9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Rutin Olmayan Problemler konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

9. Sınıf Rutin Olmayan Problemler

Rutin olmayan problemler, ezberlenmiş bir formülden çok okuduğunu anlama, ilişki kurma ve farklı çözüm yolu geliştirme becerisi ister. Bu testler, 9. Sınıf problem çözme pratiğini çeşitlendirmek için hazırlanmıştır.

Nasıl Çözülmeli?

Soruyu küçük parçalara ayırmak, verilenleri sembolleştirmek ve gerekiyorsa tablo veya şekil çizmek çözüm yolunu görünür hale getirir. İlk denemede işlem yapmak yerine sorunun ne istediğini netleştirmek önemlidir.

Strateji Geliştiren Testler

Yanlış sorularda çözümün hangi adımda açıldığını incelemek, benzer sorularda daha hızlı karar vermeyi sağlar. Bu konu düzenli pratikle ciddi biçimde gelişir.

Test seç

10 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test

9. Test

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Rutin Olmayan Problemler konusu 9. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Onluk tabanda $n!$ sayısının sonundaki sıfır sayısı $Z (n)$ ile gösterilsin ve
$Z (n) = ⌊ \frac{n}{5} ⌋ + ⌊ \frac{n}{25} ⌋ + \dots$
Buna göre $Z (n) = 10$ ve $n$ sayısı $9$ 'un katı olacak şekilde en küçük $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Önce, faktöriyel sayının sonundaki sıfır sayısının, çarpanlar içindeki on sayısından geldiğini hatırlayalım: 10 = 2 ⋅ 5 Genelde n! içinde 2 çarpanı, 5 çarpanından daha fazla olduğu için, son sıfır sayısı 5 sayısının üssüne eşittir. Bu nedenle verilen fonksiyon: Z ( n ) = ⌊ n 5 ⌋ + ⌊ n 25 ⌋ + ⌊ n 125 ⌋ + ⋯ ifadesiyle, n! içindeki 5 çarpanlarının toplam sayısını verir. İstenen koşul: Z ( n ) = 10 Bu değeri sağlayan en küçük n değerini bulmak için yakın değerleri kontrol edelim. n < 50 olduğunda sadece ilk iki terim etkindir (çünkü n 125 < 1 ). Önce n için eşik değerleri hesaplayalım: Z ( 44 ) = ⌊ 44 5 ⌋ + ⌊ 44 25 ⌋ = 8 + 1 = 9 Z ( 45 ) = ⌊ 45 5 ⌋ + ⌊ 45 25 ⌋ = 9 + 1 = 10 Buradan Z ( n ) = 10 değerine ilk kez n = 45 iken ulaşıldığını görürüz. Ayrıca bu değer bir aralık boyunca sabit kalır. Kontrol edelim: Z ( 49 ) = ⌊ 49 5 ⌋ + ⌊ 49 25 ⌋ = 9 + 1 = 10 Z ( 50 ) = ⌊ 50 5 ⌋ + ⌊ 50 25 ⌋ = 10 + 2 = 12 Demek ki: Z ( n ) = 10 ⇔ 45 ≤ n ≤ 49 Şimdi n sayısının 9 un katı olması isteniyor. Yani: n = 9 k ve aynı zamanda: 45 ≤ n ≤ 49 Bu aralıktaki 9 katlarını kontrol edersek yalnızca: 45 = 9 ⋅ 5 uyar. Sonuç olarak en küçük n: n = 45 Bu da şıklarda seçeneğiA1357dir. Yani C doğru.

Çözüm: Önce, faktöriyel sayının sonundaki sıfır sayısının, çarpanlar içindeki on sayısından geldiğini hatırlayalım: 10 = 2 ⋅ 5 Genelde n! içinde 2 çarpanı, 5 çarpanından daha fazla olduğu için, son sıfır sayısı 5 sayısının üssüne eşittir. Bu nedenle verilen fonksiyon: Z ( n ) = ⌊ n 5 ⌋ + ⌊ n 25 ⌋ + ⌊ n 125 ⌋ + ⋯ ifadesiyle, n! içindeki 5 çarpanlarının toplam sayısını verir. İstenen koşul: Z ( n ) = 10 Bu değeri sağlayan en küçük n değerini bulmak için yakın değerleri kontrol edelim. n < 50 olduğunda sadece ilk iki terim etkindir (çünkü n 125 < 1 ). Önce n için eşik değerleri hesaplayalım: Z ( 44 ) = ⌊ 44 5 ⌋ + ⌊ 44 25 ⌋ = 8 + 1 = 9 Z ( 45 ) = ⌊ 45 5 ⌋ + ⌊ 45 25 ⌋ = 9 + 1 = 10 Buradan Z ( n ) = 10 değerine ilk kez n = 45 iken ulaşıldığını görürüz. Ayrıca bu değer bir aralık boyunca sabit kalır. Kontrol edelim: Z ( 49 ) = ⌊ 49 5 ⌋ + ⌊ 49 25 ⌋ = 9 + 1 = 10 Z ( 50 ) = ⌊ 50 5 ⌋ + ⌊ 50 25 ⌋ = 10 + 2 = 12 Demek ki: Z ( n ) = 10 ⇔ 45 ≤ n ≤ 49 Şimdi n sayısının 9 un katı olması isteniyor. Yani: n = 9 k ve aynı zamanda: 45 ≤ n ≤ 49 Bu aralıktaki 9 katlarını kontrol edersek yalnızca: 45 = 9 ⋅ 5 uyar. Sonuç olarak en küçük n: n = 45 Bu da şıklarda seçeneğiA1357dir. Yani C doğru.

Önce, faktöriyel sayının sonundaki sıfır sayısının, çarpanlar içindeki on sayısından geldiğini hatırlayalım:

10 = 2 \cdot 5

Genelde $n!$ içinde $2$ çarpanı, $5$ çarpanından daha fazla olduğu için, son sıfır sayısı $5$ sayısının üssüne eşittir.

Bu nedenle verilen fonksiyon:

Z (n) = ⌊ \frac{n}{5} ⌋ + ⌊ \frac{n}{25} ⌋ + ⌊ \frac{n}{125} ⌋ + \dots

ifadesiyle, $n!$ içindeki $5$ çarpanlarının toplam sayısını verir.

İstenen koşul:

Z (n) = 10

Bu değeri sağlayan en küçük $n$ değerini bulmak için yakın değerleri kontrol edelim.

$n < 50$ olduğunda sadece ilk iki terim etkindir (çünkü $\frac{n}{125} < 1$ ).

Önce $n$ için eşik değerleri hesaplayalım:

Z (44) = ⌊ \frac{44}{5} ⌋ + ⌊ \frac{44}{25} ⌋ = 8 + 1 = 9

Z (45) = ⌊ \frac{45}{5} ⌋ + ⌊ \frac{45}{25} ⌋ = 9 + 1 = 10

Buradan $Z (n) = 10$ değerine ilk kez $n = 45$ iken ulaşıldığını görürüz.

Ayrıca bu değer bir aralık boyunca sabit kalır. Kontrol edelim:

Z (49) = ⌊ \frac{49}{5} ⌋ + ⌊ \frac{49}{25} ⌋ = 9 + 1 = 10

Z (50) = ⌊ \frac{50}{5} ⌋ + ⌊ \frac{50}{25} ⌋ = 10 + 2 = 12

Demek ki:

Z (n) = 10 \Leftrightarrow 45 \leq n \leq 49

Şimdi $n$ sayısının $9$ un katı olması isteniyor. Yani:

n = 9 k

ve aynı zamanda:

45 \leq n \leq 49

Bu aralıktaki $9$ katlarını kontrol edersek yalnızca:

45 = 9 \cdot 5

uyar.

Sonuç olarak en küçük $n$ :

n = 45

Bu da şıklarda C seçeneğidir. Yani C doğru.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Bir tahtada $2026$ tane $1$ yazılıdır. Her adımda tahtadaki iki sayı $a$ ve $b$ silinip yerlerine $a + b + a b$ yazılıyor. İşlem tahtada tek sayı kalana kadar sürdürülürse, en sonda kalan sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Doğru cevabın A olup olmadığını kontrol edelim. İşlem kuralını dönüştürelim: a + b + a b = ( a + 1 ) ( b + 1 ) - 1 2) Yeni bir değişken tanımlayalım: her sayı için 1 eklenmiş hâli. x = a + 1 Bu durumda iki sayı a ve b birleştirilince oluşan yeni sayı c olsun: c = a + b + a b O zaman c+1 şu olur: c + 1 = ( a + 1 ) ( b + 1 ) Yani “sayıya 1 ekle” dönüşümü altında işlem çok basitleşiyor: iki sayının (+1) hâlleri çarpılıyor. 3) Başlangıçta tahtada 2026 tane 1 var. Her biri için 1 eklenmiş hâl: 1 + 1 = 2 Yani başlangıçta “(+1) hâlleri” toplamda 2026 tane 2 dir. 4) Her adımda iki sayı birleşince, “(+1) hâli” çarpıma dönüştüğü için en sonda kalan tek sayının (+1) hâli, başlangıçtaki tüm 2 lerin çarpımı olur: Son + 1 = 2 × 2 ×... × 2 2026 adet Bu çarpım: Son + 1 = 2 2026 5) Buradan son kalan sayıyı bulalım: Son = 2 2026 - 1 6) Bu ifade şıklardan seçeneğiB873dir. Dolayısıyla doğru cevap B900’dır.

Çözüm: 1) Doğru cevabın A olup olmadığını kontrol edelim. İşlem kuralını dönüştürelim: a + b + a b = ( a + 1 ) ( b + 1 ) - 1 2) Yeni bir değişken tanımlayalım: her sayı için 1 eklenmiş hâli. x = a + 1 Bu durumda iki sayı a ve b birleştirilince oluşan yeni sayı c olsun: c = a + b + a b O zaman c+1 şu olur: c + 1 = ( a + 1 ) ( b + 1 ) Yani “sayıya 1 ekle” dönüşümü altında işlem çok basitleşiyor: iki sayının (+1) hâlleri çarpılıyor. 3) Başlangıçta tahtada 2026 tane 1 var. Her biri için 1 eklenmiş hâl: 1 + 1 = 2 Yani başlangıçta “(+1) hâlleri” toplamda 2026 tane 2 dir. 4) Her adımda iki sayı birleşince, “(+1) hâli” çarpıma dönüştüğü için en sonda kalan tek sayının (+1) hâli, başlangıçtaki tüm 2 lerin çarpımı olur: Son + 1 = 2 × 2 ×... × 2 2026 adet Bu çarpım: Son + 1 = 2 2026 5) Buradan son kalan sayıyı bulalım: Son = 2 2026 - 1 6) Bu ifade şıklardan seçeneğiB873dir. Dolayısıyla doğru cevap B900’dır.

1) Doğru cevabın A olup olmadığını kontrol edelim. İşlem kuralını dönüştürelim:

a + b + a b = (a + 1) (b + 1) - 1

2) Yeni bir değişken tanımlayalım: her sayı için 1 eklenmiş hâli.

x = a + 1

Bu durumda iki sayı a ve b birleştirilince oluşan yeni sayı c olsun:

c = a + b + a b

O zaman c+1 şu olur:

c + 1 = (a + 1) (b + 1)

Yani “sayıya 1 ekle” dönüşümü altında işlem çok basitleşiyor: iki sayının (+1) hâlleri çarpılıyor.

3) Başlangıçta tahtada 2026 tane 1 var. Her biri için 1 eklenmiş hâl:

1 + 1 = 2

Yani başlangıçta “(+1) hâlleri” toplamda 2026 tane 2dir.

4) Her adımda iki sayı birleşince, “(+1) hâli” çarpıma dönüştüğü için en sonda kalan tek sayının (+1) hâli, başlangıçtaki tüm 2lerin çarpımı olur:

Son + 1 = 2 \times 2 \times ... \times 2 2026 adet

Bu çarpım:

Son + 1 = 2^{2026}

5) Buradan son kalan sayıyı bulalım:

Son = 2^{2026} - 1

6) Bu ifade şıklardan A seçeneğidir. Dolayısıyla doğru cevap B2734’dır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki oyunda başlangıç sayısı $1$ olsun.
Her hamlede sayı ya $n \to n + 5$ ya da $n \to 2 n$ işleminden biriyle değiştirilir.
Bu işlemler sonlu sayıda yapılarak aşağıdakilerden hangisi elde edilemez?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

1) Cevap A mı? Evet. Elde edilemeyen sayı 45’tir. 2) Yöntem: İleri hamleler sayıyı hep büyüttüğü için, hedef sayıdan başlayıp ters işlemlerle 1’e inilip inilemediğini kontrol ederiz. İleri hamleler: n → n + 5 n → 2 n Buna karşılık ters hamleler: n → n − 5 n → n 2 (İkinci ters hamle sadece sayı çiftse uygulanabilir.) 3) şıkkıC356 (45) kontrolü: 45 → 40 40 → 20 → 10 → 5 5 → 0 Burada 1’e inilemiyor. Ayrıca oyun başlangıcı 1 olduğu için 0’a hiç ulaşılamaz; dolayısıyla 45’e ulaşmak da imkânsızdır. 4) B şıkkı (46) kontrolü (1’e inilebildiği için elde edilebilir): 46 → 23 → 18 → 9 → 4 → 2 → 1 Bu ters zincirin ileri karşılığı: 1 → 2 → 4 → 9 → 18 → 23 → 46 5) C şıkkı (47) kontrolü (elde edilebilir): 47 → 42 → 37 → 32 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 İleri karşılığı: 1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 → 37 → 42 → 47 6) D şıkkı (48) kontrolü (elde edilebilir): 48 → 24 → 12 → 6 → 1 İleri karşılığı: 1 → 6 → 12 → 24 → 48 Sonuç: 46, 47, 48 elde edilebilir; 45 elde edilemez. Doğru seçenek C1271 ’dır.

Çözüm: 1) Cevap A mı? Evet. Elde edilemeyen sayı 45’tir. 2) Yöntem: İleri hamleler sayıyı hep büyüttüğü için, hedef sayıdan başlayıp ters işlemlerle 1’e inilip inilemediğini kontrol ederiz. İleri hamleler: n → n + 5 n → 2 n Buna karşılık ters hamleler: n → n − 5 n → n 2 (İkinci ters hamle sadece sayı çiftse uygulanabilir.) 3) şıkkıC356 (45) kontrolü: 45 → 40 40 → 20 → 10 → 5 5 → 0 Burada 1’e inilemiyor. Ayrıca oyun başlangıcı 1 olduğu için 0’a hiç ulaşılamaz; dolayısıyla 45’e ulaşmak da imkânsızdır. 4) B şıkkı (46) kontrolü (1’e inilebildiği için elde edilebilir): 46 → 23 → 18 → 9 → 4 → 2 → 1 Bu ters zincirin ileri karşılığı: 1 → 2 → 4 → 9 → 18 → 23 → 46 5) C şıkkı (47) kontrolü (elde edilebilir): 47 → 42 → 37 → 32 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 İleri karşılığı: 1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 → 37 → 42 → 47 6) D şıkkı (48) kontrolü (elde edilebilir): 48 → 24 → 12 → 6 → 1 İleri karşılığı: 1 → 6 → 12 → 24 → 48 Sonuç: 46, 47, 48 elde edilebilir; 45 elde edilemez. Doğru seçenek C1271 ’dır.

1) Cevap A mı? Evet. Elde edilemeyen sayı 45’tir.

2) Yöntem: İleri hamleler sayıyı hep büyüttüğü için, hedef sayıdan başlayıp ters işlemlerle 1’e inilip inilemediğini kontrol ederiz.

İleri hamleler:

n \to n + 5

n \to 2 n

Buna karşılık ters hamleler:

n \to n - 5

n \to \frac{n}{2}

(İkinci ters hamle sadece sayı çiftse uygulanabilir.)

3) şıkkıC1160 (45) kontrolü:

45 \to 40

40 \to 20 \to 10 \to 5

5 \to 0

Burada 1’e inilemiyor. Ayrıca oyun başlangıcı 1 olduğu için 0’a hiç ulaşılamaz; dolayısıyla 45’e ulaşmak da imkânsızdır.

4) B şıkkı (46) kontrolü (1’e inilebildiği için elde edilebilir):

46 \to 23 \to 18 \to 9 \to 4 \to 2 \to 1

Bu ters zincirin ileri karşılığı:

1 \to 2 \to 4 \to 9 \to 18 \to 23 \to 46

5) C şıkkı (47) kontrolü (elde edilebilir):

47 \to 42 \to 37 \to 32 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1

İleri karşılığı:

1 \to 2 \to 4 \to 8 \to 16 \to 32 \to 37 \to 42 \to 47

6) D şıkkı (48) kontrolü (elde edilebilir):

48 \to 24 \to 12 \to 6 \to 1

İleri karşılığı:

1 \to 6 \to 12 \to 24 \to 48

Sonuç: 46, 47, 48 elde edilebilir; 45 elde edilemez. Doğru seçenek A’dır.

4. SoruÇoktan Seçmeli

$f : ℤ \to ℤ$ fonksiyonu her $m, n \in ℤ$ için
$f (m) + f (n) = f (m + n) + m n$
koşulunu sağlıyor ve $f (1) = 3$ veriliyor. $f (2025)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar için $1 + 2 + \dots + n$ toplamı bir tam kare olsun.
$n > 1$ koşuluyla en küçük $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

$n > 1$ koşulunu sağlayan bir tam sayı için $n^{4} + 4$ ifadesi hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tamsayı üçlüleri $(a, b, c)$ için $a \leq b \leq c$ ve $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ koşulları sağlanıyor.
Bu koşulları sağlayan kaç farklı üçlü vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

1) Cevap kontrolü: Bu koşulları sağlayan üçlü sayısı üç olduğundan doğru seçenek C ’dir. 2) Başlangıç: Pozitif tamsayılar için a ≤ b ≤ c ve 1 a + 1 b + 1 c = 1 veriliyor. 3) a için üst sınır bulalım: a en küçük olduğundan 1 a ≥ 1 b ≥ 1 c Dolayısıyla toplam için 1 a + 1 b + 1 c ≤ 1 a + 1 a + 1 a = 3 a Verilen eşitlikte sol taraf 1 olduğuna göre 1 ≤ 3 a ⇒ a ≤ 3 O hâlde a için yalnızca olasılıklar: a ∈ { 1, 2, 3 } 4) Durum a = 1: 1 1 + 1 b + 1 c = 1 buradan 1 b + 1 c = 0 çıkar; pozitif tamsayılarda mümkün değildir. Çözüm yok. 5) Durum a = 2: 1 2 + 1 b + 1 c = 1 Buradan 1 b + 1 c = 1 2 Eşitliği düzenleyelim: b b c + c b c = 1 2 b + c b c = 1 2 Çapraz çarpım: 2 ( b + c ) = b c Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: b c - 2 b - 2 c = 0 Sabiti ekleyip çarpanlara ayıralım: b c - 2 b - 2 c + 4 = 4 ( b - 2 ) ( c - 2 ) = 4 a ≤ b ≤ c olduğundan burada 2 ≤ b ≤ c. Ayrıca b = 2 olamaz (eşitlikte sol taraf yarım olur, kalan terim sıfır çıkardı). Bu yüzden b - 2 ≥ 1 Şimdi 4 ’ün çarpan çiftleri (küçükten büyüğe): ( 1, 4 ), ( 2, 2 ) Buna göre çözümler: b - 2 = 1, c - 2 = 4 ⇒ b = 3, c = 6 b - 2 = 2, c - 2 = 2 ⇒ b = 4, c = 4 Dolayısıyla bu durumda iki üçlü vardır: ( 2, 3, 6 ) ( 2, 4, 4 ) 6) Durum a = 3: 1 3 + 1 b + 1 c = 1 Buradan 1 b + 1 c = 2 3 b ≤ c olduğundan 1 b + 1 c ≤ 2 b ve eşitlikte sol taraf 2 3 ≤ 2 b ⇒ b ≤ 3 Ayrıca b ≥ a olduğundan b = 3 Şimdi yerine yazalım: 1 3 + 1 3 + 1 c = 1 2 3 + 1 c = 1 ⇒ 1 c = 1 3 ⇒ c = 3 Bu durumda tek üçlü: ( 3, 3, 3 ) 7) Toplam çözüm sayısı: 2 + 1 = 3 Sonuç: Doğru seçenek C ’dir.

Çözüm: 1) Cevap kontrolü: Bu koşulları sağlayan üçlü sayısı üç olduğundan doğru seçenek C ’dir. 2) Başlangıç: Pozitif tamsayılar için a ≤ b ≤ c ve 1 a + 1 b + 1 c = 1 veriliyor. 3) a için üst sınır bulalım: a en küçük olduğundan 1 a ≥ 1 b ≥ 1 c Dolayısıyla toplam için 1 a + 1 b + 1 c ≤ 1 a + 1 a + 1 a = 3 a Verilen eşitlikte sol taraf 1 olduğuna göre 1 ≤ 3 a ⇒ a ≤ 3 O hâlde a için yalnızca olasılıklar: a ∈ { 1, 2, 3 } 4) Durum a = 1: 1 1 + 1 b + 1 c = 1 buradan 1 b + 1 c = 0 çıkar; pozitif tamsayılarda mümkün değildir. Çözüm yok. 5) Durum a = 2: 1 2 + 1 b + 1 c = 1 Buradan 1 b + 1 c = 1 2 Eşitliği düzenleyelim: b b c + c b c = 1 2 b + c b c = 1 2 Çapraz çarpım: 2 ( b + c ) = b c Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: b c - 2 b - 2 c = 0 Sabiti ekleyip çarpanlara ayıralım: b c - 2 b - 2 c + 4 = 4 ( b - 2 ) ( c - 2 ) = 4 a ≤ b ≤ c olduğundan burada 2 ≤ b ≤ c. Ayrıca b = 2 olamaz (eşitlikte sol taraf yarım olur, kalan terim sıfır çıkardı). Bu yüzden b - 2 ≥ 1 Şimdi 4 ’ün çarpan çiftleri (küçükten büyüğe): ( 1, 4 ), ( 2, 2 ) Buna göre çözümler: b - 2 = 1, c - 2 = 4 ⇒ b = 3, c = 6 b - 2 = 2, c - 2 = 2 ⇒ b = 4, c = 4 Dolayısıyla bu durumda iki üçlü vardır: ( 2, 3, 6 ) ( 2, 4, 4 ) 6) Durum a = 3: 1 3 + 1 b + 1 c = 1 Buradan 1 b + 1 c = 2 3 b ≤ c olduğundan 1 b + 1 c ≤ 2 b ve eşitlikte sol taraf 2 3 ≤ 2 b ⇒ b ≤ 3 Ayrıca b ≥ a olduğundan b = 3 Şimdi yerine yazalım: 1 3 + 1 3 + 1 c = 1 2 3 + 1 c = 1 ⇒ 1 c = 1 3 ⇒ c = 3 Bu durumda tek üçlü: ( 3, 3, 3 ) 7) Toplam çözüm sayısı: 2 + 1 = 3 Sonuç: Doğru seçenek C ’dir.

1) Cevap kontrolü: Bu koşulları sağlayan üçlü sayısı üç olduğundan doğru seçenek C’dir.

2) Başlangıç: Pozitif tamsayılar için

a \leq b \leq c

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1

veriliyor.

3) a için üst sınır bulalım: a en küçük olduğundan

\frac{1}{a} \geq \frac{1}{b} \geq \frac{1}{c}

Dolayısıyla toplam için

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{3}{a}

Verilen eşitlikte sol taraf 1 olduğuna göre

1 \leq \frac{3}{a} \Rightarrow a \leq 3

O hâlde a için yalnızca olasılıklar:

a \in {1, 2, 3}

4) Durum a = 1:

\frac{1}{1} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1

buradan

\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0

çıkar; pozitif tamsayılarda mümkün değildir. Çözüm yok.

5) Durum a = 2:

\frac{1}{2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1

Buradan

\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}

Eşitliği düzenleyelim:

\frac{b}{b c} + \frac{c}{b c} = \frac{1}{2}

\frac{b + c}{b c} = \frac{1}{2}

Çapraz çarpım:

2 (b + c) = b c

Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

b c - 2 b - 2 c = 0

Sabiti ekleyip çarpanlara ayıralım:

b c - 2 b - 2 c + 4 = 4

(b - 2) (c - 2) = 4

a ≤ b ≤ c olduğundan burada 2 ≤ b ≤ c. Ayrıca b = 2 olamaz (eşitlikte sol taraf yarım olur, kalan terim sıfır çıkardı). Bu yüzden

b - 2 \geq 1

Şimdi 4’ün çarpan çiftleri (küçükten büyüğe):

(1, 4), (2, 2)

Buna göre çözümler:

b - 2 = 1, c - 2 = 4 \Rightarrow b = 3, c = 6

b - 2 = 2, c - 2 = 2 \Rightarrow b = 4, c = 4

Dolayısıyla bu durumda iki üçlü vardır:

(2, 3, 6)

(2, 4, 4)

6) Durum a = 3:

\frac{1}{3} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1

Buradan

\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{2}{3}

b ≤ c olduğundan

\frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \frac{2}{b}

ve eşitlikte sol taraf

\frac{2}{3} \leq \frac{2}{b} \Rightarrow b \leq 3

Ayrıca b ≥ a olduğundan

b = 3

Şimdi yerine yazalım:

\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{c} = 1

\frac{2}{3} + \frac{1}{c} = 1 \Rightarrow \frac{1}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow c = 3

Bu durumda tek üçlü:

(3, 3, 3)

7) Toplam çözüm sayısı:

2 + 1 = 3

Sonuç: Doğru seçenek C’dir.

8. SoruÇoktan Seçmeli

$N$ sayısı ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ rakamlarının her birini tam bir kez kullanarak yazılan $9$ basamaklı bir sayıdır.
Soldan ilk $k$ basamağın oluşturduğu sayı, $k$ ile tam bölünebilmektedir $(k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$ .
Buna göre $N$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Seçenek A için aday sayı: N = 381654729 Koşul: Soldan ilk basamağın oluşturduğu sayı, o basamak sayısına tam bölünmeli. seçeneğiD120ni sırayla kontrol edelim. Bir basamak: 3 = 1 × 3 İki basamak: 38 = 2 × 19 Üç basamak: 381 = 3 × 127 Dört basamak: 3816 = 4 × 954 Beş basamak: 38165 = 5 × 7633 Altı basamak: 381654 = 6 × 63609 Yedi basamak: 3816547 = 7 × 545221 Sekiz basamak: 38165472 = 8 × 4770684 Dokuz basamak: 381654729 = 9 × 42406081 Görüldüğü gibi tüm durumlarda tam bölünme sağlanır. Dolayısıyla seçeneğiD563 koşulu sağlıyor. Doğru cevabın gerçekten A olduğunu netleştirmek için diğer seçeneklerden birer kritik kontrol: B seçeneğinde sekiz basamak kontrolü: 38165492: 8 492 = 8 × 61 + 4 C seçeneğinde yedi basamak kontrolü: 3815647 = 7 × 545092 + 3 D seçeneğinde iki basamak kontrolü: 83 = 2 × 41 + 1 Bu nedenle doğru cevap: N = 381654729

Çözüm: Seçenek A için aday sayı: N = 381654729 Koşul: Soldan ilk basamağın oluşturduğu sayı, o basamak sayısına tam bölünmeli. seçeneğiD120ni sırayla kontrol edelim. Bir basamak: 3 = 1 × 3 İki basamak: 38 = 2 × 19 Üç basamak: 381 = 3 × 127 Dört basamak: 3816 = 4 × 954 Beş basamak: 38165 = 5 × 7633 Altı basamak: 381654 = 6 × 63609 Yedi basamak: 3816547 = 7 × 545221 Sekiz basamak: 38165472 = 8 × 4770684 Dokuz basamak: 381654729 = 9 × 42406081 Görüldüğü gibi tüm durumlarda tam bölünme sağlanır. Dolayısıyla seçeneğiD563 koşulu sağlıyor. Doğru cevabın gerçekten A olduğunu netleştirmek için diğer seçeneklerden birer kritik kontrol: B seçeneğinde sekiz basamak kontrolü: 38165492: 8 492 = 8 × 61 + 4 C seçeneğinde yedi basamak kontrolü: 3815647 = 7 × 545092 + 3 D seçeneğinde iki basamak kontrolü: 83 = 2 × 41 + 1 Bu nedenle doğru cevap: N = 381654729

Seçenek A için aday sayı:

N = 381654729

Koşul: Soldan ilk basamağın oluşturduğu sayı, o basamak sayısına tam bölünmeli. seçeneğiD314ni sırayla kontrol edelim.

Bir basamak:

3 = 1 \times 3

İki basamak:

38 = 2 \times 19

Üç basamak:

381 = 3 \times 127

Dört basamak:

3816 = 4 \times 954

Beş basamak:

38165 = 5 \times 7633

Altı basamak:

381654 = 6 \times 63609

Yedi basamak:

3816547 = 7 \times 545221

Sekiz basamak:

38165472 = 8 \times 4770684

Dokuz basamak:

381654729 = 9 \times 42406081

Görüldüğü gibi tüm durumlarda tam bölünme sağlanır. Dolayısıyla A seçeneği koşulu sağlıyor.

Doğru cevabın gerçekten A olduğunu netleştirmek için diğer seçeneklerden birer kritik kontrol:

B seçeneğinde sekiz basamak kontrolü:

38165492 : 8

492 = 8 \times 61 + 4

C seçeneğinde yedi basamak kontrolü:

3815647 = 7 \times 545092 + 3

D seçeneğinde iki basamak kontrolü:

83 = 2 \times 41 + 1

Bu nedenle doğru cevap:

N = 381654729

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda tanımlanan çarpımın $100$ ile bölümünden kalan kaçtır?
$P = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot 99$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Doğru şık C ’dir; kalan 75 çıkar. Verilen çarpımı şöyle adlandıralım: P = 1 · 3 · 5 · … · 99 İstenen: P mod 100 Adım 1: Modüler hesap için 100 ’ü çarpanlarına ayıralım: 100 = 4 · 25 Önce mod 4 ve mod 25 bulup sonra birleştireceğiz. Adım 2: Terim sayısını bulalım (tek sayılar): Terim sayısı = 99 + 1 2 = 50 Adım 3: Mod 4 hesabı. Tek sayılar mod 4 ’te sadece 1 veya 3 kalanı verir ve kalıntılar sırayla gider: 1, 3, 1, 3, … Toplam 50 terimde 25 tane 1, 25 tane 3 vardır. P ≡ 1 25 · 3 25 ≡ 3 25 (mod 4 ) 3 sayısını −1 gibi yazalım: 3 ≡ − 1 (mod 4 ) Üs tek olduğu için: 3 25 ≡ − 1 25 ≡ − 1 ≡ 3 (mod 4 ) Yani: P ≡ 3 (mod 4 ) Adım 4: Mod 25 hesabı. Çarpımın içinde 25 çarpanı var mı bakalım. 5 ’in katı olan tek sayılar: 5, 15, 25, …, 95 Bunların sayısı: Adet = 95 − 5 10 + 1 = 10 Özellikle 25 ve 75 terimleri çarpımın içindedir; dolayısıyla çarpım 25 ’e bölünür: P ≡ 0 (mod 25 ) Adım 5: Şimdi x ≡ 0 (mod 25 ) ve x ≡ 3 (mod 4 ) şartlarını aynı anda sağlayan mod 100 değerini bulalım. Adım 6: İlk koşuldan: x = 25 k Bunu mod 4 ’te kullanırsak: 25 k ≡ 3 (mod 4 ) 25 sayısı mod 4 ’te 1 ’dir: 25 ≡ 1 (mod 4 ) Bu yüzden: k ≡ 3 (mod 4 ) En küçük uygun değer: k = 3 Buradan: x = 25 · 3 = 75 Sonuç: P ≡ 75 (mod 100 ) Kalan 75 olduğundan doğru cevap A1224 ’dir.

Çözüm: Doğru şık C ’dir; kalan 75 çıkar. Verilen çarpımı şöyle adlandıralım: P = 1 · 3 · 5 · … · 99 İstenen: P mod 100 Adım 1: Modüler hesap için 100 ’ü çarpanlarına ayıralım: 100 = 4 · 25 Önce mod 4 ve mod 25 bulup sonra birleştireceğiz. Adım 2: Terim sayısını bulalım (tek sayılar): Terim sayısı = 99 + 1 2 = 50 Adım 3: Mod 4 hesabı. Tek sayılar mod 4 ’te sadece 1 veya 3 kalanı verir ve kalıntılar sırayla gider: 1, 3, 1, 3, … Toplam 50 terimde 25 tane 1, 25 tane 3 vardır. P ≡ 1 25 · 3 25 ≡ 3 25 (mod 4 ) 3 sayısını −1 gibi yazalım: 3 ≡ − 1 (mod 4 ) Üs tek olduğu için: 3 25 ≡ − 1 25 ≡ − 1 ≡ 3 (mod 4 ) Yani: P ≡ 3 (mod 4 ) Adım 4: Mod 25 hesabı. Çarpımın içinde 25 çarpanı var mı bakalım. 5 ’in katı olan tek sayılar: 5, 15, 25, …, 95 Bunların sayısı: Adet = 95 − 5 10 + 1 = 10 Özellikle 25 ve 75 terimleri çarpımın içindedir; dolayısıyla çarpım 25 ’e bölünür: P ≡ 0 (mod 25 ) Adım 5: Şimdi x ≡ 0 (mod 25 ) ve x ≡ 3 (mod 4 ) şartlarını aynı anda sağlayan mod 100 değerini bulalım. Adım 6: İlk koşuldan: x = 25 k Bunu mod 4 ’te kullanırsak: 25 k ≡ 3 (mod 4 ) 25 sayısı mod 4 ’te 1 ’dir: 25 ≡ 1 (mod 4 ) Bu yüzden: k ≡ 3 (mod 4 ) En küçük uygun değer: k = 3 Buradan: x = 25 · 3 = 75 Sonuç: P ≡ 75 (mod 100 ) Kalan 75 olduğundan doğru cevap A1224 ’dir.

Doğru şık C’dir; kalan 75 çıkar.

Verilen çarpımı şöyle adlandıralım:

P = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot 99

İstenen:

P mod 100

Adım 1: Modüler hesap için 100’ü çarpanlarına ayıralım:

100 = 4 \cdot 25

Önce mod 4 ve mod 25 bulup sonra birleştireceğiz.

Adım 2: Terim sayısını bulalım (tek sayılar):

Terim sayısı = \frac{99 + 1}{2} = 50

Adım 3:Mod 4 hesabı. Tek sayılar mod 4’te sadece 1 veya 3 kalanı verir ve kalıntılar sırayla gider:

1, 3, 1, 3, \dots

Toplam 50 terimde 25 tane 1, 25 tane 3 vardır.

P \equiv 1^{25} \cdot 3^{25} \equiv 3^{25} (mod 4)

3 sayısını −1 gibi yazalım:

3 \equiv - 1 (mod 4)

Üs tek olduğu için:

3^{25} \equiv {- 1}^{25} \equiv - 1 \equiv 3 (mod 4)

Yani:

P \equiv 3 (mod 4)

Adım 4:Mod 25 hesabı. Çarpımın içinde 25 çarpanı var mı bakalım.

5’in katı olan tek sayılar:

5, 15, 25, \dots, 95

Bunların sayısı:

Adet = \frac{95 - 5}{10} + 1 = 10

Özellikle 25 ve 75 terimleri çarpımın içindedir; dolayısıyla çarpım 25’e bölünür:

P \equiv 0 (mod 25)

Adım 5: Şimdi

x \equiv 0 (mod 25)

x \equiv 3 (mod 4)

şartlarını aynı anda sağlayan mod 100 değerini bulalım.

Adım 6: İlk koşuldan:

x = 25 k

Bunu mod 4’te kullanırsak:

25 k \equiv 3 (mod 4)

25 sayısı mod 4’te 1’dir:

25 \equiv 1 (mod 4)

Bu yüzden:

k \equiv 3 (mod 4)

En küçük uygun değer:

k = 3

Buradan:

x = 25 \cdot 3 = 75

Sonuç:

P \equiv 75 (mod 100)

Kalan 75 olduğundan doğru cevap C’dir.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Bir tahtaya $1$ ’den $2025$ ’e kadar olan tam sayılar yazılıyor. Her adımda tahtadan iki sayı seçilip siliniyor ve yerlerine $|a - b|$ yazılıyor. Bu işlem tek sayı kalana kadar sürdürülüyor.
Son kalan sayı, seçimler nasıl yapılırsa yapılsın kesin olarak kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Doğru cevap B ’dir. İşlem: Tahtadan iki sayı seçilip siliniyor ve yerlerine mutlak farkları yazılıyor. a, b seçilirse yeni sayı a - b olur. Bu tip işlemlerde en güçlü değişmezlerden biri OBEB ’dir. İddia: İki sayı için aşağıdaki eşitlik her zaman doğrudur. OBEB a, b = OBEB a, a - b Gerekçe (ortak bölenler kümesi değişmez): Eğer d hem a ’yı hem b ’yi bölüyorsa, farklarını da böler: d | a ∧ d | b ⇒ d | ( a - b ) ⇒ d | a - b Tersi de geçerlidir: d hem a ’yı hem de mutlak farkı bölüyorsa, b ’yi de böler. d | a ∧ d | a - b ⇒ d | b Dolayısıyla, iki sayıyı silip yerlerine mutlak farklarını yazmak, tahtadaki sayıların tamamının OBEB ’ini değiştirmez (değişmez kalır). Başlangıçta tahtada şu sayılar vardır: Küme: 1, 2, 3, …, 2025 Bu listenin OBEB’i, içinde 1 bulunduğu için kesin olarak: OBEB 1, 2, …, 2025 = 1 İşlemler boyunca OBEB değişmediğine göre, en sonda tek bir sayı kaldığında o sayı aynı zamanda bu OBEB’e eşit olmak zorundadır. Son kalan sayı: 1

Çözüm: Doğru cevap B ’dir. İşlem: Tahtadan iki sayı seçilip siliniyor ve yerlerine mutlak farkları yazılıyor. a, b seçilirse yeni sayı a - b olur. Bu tip işlemlerde en güçlü değişmezlerden biri OBEB ’dir. İddia: İki sayı için aşağıdaki eşitlik her zaman doğrudur. OBEB a, b = OBEB a, a - b Gerekçe (ortak bölenler kümesi değişmez): Eğer d hem a ’yı hem b ’yi bölüyorsa, farklarını da böler: d | a ∧ d | b ⇒ d | ( a - b ) ⇒ d | a - b Tersi de geçerlidir: d hem a ’yı hem de mutlak farkı bölüyorsa, b ’yi de böler. d | a ∧ d | a - b ⇒ d | b Dolayısıyla, iki sayıyı silip yerlerine mutlak farklarını yazmak, tahtadaki sayıların tamamının OBEB ’ini değiştirmez (değişmez kalır). Başlangıçta tahtada şu sayılar vardır: Küme: 1, 2, 3, …, 2025 Bu listenin OBEB’i, içinde 1 bulunduğu için kesin olarak: OBEB 1, 2, …, 2025 = 1 İşlemler boyunca OBEB değişmediğine göre, en sonda tek bir sayı kaldığında o sayı aynı zamanda bu OBEB’e eşit olmak zorundadır. Son kalan sayı: 1

Doğru cevap B’dir.

İşlem: Tahtadan iki sayı seçilip siliniyor ve yerlerine mutlak farkları yazılıyor.

a, b seçilirse yeni sayı |a - b| olur.

Bu tip işlemlerde en güçlü değişmezlerden biri OBEB’dir.

İddia: İki sayı için aşağıdaki eşitlik her zaman doğrudur.

OBEB (a, b) = OBEB (a, |a - b|)

Gerekçe (ortak bölenler kümesi değişmez):

Eğer d hem a’yı hem b’yi bölüyorsa, farklarını da böler:

d | a \land d | b \Rightarrow d | (a - b) \Rightarrow d | |a - b|

Tersi de geçerlidir: d hem a’yı hem de mutlak farkı bölüyorsa, b’yi de böler.

d | a \land d | |a - b| \Rightarrow d | b

Dolayısıyla, iki sayıyı silip yerlerine mutlak farklarını yazmak, tahtadaki sayıların tamamının OBEB’ini değiştirmez (değişmez kalır).

Başlangıçta tahtada şu sayılar vardır:

Küme: \{1, 2, 3, \dots, 2025\}

Bu listenin OBEB’i, içinde $1$ bulunduğu için kesin olarak:

OBEB (1, 2, \dots, 2025) = 1

İşlemler boyunca OBEB değişmediğine göre, en sonda tek bir sayı kaldığında o sayı aynı zamanda bu OBEB’e eşit olmak zorundadır.

Son kalan sayı:

1

Rutin Olmayan Problemler Hakkında

Rutin olmayan problem ne demektir?

Tek bir kalıp formülle değil, verilenler arasında ilişki kurarak çözülen problem türüdür.

Bu sorularda ilk adım ne olmalı?

Soruda verilen bilgileri ve isteneni netleştirip gerekirse tablo, şekil veya sembol kullanmak gerekir.

Rutin olmayan problemler nasıl geliştirilir?

Farklı tipte sorular çözmek ve çözüm yollarını karşılaştırmak bu beceriyi geliştirir.

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

9. Sınıf Rutin Olmayan Problemler

Nasıl Çözülmeli?

Strateji Geliştiren Testler

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Onluk tabanda n! sayısının sonundaki sıfır sayısı Z(n) ile gösterilsin veZ(n)=⌊n5⌋+⌊n25⌋+⋯Buna göre Z(n)=10 ve n sayısı 9'un katı olacak şekilde en küçük n kaçtır?

Bir tahtada 2026 tane 1 yazılıdır. Her adımda tahtadaki iki sayı a ve b silinip yerlerine a+b+ab yazılıyor. İşlem tahtada tek sayı kalana kadar sürdürülürse, en sonda kalan sayı kaçtır?

Aşağıdaki oyunda başlangıç sayısı 1 olsun.Her hamlede sayı ya n→n+5 ya da n→2n işleminden biriyle değiştirilir.Bu işlemler sonlu sayıda yapılarak aşağıdakilerden hangisi elde edilemez?

f:ℤ→ℤ fonksiyonu her m,n∈ℤ içinf(m)+f(n)=f(m+n)+mnkoşulunu sağlıyor ve f(1)=3 veriliyor. f(2025) kaçtır?

Pozitif tam sayılar için 1+2+…+n toplamı bir tam kare olsun.n>1 koşuluyla en küçük n kaçtır?

n>1 koşulunu sağlayan bir tam sayı için n4+4 ifadesi hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Pozitif tamsayı üçlüleri (a,b,c) için a≤b≤c ve 1a+1b+1c=1 koşulları sağlanıyor.Bu koşulları sağlayan kaç farklı üçlü vardır?

N sayısı {1,2,3,4,5,6,7,8,9} rakamlarının her birini tam bir kez kullanarak yazılan 9 basamaklı bir sayıdır.Soldan ilk k basamağın oluşturduğu sayı, k ile tam bölünebilmektedir (k=1,2,3,4,5,6,7,8,9).Buna göre N kaçtır?

Aşağıda tanımlanan çarpımın 100 ile bölümünden kalan kaçtır?P=1·3·5·…·99

Bir tahtaya 1’den 2025’e kadar olan tam sayılar yazılıyor. Her adımda tahtadan iki sayı seçilip siliniyor ve yerlerine a-b yazılıyor. Bu işlem tek sayı kalana kadar sürdürülüyor.Son kalan sayı, seçimler nasıl yapılırsa yapılsın kesin olarak kaçtır?

Rutin Olmayan Problemler Hakkında

Onluk tabanda $n!$ sayısının sonundaki sıfır sayısı $Z (n)$ ile gösterilsin ve
$Z (n) = ⌊ \frac{n}{5} ⌋ + ⌊ \frac{n}{25} ⌋ + \dots$
Buna göre $Z (n) = 10$ ve $n$ sayısı $9$ 'un katı olacak şekilde en küçük $n$ kaçtır?

Bir tahtada $2026$ tane $1$ yazılıdır. Her adımda tahtadaki iki sayı $a$ ve $b$ silinip yerlerine $a + b + a b$ yazılıyor. İşlem tahtada tek sayı kalana kadar sürdürülürse, en sonda kalan sayı kaçtır?

Aşağıdaki oyunda başlangıç sayısı $1$ olsun.
Her hamlede sayı ya $n \to n + 5$ ya da $n \to 2 n$ işleminden biriyle değiştirilir.
Bu işlemler sonlu sayıda yapılarak aşağıdakilerden hangisi elde edilemez?

$f : ℤ \to ℤ$ fonksiyonu her $m, n \in ℤ$ için
$f (m) + f (n) = f (m + n) + m n$
koşulunu sağlıyor ve $f (1) = 3$ veriliyor. $f (2025)$ kaçtır?

Pozitif tam sayılar için $1 + 2 + \dots + n$ toplamı bir tam kare olsun.
$n > 1$ koşuluyla en küçük $n$ kaçtır?

$n > 1$ koşulunu sağlayan bir tam sayı için $n^{4} + 4$ ifadesi hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Pozitif tamsayı üçlüleri $(a, b, c)$ için $a \leq b \leq c$ ve $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ koşulları sağlanıyor.
Bu koşulları sağlayan kaç farklı üçlü vardır?

$N$ sayısı ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ rakamlarının her birini tam bir kez kullanarak yazılan $9$ basamaklı bir sayıdır.
Soldan ilk $k$ basamağın oluşturduğu sayı, $k$ ile tam bölünebilmektedir $(k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)$ .
Buna göre $N$ kaçtır?

Aşağıda tanımlanan çarpımın $100$ ile bölümünden kalan kaçtır?
$P = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot 99$

Bir tahtaya $1$ ’den $2025$ ’e kadar olan tam sayılar yazılıyor. Her adımda tahtadan iki sayı seçilip siliniyor ve yerlerine $|a - b|$ yazılıyor. Bu işlem tek sayı kalana kadar sürdürülüyor.
Son kalan sayı, seçimler nasıl yapılırsa yapılsın kesin olarak kaçtır?