Lise • TYT • AYT

Türev: Değişim Hızı ve Teğet Eğimi

Bu sayfada: “türev” fikri, ortalama anlık değişim, teğet kavramı.

1) Türevin “büyük fikri”

Türev, bir fonksiyonun ne kadar hızlı değiştiğini anlatır. Bunu iki farklı ama eşdeğer şekilde düşünebilirsin:

Değişim hızı: x çok az artınca f(x) nasıl değişiyor?
Teğet eğimi: grafikte bir noktadaki teğet doğrusunun eğimi nedir?

Mini not

Ortalama değişim “iki nokta arası” bir fikirdir; türev ise “tek nokta” fikrine yaklaşır.

2) Ortalama değişim hızı (sekant eğimi)

x değeri a’dan a+h’ye gitsin. Bu aralıktaki ortalama değişim hızı:

Ortalama değişim oranı

\frac{f (a + h) - f (a)}{h}

Burada h, x’teki değişim miktarıdır. Bu oran, grafikte iki noktayı birleştiren sekant doğrusunun eğimini verir.

Neden önemli?

Türevi tanımlamak için önce “iki nokta” arasındaki eğimi biliriz, sonra bu iki nokta birbirine çok yaklaşınca ne olduğuna bakarız.

3) Türev tanımı (limit fikri)

Anlık değişim için h’yi sıfıra yaklaştırırız. Yani iki nokta neredeyse tek nokta olur.

Türevin limit tanımı

f' (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

Bu limit varsa, f fonksiyonu a noktasında türevlenebilir deriz.

Semboller

f′(a): a noktasındaki türev (anlık değişim / teğet eğimi)
h → 0: h çok küçük değerlere gider
f(a+h) − f(a): çıktının değişimi

4) Geometrik yorum: Teğet eğimi

Grafikte (a, f(a)) noktasına çizilen teğet doğrusunun eğimi f′(a)’dır. Sekant doğrusu iki noktayı birleştirirken, teğet doğrusu “tek noktada dokunur”.

Önemli sezgi

h küçüldükçe (a, f(a)) ile (a+h, f(a+h)) noktaları birbirine yaklaşır; sekant eğimi teğet eğimine yaklaşır.

5) Hızlı tanıtım örneği

Diyelim ki bir hareketin konumu s(t) ile verilmiş olsun. Ortalama hız iki zaman arasındaki konum değişiminin zamana oranıdır. Zaman aralığı çok küçülürse anlık hız ortaya çıkar.

Ortalama hız fikri

\frac{s (t + h) - s (t)}{h}

Bu oran “anlık” hale gelmek için h → 0 yaklaşımına götürür; bu da türev fikridir.

İlerleyen sayfalarda türev kurallarını öğreneceğiz; böylece bu limitleri her seferinde uzun uzun hesaplamak zorunda kalmayacağız.

✓

Bu sayfanın özeti

Ortalama değişim oranı sekant eğimini verir.
h → 0 iken sekant eğimi teğet eğimine yaklaşır.
Türev, anlık değişim hızı / teğet eğimidir: f′(a).

Sonraki sayfada türev kurallarına geçmeden önce “türevlenebilirlik” ve “süreklilik” ilişkisini netleştireceğiz.

Lise • TYT • AYT

Türevlenebilirlik ve Süreklilik İlişkisi

Bu sayfada: türevlenebilirlik nedir, süreklilikle ilişkisi, geometrik yorum.

1) Türevlenebilirlik nedir?

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması demek, o noktada türevinin var olması demektir. Yani şu limit mevcut olmalıdır:

Türevlenebilirlik şartı

lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = gerçek sayı

Eğer bu limit varsa, fonksiyon o noktada türevlenebilir.

2) Süreklilik nedir?

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması demek, grafikte o noktada kopukluk olmaması demektir.

Süreklilik şartı

lim_{x \to a} f (x) = f (a)

Bu, fonksiyonun değerinin limit değerine eşit olması gerektiğini ifade eder.

3) Önemli teorem

Teorem

Eğer bir fonksiyon bir noktada türevlenebilir ise, o noktada mutlaka süreklidir.

Ters doğru değildir

Bir fonksiyon sürekli olabilir fakat türevlenebilir olmayabilir.

4) Geometrik yorum

Eğer bir noktada keskin köşe varsa türev yoktur.

Sebep

Sol taraftan gelen eğim ile sağ taraftan gelen eğim farklıdır.

Örnek fonksiyon

f (x) = | x |

x = 0 noktasında köşe vardır, bu yüzden türev yoktur.

✓