Verilen denklem:

Önce paydaların sıfır olmaması gerekir (tanımsız olmaması için):

İkinci payda için önce çarpanlara ayıralım:

Bu payda da sıfır olamaz:

Şimdi denklemi, ikinci paydanın çarpanlara ayrılmış hâliyle yazalım:

Paydaları eşitleyip ortak paydada toplayalım. Ortak payda:

Birinci kesri bu paydaya getirmek için $$(x-1)$$ ile genişletiriz:

Paydalar aynıysa payları çıkarıp tek kesirde yazabiliriz:

Bir kesrin 0 olması için (tanımsız olmadan) payı 0 olmalıdır:

Düzenleyelim:

Çarpanlara ayıralım:

Çarpım 0 ise en az bir çarpan 0’dır:

Tanımsız yapan değerler $$x=-4$$ ve $$x=1$$ idi. Bulduğumuz kökler $$x=-1$$ ve $$x=2$$ bu değerler değildir, yani geçerli köklerdir.

Kökler:

Şıklarda hem kökler ($$-1,2$$) hem de tanımsız yapan değerler ($$-4,1$$) birlikte verilmiş. Bu listeyi doğru veren şık 1’dir.

Verilen denklem:

$$\frac{x}{x-3}+\frac{2}{x^2-6x+9}=0$$

Önce ikinci paydanın özdeşliğini yazalım:

$$x^2-6x+9=(x-3)(x-3)$$

Buna göre denklem şu hale gelir (tanımsız olmaması için x ≠ 3):

$$\frac{x}{x-3}+\frac{2}{{(x-3)}^2}=0$$

Şimdi paydaları yok etmek için her iki tarafı (x−3)² ile çarpalım:

$$(\frac{x}{x-3}+\frac{2}{{(x-3)}^2})·{(x-3)}^2=0$$

Sadeleşmelerden sonra:

$$x(x-3)+2=0$$

Parantezi açalım:

$$x^2-3x+2=0$$

Çarpanlara ayıralım:

$$(x-1)(x-2)=0$$

Bir çarpımın 0 olması için çarpanlardan en az biri 0 olmalı:

$$x-1=0\backslash x-2=0$$

Buradan:

$$x=1\backslash x=2$$

Ayrıca x = 3 paydaları 0 yaptığı için zaten alınamaz. Çözüm: x = 1 ve x = 2. Bu değerleri birlikte içeren şık 4'tür.

Verilen denklem:

Bu tür denklemleri çarpanlara ayırarak çözeriz. Burada $$4$$ sayısının çarpanlarından toplamı $$-5$$ yapan iki sayı arıyoruz: $$-1$$ ve $$-4$$.

O hâlde denklem çarpanlara ayrılır:

Bir çarpımın sonucu $$0$$ ise çarpanlardan en az biri $$0$$ olmalıdır. Yani:

Buradan:

Demek ki denklemin köklerinden biri $$1$$’dir. Bu da 2. şık ile eşleşir.

Denklemimiz:

Çarpanlara ayırmak için ortadaki $$x$$ terimini parçalayalım. (Çünkü $$4\cdot (-3)=-12$$ ve toplamı $$1$$ olan sayılar $$4$$ ve $$-3$$ olur.)

Şimdi gruplandıralım:

Ortak olan $$(x+1)$$ parantezini dışarı alalım:

Bir çarpımın sonucu $$0$$ ise, çarpanlardan en az biri $$0$$ olmalıdır:

Buradan kökleri bulalım:

Seçeneklerde bulunan kök:

Bu da 3. şıktır.

Denklemimiz:

Çarpanlara ayırmak için önce baş katsayı ile sabit terimi çarpalım:

Şimdi çarpımı $$6$$ olan ve toplamı $$-7$$ olan iki sayı bulalım:

Bu yüzden ortadaki terimi iki parçaya ayıralım:

Gruplayalım:

Her grupta ortak çarpanı dışarı alalım:

Şimdi ortak parantezi dışarı alalım:

Bir çarpımın sonucu $$0$$ ise çarpanlardan en az biri $$0$$ olmalıdır:

Buradan kökleri bulalım:

Köklerden biri $$3$$ olduğu için doğru seçenek $$1$$. şıktır.

Verilen denklem:

Bir sayının kök olması için, denklemin sol tarafını o sayı için hesapladığımızda sonuç 0 çıkmalıdır. Doğru şıkla eşleşen değeri deneyelim:

Bu değeri denklemin sol tarafında yerine yazalım:

Önce karesini alalım:

Şimdi adım adım hesaplayalım. İlk terim:

İkinci terim:

Hepsini birleştirelim:

Önce kesirleri toplayalım:

Sonra çıkaralım:

Sol taraf 0 çıktığı için bu değer denklemin köküdür. Bu da 4. şıktır:

Verilen ikinci dereceden denklem:

Kökleri ile katsayılar arasındaki temel ilişkiler:

Bu denklemde katsayılar:

Önce köklerin toplamını bulalım:

Sonra köklerin çarpımını bulalım:

İstenen toplamı temel kesir kuralıyla yazalım:

Bulduğumuz değerleri yerine koyalım:

Sonuç:

Bu değer $$1$$ olduğu için doğru şık 3 tür.

Verilen denklem:

Bu, ax² + bx + c = 0 biçimindedir. Burada katsayılar:

2. dereceden denklemlerde kökler toplamı kuralı:

Burada B = −(3a+4) olduğu için −B = 3a+4 olur. O zaman kökler toplamı:

Kökler toplamı 5 verilmiş. Eşitleyelim:

Paydadaki 2'yi kaldırmak için iki tarafı 2 ile çarpalım:

4'ü karşıya atalım:

Her iki tarafı 3'e bölelim:

Bulduğumuz değer 2 olduğuna göre doğru şık 4'tür.

Verilen denklem:

Bu ifade bir tam kare olabilir. Çünkü:

Ortadaki terim de şuna uyuyor:

O zaman denklem, tam kare şeklinde yazılır:

Bir sayının karesi sıfırsa, o sayı sıfırdır. Bu yüzden:

Buradan kökü bulalım:

Denklemin farklı kökü sadece bir tane olduğu için farklı köklerin toplamı:

Bu sonuç 4. şık ile eşleşir.

Verilen denklem:

$$\sqrt{x^2-5x-6}+\sqrt{x+1}=0$$

Kural: Kareköklü ifadeler (tanımlı oldukları sürece) negatife inmez, yani her zaman $$\ge 0$$ olur.

Bu yüzden iki tane karekökün toplamı $$0$$ ise, ikisi de ayrı ayrı $$0$$ olmalıdır:

$$\sqrt{x^2-5x-6}=0$$

$$\sqrt{x+1}=0$$

Önce daha basit olanı çözelim:

$$\sqrt{x+1}=0$$

Bir sayının karekökü ancak içi $$0$$ ise $$0$$ olur. Yani:

$$x+1=0$$

Buradan:

$$x=-1$$

Şimdi bulunan değeri diğer karekökün içine kontrol edelim:

$$x^2-5x-6$$

Yerine koyarsak:

$${(-1)}^2-5(-1)-6$$

Hesaplayalım:

$$1+5-6=0$$

İçi $$0$$ olduğu için bu karekök de $$0$$ olur ve denklem sağlanır.

Çözüm kümesi:

$$\{-1\}$$

Bu sonuç şıklardan 2. şık ile eşleşir.