AYT Logaritma Konu Anlatımı, Formüller ve

1. bölüm

TYT & AYT - Logaritma - 1.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Logaritma - 1. Sayfa

Logaritmaya Giriş

Üslü ifadelerden logaritmaya geçiş • Temel kavramlar

1) Logaritma Neden Var?

Üslü ifadelerde “üs” çoğu zaman bilinmeyendir. Logaritma, tam olarak bu bilinmeyen üssü bulmak için tanımlanmış bir işlemdir. Yani logaritma, üslü ifadenin tersidir.

Üslü ifadeyi hatırlayalım

Aşağıdaki ifade bir “üs alma” durumudur:

Örnek ifade

2^{5} = 32

Burada taban 2, üs 5, sonuç 32’dir.

Aynı durumu tersine çevirelim

“2’nin kaçıncı kuvveti 32 eder?” sorusunda bilinmeyen üstür. İşte logaritma tam olarak bunu söyler:

Logaritmik gösterim

\log_{2} 32 = 5

Yani log₂(32) = 5 demek, “2’nin 32’yi vermesi için üs kaç olmalı?” demektir.

2) Logaritmanın Resmî Tanımı

Logaritma, üslü eşitlik ile tanımlanır. Tanım “iki yönlü” okunur.

Tanım (eşdeğerlik)

Üslü biçim

a^{x} = b

⇔

Logaritmik biçim

\log_{a} b = x

Burada:

a: taban (logaritmanın tabanı)
b: logaritmanın değeri alınan sayı
x: sonuç (aranan üs)

3) Tanımın Geçerli Olması İçin Şartlar

Logaritma ifadesinin anlamlı olması için taban ve sayı belirli koşulları sağlamalıdır:

a > 0 olmalı (taban pozitif)
a ≠ 1 olmalı (taban 1 olamaz)
b > 0 olmalı (logaritması alınan sayı pozitif)

Örneğin log₂(−8) ifadesi gerçek sayılarda tanımsızdır çünkü içerideki sayı negatiftir.

4) Hızlı Dönüşüm Alıştırmaları

Mantığı oturtmanın en iyi yolu, üslü biçim ↔ logaritmik biçim dönüşümünü pratik etmektir.

Örnek 1

Üslü biçimi logaritmik biçime çevir:

10^{3} = 1000

Eşdeğer logaritmik biçim:

\log_{10} 1000 = 3

Örnek 2

Logaritmik biçimi üslü biçime çevir:

\log_{3} 81 = 4

Eşdeğer üslü biçim:

3^{4} = 81

Sayfa Sonu Mini Özet

Logaritma, üslü ifadelerde üssü bulmaya yarar.
a^x = b ise log_a(b) = x.
Koşullar: a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Sonraki sayfada: logaritma kuralları (çarpım, bölüm, üs kuralı) ve ilk uygulamalar.

2. bölüm

TYT & AYT - Logaritma - 2.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Logaritma - 2. Sayfa

Logaritma Kuralları

Çarpım • Bölüm • Üs kuralı • Anlam ve kullanım

1) Kurallar Nereden Geliyor?

Logaritma kuralları ezber değil, üslü ifadelerin özelliklerinden gelir. Bu sayfada her kuralı “mantığıyla” göreceksin.

2) Çarpım Kuralı

Aynı tabandaki iki sayının çarpımının logaritması, logaritmaların toplamına eşittir:

\log_{a} x \cdot y = \log_{a} x + \log_{a} y

Mantık: Eğer x sayısı a tabanında m. kuvvetten geliyorsa, y sayısı da n. kuvvetten geliyorsa, çarpımda üsler toplanır.

Kısa örnek

log₂(8 · 4) hesaplayalım.

\log_{2} 8 \cdot 4 = \log_{2} 8 + \log_{2} 4

= 3 + 2 = 5

3) Bölüm Kuralı

Aynı tabandaki iki sayının bölümünün logaritması, logaritmaların farkına eşittir:

\log_{a} x / y = \log_{a} x - \log_{a} y

Mantık: Üslü ifadelerde bölme yapılınca üsler çıkarılır. Logaritma “üs” söylediği için burada da çıkarma görünür.

Kısa örnek

log₃(81 / 9) hesaplayalım.

\log_{3} 81 / 9 = \log_{3} 81 - \log_{3} 9

= 4 - 2 = 2

4) Üs Kuralı

Logaritması alınan sayının üs şeklinde yazılması, logaritmanın dışına katsayı olarak çıkar:

\log_{a} x^{k} = k \cdot \log_{a} x

Mantık: Eğer a^m = x ise, x^k = (a^m)^k = a^mk olur. Üs çarpıldığı için logaritmada da dışarı katsayı olarak çıkar.

Kısa örnek

log₂(32³) için üs kuralını uygulayalım.

\log_{2} 32^{3} = 3 \cdot \log_{2} 32

= 3 \cdot 5 = 15

⚠

Sık Yapılan Hata

log(x + y) ifadesi log x + log y değildir. Çarpım kuralı sadece x · y için geçerlidir.

Doğru olan: log(x · y) = log x + log y

Sayfa Sonu Mini Özet

Çarpım: log_a(x·y) = log_ax + log_ay
Bölüm: log_a(x/y) = log_ax − log_ay
Üs: log_a(x^k) = k·log_ax
Toplama/çıkarma için kural yok: log(x+y) ayrı bir şeydir.

Sonraki sayfada: özel logaritmalar (taban 10, taban e) ve temel değerler.