1. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 11.Sayfa

Parabol - 11. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Köklerin Toplamı ve Çarpımı (Vieta)

Parabolün x eksenini kestiği noktalar varsa, bu kökler arasında çok pratik ilişkiler vardır. Bu sayfada köklerin toplamı ve çarpımı formüllerini öğreneceğiz.

11

1) Köklerin Toplamı ve Çarpımı

Bir parabolün denklemi: $y = a x^{2} + b x + c$ olsun. Bu parabolün kökleri (x ekseni kesişimleri) x₁ ve x₂ ise:

Toplam

x ₁ + x ₂ = - \frac{b}{a}

Çarpım

x ₁ \cdot x ₂ = \frac{c}{a}

Bu ilişkiler “Vieta bağıntıları” olarak bilinir. Kökleri tek tek bulmadan bazı soruları hızlı çözer.

2) Simetri Ekseni ile Bağlantı

Parabol x eksenini iki noktada kesiyorsa, bu iki kökün ortalaması simetri ekseninin x değeridir:

x ₛ = \frac{x ₁ + x ₂}{2}

Zaten x₁ + x₂ = −b/a olduğundan: $x ₛ = - \frac{b}{2 a}$ elde edilir.

3) Mini Örnek

y = 2 x^{2} - 6 x + 4

Burada a=2, b=−6, c=4. Köklerin toplamı:

x ₁ + x ₂ = - \frac{- 6}{2}

x ₁ + x ₂ = 3

Bu bilgi, kökleri tek tek bulmadan simetri ekseni hakkında hızlı fikir verir.

2. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 12.Sayfa

Parabol - 12. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Parabolün Grafiğini Adım Adım Çizme

Bu sayfada bir parabolün grafiğini doğru ve hızlı şekilde çizebilmek için kullanılan sistematik yöntemi öğreneceğiz.

12

Örnek Parabol

y = x^{2} - 4 x + 3

Adım 1: Açılış Yönünü Belirle

a = 1

a > 0 olduğu için parabol yukarı açılır.

Adım 2: Tepe Noktasını Bul

x = - \frac{- 4}{21}

x = 2

y = 2^{2} - 8 + 3

(2, - 1)

Adım 3: y Ekseni Kesişimini Bul

(0, 3)

Adım 4: Simetriyi Kullan

Simetri ekseni:

x = 2

(0,3) noktasının simetriği (4,3) olur.

Grafik çizmek için gerekli temel noktalar:

Tepe noktası
y kesişimi
Simetrik noktalar

3. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 13.Sayfa

Parabol - 13. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Parabol ile En Büyük / En Küçük Değer

Paraboller “optimizasyon” sorularında çok sık çıkar: en küçük değer, en büyük değer, minimum maliyet, maksimum alan gibi. Bu sayfada tepe noktası mantığıyla bunu öğreneceğiz.

13

1) Neden Tepe Noktası?

Bir parabol: $y = a x^{2} + b x + c$ şeklindeyse, grafiğin “en düşük” veya “en yüksek” noktası tepe noktasıdır.

a > 0

Parabol yukarı açılır → tepe noktası minimum verir.

a < 0

Parabol aşağı açılır → tepe noktası maksimum verir.

Bu yüzden “en büyük/en küçük” sorularında tepe noktasına gitmek en hızlı yoldur.

2) En Küçük / En Büyük Değer Nasıl Bulunur?

Bir parabolün ekstrem değeri (minimum veya maksimum), tepe noktasının y değeridir. Adımlar:

Önce tepe noktasının x koordinatını bul: $x ₜ = - \frac{b}{2 a}$
Sonra bu değeri fonksiyonda yerine yaz ve y’yi bul.

Not

İstersen tepe noktasının y değerini −Δ / (4a) ile de bulabilirsin.

3) Örnek: Minimum Değer

f (x) = x^{2} - 6 x + 11

Burada a=1 olduğu için parabol yukarı açılır → minimum değer vardır. Tepe noktasının x koordinatı:

x ₜ = - \frac{- 6}{21} = 3

Şimdi fonksiyonda yerine yazalım:

f (3) = 3^{2} - 63 + 11

f (3) = 2

Minimum değer 2’dir ve bu değer x=3 noktasında alınır.

4. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 14.Sayfa

Parabol - 14. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Parametreli Parabol Soruları (Kök Şartları)

Parabol sorularında katsayılar bazen harf ile verilir. Bu durumda diskriminant (Δ) kullanılarak kök sayısı ve şartlar bulunur.

14

1) Diskriminant Hatırlatma

Δ = b^{2} - 4 a c

Δ > 0 → iki kök
Δ = 0 → tek kök
Δ < 0 → kök yok

2) Örnek: İki Farklı Kök Şartı

x^{2} + m x + 1 = 0

İki farklı kök olması için:

Δ > 0

m^{2} - 4 > 0

m^{2} > 4

3) Örnek: Tek Kök Şartı

Tek kök olması için:

Δ = 0

m^{2} - 4 = 0

m = 2 veya m = - 2

Parametre sorularında temel yöntem:

Diskriminant yaz
İstenen kök şartını uygula
Eşitsizliği çöz

5. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 15.Sayfa

Parabol - 15. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Parabolün Tamamının x Ekseni Üstünde veya Altında Olması

Bazı sorularda parabolün x eksenini hiç kesmemesi ve tamamen üstte veya altta olması istenir. Bu durum diskriminant ve a katsayısı ile belirlenir.

15

1) Parabolün Tamamı x Ekseni Üstünde

Bunun için iki şart gerekir:

Parabol yukarı açılmalı
x eksenini kesmemeli

a > 0

Δ < 0

2) Parabolün Tamamı x Ekseni Altında

Bunun için:

Parabol aşağı açılmalı
x eksenini kesmemeli

a < 0

Δ < 0

3) Örnek

y = 2 x^{2} + 4 x + 5

Δ = 4^{2} - 425

Δ = - 24

a > 0 ve Δ < 0 olduğu için parabol tamamen x ekseni üstündedir.

6. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 16.Sayfa

Parabol - 16. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Parabolün Bir Noktadan Geçmesi

Parabolün belirli bir noktadan geçtiği verildiğinde, bu noktanın koordinatları fonksiyon denkleminde yerine yazılarak bilinmeyen katsayılar bulunabilir.

16

1) Temel Kural

Eğer parabol bir noktadan geçiyorsa:

(x ₀, y ₀)

bu değerler denklemde yerine yazılır.

2) Örnek

Parabol:

y = a x^{2}

(2, 8) noktasından geçiyor.

3) Yerine Yazalım

8 = a 2^{2}

8 = 4 a

4) Sonuç

a = \frac{8}{4}

a = 2

7. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 17.Sayfa

Parabol - 17. Sayfa

Lise • TYT • AYT

İki Noktadan Geçen Parabolde Katsayı Bulma

Bir parabolün iki farklı noktadan geçtiği verildiğinde, bu noktaların koordinatlarını denklemde yerine yazarak bilinmeyenleri bulabiliriz.

17

1) Genel Denklem

En yaygın parabol formu:

y = a x^{2} + b x + c

2) Verilen Noktalar

Parabolün şu iki noktadan geçtiği bilinsin:

(1, 2)

(3, 6)

3) Denklem Kurma

Noktaları tek tek yerine yazarız:

(1,2) için

2 = a 1^{2} + b 1 + c

(3,6) için

6 = a 3^{2} + b 3 + c

Bu iki denklem, bilinmeyen a, b, c için iki koşul verir. Tek çözüm için genellikle bir bilgi daha gerekir (örneğin tepe noktası, bir başka nokta, simetri ekseni, köklerden biri gibi).

4) Ek Bilgi ile Tam Çözüm (Mini Örnek)

Diyelim ki ayrıca parabolün y ekseni kesişimi (0,1) olsun. Bu durumda c=1. Şimdi denklemleri yazalım:

(1,2) den

2 = a + b + 1

(3,6) dan

6 = 9 a + 3 b + 1

İlk denklemden:

a + b = 1

İkinci denklemden:

9 a + 3 b = 5

Bu iki denklem çözülerek a ve b bulunur. (Bu çözümü bir sonraki sayfada adım adım yapacağız.)

8. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 18.Sayfa

Parabol - 18. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Parabolde Katsayı Bulma: Denklem Çözümü

Önceki sayfada kurduğumuz iki denklemi çözerek a ve b değerlerini bulacağız. Böylece parabolün denklemini tamamlayacağız.

18

1) Elimizdeki Denklemler

Denklem (I)

a + b = 1

Denklem (II)

9 a + 3 b = 5

2) Yöntem: Yerine Koyma

Denklem (I) den b’yi yalnız bırakalım:

b = 1 - a

Bunu Denklem (II) de yerine yazalım:

9 a + 3 (1 - a) = 5

Parantezi açalım:

9 a + 3 - 3 a = 5

Benzer terimleri toplayalım:

6 a + 3 = 5

3’ü karşıya atalım:

6 a = 2

Son olarak 6’ya bölelim:

a = \frac{2}{6}

a = \frac{1}{3}

3) b Değerini Bulma

Artık a değerini bulduk. Denklem (I) e geri dönelim:

a + b = 1

a yerine bulduğumuz değeri yazalım:

\frac{1}{3} + b = 1

b’yi yalnız bırakalım:

b = 1 - \frac{1}{3}

b = \frac{2}{3}

Sonuç: a = 1/3 ve b = 2/3. Eğer y ekseni kesişimi (0,1) ise c = 1 olur ve parabolün denklemi tamamlanır.

9. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 19.Sayfa

Parabol - 19. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Parabolün Denklemini Tamamlamak

Önceki sayfalarda a ve b değerlerini bulduk. Bu sayfada bu değerleri kullanarak parabolün tam denklemini yazacağız.

19

1) Bulduğumuz Değerler

a = \frac{1}{3}

b = \frac{2}{3}

c = 1

2) Genel Form

y = a x^{2} + b x + c

3) Yerine Yazalım

y = \frac{1}{3} x^{2} + \frac{2}{3} x + 1

4) Kontrol Edelim

Nokta (0,1) için:

y = 1

Bu değer doğru olduğu için denklemimiz doğrudur.

10. bölüm

TYT & AYT - Parabol - 20.Sayfa

Parabol - 20. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Parabol: Zor Seviye Özet ve Karma Alıştırmalar

Bu sayfada parabol konusunun en kritik formüllerini tek yerde toplayıp, en sık yapılan hataları ve zorlayıcı karma soruları göreceğiz.

20

1) Hızlı Formül Kutusu

Tepe Noktası

x ₜ = - \frac{b}{2 a}, y ₜ = f (x ₜ)

Delta ve Tepe Noktası y

Δ = b^{2} - 4 a c, y ₜ = - \frac{Δ}{4 a}

Köklerin Toplamı / Çarpımı

x ₁ + x ₂ = - \frac{b}{a}, x ₁ \cdot x ₂ = \frac{c}{a}

Tepe Noktası Formu

y = a {(x - h)}^{2} + k, T (h, k)

2) Sık Tuzaklar

Tuzak 1: −b/2a parantezi

b negatifse, −b pozitif olur. İşaret hatası tepe noktasını tamamen değiştirir.

Tuzak 2: Δ’nın yorumlanması

Δ < 0 → kök yok demektir. Bu, parabolün x eksenini kesmediği anlamına gelir; ama yukarı mı aşağı mı olduğu a ile belirlenir.

Tuzak 3: Tepe noktası formunu okuma

y = a(x − h)² + k ise tepe noktası (h, k)’dir. İçeride “x + 3” varsa h = −3 olur.

3) Karma Alıştırmalar

Soru 1

f(x) = x² − 10x + 21 parabolünün minimum değerini ve hangi x’te aldığını bulun.

İpucu

Tepe noktasının x’i:

x ₜ = - \frac{b}{2 a}

Soru 2

y = 2(x − 1)² − 8 parabolünün köklerini bulun ve x eksenini kaç noktada kestiğini söyleyin.

İpucu

Kök için y = 0 yazılır.

Soru 3

x² + mx + 9 = 0 denkleminin gerçel kökü olmaması için m hangi aralıkta olmalıdır?

İpucu

Gerçel kök yoksa Δ < 0.

Bu alıştırmaların çözümlerini kendin dene. Bir sonraki tekrarında, tepe noktası + Δ + simetri ekseni üçlüsünü otomatikleşmiş şekilde kullanmaya çalış.

Parabol Konu Anlatımı

TYT & AYT - Parabol - 11.Sayfa

Köklerin Toplamı ve Çarpımı (Vieta)

1) Köklerin Toplamı ve Çarpımı

2) Simetri Ekseni ile Bağlantı

3) Mini Örnek

TYT & AYT - Parabol - 12.Sayfa

Parabolün Grafiğini Adım Adım Çizme

Örnek Parabol

Adım 1: Açılış Yönünü Belirle

Adım 2: Tepe Noktasını Bul

Adım 3: y Ekseni Kesişimini Bul

Adım 4: Simetriyi Kullan

TYT & AYT - Parabol - 13.Sayfa

Parabol ile En Büyük / En Küçük Değer

1) Neden Tepe Noktası?

2) En Küçük / En Büyük Değer Nasıl Bulunur?

3) Örnek: Minimum Değer

TYT & AYT - Parabol - 14.Sayfa

Parametreli Parabol Soruları (Kök Şartları)

1) Diskriminant Hatırlatma

2) Örnek: İki Farklı Kök Şartı

3) Örnek: Tek Kök Şartı

TYT & AYT - Parabol - 15.Sayfa

Parabolün Tamamının x Ekseni Üstünde veya Altında Olması

1) Parabolün Tamamı x Ekseni Üstünde

2) Parabolün Tamamı x Ekseni Altında

3) Örnek

TYT & AYT - Parabol - 16.Sayfa

Parabolün Bir Noktadan Geçmesi

1) Temel Kural

2) Örnek

3) Yerine Yazalım

4) Sonuç

TYT & AYT - Parabol - 17.Sayfa

İki Noktadan Geçen Parabolde Katsayı Bulma

1) Genel Denklem

2) Verilen Noktalar

3) Denklem Kurma

4) Ek Bilgi ile Tam Çözüm (Mini Örnek)

TYT & AYT - Parabol - 18.Sayfa

Parabolde Katsayı Bulma: Denklem Çözümü

1) Elimizdeki Denklemler

2) Yöntem: Yerine Koyma

3) b Değerini Bulma

TYT & AYT - Parabol - 19.Sayfa

Parabolün Denklemini Tamamlamak

1) Bulduğumuz Değerler

2) Genel Form

3) Yerine Yazalım

4) Kontrol Edelim

TYT & AYT - Parabol - 20.Sayfa

Parabol: Zor Seviye Özet ve Karma Alıştırmalar

1) Hızlı Formül Kutusu

2) Sık Tuzaklar

3) Karma Alıştırmalar