AYT Matematik Karmaşık Sayılar Soru Çözümleri

İlk 6 soru

Çözümlü test soruları

Bu sayfada sınırlı sayıda soru ve doğru cevap gösterilir. Tamamını çözmek, performansını takip etmek ve tekrar çalışmak için uygulamaya geçebilirsin.

Google PlayAndroid için indir App StoreiPhone ve iPad için indir

1. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Karmaşık Sayılar 1 - 1

Doğru cevap: A

$z = 2 - i$ için $z^{3} + {\bar{z}}^{3}$ değeri kaçtır?

4

0

2

22

Çözüm

Verilen:

z = 2 - i

İstenen ifade:

z^{3} + {\bar{z}}^{3}

Önce eşlenik sayıyı yazalım:

\bar{z} = 2 + i

Şimdi

z^{3}

hesaplayalım. Önce karesini alalım:

{(2 - i)}^{2} = (2 - i) (2 - i)

Çarpımı açalım:

(2 - i) (2 - i) = 4 - 4 i + i^{2}

Bilinen:

i^{2} = - 1

Yerine yazınca:

{(2 - i)}^{2} = 4 - 4 i - 1 = 3 - 4 i

Şimdi bir kez daha

(2 - i)

ile çarpıp küpünü bulalım:

{(2 - i)}^{3} = (3 - 4 i) (2 - i)

Çarpımı açalım:

(3 - 4 i) (2 - i) = 6 - 3 i - 8 i + 4 i^{2}

Tekrar

i^{2} = - 1

kullanırsak:

{(2 - i)}^{3} = 6 - 11 i - 4 = 2 - 11 i

Eşlenik alma özelliğinden:

{\bar{z}}^{3} = \bar{z^{3}}

Dolayısıyla:

{\bar{z}}^{3} = \bar{2 - 11 i} = 2 + 11 i

Şimdi toplamı bulalım:

z^{3} + {\bar{z}}^{3} = (2 - 11 i) + (2 + 11 i) = 4

Sonuç:

z^{3} + {\bar{z}}^{3} = 4

Dolayısıyla doğru şık A’dır (A kontrolü: doğru).

2. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Karmaşık Sayılar 1 - 2

Doğru cevap: A

Aşağıdaki karmaşık sayıyı bulunuz:

z = \frac{1 - i}{1 + i}

- i

i

1

- 1

Çözüm

Önce verilen ifadeyi yazalım:

z = \frac{1 - i}{1 + i}

Paydadaki karmaşık ifadeden kurtulmak için, payda eşleniği ile genişletelim. Eşlenik:

1 - i

Pay ve paydayı bu eşlenik ile çarpalım:

z = \frac{1 - i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}

Tek kesirde birleştirelim:

z = \frac{(1 - i) (1 - i)}{(1 + i) (1 - i)}

Payı açalım:

(1 - i) (1 - i) = (^{1 - i) 2} = 1 - 2 i + i^{2} = 1 - 2 i - 1 = - 2 i

Paydayı açalım:

(1 + i) (1 - i) = 1 - i^{2} = 1 - (- 1) = 2

Bunları yerine koyup sadeleştirelim:

z = \frac{- 2 i}{2} = - i

Sonuç:

z = - i

Dolayısıyla doğru seçenek A şıkkıdır.

3. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Karmaşık Sayılar 1 - 3

Doğru cevap: A

Aşağıdaki işlemin sonucu hangisidir?

$\frac{(3 + 4 i)}{(1 - 2 i)}$

- 1 + 2 i

- 1 - 2 i

1 + 2 i

- 2 + 1 i

Çözüm

İşlem:

\frac{(3 + 4 i)}{(1 - 2 i)}

Paydayı gerçel yapmak için pay ve paydayı eşleniği ile çarpalım:

\frac{(3 + 4 i) (1 + 2 i)}{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}

Paydayı açalım:

(1 - 2 i) (1 + 2 i) = 1 - (2 i) 2

Burada:

(2 i) 2 = 4 i^{2}

Dolayısıyla:

1 - 4 i^{2} = 1 - 4 (- 1) = 5

Şimdi payı açalım:

(3 + 4 i) (1 + 2 i) = 3 + 6 i + 4 i + 8 i^{2}

Benzer terimleri toplayalım ve $i^{2} = - 1$ kullanalım:

3 + 10 i + 8 i^{2} = 3 + 10 i - 8 = - 5 + 10 i

Böylece kesir:

\frac{- 5 + 10 i}{5}

Payı $5$ ile sadeleştirelim:

\frac{- 5}{5} + \frac{10 i}{5} = - 1 + 2 i

Sonuç:

- 1 + 2 i

Bu değer şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A.

- 1 + 2 i

4. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Karmaşık Sayılar 1 - 4

Doğru cevap: A

Aşağıdaki karmaşık sayı için mutlak değeri bulunuz.

$z = \frac{(3 - 4 i)}{(1 + 2 i)}$

\sqrt{5}

5

\frac{\sqrt{5}}{5}

\sqrt{20}

Çözüm

Verilen:

z = \frac{(3 - 4 i)}{(1 + 2 i)}

Mutlak değer özelliğini kullanalım:

| z | = \frac{| 3 - 4 i |}{| 1 + 2 i |}

Payın mutlak değeri:

| 3 - 4 i | = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Paydanın mutlak değeri:

| 1 + 2 i | = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}

Oranı hesaplayalım:

| z | = \frac{5}{\sqrt{5}}

Paydası kökten kurtaralım:

\frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5 \sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}

Sonuç:

| z | = \sqrt{5}

Doğru seçenek A’dır.

5. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Karmaşık Sayılar 1 - 5

Doğru cevap: A

Aşağıdaki ifadenin değerini bulun.

{(1 + i)}^{6}

- 8 i

8 i

- 8

8

Çözüm

Kontrol edilecek ifade:

{(1 + i)}^{6}

Önce karmaşık sayının kutupsal biçimini yazarız. Modül:

| 1 + i | = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}

Argüman (açı):

z = 1 + i \Rightarrow θ = \frac{π}{4}

Buna göre kutupsal (trigonometrik) gösterim:

1 + i = \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})

Şimdi De Moivre uygulanır:

{(1 + i)}^{6} = {(\sqrt{2})}^{6} (\cos 6 \times \frac{π}{4} + i \sin 6 \times \frac{π}{4})

Üs ve açı sadeleştirme:

{(\sqrt{2})}^{6} = 2^{3} = 8

6 \times \frac{π}{4} = \frac{6 π}{4} = \frac{3 π}{2}

Yerine koyup trigonometrik değerleri kullanırız:

{(1 + i)}^{6} = 8 (\cos \frac{3 π}{2} + i \sin \frac{3 π}{2})

\cos \frac{3 π}{2} = 0, \sin \frac{3 π}{2} = - 1

Sonuç:

{(1 + i)}^{6} = 8 (0 + i (- 1)) = - 8 i

Bu değer şıklarda A seçeneğidir.

6. soru

AYT - Matematik - Orta Test - Karmaşık Sayılar 2 - 1

Doğru cevap: A

Aşağıdaki karmaşık sayıyı a ve b reel sayıları olmak üzere a + b biçiminde yazınız.

z = \frac{1 - i}{1 + i}

- i

i

- 1

1

Çözüm

Verilen sayı:

z = \frac{1 - i}{1 + i}

Paydadan sanal kısmı kaldırmak için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız:

z = \frac{1 - i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}

Pay kısmını açalım:

(1 - i) (1 - i) = {(1 - i)}^{2} = 1 - 2 i + i^{2}

Bilinen değer:

i^{2} = - 1

Buna göre pay:

1 - 2 i + i^{2} = 1 - 2 i - 1 = - 2 i

Payda kısmını açalım (çarpanlara ayırma özdeşliği):

(1 + i) (1 - i) = 1^{2} - i^{2} = 1 - (- 1) = 2

Sonuç:

z = \frac{- 2 i}{2} = - i

Dolayısıyla şıklardan doğru olan:

- i

Bu da A şıkkıdır (A doğru).

a ve b reel sayıları için değerler:

a = 0, b = - 1

Numicorn uygulaması

Karmaşık Sayılar çalışmasını uygulamada sürdür.

Sorularını çözdür, tekrarlarını takip et ve eksiklerini daha düzenli gör.

Soru çözümüKonu tekrarıGelişim takibi

Google PlayAndroid için indir App StoreiPhone ve iPad için indir