.) 1) P ( 1 ) = 0, P ( 2 ) = 0, P ( 3 ) = 0 olduğundan P ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) Q ( x ) şeklinde yazılabilir. 2) P ( 0 ) = 6 verisini kullanalım: P ( 0 ) = ( 0 − 1 ) ( 0 − 2 ) ( 0 − 3 ) Q ( 0 ) 6 = ( −1 ) ( −2 ) ( −3 ) Q ( 0 ) = −6 Q ( 0 ) Q ( 0 ) = −1 3) Sorunun tek bir cevabı olması için en küçük dereceli (başka çarpanı olmayan) monik seçim yapılır. Bu durumda Q ( x ) monik olup Q ( 0 ) = −1 koşulunu en basit şekilde sağlayan Q ( x ) = x − 1 olur. Böylece P ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 1 ) P ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 1 ) 1 ( x − 2 ) ( x − 3 ) yani P ( x ) = ( x − 1 ) 2 ( x − 2 ) ( x − 3 ) 4) Şimdi P ( 4 ) hesaplayalım: P ( 4 ) = ( 4 − 1 ) 2 ( 4 − 2 ) ( 4 − 3 ) P ( 4 ) = 3 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 18 Sonuç: P ( 4 ) = 18 olduğu için doğru seçenek C933 ’dir.

Doğru cevap: B

$91=7\cdot13$ olduğundan asal değildir.

1. Sayı türünü ve kuralı belirle: Sorunun bölünebilme, asal çarpan, EBOB-EKOK, rasyonel işlem, üslü-köklü ifade veya aralık bilgisiyle ilişkisini kur.
2. İşlem adımlarını uygula: Uygun formülü, işlem önceliğini, ortak payda, asal çarpan veya sayı doğrusu yorumunu kullan.

Doğru cevap: A

Önce şıkları kontrol etmek için bileşke fonksiyonu adım adım hesaplayalım. 1) Verilen fonksiyonlar: f ( x ) = 2 x - 3 g ( x ) = x 2 + 1 2) İstenen ifade: ( f ∘ g ) ( 1 ) 3) Bileşke tanımı gereği önce içteki fonksiyon hesaplanır: ( f ∘ g ) ( 1 ) = f ( g ( 1 ) ) 4) Önce g(1) bulunur: g ( 1 ) = 1 2 + 1 g ( 1 ) = 1 + 1 = 2 5) Şimdi f(g(1)) yani f(2) hesaplanır: f ( 2 ) = 2 ⋅ 2 - 3 f ( 2 ) = 4 - 3 = 1 6) Sonuç: ( f ∘ g ) ( 1 ) = 1 Doğru değer 1 olduğu için doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce şıkları kontrol etmek için bileşke fonksiyonu adım adım hesaplayalım. 1) Verilen fonksiyonlar: f ( x ) = 2 x - 3 g ( x ) = x 2 + 1 2) İstenen ifade: ( f ∘ g ) ( 1 ) 3) Bileşke tanımı gereği önce içteki fonksiyon hesaplanır: ( f ∘ g ) ( 1 ) = f ( g ( 1 ) ) 4) Önce g(1) bulunur: g ( 1 ) = 1 2 + 1 g ( 1 ) = 1 + 1 = 2 5) Şimdi f(g(1)) yani f(2) hesaplanır: f ( 2 ) = 2 ⋅ 2 - 3 f ( 2 ) = 4 - 3 = 1 6) Sonuç: ( f ∘ g ) ( 1 ) = 1 Doğru değer 1 olduğu için doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Verilen değerler: P ( 0 ) = 1 P ( 1 ) = 2 P ( 2 ) = 4 P ( 3 ) = 8 P ( 4 ) = 16 Derece en fazla 4 olduğundan, ardışık değerlerin sonlu fark tablosunda 5. farklar sıfır olmalı; dolayısıyla 4. farklar sabittir. Önce 1. farkları hesaplayalım: Δ 0 = P ( 1 ) - P ( 0 ) = 2 - 1 = 1 Δ 1 = P ( 2 ) - P ( 1 ) = 4 - 2 = 2 Δ 2 = P ( 3 ) - P ( 2 ) = 8 - 4 = 4 Δ 3 = P ( 4 ) - P ( 3 ) = 16 - 8 = 8 Şimdi 2. farklar: Δ ^ 2 0 = 2 - 1 = 1 Δ ^ 2 1 = 4 - 2 = 2 Δ ^ 2 2 = 8 - 4 = 4 3. farklar: Δ ^ 3 0 = 2 - 1 = 1 Δ ^ 3 1 = 4 - 2 = 2 4. fark: Δ ^ 4 0 = 2 - 1 = 1 Derece en fazla 4 olduğundan 4. farklar sabit kalır. Bu yüzden bir sonraki 4. fark da: Δ ^ 4 1 = 1 Şimdi tablonun devamını (geri toplayarak) bulalım: Önce yeni 3. fark: Δ ^ 3 2 = Δ ^ 3 1 + Δ ^ 4 1 = 2 + 1 = 3 Sonra yeni 2. fark: Δ ^ 2 3 = Δ ^ 2 2 + Δ ^ 3 2 = 4 + 3 = 7 Sonra yeni 1. fark: Δ 4 = Δ 3 + Δ ^ 2 3 = 8 + 7 = 15 Son olarak yeni değer: P ( 5 ) = P ( 4 ) + Δ 4 = 16 + 15 = 31 Bu durumda doğru seçenek A1085 ’dir.

1. Çözüm: Verilen değerler: P ( 0 ) = 1 P ( 1 ) = 2 P ( 2 ) = 4 P ( 3 ) = 8 P ( 4 ) = 16 Derece en fazla 4 olduğundan, ardışık değerlerin sonlu fark tablosunda 5. farklar sıfır olmalı; dolayısıyla 4. farklar sabittir. Önce 1. farkları hesaplayalım: Δ 0 = P ( 1 ) - P ( 0 ) = 2 - 1 = 1 Δ 1 = P ( 2 ) - P ( 1 ) = 4 - 2 = 2 Δ 2 = P ( 3 ) - P ( 2 ) = 8 - 4 = 4 Δ 3 = P ( 4 ) - P ( 3 ) = 16 - 8 = 8 Şimdi 2. farklar: Δ ^ 2 0 = 2 - 1 = 1 Δ ^ 2 1 = 4 - 2 = 2 Δ ^ 2 2 = 8 - 4 = 4 3. farklar: Δ ^ 3 0 = 2 - 1 = 1 Δ ^ 3 1 = 4 - 2 = 2 4. fark: Δ ^ 4 0 = 2 - 1 = 1 Derece en fazla 4 olduğundan 4. farklar sabit kalır. Bu yüzden bir sonraki 4. fark da: Δ ^ 4 1 = 1 Şimdi tablonun devamını (geri toplayarak) bulalım: Önce yeni 3. fark: Δ ^ 3 2 = Δ ^ 3 1 + Δ ^ 4 1 = 2 + 1 = 3 Sonra yeni 2. fark: Δ ^ 2 3 = Δ ^ 2 2 + Δ ^ 3 2 = 4 + 3 = 7 Sonra yeni 1. fark: Δ 4 = Δ 3 + Δ ^ 2 3 = 8 + 7 = 15 Son olarak yeni değer: P ( 5 ) = P ( 4 ) + Δ 4 = 16 + 15 = 31 Bu durumda doğru seçenek A1085 ’dir.

Doğru cevap: D

En büyük eş parça uzunluğu EBOB$(36,60)=12$ cm olur.

1. Sayı türünü ve kuralı belirle: Sorunun bölünebilme, asal çarpan, EBOB-EKOK, rasyonel işlem, üslü-köklü ifade veya aralık bilgisiyle ilişkisini kur.
2. İşlem adımlarını uygula: Uygun formülü, işlem önceliğini, ortak payda, asal çarpan veya sayı doğrusu yorumunu kullan.

Doğru cevap: B

Verilen koşul: f ( x ) + f ( 1 - x ) = x 2 - x + 2 ve f ( 0 ) = 1 Derece en fazla 2 olduğundan genel biçimi alalım: f ( x ) = a x 2 + b x + c Bu durumda: f ( 1 - x ) = a ( 1 - x ) 2 + b ( 1 - x ) + c Toplayıp katsayıları eşitleyelim: f ( x ) + f ( 1 - x ) = 2 a x 2 - 2 a x + ( 2 c + a + b ) Bu ifade, verilen sağ tarafa eşit olmalı: 2 a x 2 - 2 a x + ( 2 c + a + b ) = x 2 - x + 2 Katsayı eşitlemesi: 2 a = 1 - 2 a = - 1 Buradan: a = 1 2 Sabit terim için: 2 c + a + b = 2 Ayrıca f ( 0 ) = c = 1 ve 2 ⋅ 1 + 1 2 + b = 2 Buradan: b = - 1 2 Polinom: f ( x ) = 1 2 x 2 - 1 2 x + 1 İstenen değer: f ( 2 ) = 1 2 2 2 - 1 2 ⋅ 2 + 1 f ( 2 ) = 2 - 1 + 1 = 2 Sonuç: f ( 2 ) = 2 Doğru cevap B681 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen koşul: f ( x ) + f ( 1 - x ) = x 2 - x + 2 ve f ( 0 ) = 1 Derece en fazla 2 olduğundan genel biçimi alalım: f ( x ) = a x 2 + b x + c Bu durumda: f ( 1 - x ) = a ( 1 - x ) 2 + b ( 1 - x ) + c Toplayıp katsayıları eşitleyelim: f ( x ) + f ( 1 - x ) = 2 a x 2 - 2 a x + ( 2 c + a + b ) Bu ifade, verilen sağ tarafa eşit olmalı: 2 a x 2 - 2 a x + ( 2 c + a + b ) = x 2 - x + 2 Katsayı eşitlemesi: 2 a = 1 - 2 a = - 1 Buradan: a = 1 2 Sabit terim için: 2 c + a + b = 2 Ayrıca f ( 0 ) = c = 1 ve 2 ⋅ 1 + 1 2 + b = 2 Buradan: b = - 1 2 Polinom: f ( x ) = 1 2 x 2 - 1 2 x + 1 İstenen değer: f ( 2 ) = 1 2 2 2 - 1 2 ⋅ 2 + 1 f ( 2 ) = 2 - 1 + 1 = 2 Sonuç: f ( 2 ) = 2 Doğru cevap B681 şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Bölme işlemi ( x - 2 ) ile yapıldığı için Kalan Teoremi ni kullanırız. Kalan Teoremi: Bir polinomun ( x - a ) ile bölümünden kalan P ( a ) değerine eşittir. Burada a = 2 olduğundan kalan P ( 2 ) olacaktır. Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 4 x 2 + x + 6 Şimdi x = 2 yazalım: P ( 2 ) = 2 3 - 4 2 2 + 2 + 6 Üslü ifadeleri hesaplayalım: P ( 2 ) = 8 - 4 · 4 + 2 + 6 Çarpma işlemini yapalım: P ( 2 ) = 8 - 16 + 2 + 6 Toplayıp çıkaralım: P ( 2 ) = 0 Demek ki ( x - 2 ) ile bölümünden kalan 0 olur. Şıklarda 0 değeri şıkkıB514dır. Dolayısıyla doğru cevap B538 ve bu kontrol sonucu A doğrudur.

1. Çözüm: Bölme işlemi ( x - 2 ) ile yapıldığı için Kalan Teoremi ni kullanırız. Kalan Teoremi: Bir polinomun ( x - a ) ile bölümünden kalan P ( a ) değerine eşittir. Burada a = 2 olduğundan kalan P ( 2 ) olacaktır. Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 4 x 2 + x + 6 Şimdi x = 2 yazalım: P ( 2 ) = 2 3 - 4 2 2 + 2 + 6 Üslü ifadeleri hesaplayalım: P ( 2 ) = 8 - 4 · 4 + 2 + 6 Çarpma işlemini yapalım: P ( 2 ) = 8 - 16 + 2 + 6 Toplayıp çıkaralım: P ( 2 ) = 0 Demek ki ( x - 2 ) ile bölümünden kalan 0 olur. Şıklarda 0 değeri şıkkıB514dır. Dolayısıyla doğru cevap B538 ve bu kontrol sonucu A doğrudur.

Doğru cevap: B

[1,5) aralığında 1 dahil, 5 dahil değildir.

1. Adım 1: Soruda verilen sayı özelliğini veya işlemi belirle.
2. Adım 2: [1,5) aralığında 1 dahil, 5 dahil değildir.

Doğru cevap: C

Doğru seçenek C ’dir. Verilen fonksiyon: f ( x ) = a x + b c x - a Koşuldan: f ( 0 ) = 2 Hesaplayalım: f ( 0 ) = a ⋅ 0 + b c ⋅ 0 - a = b - a Bu değer 2 olduğuna göre: b - a = 2 Buradan: b = - 2 a Diğer koşul: f ( 3 ) = 1 Yerine yazalım: f ( 3 ) = 3 a + b 3 c - a = 1 Çapraz çarpım: 3 a + b = 3 c - a Düzenleyelim: 4 a + b = 3 c b = - 2 a yerine yazalım: 4 a - 2 a = 3 c Buradan: 2 a = 3 c ⇒ c = 2 3 a f ( f ( x ) ) = x koşulu bu tip dönüşümlerde (payda c x - a olacak şekilde) zaten sağlanır; verilen değerlerle çelişen ek bir denklem getirmez. Dolayısıyla bulunan b ve c ile devam edebiliriz. Şimdi istenen değeri bulalım: f ( 1 ) = a + b c - a b = - 2 a ve c = 2 3 a yerine yazalım: f ( 1 ) = a - 2 a 2 3 a - a Pay ve paydayı sadeleştirelim: f ( 1 ) = - a 2 3 a - 3 3 a = - a - 1 3 a = 3 Sonuç: f ( 1 ) = 3

1. Çözüm: Doğru seçenek C ’dir. Verilen fonksiyon: f ( x ) = a x + b c x - a Koşuldan: f ( 0 ) = 2 Hesaplayalım: f ( 0 ) = a ⋅ 0 + b c ⋅ 0 - a = b - a Bu değer 2 olduğuna göre: b - a = 2 Buradan: b = - 2 a Diğer koşul: f ( 3 ) = 1 Yerine yazalım: f ( 3 ) = 3 a + b 3 c - a = 1 Çapraz çarpım: 3 a + b = 3 c - a Düzenleyelim: 4 a + b = 3 c b = - 2 a yerine yazalım: 4 a - 2 a = 3 c Buradan: 2 a = 3 c ⇒ c = 2 3 a f ( f ( x ) ) = x koşulu bu tip dönüşümlerde (payda c x - a olacak şekilde) zaten sağlanır; verilen değerlerle çelişen ek bir denklem getirmez. Dolayısıyla bulunan b ve c ile devam edebiliriz. Şimdi istenen değeri bulalım: f ( 1 ) = a + b c - a b = - 2 a ve c = 2 3 a yerine yazalım: f ( 1 ) = a - 2 a 2 3 a - a Pay ve paydayı sadeleştirelim: f ( 1 ) = - a 2 3 a - 3 3 a = - a - 1 3 a = 3 Sonuç: f ( 1 ) = 3

Doğru cevap: B

Monik (baş katsayısı bir) üçüncü dereceden polinomu genel biçimde yazalım: P ( x ) = x 3 + a x 2 + b x + c Verilen değerlere göre sırasıyla denklemleri yazalım: P ( 1 ) = 2 1 + a + b + c = 2 a + b + c = 1 P ( 2 ) = 5 8 + 4 a + 2 b + c = 5 4 a + 2 b + c = - 3 P ( 3 ) = 10 27 + 9 a + 3 b + c = 10 9 a + 3 b + c = - 17 Şimdi sistemi çözelim. İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım: ( 4 a + 2 b + c ) - ( a + b + c ) = - 3 - 1 3 a + b = - 4 Üçüncü denklemden ikinci denklemi çıkaralım: ( 9 a + 3 b + c ) - ( 4 a + 2 b + c ) = - 17 - ( - 3 ) 5 a + b = - 14 Bu iki denklemi birbirinden çıkaralım: ( 5 a + b ) - ( 3 a + b ) = - 14 - ( - 4 ) 2 a = - 10 a = - 5 Bulduğumuz değeri 3a+b=-4 denkleminde yerine koyup b’yi bulalım: 3 ( - 5 ) + b = - 4 - 15 + b = - 4 b = 11 Son olarak a+b+c=1 denkleminden c’yi bulalım: - 5 + 11 + c = 1 6 + c = 1 c = - 5 İstenen değer P(0) olduğundan: P ( 0 ) = c = - 5 Bu değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek B936 ’dır.

1. Çözüm: Monik (baş katsayısı bir) üçüncü dereceden polinomu genel biçimde yazalım: P ( x ) = x 3 + a x 2 + b x + c Verilen değerlere göre sırasıyla denklemleri yazalım: P ( 1 ) = 2 1 + a + b + c = 2 a + b + c = 1 P ( 2 ) = 5 8 + 4 a + 2 b + c = 5 4 a + 2 b + c = - 3 P ( 3 ) = 10 27 + 9 a + 3 b + c = 10 9 a + 3 b + c = - 17 Şimdi sistemi çözelim. İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım: ( 4 a + 2 b + c ) - ( a + b + c ) = - 3 - 1 3 a + b = - 4 Üçüncü denklemden ikinci denklemi çıkaralım: ( 9 a + 3 b + c ) - ( 4 a + 2 b + c ) = - 17 - ( - 3 ) 5 a + b = - 14 Bu iki denklemi birbirinden çıkaralım: ( 5 a + b ) - ( 3 a + b ) = - 14 - ( - 4 ) 2 a = - 10 a = - 5 Bulduğumuz değeri 3a+b=-4 denkleminde yerine koyup b’yi bulalım: 3 ( - 5 ) + b = - 4 - 15 + b = - 4 b = 11 Son olarak a+b+c=1 denkleminden c’yi bulalım: - 5 + 11 + c = 1 6 + c = 1 c = - 5 İstenen değer P(0) olduğundan: P ( 0 ) = c = - 5 Bu değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek B936 ’dır.