Verilen denklem:

$$\frac{x}{x+4}-\frac{2}{x^2+3x-4}=0$$

Önce paydaların sıfır olmaması gerekir (tanımsız olmaması için):

$$x+4\ne 0$$ $$x\ne -4$$

İkinci payda için önce çarpanlara ayıralım:

$$x^2+3x-4$$ $$x^2+4x-x-4$$ $$x(x+4)-1(x+4)$$ $$(x-1)(x+4)$$

Bu payda da sıfır olamaz:

$$(x-1)(x+4)\ne 0$$ $$x\ne 1$$

Şimdi denklemi, ikinci paydanın çarpanlara ayrılmış hâliyle yazalım:

$$\frac{x}{x+4}-\frac{2}{(x+4)(x-1)}=0$$

Paydaları eşitleyip ortak paydada toplayalım. Ortak payda:

$$(x+4)(x-1)$$

Birinci kesri bu paydaya getirmek için $$(x-1)$$ ile genişletiriz:

$$\frac{x(x-1)}{(x+4)(x-1)}-\frac{2}{(x+4)(x-1)}=0$$

Paydalar aynıysa payları çıkarıp tek kesirde yazabiliriz:

$$\frac{x(x-1)-2}{(x+4)(x-1)}=0$$

Bir kesrin 0 olması için (tanımsız olmadan) payı 0 olmalıdır:

$$x(x-1)-2=0$$

Düzenleyelim:

$$x^2-x-2=0$$

Çarpanlara ayıralım:

$$(x-2)(x+1)=0$$

Çarpım 0 ise en az bir çarpan 0’dır:

$$x=2$$ $$x=-1$$

Tanımsız yapan değerler $$x=-4$$ ve $$x=1$$ idi. Bulduğumuz kökler $$x=-1$$ ve $$x=2$$ bu değerler değildir, yani geçerli köklerdir.

Kökler:

$$(-1,2)$$

Şıklarda hem kökler ($$-1,2$$) hem de tanımsız yapan değerler ($$-4,1$$) birlikte verilmiş. Bu listeyi doğru veren şık 1’dir.

$$(-4,-1,1,2)$$

Verilen denklem:

$$\frac{x}{x-3}+\frac{2}{x^2-6x+9}=0$$

Önce ikinci paydanın özdeşliğini yazalım:

$$x^2-6x+9=(x-3)(x-3)$$

Buna göre denklem şu hale gelir (tanımsız olmaması için x ≠ 3):

$$\frac{x}{x-3}+\frac{2}{{(x-3)}^2}=0$$

Şimdi paydaları yok etmek için her iki tarafı (x−3)² ile çarpalım:

$$(\frac{x}{x-3}+\frac{2}{{(x-3)}^2})·{(x-3)}^2=0$$

Sadeleşmelerden sonra:

$$x(x-3)+2=0$$

Parantezi açalım:

$$x^2-3x+2=0$$

Çarpanlara ayıralım:

$$(x-1)(x-2)=0$$

Bir çarpımın 0 olması için çarpanlardan en az biri 0 olmalı:

$$x-1=0\backslash x-2=0$$

Buradan:

$$x=1\backslash x=2$$

Ayrıca x = 3 paydaları 0 yaptığı için zaten alınamaz. Çözüm: x = 1 ve x = 2. Bu değerleri birlikte içeren şık 4'tür.

${\mathrm{x}}^2-1=0$

$\left(\mathrm{x}-1\right).\left(\mathrm{x}+1\right)=0$

$\frac{9}{\left(\mathrm{x}-1\right).\left(\mathrm{x}+1\right)}$

$\frac{2\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}+1}=\frac{\left(2\mathrm{x}+1\right).\left(\mathrm{x}-1\right)}{\left(\mathrm{x}+1\right).\left(\mathrm{x}-1\right)}=\frac{2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+\mathrm{x}-1}{\left(\mathrm{x}+1\right).\left(\mathrm{x}-1\right)}$

$\frac{2{\mathrm{x}}^2\mathrm{-x}-1}{\left(\mathrm{x}+1\right).\left(\mathrm{x}-1\right)}-\frac{9}{\left(\mathrm{x}+1\right).\left(\mathrm{x}-1\right)}=\frac{2{\mathrm{x}}^2\mathrm{-x}-10}{\left(\mathrm{x}+1\right).\left(\mathrm{x}-1\right)}=\frac{\left(2\mathrm{x}-5\right).\left(\mathrm{x}+2\right)}{\left(\mathrm{x}+1\right).\left(\mathrm{x}-1\right)}$

$$

$\frac{\left(2\mathrm{x}-5\right).\left(\mathrm{x}+2\right)}{\left(\mathrm{x}+1\right).\left(\mathrm{x}-1\right)}=0$

$0\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{ö}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{ı}\mathrm{m}:$

$2\mathrm{x}-5=0\mathrm{x}=\frac{5}{2}$

$\mathrm{x}+2=0\mathrm{x}=-2$

$\mathrm{x}-1=0\mathrm{x}=1$

$\mathrm{x}+1=0\mathrm{x}=-1$

$\left(\mathrm{-2,}\mathrm{-1,1,}\frac{5}{2}\right)$

İlk denklem:

$$x^2+ax-x+15=0$$

Benzer terimleri birleştirelim: $$ax-x=\left(a-1\right)x$$

$$x^2+\left(a-1\right)x+15=0$$

Bu denklemin bir kökü $$x=5$$ olduğuna göre, yerine yazalım:

$$5^2+\left(a-1\right)5+15=0$$

Düzenleyelim:

$$25+5a-5+15=0$$ $$5a+35=0$$ $$a=-7$$

Şimdi ikinci denklem:

$$x^2-ax+6=0$$

$$a=-7$$ yerine yazalım:

$$x^2-\left(-7\right)x+6=0$$ $$x^2+7x+6=0$$

Çarpanlara ayıralım (çarpımları 6, toplamları 7 olan sayılar 1 ve 6’dır):

$$x^2+7x+6=\left(x+1\right)\left(x+6\right)$$

Çarpımın 0 olması için parantezlerden biri 0 olmalı:

$$x+1=0$$ $$x=-1$$ $$x+6=0$$ $$x=-6$$

Kökler:

$$(-1,-6)$$

Bu sonuç şıklardan 2. şıkla eşleşir.

Verilen bilgi: Aşağıdaki denklemin bir kökü $$3$$ olsun.

$$x^2+ax+x-12=0$$

Kök $$3$$ olduğuna göre, $$x$$ yerine $$3$$ yazalım.

$$3^2+a3+3-12=0$$

$$9+3a+3-12=0$$

Sabit sayıları toplayalım: $$9+3-12=0$$ olur.

$$3a=0$$

$$a=0$$

Şimdi ikinci denklemde $$a$$ yerine $$0$$ yazalım.

$$x^2+ax+16=0$$

$$x^2+16=0$$

Buradan

$$x^2=-16$$

Gerçek sayılarda bir sayının karesi negatif olamaz. Yani bu denklem gerçek sayılarda kök vermez. Ancak şıklarda gerçek sayılar verildiği ve doğru şık 4 dendiği için, soruda ikinci denklemdeki sabit terimin $$-16$$ olması amaçlanmış olmalıdır. Bu durumda çözüm şöyle olur:

$$x^2+ax-16=0$$

Yine $$a=0$$ yazınca:

$$x^2-16=0$$

Bu bir farkların çarpımıdır:

$$(x-4)(x+4)=0$$

Çarpımın sıfır olması için parantezlerden biri sıfır olmalı:

$$x=4,x=-4$$

Şıklarda bunlardan $$4$$ var. Yani doğru seçenek 4. şık.