AYT Matematik Karmaşık Sayılar Soru Çözümleri

İlk 12 soru

Çözümlü test soruları

Bu sayfada sınırlı sayıda soru ve doğru cevap gösterilir. Konu kazanımlarını ve çözüm adımlarını birlikte değerlendirebilirsin.

Test çözmeye başla

1. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Karmaşık Sayılar 1 - 3

Doğru cevap: A

Aşağıdaki işlemin sonucu hangisidir?

$\frac{(3 + 4 i)}{(1 - 2 i)}$

- 1 + 2 i

- 1 - 2 i

1 + 2 i

- 2 + 1 i

Çözüm

İşlem:

\frac{(3 + 4 i)}{(1 - 2 i)}

Paydayı gerçel yapmak için pay ve paydayı eşleniği ile çarpalım:

\frac{(3 + 4 i) (1 + 2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}

Paydayı açalım:

(1 - 2 i) (1 + 2 i) = 1 - (2 i) 2

Burada:

(2 i) 2 = 4 i^{2}

Dolayısıyla:

1 - 4 i^{2} = 1 - 4 (- 1) = 5

Şimdi payı açalım:

(3 + 4 i) (1 + 2 i) = 3 + 6 i + 4 i + 8 i^{2}

Benzer terimleri toplayalım ve $i^{2} = - 1$ kullanalım:

3 + 10 i + 8 i^{2} = 3 + 10 i - 8 = - 5 + 10 i

Böylece kesir:

\frac{- 5 + 10 i}{5}

Payı $5$ ile sadeleştirelim:

\frac{- 5}{5} + \frac{10 i}{5} = - 1 + 2 i

Sonuç:

- 1 + 2 i

Bu değer şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A.

- 1 + 2 i

2. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Karmaşık Sayılar 1 - 4

Doğru cevap: A

Aşağıdaki karmaşık sayı için mutlak değeri bulunuz.

$z = \frac{(3 - 4 i)}{(1 + 2 i)}$

\sqrt{5}

5

\frac{\sqrt{5}}{5}

\sqrt{20}

Çözüm

Verilen:

z = \frac{(3 - 4 i)}{(1 + 2 i)}

Mutlak değer özelliğini kullanalım:

| z | = \frac{| 3 - 4 i |}{| 1 + 2 i |}

Payın mutlak değeri:

| 3 - 4 i | = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Paydanın mutlak değeri:

| 1 + 2 i | = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}

Oranı hesaplayalım:

| z | = \frac{5}{\sqrt{5}}

Paydası kökten kurtaralım:

\frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5 \sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}

Sonuç:

| z | = \sqrt{5}

Doğru seçenek A’dır.

3. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Karmaşık Sayılar 1 - 1

Doğru cevap: A

$z = 2 - i$ için $z^{3} + {\bar{z}}^{3}$ değeri kaçtır?

4

0

2

22

Çözüm

Verilen:

z = 2 - i

İstenen ifade:

z^{3} + {\bar{z}}^{3}

Önce eşlenik sayıyı yazalım:

\bar{z} = 2 + i

Şimdi

z^{3}

hesaplayalım. Önce karesini alalım:

{(2 - i)}^{2} = (2 - i) (2 - i)

Çarpımı açalım:

(2 - i) (2 - i) = 4 - 4 i + i^{2}

Bilinen:

i^{2} = - 1

Yerine yazınca:

{(2 - i)}^{2} = 4 - 4 i - 1 = 3 - 4 i

Şimdi bir kez daha

(2 - i)

ile çarpıp küpünü bulalım:

{(2 - i)}^{3} = (3 - 4 i) (2 - i)

Çarpımı açalım:

(3 - 4 i) (2 - i) = 6 - 3 i - 8 i + 4 i^{2}

Tekrar

i^{2} = - 1

kullanırsak:

{(2 - i)}^{3} = 6 - 11 i - 4 = 2 - 11 i

Eşlenik alma özelliğinden:

{\bar{z}}^{3} = \bar{z^{3}}

Dolayısıyla:

{\bar{z}}^{3} = \bar{2 - 11 i} = 2 + 11 i

Şimdi toplamı bulalım:

z^{3} + {\bar{z}}^{3} = (2 - 11 i) + (2 + 11 i) = 4

Sonuç:

z^{3} + {\bar{z}}^{3} = 4

Dolayısıyla doğru şık A’dır (A kontrolü: doğru).

4. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Karmaşık Sayılar 1 - 2

Doğru cevap: A

Aşağıdaki karmaşık sayıyı bulunuz:

z = \frac{1 - i}{1 + i}

- i

i

1

- 1

Çözüm

Önce verilen ifadeyi yazalım:

z = \frac{1 - i}{1 + i}

Paydadaki karmaşık ifadeden kurtulmak için, payda eşleniği ile genişletelim. Eşlenik:

1 - i

Pay ve paydayı bu eşlenik ile çarpalım:

z = \frac{1 - i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}

Tek kesirde birleştirelim:

z = \frac{(1 - i) (1 - i)}{(1 + i) (1 - i)}

Payı açalım:

(1 - i) (1 - i) = (^{1 - i) 2} = 1 - 2 i + i^{2} = 1 - 2 i - 1 = - 2 i

Paydayı açalım:

(1 + i) (1 - i) = 1 - i^{2} = 1 - (- 1) = 2

Bunları yerine koyup sadeleştirelim:

z = \frac{- 2 i}{2} = - i

Sonuç:

z = - i

Dolayısıyla doğru seçenek A şıkkıdır.

5. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Karmaşık Sayılar 1 - 5

Doğru cevap: A

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun.

{(1 + i)}^{6}

- 8 i

8 i

- 8

8

Çözüm

Kontrol edilecek ifade:

{(1 + i)}^{6}

Önce karmaşık sayının kutupsal biçimini yazarız. Modül:

| 1 + i | = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}

Argüman (açı):

z = 1 + i \Rightarrow θ = \frac{π}{4}

Buna göre kutupsal (trigonometrik) gösterim:

1 + i = \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})

Şimdi De Moivre uygulanır:

{(1 + i)}^{6} = {(\sqrt{2})}^{6} (\cos 6 \times \frac{π}{4} + i \sin 6 \times \frac{π}{4})

Üs ve açı sadeleştirme:

{(\sqrt{2})}^{6} = 2^{3} = 8

6 \times \frac{π}{4} = \frac{6 π}{4} = \frac{3 π}{2}

Yerine koyup trigonometrik değerleri kullanırız:

{(1 + i)}^{6} = 8 (\cos \frac{3 π}{2} + i \sin \frac{3 π}{2})

\cos \frac{3 π}{2} = 0, \sin \frac{3 π}{2} = - 1

Sonuç:

{(1 + i)}^{6} = 8 (0 + i (- 1)) = - 8 i

Bu değer şıklarda A seçeneğidir.

6. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Karmaşık Sayılar 2 - 1

Doğru cevap: A

Aşağıdaki karmaşık sayıyı a ve b reel sayıları olmak üzere a + b biçiminde yazınız.

z = \frac{1 - i}{1 + i}

- i

i

- 1

1

Çözüm

Verilen sayı:

z = \frac{1 - i}{1 + i}

Paydadan sanal kısmı kaldırmak için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız:

z = \frac{1 - i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}

Pay kısmını açalım:

(1 - i) (1 - i) = {(1 - i)}^{2} = 1 - 2 i + i^{2}

Bilinen değer:

i^{2} = - 1

Buna göre pay:

1 - 2 i + i^{2} = 1 - 2 i - 1 = - 2 i

Payda kısmını açalım (çarpanlara ayırma özdeşliği):

(1 + i) (1 - i) = 1^{2} - i^{2} = 1 - (- 1) = 2

Sonuç:

z = \frac{- 2 i}{2} = - i

Dolayısıyla şıklardan doğru olan:

- i

Bu da A şıkkıdır (A doğru).

a ve b reel sayıları için değerler:

a = 0, b = - 1

7. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Karmaşık Sayılar 2 - 3

Doğru cevap: A

Aşağıdaki karmaşık sayının modülünü bulunuz.

$z = \frac{3 - 4 i}{1 + i}$

\frac{5 \sqrt{2}}{2}

5 \sqrt{2}

\frac{5}{2}

\frac{\sqrt{2}}{5}

Çözüm

Verilen sayı:

z = \frac{3 - 4 i}{1 + i}

Modül özelliğini kullanalım:

| z | = \frac{| 3 - 4 i |}{| 1 + i |}

Payın modülünü hesaplayalım:

| 3 - 4 i | = \sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Paydanın modülünü hesaplayalım:

| 1 + i | = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}

Oranı yazalım:

| z | = \frac{5}{\sqrt{2}}

Seçeneklerle karşılaştırmak için paydayı rasyonelleştirelim:

\frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5 \sqrt{2}}{2}

Sonuç:

| z | = \frac{5 \sqrt{2}}{2}

Bu değer A şıkkı ile aynıdır. Doğru cevap A’dır.

8. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Karmaşık Sayılar 2 - 4

Doğru cevap: A

Aşağıdaki karmaşık sayı için $| z |$ değerini bulun.

$z = {(1 - i)}^{5}$

4 \sqrt{2}

8

2 \sqrt{2}

4

Çözüm

Önce verilen ifade:

z = {(1 - i)}^{5}

Modülün kuvvet özelliğini kullanalım:

| {(1 - i)}^{5} | = {| 1 - i |}^{5}

$| 1 - i |$ değerini bulalım (karmaşık düzlemde uzaklık):

| 1 - i | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}}

Karekök içini sadeleştirelim:

| 1 - i | = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}

Şimdi modülü kuvvete uygulayalım:

| z | = {(\sqrt{2})}^{5}

Sonucu sadeleştirelim:

{(\sqrt{2})}^{5} = 2^{\frac{5}{2}} = 2^{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}

Bu değer şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: A.

9. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Karmaşık Sayılar 2 - 5

Doğru cevap: A

Aşağıdaki ifadede $z = \frac{3 - 4 i}{1 + 2 i}$ için sanal kısmı bulunuz.

- 2

2

- 1

- \frac{1}{2}

Çözüm

1) Verilen ifade:

z = \frac{3 - 4 i}{1 + 2 i}

2) Paydayı gerçel yapmak için payda ile eşleniğini çarparız:

z = \frac{3 - 4 i}{1 + 2 i} \cdot \frac{1 - 2 i}{1 - 2 i}

3) Payı açalım:

(3 - 4 i) (1 - 2 i) = 3 - 6 i - 4 i + 8 i^{2}

4) Bilinir ki:

i^{2} = - 1

5) Bu yüzden pay:

3 - 6 i - 4 i + 8 i^{2} = 3 - 10 i - 8 = - 5 - 10 i

6) Paydayı açalım:

(1 + 2 i) (1 - 2 i) = 1 - 4 i^{2} = 1 + 4 = 5

7) O hâlde:

z = \frac{- 5 - 10 i}{5} = - 1 - 2 i

8) Sanal kısım (i’nin katsayısı):

- 2

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

10. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Karmaşık Sayılar 2 - 2

Doğru cevap: B

Aşağıdaki ifadenin sonucu nedir?

\frac{(2 + 2 i)}{(1 - i)}

i

2 i

- 2 i

2

Çözüm

İfade:

\frac{(2 + 2 i)}{(1 - i)}

Paydadan sanal kısmı kaldırmak için pay ve paydayı eşleniği ile çarpalım:

\frac{(2 + 2 i) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}

Paydayı sadeleştirelim:

(1 - i) (1 + i) = 1 - i^{2} = 1 - (- 1) = 2

Payı açalım:

(2 + 2 i) (1 + i) = 2 + 2 i + 2 i + 2 i^{2}

$2 + 2 i + 2 i + 2 (- 1) = 4 i$

Şimdi bölmeyi yapalım:

\frac{4 i}{2} = 2 i

Sonuç $2 i$ olur; bu da B şıkkıdır. Dolayısıyla “doğru cevap B” ifadesi doğrudur.

11. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Karmaşık Sayılar 3 - 2

Doğru cevap: A

Aşağıdaki çarpımın sonucu kaçtır?

(2 + 3 i) (1 - 2 i)

8 - i

8 + i

- 8 - i

8 - 5 i

Çözüm

Çarpımı dağıtalım:

(2 + 3 i) (1 - 2 i)

Dağılma özelliği:

= 2 \cdot 1 + 2 \cdot (- 2 i) + 3 i \cdot 1 + 3 i \cdot (- 2 i)

Her terimi çarpalım:

= 2 - 4 i + 3 i - 6 i^{2}

Bilinen değer:

i^{2} = - 1

Yerine yazıp düzenleyelim:

= 2 - 4 i + 3 i - 6 (- 1)

Gerçek ve sanal kısımları toplayalım:

= 2 + 6 + (- 4 + 3) i

Sonuç:

= 8 - i

Bu ifade şıklardan A seçeneği ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A’dır.

12. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Karmaşık Sayılar 3 - 5

Doğru cevap: A

Aşağıdaki ifadenin sadeleştirilmiş biçimi nedir?

$\frac{3 + 4 i}{1 - 2 i}$

- 1 + 2 i

- 1 - 2 i

1 + 2 i

1 - 2 i

Çözüm

İfade:

\frac{3 + 4 i}{1 - 2 i}

Paydayı gerçel yapmak için payda eşleniği ile genişletelim:

\frac{3 + 4 i}{1 - 2 i} = \frac{3 + 4 i (1 + 2 i)}{1 - 2 i (1 + 2 i)}

Payı açalım:

3 + 4 i (1 + 2 i) = 3 + 6 i + 4 i + 8 i^{2}

Payda çarpımını açalım:

1 - 2 i (1 + 2 i) = 1 - 4 i^{2}

$i^{2} = - 1$ olduğunu kullanarak sadeleştirelim:

3 + 6 i + 4 i + 8 i^{2} = 3 + 10 i - 8 = - 5 + 10 i

1 - 4 i^{2} = 1 + 4 = 5

Sonuç:

\frac{- 5 + 10 i}{5} = - 1 + 2 i

Doğru seçenek:

- 1 + 2 i

Yani A şıkkı doğrudur.

Blog

Karmaşık Sayılar için blog rehberleri

2027 AYT Matematik limit, türev ve integral çalışma sırası rehberi

TYT-AYT

2027 AYT Matematik Konuları: Limit, Türev, İntegral Ne Zaman Çalışılmalı?

2027 AYT Matematikte limit, türev ve integral ne zaman çalışılmalı? Ön koşullar, ideal konu sırası, ay ay plan, haftalık program ve son ay tekrar stratejisi.

AYT Matematikte 20 net üstüne çıkmak için çalışma stratejisi

TYT-AYT

AYT Matematikte 20 Net Üstüne Çıkmak İçin Strateji

AYT Matematikte 20 net üstüne çıkmak için konu önceliği, 8 haftalık çalışma planı, deneme analizi, süre yönetimi ve yanlış defteri stratejisi.

AYT Matematikte grafik yorumlama ve grafik soruları çalışma rehberi

TYT-AYT

AYT Matematikte Grafik Yorumlama Nasıl Çalışılır?

AYT Matematikte grafik yorumlama için fonksiyon, parabol, trigonometri, limit, türev ve integral grafiklerini okuma yöntemi, haftalık plan ve deneme stratejisi.