1. bölüm

Konu Anlatımı - Parabol - 1.Sayfa

Parabol - 1. Sayfa

Lise • Sınavlara Hazırlık

Parabol

Bu sayfada parabole giriş yapacağız: parabol nedir, nasıl tanınır, grafiği nasıl okunur ve temel parçaları nelerdir.

1

1) Parabol Nedir?

Parabol, ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğidir. En temel biçimi:

Temel Denklem

y = a x^{2} + b x + c

Burada a sıfır olamaz. Çünkü a=0 olursa ifade ikinci dereceden olmaktan çıkar.

Grafiğin Açılış Yönü

a > 0 ise parabol yukarı doğru açılır.
a < 0 ise parabol aşağı doğru açılır.

Parabolün Temel Parçaları

Tepe noktası (vertex)
Simetri ekseni
Kökler (x-kesişimleri) varsa
y-kesişimi

2) y-Kesişimi (Grafiğin Y Ekseniyle Kesimi)

y-kesişimini bulmak için x=0 yazılır. Çünkü y eksenindeki tüm noktaların x değeri 0’dır.

Hızlı Sonuç

x = 0 \Rightarrow y = c

Yani parabolün y eksenini kestiği nokta (0, c) olur.

Mini Örnek

Aşağıdaki fonksiyonda y-kesişimini bulalım:

y = 2 x^{2} - 5 x + 3

x=0 yazınca: $y = 3$ → y-kesişimi (0, 3).

3) Kökler (x-Kesişimleri) Kavramı

Parabolün x eksenini kestiği noktalar varsa, bu noktalarda y=0 olur. Yani kökler, denklemin çözümleridir.

Kök Tanımı

y = 0 \Rightarrow a x^{2} + b x + c = 0

Çözümler gerçek sayı ise parabol x eksenini keser (1 veya 2 noktada).

Önemli Gözlem

Parabol x eksenini iki noktada kesebilir.
Parabol x eksenine teğet olabilir (tek kök gibi düşünülür).
Parabol x eksenini hiç kesmeyebilir (gerçek kök yok).

Bu “kaç kez keser?” meselesini ilerleyen sayfalarda diskriminant ile net şekilde sınıflandıracağız.

4) Tepe Noktası Fikri (Sezgi)

Parabolün “en tepe” (veya “en dip”) noktası tepe noktasıdır. Grafiğin yönüne göre bu nokta:

a > 0 ise (yukarı açılır)

Tepe noktası minimum değer verir.

a < 0 ise (aşağı açılır)

Tepe noktası maksimum değer verir.

Simetri Ekseni

Parabol, tepe noktasından geçen dikey bir doğruya göre simetriktir. Bu doğruya simetri ekseni denir. İlerleyen sayfalarda simetri ekseninin denklemini ve tepe noktasını formülle bulacağız.

2. bölüm

Konu Anlatımı - Parabol - 2.Sayfa

Parabol - 2. Sayfa

Lise • Sınavlara Hazırlık

Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Bu sayfada parabollerin en önemli noktası olan tepe noktasını ve simetri eksenini formül kullanarak nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.

2

1) Simetri Ekseni Formülü

Parabolün ortasından geçen dikey doğruya simetri ekseni denir. Bu doğru, parabolü iki eş parçaya böler.

Simetri Ekseni Formülü

x = - \frac{b}{2 a}

Bu değer, tepe noktasının x koordinatıdır.

2) Tepe Noktası Nasıl Bulunur?

Tepe noktası iki adımdan oluşur:

Önce x koordinatı bulunur
Sonra bu değer denklemde yerine yazılır ve y bulunur

Tepe Noktası

(- \frac{b}{2 a}, f (- \frac{b}{2 a}))

3) Örnek

y = x^{2} - 6 x + 5

Simetri ekseni:

x = - \frac{- 6}{2}

Sonuç:

x = 3

Bu sayfada simetri ekseni formülünü ve tepe noktasının nasıl bulunacağını öğrendik. Sonraki sayfada tepe noktasını tam olarak koordinat olarak bulacağız.

3. bölüm

Konu Anlatımı - Parabol - 3.Sayfa

Parabol - 3. Sayfa

Lise • Sınavlara Hazırlık

Tepe Noktasının Koordinatını Bulma

Bu sayfada parabollerin tepe noktasını hem x hem de y koordinatı ile tam olarak nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.

3

1) Genel Yöntem

Bir parabol:

y = a x^{2} + b x + c

biçimindeyse tepe noktası şu adımlarla bulunur:

1. Önce x koordinatı bulunur
2. Sonra bu değer denklemde yerine yazılır ve y bulunur

2) Tepe Noktasının x Koordinatı

x = - \frac{b}{2 a}

3) Örnek

y = 2 x^{2} - 8 x + 3

x koordinatını bulalım:

x = - \frac{- 8}{22}

x = 2

Bu değeri denklemde yerine yazalım:

y = 2 2^{2} - 82 + 3

y = - 5

Tepe Noktası:

(2, - 5)

4. bölüm

Konu Anlatımı - Parabol - 4.Sayfa

Parabol - 4. Sayfa

Lise • Sınavlara Hazırlık

Tepe Noktası: Alternatif Formül ve Hızlı Hesap

Bu sayfada tepe noktasının y değerini daha hızlı bulmaya yarayan “delta” (diskriminant) tabanlı ifadeyi tanıyacağız.

4

1) Diskriminant (Δ) Nedir?

İkinci dereceden denklemlerde sık geçen bir ifade vardır: diskriminant. Genelde parabolün x eksenini kaç noktada kestiğini anlamak için kullanılır; ayrıca tepe noktasının y değerini hızlı bulmada da işimize yarar.

Δ (Delta) Tanımı

Δ = b^{2} - 4 a c

Buradaki a, b, c katsayıları y = ax² + bx + c ifadesinden gelir.

İleride Δ’nın işaretine göre “2 kök, 1 kök, kök yok” sınıflamasını detaylandıracağız.

2) Tepe Noktasının y Değeri: Hızlı İfade

Tepe noktasının x koordinatı zaten: $- \frac{b}{2 a}$ idi. Bu değeri fonksiyonda yerine yazıp y’yi buluruz. Ancak bazı durumlarda tepe noktasının y değerini doğrudan veren kısa bir ifade kullanılır:

Tepe Noktası y Değeri

y ₜ = - \frac{Δ}{4 a}

Buradaki yₜ, tepe noktasının y koordinatıdır.

Bu ifade özellikle sayılar büyük olduğunda işlemi kısaltabilir.

3) Örnek: Hızlı Tepe Noktası y Değeri

y = 2 x^{2} - 8 x + 3

Burada a=2, b=−8, c=3. Önce Δ’yı bulalım:

Δ = {(- 8)}^{2} - 423

Δ = 64 - 24

Δ = 40

Şimdi tepe noktasının y değerini bulalım:

y ₜ = - \frac{40}{42}

Sonuç: $y ₜ = - 5$ (Bir önceki sayfadaki yöntemle aynı sonucu verir.)

Bu sayfada Δ tanımını gördük ve tepe noktasının y değerinin −Δ / (4a) ile hızlıca bulunabildiğini öğrendik. Sonraki sayfada parabolleri “tepe noktası formu”na çevirerek grafiği çok daha kolay çizeceğiz.

5. bölüm

Konu Anlatımı - Parabol - 5.Sayfa

Parabol - 5. Sayfa

Lise • Sınavlara Hazırlık

Tepe Noktası Formu (Vertex Form)

Bu sayfada parabollerin en kullanışlı gösterimlerinden biri olan tepe noktası formunu öğreneceğiz. Bu form sayesinde tepe noktasını doğrudan görebiliriz.

5

1) Tepe Noktası Formu Nedir?

Bir parabol aşağıdaki biçimde yazılabilir:

y = a {(x - h)}^{2} + k

Bu gösterime tepe noktası formu denir.

2) Tepe Noktası Bu Formda Nasıl Görülür?

(h, k)

Tepe noktası doğrudan (h, k) olarak okunur.

3) Örnek

y = 3 {(x - 2)}^{2} + 5

Bu durumda:

(2, 5)

Grafik Yorumu

a = 3 olduğu için parabol yukarı açılır
tepe noktası (2,5)
simetri ekseni x = 2 doğrusudur

Parabol Konu Anlatımı

Konu Anlatımı - Parabol - 1.Sayfa

Parabol

1) Parabol Nedir?

2) y-Kesişimi (Grafiğin Y Ekseniyle Kesimi)

3) Kökler (x-Kesişimleri) Kavramı

4) Tepe Noktası Fikri (Sezgi)

Konu Anlatımı - Parabol - 2.Sayfa

Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

1) Simetri Ekseni Formülü

2) Tepe Noktası Nasıl Bulunur?

3) Örnek

Konu Anlatımı - Parabol - 3.Sayfa

Tepe Noktasının Koordinatını Bulma

1) Genel Yöntem

2) Tepe Noktasının x Koordinatı

3) Örnek

Konu Anlatımı - Parabol - 4.Sayfa

Tepe Noktası: Alternatif Formül ve Hızlı Hesap

1) Diskriminant (Δ) Nedir?

2) Tepe Noktasının y Değeri: Hızlı İfade

3) Örnek: Hızlı Tepe Noktası y Değeri

Konu Anlatımı - Parabol - 5.Sayfa

Tepe Noktası Formu (Vertex Form)

1) Tepe Noktası Formu Nedir?

2) Tepe Noktası Bu Formda Nasıl Görülür?

3) Örnek

Parabol için blog rehberleri

AYT Konu Anlatımı ile Deneme Arasındaki Çalışma Dengesi

AYT Matematik Konu Anlatımlı Kitap Seçerken Nelere Bakılmalı?

Online İngilizce Kursu Seçerken Nelere Bakılmalı?

Parabol testini seviyene göre çöz

Üniversite yaşamını planla