AYT Matematik İntegral Soru Çözümleri | Dersler

İlk 12 soru

Çözümlü test soruları

Bu sayfada sınırlı sayıda soru ve doğru cevap gösterilir. Konu kazanımlarını ve çözüm adımlarını birlikte değerlendirebilirsin.

Test çözmeye başla

1. soru

AYT - Matematik - Orta Test - İntegral 1 - 1

Doğru cevap: B

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

\frac{1}{2} \ln (2)

\ln (2)

\frac{1}{4} \ln (2)

\frac{1}{2}

Çözüm

İntegral:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

Paydadaki ifadenin türevine dikkat edelim:

\frac{d}{d} x (x^{2} + 1) = 2 x

Bu nedenle uygun değişken dönüşümü yapalım:

u = x^{2} + 1

d u = 2 x d x

Sınırları da dönüştürelim:

x = 0 \Rightarrow u = 0^{2} + 1 = 1

x = 1 \Rightarrow u = 1^{2} + 1 = 2

İntegrali yeni değişkenle yazalım:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u

Şimdi integral alınır:

\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u = {\ln (u)}_{1}^{2}

Sınırları uygularsak:

{\ln (u)}_{1}^{2} = \ln (2) - \ln (1)

Son olarak:

\ln (1) = 0

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \ln (2)

Bu sonuç şıklardan B ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B’dir.

2. soru

AYT - Matematik - Orta Test - İntegral 1 - 2

Doğru cevap: A

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

\ln 2

\frac{1}{2} \ln 2

2 \ln 2

1

Çözüm

Kontrol: Sonuç A şıkkıdır.

Verilen integral:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

Paydadaki ifadeye uygun değişken dönüşümü yapalım:

u = x^{2} + 1

Türev alalım:

d u = 2 x d x

Sınırları yeni değişkene göre dönüştürelim:

x = 0 \Rightarrow u = 1

x = 1 \Rightarrow u = 2

İntegrali u cinsinden yazalım:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u

Şimdi integrali alalım:

\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u = {\ln u}_{1}^{2}

Sınırları uygulayalım:

{\ln u}_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2

Sonuç:

\ln 2

Bu değer şıklardan A ile aynıdır.

3. soru

AYT - Matematik - Orta Test - İntegral 1 - 3

Doğru cevap: A

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

\ln 2

2 \ln 2

\frac{1}{2} \ln 2

1

Çözüm

Verilen integral:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

Paydadaki ifadeyi türevine benzetmek için değişken dönüşümü seçelim:

u = x^{2} + 1

Bu dönüşümün diferansiyelini alalım:

d u = 2 x d x

Sınırları yeni değişkene çevirelim:

x = 0 \Rightarrow u = 1

x = 1 \Rightarrow u = 2

İntegrali yeni değişkene göre yazalım:

\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u

Şimdi integralin sonucunu bulalım:

\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u = {\ln | u |}_{1}^{2}

Sınırları yerine yazıp sadeleştirelim:

\ln 2 - \ln 1 = \ln 2

Sonuç şıklarla karşılaştırılırsa doğru cevap:

\ln 2

Dolayısıyla A şıkkı doğrudur.

4. soru

AYT - Matematik - Orta Test - İntegral 1 - 4

Doğru cevap: A

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

\ln 2

\frac{1}{2} \ln 2

1

2

Çözüm

1) Doğru şık kontrolü: İntegralin sonucu aşağıdaki değere eşit olduğundan doğru cevap A’dır.

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \ln 2

2) Uygun değişken dönüşümünü seçelim:

u = x^{2} + 1

3) Türev alıp diferansiyeli yazalım:

\frac{d u}{d x} = 2 x

d u = 2 x d x

4) İntegrali dönüşümle yeniden yazalım:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \int_{u (0)}^{u (1)} \frac{d u}{u}

5) Yeni sınırları bulalım:

u (0) = 0^{2} + 1 = 1

u (1) = 1^{2} + 1 = 2

6) İntegrali hesaplayalım:

\int_{1}^{2} \frac{d u}{u} = {\ln u}_{1}^{2}

7) Sınırları uygulayıp sonucu yazalım:

{\ln u}_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2

5. soru

AYT - Matematik - Orta Test - İntegral 1 - 5

Doğru cevap: C

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.

\int_{0}^{1} (2 x + 1) d x

1

\frac{3}{2}

2

\frac{5}{2}

Çözüm

Verilen integral:

\int_{0}^{1} (2 x + 1) d x

Önce integrali parçalayalım:

\int_{0}^{1} (2 x + 1) d x = \int_{0}^{1} 2 x d x + \int_{0}^{1} 1 d x

Şimdi her birinin belirsiz integralini alalım (ilkel fonksiyon):

\int 2 x d x = x^{2}

\int 1 d x = x

Buna göre belirli integral, ilkel fonksiyonun sınırlar arasında hesaplanmasıdır:

\int_{0}^{1} (2 x + 1) d x = {(x^{2} + x)}_{0}^{1}

Üst sınır ve alt sınır değerlerini yerine koyalım:

{(x^{2} + x)}_{0}^{1} = (1^{2} + 1) - (0^{2} + 0)

Sonucu sadeleştirelim:

(1 + 1) - (0 + 0) = 2

Kontrol: Sonuç C şıkkıdır.

6. soru

AYT - Matematik - Orta Test - İntegral 2 - 1

Doğru cevap: A

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

\ln (x^{2} + 1) + C

2 \ln (x^{2} + 1) + C

\arctan (x) + C

(x^{2} + 1) + C

Çözüm

İntegral:

\int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

Paydada bulunan ifadenin türevi payda (çarpan olarak) göründüğü için değişken dönüşümü yapalım:

u = x^{2} + 1

Türev alalım:

d u = 2 x d x

Bu dönüşümle integral:

\int \frac{2 x d x}{x^{2} + 1} = \int \frac{d u}{u}

Logaritma integrali kuralı:

\int \frac{d u}{u} = \ln (u) + C

Geri dönüş yapalım:

\ln (u) + C = \ln (x^{2} + 1) + C

Sonuç şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap A.

7. soru

AYT - Matematik - Orta Test - İntegral 2 - 2

Doğru cevap: A

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

\ln 2

\frac{1}{2} \ln 2

1

2 \ln 2

Çözüm

Soru: Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

1) Doğru şık kontrolü: İntegral, paydası (x²+1) olan ve payı bunun türevini içeren bir formdadır. Bu nedenle sonuç logaritma olacaktır; şıklar içinde uygun olan A’dır.

2) Yer değiştirme (substitution) yapalım:

u = x^{2} + 1

3) Türev alalım:

d u = 2 x d x

4) Bu durumda integralin içi doğrudan du/u biçimine dönüşür:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \int_{u (0)}^{u (1)} \frac{d u}{u}

5) Yeni sınırları bulalım:

u (0) = 0^{2} + 1 = 1

u (1) = 1^{2} + 1 = 2

6) İntegrali hesaplayalım:

\int_{1}^{2} \frac{d u}{u} = {\ln u}_{1}^{2}

7) Sınırları uygulayalım:

{\ln u}_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2

Sonuç:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \ln 2

Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır.

8. soru

AYT - Matematik - Orta Test - İntegral 2 - 4

Doğru cevap: A

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

\ln 2

\frac{1}{2} \ln 2

2 \ln 2

1

Çözüm

Sorudaki belirli integral:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

Değişken dönüşümü seçelim:

u = x^{2} + 1

Türev alalım:

\frac{d u}{d x} = 2 x

Buradan:

d u = 2 x d x

Sınırları yeni değişkene çevirelim:

x = 0 \Rightarrow u = 0^{2} + 1 = 1

x = 1 \Rightarrow u = 1^{2} + 1 = 2

İntegrali dönüştürelim:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u

Logaritma integraliyle hesaplayalım:

\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u = {\ln | u |}_{1}^{2}

Sınırları yerine koyalım:

{\ln | u |}_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1

Sonucu sadeleştirelim:

\ln 2 - \ln 1 = \ln 2

Doğru seçenek kontrolü:

\ln 2

Bu sonuç şıklar içinde A ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap A’dır.

9. soru

AYT - Matematik - Orta Test - İntegral 2 - 5

Doğru cevap: A

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

\ln 2

\frac{1}{2} \ln 2

\ln 3

1

Çözüm

1) Doğru şık kontrolü: İntegralin sonucu A şıkkıyla eşleşiyor.

Verilen integral:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

2) Uygun yerine koyma yapalım:

u = x^{2} + 1

Türevi alalım:

d u = 2 x d x

Bu durumda integral şu hale gelir:

\int_{0}^{1} \frac{2 x d x}{x^{2} + 1} = \int_{u (0)}^{u (1)} \frac{d u}{u}

Yeni sınırları bulalım:

u (0) = 0^{2} + 1 = 1

u (1) = 1^{2} + 1 = 2

3) İntegrali hesaplayalım:

\int_{1}^{2} \frac{d u}{u} = {\ln (u)}_{1}^{2}

Sınırları uygulayalım:

{\ln (u)}_{1}^{2} = \ln (2) - \ln (1)

Son adım:

\ln (1) = 0 \Rightarrow \ln (2) - 0 = \ln (2)

4) Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \ln (2)

10. soru

AYT - Matematik - Orta Test - İntegral 2 - 3

Doğru cevap: B

Aşağıdaki değeri bulunuz:

$\int_{0}^{2} (2 x + 1) d x$

5

6

7

8

Çözüm

İstenen integral:

\int_{0}^{2} (2 x + 1) d x

Önce integrali parçalayalım:

\int_{0}^{2} (2 x + 1) d x = \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 1 d x

Belirsiz integral (antitürev) alalım:

\int (2 x + 1) d x = x^{2} + x + C

Şimdi 0 ile 2 arasında değerleyelim:

\int_{0}^{2} (2 x + 1) d x = {(x^{2} + x)}_{0}^{2}

Üst sınır ve alt sınır hesapları:

(2^{2} + 2) - (0^{2} + 0) = (4 + 2) - 0 = 6

Sonuç 6 olduğundan doğru seçenek B’dir.

11. soru

AYT - Matematik - Orta Test - İntegral 3 - 1

Doğru cevap: B

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.

\int_{0}^{2} (2 x + 1) d x

5

6

7

4

Çözüm

Önce verilen belirli integrali yazalım:

\int_{0}^{2} (2 x + 1) d x

İfadeyi terimlerine ayırarak integre edelim:

\int_{0}^{2} (2 x + 1) d x = \int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} 1 d x

Şimdi belirsiz integral (asal integral) alalım:

\int (2 x + 1) d x = \int 2 x d x + \int 1 d x = x^{2} + x + C

Belirli integral için sınırları uygularız:

\int_{0}^{2} (2 x + 1) d x = [x^{2} + x]_{0}^{2}

Üst ve alt sınırda değerleri hesaplayalım:

[x^{2} + x]_{0}^{2} = (2^{2} + 2) - (0^{2} + 0) = (4 + 2) - 0 = 6

Sonuç:

\int_{0}^{2} (2 x + 1) d x = 6

Bu değer şıklardan B ile aynıdır; yani doğru cevap B’dir.

12. soru

AYT - Matematik - Orta Test - İntegral 3 - 2

Doğru cevap: A

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.

\int_{0}^{1} (3 x^{2} + 2 x) d x

2

1

\frac{3}{2}

4

Çözüm

İstenen belirli integral:

\int_{0}^{1} (3 x^{2} + 2 x) d x

İfadeyi terim terim integre edelim:

\int_{0}^{1} (3 x^{2} + 2 x) d x = \int_{0}^{1} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x

Önce belirsiz integral (asal fonksiyon) bulalım:

\int (3 x^{2} + 2 x) d x = x^{3} + x^{2} + C

Şimdi sınırlar arasında değerleyelim:

\int_{0}^{1} (3 x^{2} + 2 x) d x = {x^{3} + x^{2}}_{0}^{1}

Üst sınır ve alt sınır hesapları:

{x^{3} + x^{2}}_{0}^{1} = (1^{3} + 1^{2}) - (0^{3} + 0^{2}) = 2

Sonuç:

\int_{0}^{1} (3 x^{2} + 2 x) d x = 2

Bu nedenle doğru şık A’dır.

Blog

İntegral için blog rehberleri

2027 AYT Matematik limit, türev ve integral çalışma sırası rehberi

TYT-AYT

2027 AYT Matematik Konuları: Limit, Türev, İntegral Ne Zaman Çalışılmalı?

2027 AYT Matematikte limit, türev ve integral ne zaman çalışılmalı? Ön koşullar, ideal konu sırası, ay ay plan, haftalık program ve son ay tekrar stratejisi.

AYT Matematikte 20 net üstüne çıkmak için çalışma stratejisi

TYT-AYT

AYT Matematikte 20 Net Üstüne Çıkmak İçin Strateji

AYT Matematikte 20 net üstüne çıkmak için konu önceliği, 8 haftalık çalışma planı, deneme analizi, süre yönetimi ve yanlış defteri stratejisi.

AYT Matematikte grafik yorumlama ve grafik soruları çalışma rehberi

TYT-AYT

AYT Matematikte Grafik Yorumlama Nasıl Çalışılır?

AYT Matematikte grafik yorumlama için fonksiyon, parabol, trigonometri, limit, türev ve integral grafiklerini okuma yöntemi, haftalık plan ve deneme stratejisi.