Önemli fikir

Limitte asıl konu “yaklaşma”dır. Fonksiyonun x = a noktasında tanımlı olmaması ya da o noktada farklı bir değer alması, limitin var olmasına engel olmayabilir.

Gösterim

Matematiksel yazım

Limitin var olma şartı

Bir noktada limitin var olması için soldan limit ile sağdan limitin eşit olması gerekir.

$\underset{x\to a^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)\Rightarrow \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)\text{vardır}$

Polinom olduğu için x yerine 2 yazabiliriz.

$3·2+1=6+1=7$

Sonuç: 7

Örnek 2 • Negatif değere yaklaşma

Aşağıdaki limiti hesaplayalım:

$\underset{x\to -1}{lim}(x^2+2x+5)$

Bu sayfadan akılda kalsın

Neden “paydanın limiti 0 olmasın” şartı önemli?

Paydanın limiti 0 olursa sonuç çok büyüyebilir (sonsuzluğa gidebilir) ya da limit hiç var olmayabilir. Bu durum “belirsizlik” türleriyle ilgilidir.

Polinom olduğu için x=1 yazalım:

$2·1^2-3·1+4=2-3+4=3$

Sonuç: 3

x=2 yazınca payda: 2−3 = −1 olur, yani 0 değildir.

$(2+1)÷(2-3)=3÷(-1)=-3$

Sonuç: −3

İpucu

Eğer payda x=a’da 0 olsaydı, “doğrudan yerine koyma” ile bitiremeyecektik. Bu tip ifadeler genellikle “belirsizlik” türlerine girer.

Bu sayfadan akılda kalsın

Kritik ayrım

“0/0” belirsizliği çoğunlukla sadeleştirme, çarpanlara ayırma veya eşlenik gibi tekniklerle çözülür. Bu sayfada ilk teknik olan çarpanlara ayırma ile sadeleştirmeye başlayacağız.

Sadeleştirme mantığı

Ortak çarpan sadeleştirildiğinde, “x=a” noktasındaki tanımsızlık giderilmiş olur. Limit, yaklaşma davranışını anlattığı için, sadeleştirilen ifade ile orijinal ifade aynı limite sahip olabilir.

Dikkat

Sadeleştirme yaparken “x−a” gibi ifadeleri sıfıra eşitleyip çözmek yerine, amaç çarpan olarak ayırmak ve sadeleştirmektir.

x=2 yazınca pay: 2²−4 = 0, payda: 2−2 = 0. Yani 0/0 belirsizliği var.

Adım 1: Çarpanlara ayır

x²−4 bir fark-ı karelerdir: (x−2)(x+2).

Adım 2: Ortak çarpanı sadeleştir

Payda (x−2) olduğu için, payda ile ortak olan bu çarpan sadeleşir (x=2 iken sadeleştirme yapılmaz; yaklaşırken değerlendirilir).

Sadeleştirmeden sonra limit, x→2 iken (x+2) olur. Şimdi yerine koyabiliriz:

$2+2=4$

Sonuç: 4

Yorum

Bu tip sorularda “ilk refleks”: 0/0 → çarpanlara ayır → sadeleştir → yerine koy.

x=1 yazınca pay: 1²−1=0, payda: 1−1=0. Yine 0/0.

Adım 1: Payda ve payı düzenle

Payda x²−x ifadesinde ortak çarpan x vardır: x(x−1).

Sadeleştirme sonrası limit x→1 iken x olur: yerine koyarsak 1.

$1$

Sonuç: 1

İpucu

Pay “x²−ax” gibi ise çoğu zaman x ortak çarpan olarak dışarı alınabilir. Böylece paydada görülen (x−a) ile sadeleşme şansı doğar.

Bu sayfadan akılda kalsın

Hatırla

Bir noktada limitin var olması için: soldan limit = sağdan limit olmalıdır.

Sık görülen kaynaklar

Genel fikir

|x−a| ifadesinde kritik nokta x=a’dır. Çünkü x=a’nın solunda (x<a) ve sağında (x>a) “x−a” ifadesinin işareti değişebilir. Bu nedenle limit alınırken sağ-sol limit ayrı düşünülür.

İlk gözlem

x=2 yazınca pay 0, payda 0 → 0/0. Ama mutlak değer olduğu için “işaret” kritik olacak.

Sağdan yaklaşma (x>2)

x>2 iken x−2 pozitiftir, yani |x−2| = x−2. Bu durumda oran 1 olur.

Soldan yaklaşma (x<2)

x<2 iken x−2 negatiftir, yani |x−2| = −(x−2). Oran −1 olur.

Sonuç

Sağdan limit 1, soldan limit −1 çıktığı için iki taraf eşit değil → limit yoktur.

Tanım

f(x) = x<1 iken (2x+1), x≥1 iken (x+2)

Soldan limit (x→1−)

x<1 tarafında kural 2x+1. x=1’e yaklaşırken sonuç: 2·1+1 = 3.

Sağdan limit (x→1+)

x≥1 tarafında kural x+2. x=1’e yaklaşırken sonuç: 1+2 = 3.

Karar

Soldan ve sağdan limit eşit (3) olduğundan limit vardır ve 3’tür.

Bu sayfadan akılda kalsın

Gösterim

$\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=\infty$

Bu, fonksiyonun değeri sınırsız büyüyor anlamına gelir.

x, 2’ye yaklaşırken payda 0’a yaklaşır.

Küçük bir sayıya bölme sonucu, çok büyük bir sayı üretir.

Sonuç yorumu

Fonksiyon değeri sınırsız büyür.

Kritik sonuç

Sağdan ve soldan limit farklı sonsuzluklara giderse, genel limit yoktur.

Örnek:

$x=2$

doğrusu dikey asimptottur.

Bu sayfadan akılda kalsın