AYT Matematik İntegral Soru Çözümleri | Dersler

İlk 6 soru

Çözümlü test soruları

Bu sayfada sınırlı sayıda soru ve doğru cevap gösterilir. Tamamını çözmek, performansını takip etmek ve tekrar çalışmak için uygulamaya geçebilirsin.

Google PlayAndroid için indir App StoreiPhone ve iPad için indir

1. soru

AYT - Matematik - Orta Test - İntegral 1 - 1

Doğru cevap: B

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

\frac{1}{2} \ln (2)

\ln (2)

\frac{1}{4} \ln (2)

\frac{1}{2}

Çözüm

İntegral:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

Paydadaki ifadenin türevine dikkat edelim:

\frac{d}{d} x (x^{2} + 1) = 2 x

Bu nedenle uygun değişken dönüşümü yapalım:

u = x^{2} + 1

d u = 2 x d x

Sınırları da dönüştürelim:

x = 0 \Rightarrow u = 0^{2} + 1 = 1

x = 1 \Rightarrow u = 1^{2} + 1 = 2

İntegrali yeni değişkenle yazalım:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u

Şimdi integral alınır:

\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u = {\ln (u)}_{1}^{2}

Sınırları uygularsak:

{\ln (u)}_{1}^{2} = \ln (2) - \ln (1)

Son olarak:

\ln (1) = 0

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \ln (2)

Bu sonuç şıklardan B ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B’dir.

2. soru

AYT - Matematik - Orta Test - İntegral 1 - 2

Doğru cevap: A

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

\ln 2

\frac{1}{2} \ln 2

2 \ln 2

1

Çözüm

Kontrol: Sonuç A şıkkıdır.

Verilen integral:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

Paydadaki ifadeye uygun değişken dönüşümü yapalım:

u = x^{2} + 1

Türev alalım:

d u = 2 x d x

Sınırları yeni değişkene göre dönüştürelim:

x = 0 \Rightarrow u = 1

x = 1 \Rightarrow u = 2

İntegrali u cinsinden yazalım:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u

Şimdi integrali alalım:

\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u = {\ln u}_{1}^{2}

Sınırları uygulayalım:

{\ln u}_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2

Sonuç:

\ln 2

Bu değer şıklardan A ile aynıdır.

3. soru

AYT - Matematik - Orta Test - İntegral 1 - 3

Doğru cevap: A

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

\ln 2

2 \ln 2

\frac{1}{2} \ln 2

1

Çözüm

Verilen integral:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

Paydadaki ifadeyi türevine benzetmek için değişken dönüşümü seçelim:

u = x^{2} + 1

Bu dönüşümün diferansiyelini alalım:

d u = 2 x d x

Sınırları yeni değişkene çevirelim:

x = 0 \Rightarrow u = 1

x = 1 \Rightarrow u = 2

İntegrali yeni değişkene göre yazalım:

\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u

Şimdi integralin sonucunu bulalım:

\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u = {\ln | u |}_{1}^{2}

Sınırları yerine yazıp sadeleştirelim:

\ln 2 - \ln 1 = \ln 2

Sonuç şıklarla karşılaştırılırsa doğru cevap:

\ln 2

Dolayısıyla A şıkkı doğrudur.

4. soru

AYT - Matematik - Orta Test - İntegral 1 - 4

Doğru cevap: A

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

\ln 2

\frac{1}{2} \ln 2

1

2

Çözüm

1) Doğru şık kontrolü: İntegralin sonucu aşağıdaki değere eşit olduğundan doğru cevap A’dır.

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \ln 2

2) Uygun değişken dönüşümünü seçelim:

u = x^{2} + 1

3) Türev alıp diferansiyeli yazalım:

\frac{d u}{d x} = 2 x

d u = 2 x d x

4) İntegrali dönüşümle yeniden yazalım:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \int_{u (0)}^{u (1)} \frac{d u}{u}

5) Yeni sınırları bulalım:

u (0) = 0^{2} + 1 = 1

u (1) = 1^{2} + 1 = 2

6) İntegrali hesaplayalım:

\int_{1}^{2} \frac{d u}{u} = {\ln u}_{1}^{2}

7) Sınırları uygulayıp sonucu yazalım:

{\ln u}_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2

5. soru

AYT - Matematik - Orta Test - İntegral 1 - 5

Doğru cevap: C

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.

\int_{0}^{1} (2 x + 1) d x

1

\frac{3}{2}

2

\frac{5}{2}

Çözüm

Verilen integral:

\int_{0}^{1} (2 x + 1) d x

Önce integrali parçalayalım:

\int_{0}^{1} (2 x + 1) d x = \int_{0}^{1} 2 x d x + \int_{0}^{1} 1 d x

Şimdi her birinin belirsiz integralini alalım (ilkel fonksiyon):

\int 2 x d x = x^{2}

\int 1 d x = x

Buna göre belirli integral, ilkel fonksiyonun sınırlar arasında hesaplanmasıdır:

\int_{0}^{1} (2 x + 1) d x = {(x^{2} + x)}_{0}^{1}

Üst sınır ve alt sınır değerlerini yerine koyalım:

{(x^{2} + x)}_{0}^{1} = (1^{2} + 1) - (0^{2} + 0)

Sonucu sadeleştirelim:

(1 + 1) - (0 + 0) = 2

Kontrol: Sonuç C şıkkıdır.

6. soru

AYT - Matematik - Orta Test - İntegral 2 - 1

Doğru cevap: A

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.

$\int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

\ln (x^{2} + 1) + C

2 \ln (x^{2} + 1) + C

\arctan (x) + C

(x^{2} + 1) + C

Çözüm

İntegral:

\int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

Paydada bulunan ifadenin türevi payda (çarpan olarak) göründüğü için değişken dönüşümü yapalım:

u = x^{2} + 1

Türev alalım:

d u = 2 x d x

Bu dönüşümle integral:

\int \frac{2 x d x}{x^{2} + 1} = \int \frac{d u}{u}

Logaritma integrali kuralı:

\int \frac{d u}{u} = \ln (u) + C

Geri dönüş yapalım:

\ln (u) + C = \ln (x^{2} + 1) + C

Sonuç şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap A.

Numicorn uygulaması

İntegral çalışmasını uygulamada sürdür.

Sorularını çözdür, tekrarlarını takip et ve eksiklerini daha düzenli gör.

Soru çözümüKonu tekrarıGelişim takibi

Google PlayAndroid için indir App StoreiPhone ve iPad için indir