1. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 1.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 1. Sayfa

Lise · TYT · AYT

2. Dereceden Eşitsizlikler

1. Sayfa — Temel Seviye: kavramlar, grafik fikri ve işaret tablosu mantığı

Amaç

2. dereceden bir ifadeyi (parabol) “0’a göre” yorumlayıp > 0, ≥ 0, < 0, ≤ 0 koşullarını kökler ve işaret ile bulmayı öğreneceğiz.

1) 2. dereceden ifade nedir?

Genel biçim: $f (x) = a x^{2} + b x + c$

Parabolun yönü (çok kritik)

a > 0 ise parabol yukarı açılır.
a < 0 ise parabol aşağı açılır.

2) Eşitsizlik ne demek?

“2. dereceden eşitsizlik” dediğimiz şey, şu tip sorulardır:

Örnek biçimler

a x^{2} + b x + c > 0

a x^{2} + b x + c \geq 0

a x^{2} + b x + c < 0

a x^{2} + b x + c \leq 0

Yorum

Aslında “parabolun x-ekseni ile ilişkisi” sorulur: üstte mi, altta mı, temas mı ediyor?

3) Kök fikri: “0 yapan x değerleri”

Bir 2. dereceden ifadeyi eşitsizlikte çözmenin temel adımı: önce eşitliğini düşünmek:

Temel adım

a x^{2} + b x + c = 0

denklemine ait kökler bulunursa, parabolun işareti bu köklerin sağında-solunda belirlenebilir.

4) İşaret tablosu mantığı (en pratik yöntem)

Kökler parabolun x-ekseniyle kesiştiği (veya değdiği) yerlerdir. Kökler bilindiğinde, sayı doğrusunu parçalara ayırırız ve her parçada ifadenin pozitif mi negatif mi olduğuna bakarız.

Altın kural

Parabol kökler arasında bir işarettedir, köklerin dışında başka bir işarettedir.
Hangi tarafın “+” olduğunu a (açılım yönü) belirler.

5) Üç temel durum (diskriminant fikri)

2. dereceden denklemin kök sayısı çözüm kümelerini doğrudan etkiler. Kök sayısı genelde diskriminant ile anlaşılır:

Diskriminant

Δ = b^{2} - 4 a c

Δ > 0: 2 farklı gerçek kök (sayı doğrusu 3 bölge).
Δ = 0: 1 çift katlı kök (teğet, sayı doğrusu 2 bölge).
Δ < 0: gerçek kök yok (parabol hep aynı işaret).

6) Mini örnek (temel)

Soru

x^{2} - 5 x + 6 > 0

eşitsizliğini çöz.

Çözüm fikri

Önce eşitliğin köklerini bul: $x^{2} - 5 x + 6 = 0$
Çarpanlara ayır: $(x - 2) (x - 3) = 0$ → kökler: 2 ve 3
a=1 > 0 olduğundan parabol yukarı açılır. Bu yüzden köklerin dışında (+), köklerin arasında (−) olur.
Biz > 0 istiyoruz → köklerin dışı: $x < 2 veya x > 3$

Dikkat: > ve ≥ farkı

Eğer soru

x^{2} - 5 x + 6 \geq 0

olsaydı, kökler de dahil olurdu:

x \leq 2 veya x \geq 3

2. bölüm

TYT & AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 2.Sayfa

Lise - TYT - AYT - 2.Dereceden Eşitsizlikler - 2. Sayfa

Temel Kavram

İşaret Tablosu Nasıl Kurulur?

2. dereceden eşitsizlik çözmenin en önemli yöntemi

İşaret tablosu nedir?

Bir ifadenin sayı doğrusunun hangi aralıklarında pozitif (+) veya negatif (−) olduğunu gösteren yöntemdir.

Örnek üzerinden öğrenelim

Verilen ifade:

x^{2} - 5 x + 6

Adım 1: Kökleri bul

Önce eşitliğini çözeriz:

x^{2} - 5 x + 6 = 0

Çarpanlara ayır:

(x - 2) (x - 3) = 0

Kökler: 2 ve 3

Adım 2: Sayı doğrusuna yerleştir

Sayı doğrusu üç bölgeye ayrılır:

x < 2 2 < x < 3 x > 3

Adım 3: Parabol yönünü belirle

En baştaki katsayı:

a = 1

Bu pozitif olduğu için parabol yukarı açılır.

Adım 4: İşaretleri belirle

Yukarı açılan parabolde:

Köklerin dışı → pozitiftir (+)
Köklerin arası → negatiftir (−)

Son işaret tablosu:

(+) | (−) | (+)

−∞ 2 3 +∞

Kritik kural

a > 0 ise:
dış bölgeler pozitiftir, iç bölge negatiftir.