AYT Matematik Türev Soru Çözümleri | Dersler

İlk 12 soru

Çözümlü test soruları

Bu sayfada sınırlı sayıda soru ve doğru cevap gösterilir. Konu kazanımlarını ve çözüm adımlarını birlikte değerlendirebilirsin.

Test çözmeye başla

1. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Türev 1 - 1

Doğru cevap: A

Aşağıdaki fonksiyonun türevini bulun:

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

$f' (x)$ kaçtır?

1 - \frac{1}{x^{2}}

1 + \frac{1}{x^{2}}

\frac{2 x}{x^{2} + 1}

\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}

Çözüm

Önce fonksiyonu daha kolay türev alacağımız biçime dönüştürelim. (Tanım gereği paydada x olduğundan x sıfır olamaz.)

x \neq 0

Verilen fonksiyon:

f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}

Payı iki terime ayırıp her birini x'e bölelim:

f (x) = \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x}

Sadeleştirince:

f (x) = x + \frac{1}{x}

Şimdi terim terim türev alalım:

f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})

Birinci terim:

\frac{d}{d x} (x) = 1

İkinci terimi kuvvet şeklinde yazalım ve kuvvet kuralını uygulayalım:

\frac{1}{x} = x^{- 1}

\frac{d}{d x} (x^{- 1}) = - 1 \cdot x^{- 2}

Hepsini birleştirirsek:

f' (x) = 1 - x^{- 2}

Sonucu kesirli biçimde yazalım:

f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}

Bu ifade şıklardan A ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap A'dır.

2. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Türev 1 - 2

Doğru cevap: A

Aşağıdaki $f$ fonksiyonu için $x = 1$ noktasındaki teğetin eğimi kaçtır?

$f (x) = x^{3} - 2 x$

1

2

3

- 1

Çözüm

Önce fonksiyonun türevini alıp teğetin eğimini bulacağız.

$f (x) = x^{3} - 2 x$

Türevi:

$\frac{d}{d x} [f (x)] = \frac{d}{d x} [x^{3}] - \frac{d}{d x} [2 x]$

Kuralları uygulayalım:

$f' (x) = 3 x^{2} - 2$

Teğetin eğimi, türevin ilgili noktadaki değeridir. Nokta:

$x = 1$

Yerine yazalım:

$f' (1) = 3 1^{2} - 2$

Hesaplayalım:

$f' (1) = 3 - 2 = 1$

Sonuç: Teğetin eğimi A şıkkı ile aynıdır.

3. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Türev 1 - 3

Doğru cevap: A

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ için $f' (1)$ değeri kaçtır?

- 3

3

- 6

0

Çözüm

Önce fonksiyonun türevini alalım.

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2

Terim terim türev alırsak:

f' (x) = 3 x^{2} - 6 x

Şimdi türevde yerine koyma yapalım.

f' (1) = 3 1^{2} - 6 \cdot 1

f' (1) = 3 - 6 = - 3

Doğru seçenek: A

4. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Türev 1 - 4

Doğru cevap: A

Aşağıdaki fonksiyonun türevini bulun:

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

1 - \frac{1}{x^{2}}

1 + \frac{1}{x^{2}}

2 x - \frac{1}{x^{2}}

\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}

Çözüm

Şıklardan A seçeneğinin doğru olup olmadığını kontrol edelim.

Verilen fonksiyon:

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

1) Önce fonksiyonu daha kolay türev alacağımız biçime ayıralım:

$f (x) = \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

2) Sadeleştirelim:

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

3) Şimdi türev alalım (terim terim):

$f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (x + \frac{1}{x})$

4) Türevleri ayrı ayrı hesaplayalım:

$\frac{d}{d x} (x) = 1$

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) = \frac{d}{d x} (x^{- 1}) = - x^{- 2}$

5) Sonucu birleştirelim:

$f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Bu ifade A şıkkı ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap A.

Not: Tanım gereği

$x \neq 0$

5. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Türev 1 - 5

Doğru cevap: A

Aşağıdaki fonksiyon için $x \neq 0$ iken türevi bulunuz:

f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}

x^{0} - \frac{1}{x^{2}}

x^{0} + \frac{1}{x^{2}}

\frac{2 x - 1}{x^{2}}

\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}

Çözüm

Verilen fonksiyon:

f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}

Önce sadeleştirerek daha kolay türev alalım (bölme işlemini terimlere ayırıyoruz):

f (x) = \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x}

Şimdi her terimi ayrı yazalım:

f (x) = x + x^{- 1}

Türev alalım:

f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (x^{- 1})

Bilinen türevler:

\frac{d}{d x} (x) = 1

\frac{d}{d x} (x^{- 1}) = - 1 \cdot x^{- 2}

Birleştirince:

f^{'} (x) = 1 - x^{- 2}

İstenirse kesirli biçimde yazalım:

f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}

Şıklarla karşılaştırma: A şıkkı

x^{0} - \frac{1}{x^{2}}

ifadesidir ve

x^{0} = 1

olduğu için doğru cevap A’dır.

6. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Türev 1 - 6

Doğru cevap: A

Aşağıda verilen fonksiyon için $x = 4$ noktasındaki türev değerini bulun.

$f (x) = (x^{2} + 1) \sqrt{x}$

\frac{81}{4}

\frac{81}{8}

\frac{65}{4}

\frac{79}{4}

Çözüm

Verilen fonksiyon:

f (x) = (x^{2} + 1) \sqrt{x}

Önce daha kolay türev almak için çarpımı üslü biçime dönüştürelim:

\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

f (x) = (x^{2} + 1) x^{\frac{1}{2}}

Dağıtalım:

f (x) = x^{2 + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}

f (x) = x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}}

Kuvvet kuralı ile türev alalım:

x^{a} \to a x^{a - 1}

f^{'} (x) = \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}

f^{'} (x) = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}

Şimdi x=4 için yerine yazalım:

f^{'} (4) = \frac{5}{2} 4^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} 4^{- \frac{1}{2}}

Üslü değerleri hesaplayalım:

4^{\frac{3}{2}} = {\sqrt{4}}^{3} = 2^{3} = 8

4^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}

Toplayalım:

f^{'} (4) = \frac{5}{2} \times 8 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}

f^{'} (4) = 20 + \frac{1}{4}

f^{'} (4) = \frac{81}{4}

Sonuç: Doğru cevap şık A'dır.

7. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Türev 1 - 7

Doğru cevap: A

Aşağıdaki fonksiyonun $x = 1$ noktasındaki türevi kaçtır?

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

0

1

2

- 1

Çözüm

Şık A’nın doğru olup olmadığını kontrol edelim ve türevi adım adım bulalım.

Verilen fonksiyon:

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Önce fonksiyonu daha kolay türev alacağımız biçime ayıralım:

$f (x) = \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Sadeleştirelim:

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

Şimdi türev alalım:

$f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (x + \frac{1}{x})$

Parça parça türev:

$\frac{d}{d x} (x) = 1$

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) = \frac{d}{d x} (x^{- 1}) = - x^{- 2}$

Dolayısıyla:

$f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Şimdi istenen noktada değerini bulalım:

$f^{'} (1) = 1 - \frac{1}{1^{2}} = 1 - 1 = 0$

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

8. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Türev 1 - 8

Doğru cevap: B

Aşağıdaki fonksiyonun

$x = 2$

noktasındaki türev değerini bulun.

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 1}$

1

- 1

- 2

0

Çözüm

Verilen fonksiyon:

f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 1}

Türev almak için bölümü daha kolay bir forma dönüştürelim (polinom bölmesi):

\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{2}{x - 1}

Bu durumda fonksiyon:

f (x) = x + 1 + 2 (x - 1)^{- 1}

Şimdi türev alalım:

f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (2 (x - 1)^{- 1})

Türevleri hesaplayalım:

f^{'} (x) = 1 + 0 + 2 \cdot - 1 \cdot (x - 1)^{2} - 1

Daha düzenli yazalım:

f^{'} (x) = 1 - \frac{2}{{x - 1}^{2}}

Şimdi türevin $x = 2$ noktasındaki değerini bulalım:

f^{'} (2) = 1 - \frac{2}{{2 - 1}^{2}}

İşlemi tamamlayalım:

f^{'} (2) = 1 - \frac{2}{1^{2}} = 1 - 2 = - 1

Sonuç şık B ile aynıdır; dolayısıyla B doğrudur.

9. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Türev 1 - 9

Doğru cevap: B

Aşağıdaki fonksiyon için türev değeri isteniyor:

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

$f^{'} (1)$ kaçtır?

1

0

2

- 2

Çözüm

Verilen fonksiyon:

f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}

Önce ifadeyi daha kolay türev alınacak biçimde sadeleştirelim:

f (x) = \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x}

Kesirleri sadeleştirince:

f (x) = x + \frac{1}{x}

Şimdi türev alalım:

f^{'} (x) = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]

Türevler:

f^{'} (x) = 1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]

Kuvvet kuralı:

f^{'} (x) = 1 + (- 1) x^{- 2}

Daha düzenli yazarsak:

f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}

İstenen değer:

f^{'} (1) = 1 - \frac{1}{1^{2}} = 1 - 1 = 0

Sonuç olarak doğru seçenek:

B

10. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Türev 1 - 10

Doğru cevap: A

Aşağıdaki fonksiyon için türev değerini bulun:

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

$f^{'} (2)$ kaçtır?

\frac{3}{4}

\frac{5}{4}

- \frac{3}{4}

\frac{1}{4}

Çözüm

Önce fonksiyonu sadeleştirelim:

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x}$

Şimdi türev alalım:

$f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (x + \frac{1}{x}) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Parçalara ayırıp türevleri yazalım:

$\frac{d}{d x} (x) = 1$

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) = \frac{d}{d x} (x^{- 1}) = - x^{- 2} = - \frac{1}{x^{2}}$

Buna göre türev fonksiyonu:

$f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Şimdi x=2 için hesaplayalım:

$f^{'} (2) = 1 - \frac{1}{2^{2}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

11. soru

Çözümlü soru 11

Doğru cevap: B

Tanımlı olduğu aralıkta x>0 olmak üzere f(x)=(^ln(x))x fonksiyonu veriliyor.

Buna göre f^′(e) kaçtır?

0

1

e

\frac{1}{e}

Çözüm

Cevabı kontrol edelim: Doğru seçenek B’dir.

Verilen fonksiyon:

f (x) = {(\ln (x))}^{x}

Üstel tipte ifade olduğu için logaritmik türev alalım:

y = {(\ln (x))}^{x}

\ln (y) = x \cdot \ln (\ln (x))

Her iki tarafın türevini alalım:

\frac{y^{'}}{y} = \frac{d}{d x} [x \cdot \ln (\ln (x))]

Sağ taraf için çarpım türevi:

\frac{y^{'}}{y} = \ln (\ln (x)) + x \cdot \frac{1}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x}

Sadeleştirelim:

\frac{y^{'}}{y} = \ln (\ln (x)) + \frac{1}{\ln (x)}

Buradan türevi yalnız bırakalım:

y^{'} = y \cdot (\ln (\ln (x)) + \frac{1}{\ln (x)})

f^{'} (x) = {(\ln (x))}^{x} \cdot (\ln (\ln (x)) + \frac{1}{\ln (x)})

Şimdi x = e için hesaplayalım:

\ln (e) = 1

\ln (\ln (e)) = \ln (1) = 0

{(\ln (e))}^{e} = 1^{e} = 1

Sonuç:

f^{'} (e) = 1 \cdot (0 + 1) = 1

Bu değer şıklarda B seçeneğidir.

12. soru

Çözümlü soru 12

Doğru cevap: A

Aşağıda tanımlı fonksiyon için istenen türev değerini bulunuz:

$f (x) = {\ln (x)}^{x} \cdot x^{\ln (x)}$

$f^{'} (e)$ kaçtır?

e + 2

e + 1

2 e

e - 2

Çözüm

Önce fonksiyonu okuyalım ve türev için logaritmik türev yöntemini kullanalım.

f (x) = {\ln (x)}^{x} \cdot x^{\ln (x)}

Logaritma alalım.

y = f (x)

ln(y)=ln(l^n(x)x⋅x^ln(x))

Çarpımın logaritmasını açalım ve üsleri başa indirelim.

ln(y)=ln(l^n(x)x)+ln(x^ln(x)) ln(y)=x⋅ln(ln(x))+ln(x)⋅ln(x) ln(y)=x⋅ln(ln(x))+l^n(x)2

Her iki tarafın türevini alalım. Sol tarafın türevi zincir kuralıyla alınır.

\frac{y^{'}}{y} = \frac{d}{d x} (x \cdot \ln (\ln (x)) + {\ln (x)}^{2})

Sağ tarafta iki parçayı ayrı türevleyelim.

Birinci parça için çarpım kuralı:

(d)/(dx)(x⋅ln(ln(x)))=ln(ln(x))+x⋅1xln(x)

Buradan sadeleşen ifade:

(d)/(dx)(x⋅ln(ln(x)))=ln(ln(x))+1ln(x)

İkinci parça için zincir kuralı:

\frac{d}{d x} ({\ln (x)}^{2}) = 2 \cdot \ln (x) \cdot \frac{1}{x}

Hepsini birleştirerek oranı yazalım.

\frac{y^{'}}{y} = \ln (\ln (x)) + \frac{1}{\ln (x)} + 2 \cdot \ln (x) \cdot \frac{1}{x}

Buradan türevi yalnız bırakalım.

y^{'} = y \cdot (\ln (\ln (x)) + \frac{1}{\ln (x)} + 2 \cdot \ln (x) \cdot \frac{1}{x})

Şimdi istenen noktada önce fonksiyon değerini bulalım.

y = f (e) = {\ln (e)}^{e} \cdot e^{\ln (e)}

y = 1^{e} \cdot e^{1} = e

Parantez içindeki ifadeyi aynı noktada hesaplayalım.

\ln (\ln (e)) = \ln (1) = 0

\frac{1}{\ln (e)} = \frac{1}{1} = 1

2 \cdot \ln (e) \cdot \frac{1}{e} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{e} = \frac{2}{e}

Artık türevi hesaplayalım.

f^{'} (e) = e \cdot (0 + 1 + \frac{2}{e})

f^{'} (e) = e \cdot (1 + \frac{2}{e}) = e + 2

Sonuç şıklardan kontrol edilirse doğru seçenek A’dır.

Blog

Türev için blog rehberleri

2027 AYT Matematik limit, türev ve integral çalışma sırası rehberi

TYT-AYT

2027 AYT Matematik Konuları: Limit, Türev, İntegral Ne Zaman Çalışılmalı?

2027 AYT Matematikte limit, türev ve integral ne zaman çalışılmalı? Ön koşullar, ideal konu sırası, ay ay plan, haftalık program ve son ay tekrar stratejisi.

AYT Matematikte 20 net üstüne çıkmak için çalışma stratejisi

TYT-AYT

AYT Matematikte 20 Net Üstüne Çıkmak İçin Strateji

AYT Matematikte 20 net üstüne çıkmak için konu önceliği, 8 haftalık çalışma planı, deneme analizi, süre yönetimi ve yanlış defteri stratejisi.

AYT Matematikte grafik yorumlama ve grafik soruları çalışma rehberi

TYT-AYT

AYT Matematikte Grafik Yorumlama Nasıl Çalışılır?

AYT Matematikte grafik yorumlama için fonksiyon, parabol, trigonometri, limit, türev ve integral grafiklerini okuma yöntemi, haftalık plan ve deneme stratejisi.