Fonksiyon x ekseninin üstünde ise integral sonucu pozitif, altında ise integral sonucu negatif katkı verir. Bu yüzden belirli integral, çoğu zaman net alanı (üstteki alan − alttaki alan) verir.

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\mathrm{net}\mathrm{alan}$

Geometri sorularında istenen “alan” genellikle mutlak alandır: x ekseninin üstündeki ve altındaki bölgelerin alanları toplanır.

$\mathrm{Gerçek}\mathrm{Alan}={\int }_a^b\left|f\right(x\left)\right|dx$

Önemli: |f(x)| yazmak, grafiğin x ekseninin altındaki kısmını yukarı “yansıtmak” gibidir.

${\int }_0^{2}x-1dx$

$\frac{x^2}{2}-x$

$(\frac{2^2}{2}-2)-(\frac{0^2}{2}-0)$

$=(2-2)-(0-0)=0$

Net alan 0 çıktı ama bu, bölgelerin alanı yok demek değildir. Üstteki alan ile alttaki alan birbirini götürmüştür.

$\mathrm{Gerçek}\mathrm{Alan}=\mathrm{Alan}[0,1]+\mathrm{Alan}[1,2]$

Bu iki bölge de birer üçgendir ve her birinin alanı 1/21 olur.

$\mathrm{Gerçek}\mathrm{Alan}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

• Belirli integral çoğu zaman net alan verir.
• Geometrik “alan” isteniyorsa genelde mutlak alan gerekir.
• Mutlak alan için |f(x)| ya da aralığı kök noktasından bölme yöntemi kullanılır.

${\int }_a^{a}f\left(x\right)dx=0$

Çünkü başlangıç ve bitiş noktası aynıdır. Alan oluşmaz.

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=-{\int }_b^{a}f\left(x\right)dx$

Yani sınırları ters çevirirsek sonuç negatif olur.

${\int }_a^{c}f\left(x\right)dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx+{\int }_b^{c}f\left(x\right)dx$

Yani bir aralık daha küçük parçalara bölünebilir.

${\int }_0^{4}xdx$

Bu integral şu şekilde parçalanabilir:

${\int }_0^{2}xdx+{\int }_2^{4}xdx$

${\int }_a^{b}cdx=c(b-a)$

• Aynı sınırlar → integral sıfırdır
• Sınırlar ters → işaret değişir
• Aralık parçalanabilir
• Sabit fonksiyon integrali kolaydır

$f(-x)=-f\left(x\right)$

Bu fonksiyonlar orijine göre simetriktir.

Örnek:

$x^3$

${\int }_{-}^{a}a$

Tek fonksiyonun simetrik aralıktaki integrali sıfırdır.

${\int }_{-}^{2}2x^{3}dx=0$

$f(-x)=f\left(x\right)$

Bu fonksiyonlar y eksenine göre simetriktir.

Örnek:

$x^2$

${\int }_{-}^{a}af\left(x\right)dx=2{\int }_0^{a}f\left(x\right)dx$

${\int }_{-}^{3}3x^{2}dx=2{\int }_0^3{x}^{2}dx$

• Tek fonksiyon → integral sıfırdır
• Çift fonksiyon → integral iki katına çıkar
• Simetri işlemi hızlandırır

Amaç, integrali daha basit bir ifadeye dönüştürmektir.

$\int 2x(x^2+1)dx$

$u=x^2+1$

$du=2xdx$

$\int udu$

$\frac{u^2}{2}+C$

$\frac{{x^2+1}^2}{2}+C$

• Yeni değişken seçilir
• Türevi alınır
• İntegral dönüştürülür
• İntegral alınır
• Eski değişkene dönülür

Eğer F′(x)=f(x) ise, belirli integral kolayca bulunur: önce bir türev öncesi (antitürev) bulunur ve sonra sınırlar uygulanır.

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

$G\left(x\right)={\int }_a^{x}f\left(t\right)dt$

Bu G(x) fonksiyonu, a’dan x’e kadar “biriken toplamı” verir. Teorem şunu söyler: G′(x)=f(x).

$G\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$

$G\left(x\right)={\int }_0^{x}2tdt$

$G\left(x\right)=x^2$

$G\text{'}\left(x\right)=2x=f\left(x\right)$

• Belirli integral hesaplamak için antitürev bulunur ve sınırlar uygulanır.
• Birikim fonksiyonu G(x)=∫ ile tanımlanır ve türevi f(x) olur.
• Bu sonuç, türev ile integralin “ters” olduğunun en güçlü ifadesidir.

Mutlak değer, negatif değerleri pozitif yapar.

$\left|x\right|=x\text{\hspace{1em}(x ≥ 0)}$

$\left|x\right|=-x\text{\hspace{1em}(x < 0)}$

${\int }_{-}^{2}2\left|x\right|dx$

x = 0 noktasında işaret değişir.

${\int }_{-}^{2}0(-x)dx+{\int }_0^{2}xdx$

$2+2=4$

Mutlak değer, grafiğin alt kısmını yukarı taşır, bu yüzden tüm alan pozitiftir.

• Mutlak değer işaret değiştirir
• İşaret değişim noktası bulunur
• İntegral parçalanır
• Alanlar toplanır

$\mathrm{Alan}={\int }_a^b(\mathrm{üst}-\mathrm{alt})dx$

Üstte kalan fonksiyondan altta kalan fonksiyon çıkarılır.

Fonksiyonlar:

$y=x$
$y=x^2$

x = 0 ve x = 1 noktalarında kesişirler.

${\int }_0^1(x-x^2)dx$

$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

Bu değer iki grafik arasında kalan alanı verir.

• Alan = üst − alt integral
• Kesişim noktaları bulunur
• Alan pozitiftir

$\mathrm{Ortalama}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

Bu formül, fonksiyonun ortalama yüksekliğini verir.

Fonksiyon:

$f\left(x\right)=x$

${\int }_0^{2}xdx$

$\frac{1}{2}\times 2=1$

Ortalama değer 1’dir.

Bu değer, aynı alanı veren sabit fonksiyon yüksekliğidir.

• Ortalama değer integral ile bulunur
• Alan uzunluğa bölünür
• Fonksiyonun ortalama yüksekliğini verir

$\mathrm{Yol}=\int \mathrm{Hız}dt$

Hız fonksiyonunun integrali toplam yolu verir.

Hız:

$v\left(t\right)=2t$

${\int }_0^{3}2tdt$

$9$

İntegral, grafik altındaki alanı verir.

İntegral, küçük parçaların toplamıdır.

• Hız → yol bulunur
• Grafik → alan bulunur
• İntegral → toplam verir

• Türev ile ters işlemdir.
• Sonuca her zaman + C eklenir.
• Üs kuralı: üs 1 artar, yeni üse bölünür.

• Antitürev bulunur, sınırlar uygulanır.
• Sonuç bir sayıdır.
• Net alan (işaretli alan) verebilir.

• Gerçek alan için gerekirse aralık kök noktalarından bölünür.
• Mutlak değerli ifadelerde işaret değişim noktası bulunur.
• İki eğri arasında: üst − alt integral alınır.

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

$\int \frac{1}{x}dx=\ln \left(x\right)+C$

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Polinom ve basit kuvvetlerde üs kuralını uygula, sabitleri dışarı çıkar, en sona +C yaz.

Antitürevi bul, üst sınırı yaz, alt sınırı yaz, çıkarma yap. Gerekirse aralığı parçala.

Fonksiyonun x eksenini kestiği noktaları bulup aralığı böl. Her parçada alanları pozitif topla.

Kesişim noktalarını bul, hangi fonksiyonun üstte olduğunu kontrol et, sonra (üst − alt) integralini al.

• Belirsiz integralde +C var mı?
• Üs kuralında n = −1 özel durumunu ayırdın mı?
• Alan sorusunda “net mi gerçek mi” ayrımını yaptın mı?
• Mutlak değer varsa işaret değişim noktalarını buldun mu?
• İki eğri arasında “üst − alt” yazdın mı?