1. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 11.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 11. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Diziler

11. Sayfa • Aritmetik Dizi Toplamı – Alternatif Formül ve İleri Uygulamalar

1) Alternatif Toplam Formülü

Eğer ilk terim ve ortak fark biliniyorsa, toplam şu formülle de bulunabilir:

S_{n} = \frac{n (2 a_{1} + (n - 1) d)}{2}

Bu formül özellikle son terim bilinmediğinde kullanılır.

2) Örnek 1

Verilen:

a₁ = 4

d = 3

n = 10

Toplamı bulalım.

S_{10} = \frac{10 (24 + (9) 3)}{2}

S₁₀ = 10 × (8 + 27) / 2

S₁₀ = 10 × 35 / 2

S₁₀ = 175

Sonuç: S₁₀ = 175

3) Örnek 2 – Negatif Ortak Fark

a₁ = 20
d = −2
n = 6

Toplamı bulalım.

S_{6} = \frac{6 (40 + (5) - 10)}{2}

S₆ = 6 × 30 / 2

S₆ = 90

Sonuç: S₆ = 90

Önemli Not

Her iki toplam formülü aynıdır. Hangisi daha az bilgi gerektiriyorsa o tercih edilir.

2. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 12.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 12. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Diziler

12. Sayfa • Aritmetik Dizide Toplamdan Terim Bulma Problemleri

1) Toplam Verildiğinde Terim Bulma

Eğer toplam verilmişse, toplam formülü kullanılarak bilinmeyen terim veya n bulunabilir.

S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}

2) Örnek 1: Son Terimi Bulma

Verilen:

a₁ = 5

n = 10

S₁₀ = 140

Son terimi bulalım.

140 = \frac{10 (5 + a_{10})}{2}

140 × 2 = 10 (5 + a₁₀)

280 = 10 (5 + a₁₀)

28 = 5 + a₁₀

a₁₀ = 23

Son terim = 23

3) Örnek 2: Terim Sayısı Bulma

a₁ = 2
a_n = 20
S_n = 110

n değerini bulalım.

110 = \frac{n (2 + 20)}{2}

110 = n × 22 / 2

110 = 11n

n = 10

Terim sayısı = 10

4) Örnek 3: İlk Terimi Bulma

a_n = 30
n = 5
S₅ = 100

İlk terimi bulalım.

100 = \frac{5 (a_{1} + 30)}{2}

200 = 5 (a₁ + 30)

40 = a₁ + 30

a₁ = 10

İlk terim = 10

3. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 13.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 13. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Diziler

13. Sayfa • Geometrik Dizi: Tanım, Oran (r) ve Genel Terim

1) Geometrik Dizi Nedir?

Ardışık iki terim arasındaki oran sabit ise dizi geometriktir.

Ortak oran (r):

r = a_n+1 / a_n

Eğer r her n için aynıysa geometrik dizi oluşur.

Geometrik diziler “her adımda aynı sayıyla çarpma” mantığıyla çok kolay tanınır.

2) Geometrik Dizinin Genel Terimi

Geometrik dizide ilk terim a₁ ve ortak oran r ise:

a_{n} = a_{1} \cdot r^{n - 1}

“n’inci terime giderken n−1 kez r ile çarparız” şeklinde hatırlanabilir.

3) Örnek 1: Ortak Oranı Bulma

Dizi: 2, 6, 18, 54, ...

Oran:

6 / 2 = 3
18 / 6 = 3
54 / 18 = 3

Ortak oran: r = 3

4) Örnek 2: Genel Terimle Terim Bulma

a₁ = 5
r = 2

a₆ değerini bulalım.

a_{6} = 5 \cdot 2^{5}

2⁵ = 32

a₆ = 5 × 32 = 160

Sonuç: a₆ = 160

4. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 14.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 14. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Diziler

14. Sayfa • Geometrik Dizide Terim Bulma, Oran ve İşaret Analizi

1) Geometrik Dizide İşaret (Pozitif/Negatif) Davranışı

Geometrik dizilerde işaret davranışı ortak orana (r) bağlıdır.

Temel kurallar

• r > 0 ise terimlerin işareti genellikle değişmez (a₁ pozitifse hep pozitif, negatifse hep negatif).

• r < 0 ise terimler sırayla pozitif-negatif şeklinde işaret değiştirir.

• |r| > 1 ise mutlak değer büyür, |r| < 1 ise mutlak değer küçülür.

TYT’de “işaret değişiyor mu?” soruları genellikle r’nin negatif olup olmadığıyla çözülür.

2) Örnek 1: Negatif Oranlı Geometrik Dizi

Dizi: 3, −6, 12, −24, ...

Ortak oran:

r = (−6) / 3 = −2
12 / (−6) = −2
(−24) / 12 = −2

Ortak oran: r = −2

3) Örnek 2: |r| < 1 Olduğunda Azalan Büyüklük

Dizi: 80, 40, 20, 10, ...

Ortak oran:

40 / 80 = 1/2
20 / 40 = 1/2
10 / 20 = 1/2

Ortak oran: r = 1/2

|r| = 1/2 < 1 olduğu için terimlerin mutlak değeri küçülür.

4) Örnek 3: İki Terimden Ortak Oran Bulma

a₂ = 12
a₅ = 96

r değerini bulalım.

a₅ = a₂ · r³

96 = 12 · r³

r³ = 8

r = 2

Sonuç: r = 2

5. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 15.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 15. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Diziler

15. Sayfa • Geometrik Dizide Toplam Formülü (Sₙ)

1) Geometrik Dizide İlk n Terimin Toplamı

Ortak oran r ≠ 1 ise toplam aşağıdaki formülle bulunur:

S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r}

Bu formül TYT ve AYT’de geometrik dizi toplamı sorularının temelidir.

2) Örnek 1: Toplam Bulma

a₁ = 2
r = 3
n = 4

Toplamı bulalım:

S_{4} = \frac{2 (1 - 3^{4})}{1 - 3}

3⁴ = 81

S₄ = 2 (1 − 81) / (−2)

S₄ = 2 (−80) / (−2)

S₄ = 80

Sonuç: S₄ = 80

3) Örnek 2: Negatif Ortak Oran

a₁ = 5
r = −2
n = 3

Toplamı bulalım:

S_{3} = \frac{5 (1 - {(- 2)}^{3})}{1 - (- 2)}

(−2)³ = −8

S₃ = 5 (1 − (−8)) / 3

S₃ = 5 × 9 / 3

S₃ = 15

Sonuç: S₃ = 15

Önemli Hatırlatma

r = 1 ise toplam formülü kullanılmaz. Bu durumda tüm terimler eşittir ve toplam: Sₙ = n × a₁ olur.

6. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 16.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 16. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Diziler

16. Sayfa • Geometrik Dizide Sonsuz Toplam (Sonsuz Seri)

1) Sonsuz Geometrik Toplam Nedir?

Eğer geometrik dizide |r| < 1 ise, sonsuza kadar devam eden dizinin toplamı bulunabilir.

Sonsuz toplam formülü:

S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r}

Bu formül yalnızca |r| < 1 olduğunda geçerlidir.

2) Mantığı

|r| < 1 olduğunda terimler giderek küçülür:

Örnek: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Bu seri sonsuza kadar devam etse bile toplamı 2’ye yaklaşır.

3) Örnek 1

a₁ = 6
r = 1/2

Sonsuz toplamı bulalım:

S_{\infty} = \frac{6}{1 - \frac{1}{2}}

1 − 1/2 = 1/2

S∞ = 6 ÷ (1/2) = 12

Sonsuz toplam = 12

4) Örnek 2

Seri:
8 + 4 + 2 + 1 + ...

a₁ = 8
r = 1/2

S_{\infty} = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}}

S∞ = 16

Sonsuz toplam = 16

Önemli Şart

Eğer |r| ≥ 1 ise sonsuz toplam yoktur.

7. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 17.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 17. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Diziler

17. Sayfa • Özel Diziler ve Örüntü Tanıma Problemleri

1) Örüntü (Pattern) Nedir?

Bazı diziler doğrudan aritmetik veya geometrik olmayabilir. Bu durumda dizinin kuralı gözlem yaparak bulunur.

Örüntü bulma adımları:

• Ardışık farklara bak

• Ardışık oranlara bak

• Kare, küp gibi özel sayı ilişkilerini kontrol et

• Terim numarası ile ilişki kur

2) Örnek 1: Kare Dizisi

1, 4, 9, 16, 25, ...

Bu dizi şu şekilde yazılabilir:

a_{n} = n^{2}

Bu, kare sayılar dizisidir.

3) Örnek 2: Küp Dizisi

1, 8, 27, 64, 125, ...

Bu dizi:

a_{n} = n^{3}

4) Örnek 3: Genel Terimi Bulma

3, 6, 11, 18, 27, ...

Farklara bakalım:

3, 5, 7, 9

Genel terim:

a_{n} = n^{2} + 2

8. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 18.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 18. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Diziler

18. Sayfa • Rekürsif (Özyinelemeli) Diziler ve Terim Hesaplama

1) Rekürsif Dizi Nedir?

Bazı dizilerde her terim, bir önceki terim (veya birkaç önceki terim) kullanılarak tanımlanır. Bu tür dizilere rekürsif (özyinelemeli) dizi denir.

Rekürsif tanımlarda iki bilgi mutlaka vardır:

• Başlangıç terimi (veya terimleri)

• Geçiş kuralı (a_n+1’in a_n ile ilişkisi)

2) Örnek 1: Aritmetik Rekürsif Tanım

a₁ = 3
a_n+1 = a_n + 4

İlk birkaç terimi yazalım:

a₁ = 3
a₂ = 3 + 4 = 7
a₃ = 7 + 4 = 11
a₄ = 11 + 4 = 15

Dizi: 3, 7, 11, 15, ...

3) Örnek 2: Geometrik Rekürsif Tanım

a₁ = 2
a_n+1 = 3a_n

İlk birkaç terim:

a₁ = 2
a₂ = 3·2 = 6
a₃ = 3·6 = 18
a₄ = 3·18 = 54

Dizi: 2, 6, 18, 54, ...

4) Örnek 3: İki Önceki Terimle Tanımlanan Dizi

a₁ = 1
a₂ = 1
a_n+2 = a_n+1 + a_n

İlk terimler:

1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Bu, Fibonacci dizisine örnektir.

9. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 19.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 19. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Diziler

19. Sayfa • Dizilerde Karşılaştırma, Büyüme ve Genel Problem Stratejileri

1) Aritmetik ve Geometrik Dizilerin Karşılaştırılması

Aritmetik Dizi

Geometrik Dizi

Sabit fark vardır

Sabit oran vardır

Doğrusal büyüme

Üstel büyüme

Genel terim: a₁ + (n−1)d

Genel terim: a₁ · r^(n−1)

2) Büyüme Hızı Analizi

Örnek karşılaştırma:

Aritmetik: 2, 4, 6, 8, ...

Geometrik: 2, 4, 8, 16, ...

Başlangıçta benzer görünür, ancak geometrik dizi çok daha hızlı büyür.

3) Örnek: Hangisi Daha Büyük?

aₙ = n²
bₙ = 2ⁿ

n büyüdükçe:

2^{n} > n^{2}

Üstel büyüme, kare büyümeden daha hızlıdır.

4) TYT-AYT Problem Çözüm Stratejileri

Dizilerle ilgili sorularda şu adımları takip edin:

• Sabit fark var mı kontrol et

• Sabit oran var mı kontrol et

• Genel terim formülünü yaz

• Gerekirse toplam formülünü kullan

• Terimleri tek tek yazmak çoğu zaman çözümü kolaylaştırır

Önemli İpucu

TYT ve AYT’de en çok çıkan konular:

• Aritmetik genel terim

• Geometrik genel terim

• Toplam formülleri

• Sonsuz geometrik toplam

10. bölüm

TYT & AYT - Diziler - 20.Sayfa

Lise - TYT - AYT - Diziler - 20. Sayfa

Lise • TYT • AYT

Diziler

20. Sayfa • Genel Özet, Kritik Formüller ve Sınav Stratejisi

1) Aritmetik Dizi – Kritik Formüller

Genel terim:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Toplam formülü:

S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}

2) Geometrik Dizi – Kritik Formüller

Genel terim:

a_{n} = a_{1} \cdot r^{n - 1}

Toplam formülü:

S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r}

Sonsuz toplam:

S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r}

3) TYT–AYT Sınav Stratejisi

Diziler sorularında başarı için:

• Dizinin aritmetik mi geometrik mi olduğunu belirle

• Genel terim formülünü yaz

• Gerekirse toplam formülünü kullan

• Büyük n değerlerinde geometrik dizinin daha hızlı büyüdüğünü unutma

• Sonsuz toplam sorularında |r| < 1 şartını kontrol et

4) Sonuç

Diziler konusu:

• Fonksiyonların temelidir

• Logaritma ve limit konularına altyapı oluşturur

• TYT ve AYT’de her yıl soru gelen önemli bir konudur

• Formüller doğru kullanıldığında çözümü en hızlı konulardan biridir

Diziler Konusu Tamamlandı

Artık TYT ve AYT düzeyindeki tüm dizi sorularını çözebilecek bilgiye sahipsiniz.

Diziler Konu Anlatımı

TYT & AYT - Diziler - 11.Sayfa

Diziler

TYT & AYT - Diziler - 12.Sayfa

Diziler

TYT & AYT - Diziler - 13.Sayfa

Diziler

TYT & AYT - Diziler - 14.Sayfa

Diziler

TYT & AYT - Diziler - 15.Sayfa

Diziler

TYT & AYT - Diziler - 16.Sayfa

Diziler

TYT & AYT - Diziler - 17.Sayfa

Diziler

TYT & AYT - Diziler - 18.Sayfa

Diziler

TYT & AYT - Diziler - 19.Sayfa

Diziler

TYT & AYT - Diziler - 20.Sayfa

Diziler