1. bölüm

Konu Anlatımı - Diziler - 1.Sayfa

Lise - Genel Sınav - Diziler - 1. Sayfa

Lise • Sınavlara Hazırlık

Diziler

1. Sayfa • Temel kavramlar, gösterimler ve ilk örnekler

1) Dizi Nedir?

Diziler, belirli bir kurala göre sıralanmış sayıların oluşturduğu listelerdir.

!

Temel fikir

Dizi, bir fonksiyon gibi düşünülebilir: Her doğal sayıya (indise) bir değer (terim) karşılık gelir.

En yaygın gösterim: (a_n) veya {a_n}

Örnek Gösterim

“a₁ birinci terim, a₂ ikinci terim, …, a_n n’inci terim” şeklinde okunur.

2) Terim, İndis ve Tanım Kümesi

Terim (a_n): Dizinin n’inci elemanıdır.
İndis (n): Terimin “kaçıncı” olduğunu belirten sayıdır.
Başlangıç indisi: Bazı diziler n=1’den, bazıları n=0’dan başlar.

Not

Dizilerde “ilk terim” ifadesi, çoğu zaman a₁ anlamına gelir; fakat soru özellikle “n=0’dan başlayan” bir dizi veriyorsa ilk terim a₀ olur.

3) Dizi Nasıl Tanımlanır?

Genel Sınav’de en sık üç tanımlama yöntemi görülür.

A) Açık (Genel) Terim

Her n için terimi doğrudan veren formül: a_n = …

Örnek: a_n = 2n + 1 ise dizi tek sayıları üretir.

B) Özyinelemeli (Recursive) Tanım

İlk terim(ler) verilir, sonraki terim bir önceki(ler) ile ilişkilendirilir.

Örnek: a₁=3, a_n+1=a_n+2 ise her adımda 2 artan bir dizi oluşur.

C) Liste / Noktalı Gösterim

İlk birkaç terim yazılır, desen anlaşılır: 1, 4, 9, 16, …

Bu örnek, kare sayılardır: a_n=n².

4) İlk Terimleri Bulma (Temel)

Örnek 1

a_n = 2n + 1 dizisinin a₁, a₂, a₃, a₄ terimlerini bulalım.

Çözüm

n=1 için: a₁ = 2·1 + 1 = 3

n=2 için: a₂ = 2·2 + 1 = 5

n=3 için: a₃ = 2·3 + 1 = 7

n=4 için: a₄ = 2·4 + 1 = 9

Sonuç: 3, 5, 7, 9, …

Örnek 2

a₁=4 ve a_n+1=a_n+3 olan dizinin ilk 5 terimini yazalım.

Çözüm

a₁ = 4

a₂ = a₁ + 3 = 4 + 3 = 7

a₃ = a₂ + 3 = 7 + 3 = 10

a₄ = a₃ + 3 = 10 + 3 = 13

a₅ = a₄ + 3 = 13 + 3 = 16

Sonuç: 4, 7, 10, 13, 16, …

5) “Bu Terim Kaçıncı Terim?” Mantığı

Bazen terim değeri verilir ve o değerin dizide kaçıncı sırada olduğu sorulur. Bu tür sorularda genel terimden yararlanıp n’i buluruz.

Mini Örnek

a_n = 2n + 1 dizisinde a_n = 31 ise n kaçtır?

Çözüm

2n + 1 = 31

2n = 30

n = 15

Sonuç: 31, dizinin 15. terimidir.

Bu sayfadan akılda kalacaklar

Dizi: indis → terim eşlemesi yapan bir yapı.
a_n genel terim, a₁/a₀ başlangıç terimi olabilir.
Açık terim, özyinelemeli tanım ve liste gösterimi sık kullanılır.

2. bölüm

Konu Anlatımı - Diziler - 2.Sayfa

Lise - Genel Sınav - Diziler - 2. Sayfa

Lise • Sınavlara Hazırlık

Diziler

2. Sayfa • Genel Terim Kavramı ve Terim Bulma

1) Genel Terim (aₙ) Nedir?

Dizinin her terimini doğrudan bulmamızı sağlayan matematiksel ifadeye genel terim denir.

Genel gösterim:

a_n = matematiksel ifade

Bu ifade sayesinde dizinin istediğimiz herhangi bir terimini doğrudan bulabiliriz.

2) Örnek: Genel Terimden Terim Bulma

Verilen dizi:

a_n = 3n

İlk 5 terimi bulalım:

a₁ = 3 × 1 = 3

a₂ = 3 × 2 = 6

a₃ = 3 × 3 = 9

a₄ = 3 × 4 = 12

a₅ = 3 × 5 = 15

Dizi: 3, 6, 9, 12, 15, ...

3) Örnek: Genel Terimi Negatif Olan Dizi

Verilen:

a_n = −2n

İlk 4 terimi bulalım:

a₁ = −2

a₂ = −4

a₃ = −6

a₄ = −8

Dizi: −2, −4, −6, −8, ...

4) Örnek: Kare Dizisi (MathML)

Verilen:

a_{n} = n^{2}

İlk 5 terimi:

1, 4, 9, 16, 25, ...

Özet

Genel terim, dizinin her terimini bulmamızı sağlar.
a_n içine n değeri yazılarak terim bulunur.
Genel terim sayesinde dizinin herhangi bir terimi hesaplanabilir.

3. bölüm

Konu Anlatımı - Diziler - 3.Sayfa

Lise - Genel Sınav - Diziler - 3. Sayfa

Lise • Sınavlara Hazırlık

Diziler

3. Sayfa • Sabit Diziler ve Artan-Azalan Diziler

1) Sabit (Constant) Dizi

Tüm terimleri aynı olan dizilere sabit dizi denir.

Genel form:

a_{n} = c

c sabit bir sayıdır.

Örnek:

a_{n} = 5

Dizi:

5, 5, 5, 5, 5, ...

2) Artan (Increasing) Dizi

Her terimi kendinden sonraki terimden küçük olan dizilere artan dizi denir.

a_{n} < a_{n + 1}

Örnek:

2, 4, 6, 8, 10, ...

3) Azalan (Decreasing) Dizi

Her terimi kendinden sonraki terimden büyük olan dizilere azalan dizi denir.

a_{n} > a_{n + 1}

Örnek:

20, 15, 10, 5, 0, ...

Önemli Not

Sabit diziler hem artan hem azalan olarak kabul edilmez.

Örnek:

7, 7, 7, 7, ...

4) Örnek Soru

Verilen dizi:

a_{n} = - n

Bu dizi artan mı, azalan mı?

−1, −2, −3, −4, ...

Azalan dizidir.

4. bölüm

Konu Anlatımı - Diziler - 4.Sayfa

Lise - Genel Sınav - Diziler - 4. Sayfa

Lise • Sınavlara Hazırlık

Diziler

4. Sayfa • Aritmetik Dizi: Tanım, Özellikler ve Örnekler

1) Aritmetik Dizi Nedir?

Ardışık iki terim arasındaki farkın sabit olduğu dizilere aritmetik dizi denir.

Ortak fark (d):

d = a_n+1 − a_n

Eğer d her n için aynı kalıyorsa dizi aritmetiktir.

Önemli gösterim:

a₁, a₂, a₃, ... aritmetik dizi ise a_n şu şekilde yazılabilir:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

2) Örnek 1: Ortak Farkı Bulma

Dizi: 5, 9, 13, 17, ...

Ardışık iki terim arasındaki fark:

9 − 5 = 4
13 − 9 = 4
17 − 13 = 4

Ortak fark: d = 4

3) Örnek 2: n’inci Terim Bulma

Bir aritmetik dizide:

a₁ = 7, d = 3

a₁₀ değerini bulalım.

Formül:

a_{10} = a_{1} + (10 - 1) d

a₁₀ = 7 + (9)·3 = 7 + 27 = 34

Sonuç: a₁₀ = 34

sınav İpucu

Aritmetik dizilerde en sık yapılan hata, (n−1) yerine yanlışlıkla n yazmaktır. Çünkü a₁ ile a_n arasında n−1 tane “adım” vardır.

5. bölüm

Konu Anlatımı - Diziler - 5.Sayfa

Lise - Genel Sınav - Diziler - 5. Sayfa

Lise • Sınavlara Hazırlık

Diziler

5. Sayfa • Aritmetik Dizide Bilinmeyen Terim ve Ortak Fark Bulma

1) Bilinmeyen Terim Bulma Mantığı

Aritmetik dizide bilinmeyen terimler genellikle şu formül kullanılarak bulunur:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Bu formül sayesinde herhangi bir terim hesaplanabilir.

2) Örnek 1: Ortak Farkı Bulma

Verilen dizi:

6, 10, 14, 18, ...

Ortak fark:

10 − 6 = 4
14 − 10 = 4
18 − 14 = 4

Ortak fark d = 4

3) Örnek 2: Bilinmeyen Terimi Bulma

a₁ = 5
d = 3
a_n = 35

n kaçtır?

35 = 5 + (n - 1) 3

35 − 5 = 30

30 = (n − 1) × 3

10 = n − 1

n = 11

Sonuç: 35 sayısı dizinin 11. terimidir.

4) Örnek 3: Eksik Terimi Bulma

Dizi:

4, ?, 12

Ortak fark sabittir.

Toplam artış: 12 − 4 = 8

İki adım vardır.

d = 4

Eksik terim:

4 + 4 = 8

Eksik terim = 8

Genel Sınav İpucu

Aritmetik dizilerde ortak fark her zaman sabittir. Eğer sabit değilse dizi aritmetik değildir.

Diziler Konu Anlatımı

Konu Anlatımı - Diziler - 1.Sayfa

Diziler

1) Dizi Nedir?

2) Terim, İndis ve Tanım Kümesi

3) Dizi Nasıl Tanımlanır?

4) İlk Terimleri Bulma (Temel)

5) “Bu Terim Kaçıncı Terim?” Mantığı

Konu Anlatımı - Diziler - 2.Sayfa

Diziler

1) Genel Terim (aₙ) Nedir?

2) Örnek: Genel Terimden Terim Bulma

3) Örnek: Genel Terimi Negatif Olan Dizi

4) Örnek: Kare Dizisi (MathML)

Konu Anlatımı - Diziler - 3.Sayfa

Diziler

1) Sabit (Constant) Dizi

2) Artan (Increasing) Dizi

3) Azalan (Decreasing) Dizi

4) Örnek Soru

Konu Anlatımı - Diziler - 4.Sayfa

Diziler

1) Aritmetik Dizi Nedir?

2) Örnek 1: Ortak Farkı Bulma

3) Örnek 2: n’inci Terim Bulma

Konu Anlatımı - Diziler - 5.Sayfa

Diziler

1) Bilinmeyen Terim Bulma Mantığı

2) Örnek 1: Ortak Farkı Bulma

3) Örnek 2: Bilinmeyen Terimi Bulma

4) Örnek 3: Eksik Terimi Bulma

Diziler için blog rehberleri

AYT Konu Anlatımı ile Deneme Arasındaki Çalışma Dengesi

AYT Matematik Konu Anlatımlı Kitap Seçerken Nelere Bakılmalı?

Online İngilizce Kursu Seçerken Nelere Bakılmalı?

Diziler testini seviyene göre çöz

Üniversite yaşamını planla