9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Rutin Olmayan Problemler konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

9. Sınıf Rutin Olmayan Problemler

Rutin olmayan problemler, ezberlenmiş bir formülden çok okuduğunu anlama, ilişki kurma ve farklı çözüm yolu geliştirme becerisi ister. Bu testler, 9. Sınıf problem çözme pratiğini çeşitlendirmek için hazırlanmıştır.

Nasıl Çözülmeli?

Soruyu küçük parçalara ayırmak, verilenleri sembolleştirmek ve gerekiyorsa tablo veya şekil çizmek çözüm yolunu görünür hale getirir. İlk denemede işlem yapmak yerine sorunun ne istediğini netleştirmek önemlidir.

Strateji Geliştiren Testler

Yanlış sorularda çözümün hangi adımda açıldığını incelemek, benzer sorularda daha hızlı karar vermeyi sağlar. Bu konu düzenli pratikle ciddi biçimde gelişir.

Test seç

10 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test

5. Test

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Rutin Olmayan Problemler konusu 5. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Rakamları birbirinden farklı ve soldan sağa artan $4$ basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

B şıkkının doğru olup olmadığını kontrol edelim ve sayıyı bulalım. Rakamları soldan sağa artan olduğuna göre, seçilen rakamlar bir kez seçildiğinde yazılış sırası otomatik olarak belirlenir (artan tek bir diziliş vardır). Yani problem, uygun rakamları seçme problemidir. Dört basamaklı sayı olması için ilk basamak sıfır olamaz. Artan dizilişte sıfır seçilirse en başa gelmek zorunda kalır; bu da sayıyı dört basamaklı yapmaz. Bu yüzden sıfır hiç seçilemez. Dolayısıyla sadece birden dokuza kadar olan rakamların içinden dört farklı rakam seçiyoruz. Seçim sayısı kombinasyondur: C ( 9, 4 ) Kombinasyonun değerini hesaplayalım: C ( 9, 4 ) = 9! 4! 5! Faktöriyel sadeleştirmesi: 9! 4! 5! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5! 4! 5! = 9 × 8 × 7 × 6 4 × 3 × 2 × 1 Sonuç: 9 × 8 × 7 × 6 24 = 3024 24 = 126 Bulunan sayı B şıkkındaki değerle aynıdır; yani doğru cevap B’dir.

Çözüm: B şıkkının doğru olup olmadığını kontrol edelim ve sayıyı bulalım. Rakamları soldan sağa artan olduğuna göre, seçilen rakamlar bir kez seçildiğinde yazılış sırası otomatik olarak belirlenir (artan tek bir diziliş vardır). Yani problem, uygun rakamları seçme problemidir. Dört basamaklı sayı olması için ilk basamak sıfır olamaz. Artan dizilişte sıfır seçilirse en başa gelmek zorunda kalır; bu da sayıyı dört basamaklı yapmaz. Bu yüzden sıfır hiç seçilemez. Dolayısıyla sadece birden dokuza kadar olan rakamların içinden dört farklı rakam seçiyoruz. Seçim sayısı kombinasyondur: C ( 9, 4 ) Kombinasyonun değerini hesaplayalım: C ( 9, 4 ) = 9! 4! 5! Faktöriyel sadeleştirmesi: 9! 4! 5! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5! 4! 5! = 9 × 8 × 7 × 6 4 × 3 × 2 × 1 Sonuç: 9 × 8 × 7 × 6 24 = 3024 24 = 126 Bulunan sayı B şıkkındaki değerle aynıdır; yani doğru cevap B’dir.

B şıkkının doğru olup olmadığını kontrol edelim ve sayıyı bulalım.

Rakamları soldan sağa artan olduğuna göre, seçilen rakamlar bir kez seçildiğinde yazılış sırası otomatik olarak belirlenir (artan tek bir diziliş vardır). Yani problem, uygun rakamları seçme problemidir.

Dört basamaklı sayı olması için ilk basamak sıfır olamaz. Artan dizilişte sıfır seçilirse en başa gelmek zorunda kalır; bu da sayıyı dört basamaklı yapmaz. Bu yüzden sıfır hiç seçilemez.

Dolayısıyla sadece birden dokuza kadar olan rakamların içinden dört farklı rakam seçiyoruz.

Seçim sayısı kombinasyondur:

C (9, 4)

Kombinasyonun değerini hesaplayalım:

C (9, 4) = \frac{9!}{4! 5!}

Faktöriyel sadeleştirmesi:

\frac{9!}{4! 5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{4! 5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1}

Sonuç:

\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{24} = \frac{3024}{24} = 126

Bulunan sayı B şıkkındaki değerle aynıdır; yani doğru cevap B’dir.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan $n$ pozitif tam sayısının en küçük değeri kaçtır?
$2 ∣ (n - 1)$
$3 ∣ (n - 2)$
$4 ∣ (n - 3)$
$5 ∣ (n - 4)$
$6 ∣ (n - 5)$

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada kırmızı ve mavi bilyeler vardır.
Geri koymadan art arda iki bilye çekildiğinde ikisinin de kırmızı gelme olasılığı $\frac{1}{6}$ ’dır.
Torbada toplam $9$ bilye olduğuna göre kırmızı bilye sayısı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen bilgi: Geri koymadan art arda iki bilye çekildiğinde ikisinin de kırmızı gelme olasılığı aşağıdaki gibidir. 1 6 Toplam bilye sayısı aşağıdaki gibidir. 9 Torbada kırmızı bilye sayısı r olsun. İlk çekişte kırmızı gelme olasılığı: r 9 İlk bilye kırmızı geldikten sonra torbada kalan toplam bilye sayısı ve kırmızı bilye sayısı: 8 r − 1 Bu durumda ikinci çekişte kırmızı gelme olasılığı: r − 1 8 İkisinin de kırmızı gelme olasılığı çarpım kuralı ile: r 9 × r − 1 8 = 1 6 Denklemi düzenleyelim: r ( r − 1 ) 9 · 8 = 1 6 Paydaları çarpalım: r ( r − 1 ) 72 = 1 6 Her iki tarafı 72 ile çarpalım: r ( r − 1 ) = 72 6 = 12 Denklemi açalım ve sıfıra eşitleyelim: r ^ 2 − r = 12 r ^ 2 − r − 12 = 0 Çarpanlara ayıralım: ( r − 4 ) ( r + 3 ) = 0 Buradan çözümler: r = 4 r = − 3 Bilye sayısı negatif olamayacağı için geçerli çözüm: r = 4 Sonuç: Kırmızı bilye sayısı 4 olduğu için doğru seçenek B ’dir.

Çözüm: Verilen bilgi: Geri koymadan art arda iki bilye çekildiğinde ikisinin de kırmızı gelme olasılığı aşağıdaki gibidir. 1 6 Toplam bilye sayısı aşağıdaki gibidir. 9 Torbada kırmızı bilye sayısı r olsun. İlk çekişte kırmızı gelme olasılığı: r 9 İlk bilye kırmızı geldikten sonra torbada kalan toplam bilye sayısı ve kırmızı bilye sayısı: 8 r − 1 Bu durumda ikinci çekişte kırmızı gelme olasılığı: r − 1 8 İkisinin de kırmızı gelme olasılığı çarpım kuralı ile: r 9 × r − 1 8 = 1 6 Denklemi düzenleyelim: r ( r − 1 ) 9 · 8 = 1 6 Paydaları çarpalım: r ( r − 1 ) 72 = 1 6 Her iki tarafı 72 ile çarpalım: r ( r − 1 ) = 72 6 = 12 Denklemi açalım ve sıfıra eşitleyelim: r ^ 2 − r = 12 r ^ 2 − r − 12 = 0 Çarpanlara ayıralım: ( r − 4 ) ( r + 3 ) = 0 Buradan çözümler: r = 4 r = − 3 Bilye sayısı negatif olamayacağı için geçerli çözüm: r = 4 Sonuç: Kırmızı bilye sayısı 4 olduğu için doğru seçenek B ’dir.

Verilen bilgi: Geri koymadan art arda iki bilye çekildiğinde ikisinin de kırmızı gelme olasılığı aşağıdaki gibidir.

\frac{1}{6}

Toplam bilye sayısı aşağıdaki gibidir.

9

Torbada kırmızı bilye sayısı r olsun. İlk çekişte kırmızı gelme olasılığı:

\frac{r}{9}

İlk bilye kırmızı geldikten sonra torbada kalan toplam bilye sayısı ve kırmızı bilye sayısı:

8

r - 1

Bu durumda ikinci çekişte kırmızı gelme olasılığı:

\frac{r - 1}{8}

İkisinin de kırmızı gelme olasılığı çarpım kuralı ile:

\frac{r}{9}

\times

\frac{r - 1}{8}

=

\frac{1}{6}

Denklemi düzenleyelim:

\frac{r (r - 1)}{9 \cdot 8}

=

\frac{1}{6}

Paydaları çarpalım:

\frac{r (r - 1)}{72}

=

\frac{1}{6}

Her iki tarafı 72 ile çarpalım:

r (r - 1)

=

\frac{72}{6}

=

12

Denklemi açalım ve sıfıra eşitleyelim:

r^2 - r

=

12

r^2 - r - 12 = 0

Çarpanlara ayıralım:

(r - 4) (r + 3) = 0

Buradan çözümler:

r = 4

r = - 3

Bilye sayısı negatif olamayacağı için geçerli çözüm:

r = 4

Sonuç: Kırmızı bilye sayısı 4 olduğu için doğru seçenek B’dir.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Bir tahtada başlangıçta $6$ adet sayı vardır ve her biri $1$ 'dir.
Her adımda tahtadaki iki sayı $x$ ve $y$ seçilip siliniyor, yerlerine $x + y + x y$ yazılıyor.
Bu işlem tek sayı kalana kadar sürdürülürse, en son kalan sayı kaç olur?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) İşlem kuralını tek bir ifadeyle yazalım: z = x + y + x y 2) Bu ifadeye uygun bir dönüşüm arayalım. Her iki tarafa da bir ekleyelim: z + 1 = x + y + x y + 1 Sağ taraf çarpanlara ayrılır: z + 1 = ( x + 1 ) ( y + 1 ) 3) Şimdi dönüşümü tanımlayalım: a = x + 1 Bu dönüşümle, her adımda iki sayı birleştirildiğinde yeni değerin dönüşümü çarpıma dönüşür: a ( z ) = a ( x ) · a ( y ) 4) Başlangıçtaki her sayı için dönüşüm değerini bulalım: a ( 1 ) = 1 + 1 = 2 5) Tahtadaki tüm sayılar bu işlemle tek sayıya inene kadar birleştirildiğinde, dönüşüm altında sonuç; başlangıçtaki dönüşümlerin çarpımı olur. Başlangıçta altı tane aynı dönüşüm değeri vardır: a ( son ) = 2 6 = 64 6) Dönüşümden geri dönelim: son = a ( son ) − 1 = 64 − 1 = 63 7) Sonuç: Doğru cevap B’dir. son = 63

Çözüm: 1) İşlem kuralını tek bir ifadeyle yazalım: z = x + y + x y 2) Bu ifadeye uygun bir dönüşüm arayalım. Her iki tarafa da bir ekleyelim: z + 1 = x + y + x y + 1 Sağ taraf çarpanlara ayrılır: z + 1 = ( x + 1 ) ( y + 1 ) 3) Şimdi dönüşümü tanımlayalım: a = x + 1 Bu dönüşümle, her adımda iki sayı birleştirildiğinde yeni değerin dönüşümü çarpıma dönüşür: a ( z ) = a ( x ) · a ( y ) 4) Başlangıçtaki her sayı için dönüşüm değerini bulalım: a ( 1 ) = 1 + 1 = 2 5) Tahtadaki tüm sayılar bu işlemle tek sayıya inene kadar birleştirildiğinde, dönüşüm altında sonuç; başlangıçtaki dönüşümlerin çarpımı olur. Başlangıçta altı tane aynı dönüşüm değeri vardır: a ( son ) = 2 6 = 64 6) Dönüşümden geri dönelim: son = a ( son ) − 1 = 64 − 1 = 63 7) Sonuç: Doğru cevap B’dir. son = 63

1) İşlem kuralını tek bir ifadeyle yazalım:

z = x + y + x y

2) Bu ifadeye uygun bir dönüşüm arayalım. Her iki tarafa da bir ekleyelim:

z + 1 = x + y + x y + 1

Sağ taraf çarpanlara ayrılır:

z + 1 = (x + 1) (y + 1)

3) Şimdi dönüşümü tanımlayalım:

a = x + 1

Bu dönüşümle, her adımda iki sayı birleştirildiğinde yeni değerin dönüşümü çarpıma dönüşür:

a (z) = a (x) \cdot a (y)

4) Başlangıçtaki her sayı için dönüşüm değerini bulalım:

a (1) = 1 + 1 = 2

5) Tahtadaki tüm sayılar bu işlemle tek sayıya inene kadar birleştirildiğinde, dönüşüm altında sonuç; başlangıçtaki dönüşümlerin çarpımı olur. Başlangıçta altı tane aynı dönüşüm değeri vardır:

a (son) = 2^{6} = 64

6) Dönüşümden geri dönelim:

son = a (son) - 1 = 64 - 1 = 63

7) Sonuç:

Doğru cevap B’dir.

son = 63

5. SoruÇoktan Seçmeli

İki basamaklı bir doğal sayı $n$ için, sayının rakamları yer değiştirilince oluşan sayı $m$ olsun.
$n + m = 121$ ve $n < 30$ olduğu biliniyor.
Buna göre $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kutuda kırmızı ve mavi bilyeler vardır.
Kırmızı bilye sayısı, mavi bilye sayısının $2$ katından $3$ fazladır.
Kutudan rastgele seçilen bir bilyenin mavi olma olasılığı $\frac{1}{4}$ olduğuna göre, kutudaki toplam bilye sayısı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan pozitif tam sayılar $a$ , $b$ ve $c$ vardır:
$lcm (a, b) = 12$
$lcm (b, c) = 18$
Buna göre $lcm (a, b, c)$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen koşullar: lcm ( birinci, ikinci ) = 12 lcm ( ikinci, üçüncü ) = 18 Önce asal çarpanlarına ayıralım: 12 = 2 2 · 3 18 = 2 · 3 2 İkinci sayı hem on iki ye hem de on sekiz e bölünmek zorundadır (çünkü EKOK verilen sayının katıdır). Bu yüzden ikinci sayı şu sayıya bölünmelidir: ikinci ∣ gcd ( 12, 18 ) = 6 Dolayısıyla ikinci sayının asal çarpan üstleri en fazla şöyle olabilir: ikinci = 2 x · 3 y ve 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 Birinci–ikinci EKOK’u on iki olduğundan, iki asalının üssü EKOK’ta iki olmalıdır. İkinci sayıda iki üssü en fazla bir olduğuna göre bu iki üssünü birinci sayı sağlamalıdır: lcm ( birinci, ikinci ) = 2 2 · 3 v 2 ( ikinci ) ≤ 1 ⇒ v 2 ( birinci ) = 2 Benzer şekilde ikinci–üçüncü EKOK’u on sekiz olduğundan, üç iki üç üssü en fazla bir lcm ( ikinci, üçüncü ) = 2 · 3 2 v 3 ( ikinci ) ≤ 1 ⇒ v 3 ( üçüncü ) = 2 Bu durumda üç sayının EKOK’unda mutlaka şu asal çarpanlar bulunur: lcm ( birinci, ikinci, üçüncü ) ≥ 2 2 · 3 2 2 2 · 3 2 = 36 Şimdi bu alt sınırın gerçekten elde edilebildiğini gösterelim. Örneğin: ikinci = 1, birinci = 12, üçüncü = 18 lcm ( 12, 1 ) = 12 lcm ( 1, 18 ) = 18 lcm ( 12, 1, 18 ) = 36 Sonuç olarak ifade en küçük otuz altı değerini alır. Bu da şıklardan C ’dir.

Çözüm: Verilen koşullar: lcm ( birinci, ikinci ) = 12 lcm ( ikinci, üçüncü ) = 18 Önce asal çarpanlarına ayıralım: 12 = 2 2 · 3 18 = 2 · 3 2 İkinci sayı hem on iki ye hem de on sekiz e bölünmek zorundadır (çünkü EKOK verilen sayının katıdır). Bu yüzden ikinci sayı şu sayıya bölünmelidir: ikinci ∣ gcd ( 12, 18 ) = 6 Dolayısıyla ikinci sayının asal çarpan üstleri en fazla şöyle olabilir: ikinci = 2 x · 3 y ve 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 Birinci–ikinci EKOK’u on iki olduğundan, iki asalının üssü EKOK’ta iki olmalıdır. İkinci sayıda iki üssü en fazla bir olduğuna göre bu iki üssünü birinci sayı sağlamalıdır: lcm ( birinci, ikinci ) = 2 2 · 3 v 2 ( ikinci ) ≤ 1 ⇒ v 2 ( birinci ) = 2 Benzer şekilde ikinci–üçüncü EKOK’u on sekiz olduğundan, üç iki üç üssü en fazla bir lcm ( ikinci, üçüncü ) = 2 · 3 2 v 3 ( ikinci ) ≤ 1 ⇒ v 3 ( üçüncü ) = 2 Bu durumda üç sayının EKOK’unda mutlaka şu asal çarpanlar bulunur: lcm ( birinci, ikinci, üçüncü ) ≥ 2 2 · 3 2 2 2 · 3 2 = 36 Şimdi bu alt sınırın gerçekten elde edilebildiğini gösterelim. Örneğin: ikinci = 1, birinci = 12, üçüncü = 18 lcm ( 12, 1 ) = 12 lcm ( 1, 18 ) = 18 lcm ( 12, 1, 18 ) = 36 Sonuç olarak ifade en küçük otuz altı değerini alır. Bu da şıklardan C ’dir.

Verilen koşullar:

lcm (birinci, ikinci) = 12

lcm (ikinci, üçüncü) = 18

Önce asal çarpanlarına ayıralım:

12 = 2^{2} \cdot 3

18 = 2 \cdot 3^{2}

İkinci sayı hem on ikiye hem de on sekize bölünmek zorundadır (çünkü EKOK verilen sayının katıdır). Bu yüzden ikinci sayı şu sayıya bölünmelidir:

ikinci ∣ gcd (12, 18) = 6

Dolayısıyla ikinci sayının asal çarpan üstleri en fazla şöyle olabilir:

ikinci = 2^{x} \cdot 3^{y} ve 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1

Birinci–ikinci EKOK’u on iki olduğundan, iki asalının üssü EKOK’ta iki olmalıdır. İkinci sayıda iki üssü en fazla bir olduğuna göre bu iki üssünü birinci sayı sağlamalıdır:

lcm (birinci, ikinci) = 2^{2} \cdot 3

v_{2} (ikinci) \leq 1 \Rightarrow v_{2} (birinci) = 2

Benzer şekilde ikinci–üçüncü EKOK’u on sekiz olduğundan, üçikiüç üssü en fazla bir $lcm (ikinci, üçüncü) = 2 \cdot 3^{2}$ $v_{3} (ikinci) \leq 1 \Rightarrow v_{3} (üçüncü) = 2$

Bu durumda üç sayının EKOK’unda mutlaka şu asal çarpanlar bulunur:

lcm (birinci, ikinci, üçüncü) \geq 2^{2} \cdot 3^{2}

2^{2} \cdot 3^{2} = 36

Şimdi bu alt sınırın gerçekten elde edilebildiğini gösterelim. Örneğin:

ikinci = 1, birinci = 12, üçüncü = 18

lcm (12, 1) = 12

lcm (1, 18) = 18

lcm (12, 1, 18) = 36

Sonuç olarak ifade en küçük otuz altı değerini alır. Bu da şıklardan C’dir.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı bulunuz:
$n \div 3$ işleminde kalan $1$
$n \div 4$ işleminde kalan $2$
$n \div 5$ işleminde kalan $3$

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kutuda kırmızı ve mavi bilyeler vardır. Kırmızı bilye sayısı, mavi bilye sayısının $2$ katından $3$ fazladır. Kutudan $5$ kırmızı bilye çıkarılınca iki renk bilye sayıları eşit oluyor. Başlangıçta kutudaki toplam bilye sayısı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tamsayı $n$ için $g (n) = {\begin{matrix} \frac{n}{2} & n çift ise \\ \frac{3 n + 1}{2} & n tek ise \end{matrix}$ olarak tanımlansın.
Bu işlem ardışık iki kez uygulandığında başlangıç değerine geri dönüyor, yani $g (g (n)) = n$ .
Buna göre bu koşulu sağlayan $n$ değerlerinin toplamı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen tanım: g ( n ) = { n 2 n çift ise 3 n + 1 2 n tek ise İstenen koşul: g ( g ( n ) ) = n Durum 1: Başlangıç değeri çift olsun. n = 2 k Bu durumda ilk uygulama: g ( n ) = k Koşul için ikinci uygulama sonucu: g ( k ) = 2 k Burada k çift olamaz; çünkü k çift olsaydı ikinci uygulama yarıya indirip daha da küçültürdü. O hâlde k tek olmalı ve tek durum formülü kullanılmalıdır: 3 k + 1 2 = 2 k Çözülür: 3 k + 1 = 4 k k = 1 Dolayısıyla: n = 2 Durum 2: Başlangıç değeri tek olsun. İlk uygulama: g ( n ) = 3 n + 1 2 Bu değere a diyelim: a = 3 n + 1 2 Koşul: g ( a ) = n Alt durum 2a: a çift ise ikinci uygulama yarıya indirir: a 2 = n Buradan: a = 2 n Ama a aynı zamanda ilk uygulamadan geliyordu: 3 n + 1 2 = 2 n Çözülür: 3 n + 1 = 4 n n = 1 Alt durum 2b: a tek ise ikinci uygulama tek durum formülünü kullanır: 3 a + 1 2 = n Burada a yerine ilk adımdaki değeri yazalım: 3 3 n + 1 2 + 1 2 = n Düzenlenince: 9 n + 5 4 = n Buradan: 9 n + 5 = 4 n n = − 1 Bu değer pozitif olmadığı için kabul edilmez. Yani tek başlangıç için yalnızca: n = 1 Koşulu sağlayan pozitif tamsayılar: n ∈ { 1, 2 } Toplamları: 1 + 2 = 3 Sonuç: Doğru seçenek C ’dir.

Çözüm: Verilen tanım: g ( n ) = { n 2 n çift ise 3 n + 1 2 n tek ise İstenen koşul: g ( g ( n ) ) = n Durum 1: Başlangıç değeri çift olsun. n = 2 k Bu durumda ilk uygulama: g ( n ) = k Koşul için ikinci uygulama sonucu: g ( k ) = 2 k Burada k çift olamaz; çünkü k çift olsaydı ikinci uygulama yarıya indirip daha da küçültürdü. O hâlde k tek olmalı ve tek durum formülü kullanılmalıdır: 3 k + 1 2 = 2 k Çözülür: 3 k + 1 = 4 k k = 1 Dolayısıyla: n = 2 Durum 2: Başlangıç değeri tek olsun. İlk uygulama: g ( n ) = 3 n + 1 2 Bu değere a diyelim: a = 3 n + 1 2 Koşul: g ( a ) = n Alt durum 2a: a çift ise ikinci uygulama yarıya indirir: a 2 = n Buradan: a = 2 n Ama a aynı zamanda ilk uygulamadan geliyordu: 3 n + 1 2 = 2 n Çözülür: 3 n + 1 = 4 n n = 1 Alt durum 2b: a tek ise ikinci uygulama tek durum formülünü kullanır: 3 a + 1 2 = n Burada a yerine ilk adımdaki değeri yazalım: 3 3 n + 1 2 + 1 2 = n Düzenlenince: 9 n + 5 4 = n Buradan: 9 n + 5 = 4 n n = − 1 Bu değer pozitif olmadığı için kabul edilmez. Yani tek başlangıç için yalnızca: n = 1 Koşulu sağlayan pozitif tamsayılar: n ∈ { 1, 2 } Toplamları: 1 + 2 = 3 Sonuç: Doğru seçenek C ’dir.

Verilen tanım:

g (n) = {\begin{matrix} \frac{n}{2} & n çift ise \\ \frac{3 n + 1}{2} & n tek ise \end{matrix}

İstenen koşul:

g (g (n)) = n

Durum 1: Başlangıç değeri çift olsun.

n = 2 k

Bu durumda ilk uygulama:

g (n) = k

Koşul için ikinci uygulama sonucu:

g (k) = 2 k

Burada k çift olamaz; çünkü k çift olsaydı ikinci uygulama yarıya indirip daha da küçültürdü. O hâlde k tek olmalı ve tek durum formülü kullanılmalıdır:

\frac{3 k + 1}{2} = 2 k

Çözülür:

3 k + 1 = 4 k

k = 1

Dolayısıyla:

n = 2

Durum 2: Başlangıç değeri tek olsun.

İlk uygulama:

g (n) = \frac{3 n + 1}{2}

Bu değere a diyelim:

a = \frac{3 n + 1}{2}

Koşul:

g (a) = n

Alt durum 2a: a çift ise ikinci uygulama yarıya indirir:

\frac{a}{2} = n

Buradan:

a = 2 n

Ama a aynı zamanda ilk uygulamadan geliyordu:

\frac{3 n + 1}{2} = 2 n

Çözülür:

3 n + 1 = 4 n

n = 1

Alt durum 2b: a tek ise ikinci uygulama tek durum formülünü kullanır:

\frac{3 a + 1}{2} = n

Burada a yerine ilk adımdaki değeri yazalım:

\frac{3 \frac{3 n + 1}{2} + 1}{2} = n

Düzenlenince:

\frac{9 n + 5}{4} = n

Buradan:

9 n + 5 = 4 n

n = - 1

Bu değer pozitif olmadığı için kabul edilmez. Yani tek başlangıç için yalnızca:

n = 1

Koşulu sağlayan pozitif tamsayılar:

n \in {1, 2}

Toplamları:

1 + 2 = 3

Sonuç: Doğru seçenek C’dir.

Rutin Olmayan Problemler Hakkında

Rutin olmayan problem ne demektir?

Tek bir kalıp formülle değil, verilenler arasında ilişki kurarak çözülen problem türüdür.

Bu sorularda ilk adım ne olmalı?

Soruda verilen bilgileri ve isteneni netleştirip gerekirse tablo, şekil veya sembol kullanmak gerekir.

Rutin olmayan problemler nasıl geliştirilir?

Farklı tipte sorular çözmek ve çözüm yollarını karşılaştırmak bu beceriyi geliştirir.

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

9. Sınıf Rutin Olmayan Problemler

Nasıl Çözülmeli?

Strateji Geliştiren Testler

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Rakamları birbirinden farklı ve soldan sağa artan 4 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

Aşağıdaki koşulları sağlayan n pozitif tam sayısının en küçük değeri kaçtır?2∣(n−1)3∣(n−2)4∣(n−3)5∣(n−4)6∣(n−5)

Bir torbada kırmızı ve mavi bilyeler vardır.Geri koymadan art arda iki bilye çekildiğinde ikisinin de kırmızı gelme olasılığı 16’dır.Torbada toplam 9 bilye olduğuna göre kırmızı bilye sayısı kaçtır?

Bir tahtada başlangıçta 6 adet sayı vardır ve her biri 1'dir.Her adımda tahtadaki iki sayı x ve y seçilip siliniyor, yerlerine x+y+xy yazılıyor.Bu işlem tek sayı kalana kadar sürdürülürse, en son kalan sayı kaç olur?

İki basamaklı bir doğal sayı n için, sayının rakamları yer değiştirilince oluşan sayı m olsun.n+m=121 ve n<30 olduğu biliniyor.Buna göre n kaçtır?

Bir kutuda kırmızı ve mavi bilyeler vardır.Kırmızı bilye sayısı, mavi bilye sayısının 2 katından 3 fazladır.Kutudan rastgele seçilen bir bilyenin mavi olma olasılığı 14 olduğuna göre, kutudaki toplam bilye sayısı kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan pozitif tam sayılar a, b ve c vardır:lcm(a,b)=12lcm(b,c)=18Buna göre lcm(a,b,c) ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı bulunuz:n÷3 işleminde kalan 1n÷4 işleminde kalan 2n÷5 işleminde kalan 3

Bir kutuda kırmızı ve mavi bilyeler vardır. Kırmızı bilye sayısı, mavi bilye sayısının 2 katından 3 fazladır. Kutudan 5 kırmızı bilye çıkarılınca iki renk bilye sayıları eşit oluyor. Başlangıçta kutudaki toplam bilye sayısı kaçtır?

Pozitif tamsayı n için g(n)={n2n çift ise3n+12n tek ise olarak tanımlansın.Bu işlem ardışık iki kez uygulandığında başlangıç değerine geri dönüyor, yani g(g(n))=n.Buna göre bu koşulu sağlayan n değerlerinin toplamı kaçtır?

Rutin Olmayan Problemler Hakkında

Rakamları birbirinden farklı ve soldan sağa artan $4$ basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

Aşağıdaki koşulları sağlayan $n$ pozitif tam sayısının en küçük değeri kaçtır?
$2 ∣ (n - 1)$
$3 ∣ (n - 2)$
$4 ∣ (n - 3)$
$5 ∣ (n - 4)$
$6 ∣ (n - 5)$

Bir torbada kırmızı ve mavi bilyeler vardır.
Geri koymadan art arda iki bilye çekildiğinde ikisinin de kırmızı gelme olasılığı $\frac{1}{6}$ ’dır.
Torbada toplam $9$ bilye olduğuna göre kırmızı bilye sayısı kaçtır?

Bir tahtada başlangıçta $6$ adet sayı vardır ve her biri $1$ 'dir.
Her adımda tahtadaki iki sayı $x$ ve $y$ seçilip siliniyor, yerlerine $x + y + x y$ yazılıyor.
Bu işlem tek sayı kalana kadar sürdürülürse, en son kalan sayı kaç olur?

İki basamaklı bir doğal sayı $n$ için, sayının rakamları yer değiştirilince oluşan sayı $m$ olsun.
$n + m = 121$ ve $n < 30$ olduğu biliniyor.
Buna göre $n$ kaçtır?

Bir kutuda kırmızı ve mavi bilyeler vardır.
Kırmızı bilye sayısı, mavi bilye sayısının $2$ katından $3$ fazladır.
Kutudan rastgele seçilen bir bilyenin mavi olma olasılığı $\frac{1}{4}$ olduğuna göre, kutudaki toplam bilye sayısı kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan pozitif tam sayılar $a$ , $b$ ve $c$ vardır:
$lcm (a, b) = 12$
$lcm (b, c) = 18$
Buna göre $lcm (a, b, c)$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı bulunuz:
$n \div 3$ işleminde kalan $1$
$n \div 4$ işleminde kalan $2$
$n \div 5$ işleminde kalan $3$

Bir kutuda kırmızı ve mavi bilyeler vardır. Kırmızı bilye sayısı, mavi bilye sayısının $2$ katından $3$ fazladır. Kutudan $5$ kırmızı bilye çıkarılınca iki renk bilye sayıları eşit oluyor. Başlangıçta kutudaki toplam bilye sayısı kaçtır?