AYT Matematik Logaritma Soru Çözümleri | Dersler

İlk 12 soru

Çözümlü test soruları

Bu sayfada sınırlı sayıda soru ve doğru cevap gösterilir. Konu kazanımlarını ve çözüm adımlarını birlikte değerlendirebilirsin.

Test çözmeye başla

1. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Logaritma 1 - 1

Doğru cevap: A

Aşağıdaki eşitliği sağlayan $x$ değeri kaçtır?

$\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 1) = 3$

3

- 3

2

\sqrt{10}

Çözüm

Önce şıkları kontrol edelim: Verilen denklemden tek uygun çözüm A şıkkı çıkacaktır.

1) Tanım koşulu (logaritmanın içi pozitif olmalı):

x - 1 > 0

x + 1 > 0

Bu iki koşul birlikte:

x > 1

2) Logaritma toplama kuralını uygulayalım:

log2(x-1)+log2(x+1)=log2((x-1)(x+1))

Dolayısıyla denklem:

\log_{2} ((x - 1) (x + 1)) = 3

3) Logaritmanın tanımına göre:

(x - 1) (x + 1) = 2^{3}

4) Sağ tarafı ve sol tarafı düzenleyelim:

(x - 1) (x + 1) = 8

x^{2} - 1 = 8

5) Çözümü bulalım:

x^{2} = 9

x = \pm 3

6) Tanım koşuluna göre yalnızca $x > 1$ olmalı, bu yüzden:

x = 3

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

2. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Logaritma 1 - 2

Doğru cevap: A

Aşağıdaki denklemi sağlayan $x$ değerini bulunuz:

\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 1) = 3

3

- 3

1

5

Çözüm

Denklem:

\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 1) = 3

Tanım koşulu için logaritmaların içi pozitif olmalı:

x - 1 > 0

x + 1 > 0

Buradan:

x > 1

Logaritma kuralı:

log2a+log2b=log2ab

Uygulayalım:

\log_{2} (x - 1) (x + 1) = 3

Çarpımı açalım:

(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1

Denklem:

\log_{2} x^{2} - 1 = 3

Logaritmanın tanımı ile üsse geçelim:

2^{3} = x^{2} - 1

Hesaplayalım:

8 = x^{2} - 1

x^{2} = 9

Kök alalım:

x = \pm 3

Tanım koşulu:

x > 1

Bu nedenle:

x = 3

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

x = 3

3. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Logaritma 1 - 3

Doğru cevap: A

Aşağıdaki eşitliği sağlayan $x$ değeri kaçtır?

\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 1) = 3

3

- 3

1

4

Çözüm

1) Tanım kümesi (logaritmanın içi pozitif olmalı):

x - 1 > 0

x + 1 > 0

Bu iki koşul birlikte:

x > 1

2) Logaritma kuralı: Aynı tabanlı logaritmaların toplamı, çarpımın logaritmasına eşittir.

log2(x-1)+log2(x+1)=log2((x-1)(x+1))

3) Bu kuralı denkleme uygularsak:

\log_{2} ((x - 1) (x + 1)) = 3

4) Logaritma tanımı gereği:

((x - 1) (x + 1)) = 2^{3}

((x - 1) (x + 1)) = 8

5) Çarpımı açalım:

(x - 1) (x + 1) = 8

x^{2} - 1 = 8

6) Çözüm:

x^{2} = 9

x = \pm 3

Tanım gereği:

x > 1

Bu yüzden:

x = 3

Sonuç: Doğru cevap şıkkı A'dır.

4. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Logaritma 1 - 5

Doğru cevap: A

Aşağıdaki denklemi sağlayan $x$ değeri kaçtır?

$\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 3) = 3$

- 1 + 2 \sqrt{3}

- 1 - 2 \sqrt{3}

1 + 2 \sqrt{3}

2 + 2 \sqrt{3}

Çözüm

Verilen denklem:

\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 3) = 3

Tanım koşulu:

x - 1 > 0

x + 3 > 0

x > 1

Logaritma kuralı ile birleştirelim:

\log_{2} ((x - 1) (x + 3)) = 3

Üs formuna çevirelim:

(x - 1) (x + 3) = 2^{3}

(x - 1) (x + 3) = 8

Çarpımı açıp denklemi düzenleyelim:

x (x + 3) - 1 (x + 3) = 8

x^{2} + 3 x - x - 3 = 8

x^{2} + 2 x - 11 = 0

İkinci dereceden denklemi çözelim:

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 11)}}{2 \cdot 1}

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{48}}{2}

x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{2}

x = - 1 \pm 2 \sqrt{3}

Tanım koşuluna göre uygun kökü seçelim:

x > 1

- 1 - 2 \sqrt{3} < 1

- 1 + 2 \sqrt{3} > 1

Sonuç (doğru seçenek kontrolü):

x = - 1 + 2 \sqrt{3}

Bu değer şıklarda A seçeneği ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A’dır.

5. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Logaritma 1 - 4

Doğru cevap: B

Aşağıdaki ifadeyi hesaplayınız.

\log_{2} (8) + \log_{2} (\frac{1}{4})

- 1

1

5

\frac{1}{2}

Çözüm

İfade:

\log_{2} (8) + \log_{2} (\frac{1}{4})

1. adım: 8 sayısını 2 tabanında yazalım.

8 = 2^{3}

Buna göre ilk logaritma:

\log_{2} (8) = \log_{2} (2^{3}) = 3

2. adım: 1/4 ifadesini 2 tabanında yazalım.

\frac{1}{4} = \frac{1}{2^{2}} = 2^{- 2}

Buna göre ikinci logaritma:

\log_{2} (\frac{1}{4}) = \log_{2} (2^{- 2}) = - 2

3. adım: Toplayalım.

\log_{2} (8) + \log_{2} (\frac{1}{4}) = 3 + - 2 = 1

Sonuç B şıkkıdır.

6. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Logaritma 2 - 1

Doğru cevap: A

Aşağıdaki eşitliği sağlayan

x

değerini bulun:

\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 1) = 3

3

- 3

1

2

Çözüm

Önce tanım koşulunu yazalım. Logaritmanın içi pozitif olmalıdır:

$x - 1 > 0$

$x + 1 > 0$

Buradan:

$x > 1$

Verilen eşitlikte logaritma toplama kuralını kullanalım:

$\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 1) = 3$

Toplamı tek logaritma olarak yazalım:

$\log_{2} ((x - 1) (x + 1)) = 3$

Çarpımı açalım:

$\log_{2} (x^{2} - 1) = 3$

Logaritmanın tanımına göre her iki tarafı üstel forma çevirelim:

$2^{3} = x^{2} - 1$

Düzenleyelim:

$8 = x^{2} - 1$

$x^{2} = 9$

Karekök alalım:

$x = 3 veya x = - 3$

Tanım koşulu $x > 1$ olduğu için negatif değer elenir. Sonuç:

$x = 3$

Bulunan değer A şıkkı ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A’dır.

7. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Logaritma 2 - 2

Doğru cevap: A

Aşağıdaki denklemi sağlayan değer nedir?

\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 3) = 3

- 1 + 2 \sqrt{3}

- 1 - 2 \sqrt{3}

1 + 2 \sqrt{3}

2 + \sqrt{3}

Çözüm

Önce tanım koşulunu yazalım:

x - 1 > 0 ve x + 3 > 0

x > 1

Logaritma toplamını çarpıma çeviriyoruz:

\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 3) = 3

\log_{2} ((x - 1) (x + 3)) = 3

Her iki tarafın taban 2 üssünü alalım:

(x - 1) (x + 3) = 2^{3}

(x - 1) (x + 3) = 8

Çarpımı açıp ikinci dereceden denklemi çözelim:

(x - 1) (x + 3) = x \cdot x + 3 x - x - 3

x^{2} + 2 x - 3 = 8

x^{2} + 2 x - 11 = 0

Kökleri bulalım:

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{48}}{2}

x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{2}

x = - 1 \pm 2 \sqrt{3}

Tanım koşulu x > 1 olduğundan uygun kökü seçelim:

- 1 - 2 \sqrt{3} < 1 (uygun değil)

- 1 + 2 \sqrt{3} > 1 (uygun)

Sonuç:

x = - 1 + 2 \sqrt{3}

Bu değer A şıkkıdır. Yani doğru cevap A.

8. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Logaritma 2 - 3

Doğru cevap: B

Aşağıdaki eşitliği sağlayan $x$ değeri kaçtır?

$\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 1) = 3$

1

3

- 3

4

Çözüm

Verilen eşitlik:

\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 1) = 3

Tanım koşulu (logaritma içleri pozitif olmalı):

x - 1 > 0

x + 1 > 0

Bu iki koşul birlikte:

x > 1

Logaritma toplama kuralı uygulanır:

\log_{2} ((x - 1) (x + 1)) = 3

Çarpım açılır:

\log_{2} (x^{2} - 1) = 3

Logaritmik denklem üstel biçime çevrilir:

x^{2} - 1 = 2^{3}

Sağ taraf hesaplanır:

x^{2} - 1 = 8

Denklem çözülür:

x^{2} = 9

x = 3 \lor x = - 3

Tanım koşulu uygulanır:

x > 1

Bu nedenle uygun kök:

x = 3

Sonuç olarak doğru seçenek B’dir.

9. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Logaritma 2 - 4

Doğru cevap: A

Aşağıdaki denklemi sağlayan $x$ değeri kaçtır?

\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 3) = 3

- 1 + 2 \sqrt{3}

- 1 - 2 \sqrt{3}

1 + 2 \sqrt{3}

1 - 2 \sqrt{3}

Çözüm

1) Doğru şık A mı kontrolü (denklem ve tanım kümesi):

\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 3) = 3

Logaritmanın tanımlı olması için:

x - 1 > 0 \land x + 3 > 0

x > 1

2) Logaritma toplama kuralı ile birleştirelim:

\log_{2} ((x - 1) \cdot (x + 3)) = 3

3) Her iki tarafın taban-2 üstel karşılığını alalım:

(x - 1) \cdot (x + 3) = 2^{3}

(x - 1) \cdot (x + 3) = 8

4) Çarpımı açıp ikinci dereceden denkleme geçelim:

(x - 1) (x + 3) = 8

x^{2} + 2 x - 3 = 8

x^{2} + 2 x - 11 = 0

5) İkinci dereceden denklemi çözelim:

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 11)}}{2 \cdot 1}

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{48}}{2}

x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{3}}{2}

x = - 1 \pm 2 \sqrt{3}

6) Tanım koşulunu sağlayanı seçelim:

x > 1

x = - 1 + 2 \sqrt{3}

Diğer kök tanım koşulunu sağlamaz.

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

10. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Logaritma 2 - 5

Doğru cevap: A

Aşağıdaki eşitliği sağlayan $x$ değerini bulun.

\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 1) = 3

3

2

1

- 3

Çözüm

Önce tanım kümesini belirleyelim (logaritmanın içi pozitif olmalı):

x - 1 > 0

x + 1 > 0

x > 1

Logaritma toplama kuralını kullanalım:

log2(x-1)+log2(x+1)=log2((x-1)(x+1))

Verilen eşitliğe göre:

\log_{2} ((x - 1) (x + 1)) = 3

Logaritmanın tanımını kullanarak üsse çevirelim:

(x - 1) (x + 1) = 2^{3}

Çarpımı açalım ve sadeleştirelim:

x^{2} - 1 = 8

Denklemi çözelim:

x^{2} = 9

x = \pm 3

Tanım kümesi koşulu (logaritma içleri pozitif) gereği:

x > 1

Bu yüzden yalnızca şu değer geçerlidir:

x = 3

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

11. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Logaritma 3 - 1

Doğru cevap: A

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun.

\log_{2} (32) - \log_{4} (8)

\frac{7}{2}

\frac{5}{2}

\frac{3}{2}

\frac{7}{4}

Çözüm

Soru ifadesini blok olarak yazalım:

\log_{2} (32) - \log_{4} (8)

Önce ilk logaritmayı hesaplayalım. Sayıyı uygun bir kuvvet şeklinde yazalım:

32 = 2^{5}

Bu durumda ilk logaritmanın değeri:

\log_{2} (32) = \log_{2} (2^{5}) = 5

Şimdi ikinci logaritmayı taban değiştirme ile hesaplayalım:

\log_{4} (8) = \frac{\log_{2} (8)}{\log_{2} (4)}

Gerekli değerleri kuvvet olarak yazalım:

8 = 2^{3}

4 = 2^{2}

Buna göre:

\log_{2} (8) = 3

\log_{2} (4) = 2

İkinci logaritma:

\log_{4} (8) = \frac{3}{2}

Şimdi çıkarma işlemini yapalım:

5 - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} - \frac{3}{2} = \frac{7}{2}

Sonuç:

\frac{7}{2}

Doğru seçenek A’dır.

12. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Logaritma 3 - 2

Doğru cevap: A

Aşağıdaki denklemi sağlayan $x$ değerini bulun.

\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 1) = 3

3

- 3

1

5

Çözüm

Seçenek A’daki değerin doğru olup olmadığını kontrol edelim ve denklemi çözelim.

Verilen denklem:

\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x + 1) = 3

Logaritmanın tanım koşulu (içler pozitif olmalı):

x - 1 > 0

x + 1 > 0

x > 1

Logaritma kuralı ile toplayalım:

log2(x-1)+log2(x+1)=log2((x-1)(x+1))

Bu durumda denklem:

\log_{2} ((x - 1) (x + 1)) = 3

Logaritmanın tanımına göre:

(x - 1) (x + 1) = 2^{3}

Sağ tarafı hesaplayalım:

2^{3} = 8

Sol tarafı açalım (farkların çarpımı):

(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1

Denklemi çözelim:

x^{2} - 1 = 8

x^{2} = 9

x = \pm 3

Tanım koşuluna göre

x > 1

olmalı. Bu nedenle:

x = 3

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Blog

Logaritma için blog rehberleri

2027 AYT Matematik limit, türev ve integral çalışma sırası rehberi

TYT-AYT

2027 AYT Matematik Konuları: Limit, Türev, İntegral Ne Zaman Çalışılmalı?

2027 AYT Matematikte limit, türev ve integral ne zaman çalışılmalı? Ön koşullar, ideal konu sırası, ay ay plan, haftalık program ve son ay tekrar stratejisi.

AYT Matematikte 20 net üstüne çıkmak için çalışma stratejisi

TYT-AYT

AYT Matematikte 20 Net Üstüne Çıkmak İçin Strateji

AYT Matematikte 20 net üstüne çıkmak için konu önceliği, 8 haftalık çalışma planı, deneme analizi, süre yönetimi ve yanlış defteri stratejisi.

AYT Matematikte grafik yorumlama ve grafik soruları çalışma rehberi

TYT-AYT

AYT Matematikte Grafik Yorumlama Nasıl Çalışılır?

AYT Matematikte grafik yorumlama için fonksiyon, parabol, trigonometri, limit, türev ve integral grafiklerini okuma yöntemi, haftalık plan ve deneme stratejisi.