9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

İki basamaklı bir sayının rakamları toplamı $11$ dir.
Bu sayı ile rakamları yer değiştirilmiş sayının farkı $27$ dir.
Sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Şık kontrolü: Bulunan sayı şıkkıD27 ile aynıdır. 1) Onlar basamağı a, birler basamağı b olsun. a + b = 11 2) Sayıyı ve rakamları yer değiştirilmiş hâlini yazalım. N = 10 a + b T = 10 b + a 3) Farkın değeri verildiği için mutlak değerle ifade edelim. N - T = 27 4) Yerine yazıp sadeleştirelim. 10 a + b - 10 b + a = 27 9 ( a - b ) = 27 a - b = 3 5) İki denklemi birlikte çözelim. İki basamaklı sayıda (verilen farka göre) onlar basamağı daha büyük olacağından: a - b = 3 a + b = 11 ( a - b ) + ( a + b ) = 3 + 11 2 a = 14 a = 7 b = 11 - 7 = 4 6) Sayıyı bulalım. N = 10 × 7 + 4 = 74 Sonuç: Sayı şıkkıD599 dır.

Çözüm: Şık kontrolü: Bulunan sayı şıkkıD27 ile aynıdır. 1) Onlar basamağı a, birler basamağı b olsun. a + b = 11 2) Sayıyı ve rakamları yer değiştirilmiş hâlini yazalım. N = 10 a + b T = 10 b + a 3) Farkın değeri verildiği için mutlak değerle ifade edelim. N - T = 27 4) Yerine yazıp sadeleştirelim. 10 a + b - 10 b + a = 27 9 ( a - b ) = 27 a - b = 3 5) İki denklemi birlikte çözelim. İki basamaklı sayıda (verilen farka göre) onlar basamağı daha büyük olacağından: a - b = 3 a + b = 11 ( a - b ) + ( a + b ) = 3 + 11 2 a = 14 a = 7 b = 11 - 7 = 4 6) Sayıyı bulalım. N = 10 × 7 + 4 = 74 Sonuç: Sayı şıkkıD599 dır.

Şık kontrolü: Bulunan sayı şıkkıD82 ile aynıdır.

1) Onlar basamağı a, birler basamağı b olsun.

a + b = 11

2) Sayıyı ve rakamları yer değiştirilmiş hâlini yazalım.

N = 10 a + b

T = 10 b + a

3) Farkın değeri verildiği için mutlak değerle ifade edelim.

|N - T| = 27

4) Yerine yazıp sadeleştirelim.

|10 a + b - 10 b + a| = 27

|9 (a - b)| = 27

|a - b| = 3

5) İki denklemi birlikte çözelim. İki basamaklı sayıda (verilen farka göre) onlar basamağı daha büyük olacağından:

a - b = 3

a + b = 11

(a - b) + (a + b) = 3 + 11

2 a = 14

a = 7

b = 11 - 7 = 4

6) Sayıyı bulalım.

N = 10 \times 7 + 4 = 74

Sonuç: Sayı şıkkıD2671dır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulu sağlayan kaç farklı doğal sayı vardır?
$n, 50 \leq n \leq 80$
Koşul: $n$ sayısının rakamları toplamı, $n$ sayısının $9$ ile bölümünden kalana eşittir.

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tamsayı $n$ için $\sum_{k = 1} n k$ sayısı $1000$ ile tam bölünebilmektedir. Buna göre en küçük $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Önce verilen toplamı kapalı formda yazalım. ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 Bu ifadenin 1000 ile tam bölünmesi isteniyor. Paydadaki 2 ’yi karşıya alırsak eşdeğer koşul: 1000 ∣ n ( n + 1 ) 2 ⇔ 2000 ∣ n ( n + 1 ) 2000 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. 2000 = 2 ⋅ 1000 = 2 4 ⋅ 5 3 Ardışık iki sayının aralarında asal olduğunu kullanacağız. ( n, n + 1 ) = 1 Bu yüzden 5 çarpanı iki tarafa birden “paylaştırılamaz”; 5 ’in tüm kuvveti tek tarafta olmalıdır. Dolayısıyla aşağıdakilerden biri sağlanmalı: 125 ∣ n ∨ 125 ∣ n + 1 Ayrıca 2 kuvvetleri için: ardışık sayılardan yalnız biri çifttir, dolayısıyla 2 ’nin tüm kuvveti o çift sayıda bulunur. Bu nedenle çift olan sayı 16 ’ya bölünmelidir. 16 ∣ çift olan sayı Şimdi en küçük değeri bulmak için daha avantajlı durumu deneyelim: 125 ’i n+1 tarafına verelim. n + 1 = 125 m n = 125 m - 1 n ile n+1 ’den biri çift olduğuna göre: 125m tek olursa n çift olur ve 16 ’ya bölünebilmesi gerekir. 125m ’in tek olması için m tek olmalıdır. Bu durumda koşul: 16 ∣ 125 m - 1 Bunu modüler eşitlikle çözelim. 125 m - 1 ≡ 0 ( mod 16 ) 125 m ≡ 1 ( mod 16 ) 125 ’i 16 ile sadeleştirelim. 125 ≡ 13 ( mod 16 ) Dolayısıyla: 13 m ≡ 1 ( mod 16 ) 13 ’ün 16 ’ya göre tersi 5 ’tir çünkü: 13 ⋅ 5 = 65 ≡ 1 ( mod 16 ) Her iki tarafı 5 ile çarparsak: m ≡ 5 ( mod 16 ) En küçük pozitif ve tek m değeri: m = 5 Buradan: n = 125 ⋅ 5 - 1 = 624 Kontrol edelim: n(n+1) sayısı 2000 ’e bölünüyor mu? 624 = 2 4 ⋅ 3 ⋅ 13 625 = 5 4 Dolayısıyla: 624 ⋅ 625 sayısı 2 4 ⋅ 5 3 içerir 2000 ∣ 624 ⋅ 625 Bu da 1000 ∣ 624 ⋅ 625 2 demektir. Daha küçük olup olmadığına bakalım: m=1 için n=124 olur; ancak 124 ≡ 12 ( mod 16 ) olduğundan 16 ’ya bölünmez ve şart sağlanmaz. Bu yüzden bulduğumuz değer en küçüktür. Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır. n = 624

Çözüm: Önce verilen toplamı kapalı formda yazalım. ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 Bu ifadenin 1000 ile tam bölünmesi isteniyor. Paydadaki 2 ’yi karşıya alırsak eşdeğer koşul: 1000 ∣ n ( n + 1 ) 2 ⇔ 2000 ∣ n ( n + 1 ) 2000 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. 2000 = 2 ⋅ 1000 = 2 4 ⋅ 5 3 Ardışık iki sayının aralarında asal olduğunu kullanacağız. ( n, n + 1 ) = 1 Bu yüzden 5 çarpanı iki tarafa birden “paylaştırılamaz”; 5 ’in tüm kuvveti tek tarafta olmalıdır. Dolayısıyla aşağıdakilerden biri sağlanmalı: 125 ∣ n ∨ 125 ∣ n + 1 Ayrıca 2 kuvvetleri için: ardışık sayılardan yalnız biri çifttir, dolayısıyla 2 ’nin tüm kuvveti o çift sayıda bulunur. Bu nedenle çift olan sayı 16 ’ya bölünmelidir. 16 ∣ çift olan sayı Şimdi en küçük değeri bulmak için daha avantajlı durumu deneyelim: 125 ’i n+1 tarafına verelim. n + 1 = 125 m n = 125 m - 1 n ile n+1 ’den biri çift olduğuna göre: 125m tek olursa n çift olur ve 16 ’ya bölünebilmesi gerekir. 125m ’in tek olması için m tek olmalıdır. Bu durumda koşul: 16 ∣ 125 m - 1 Bunu modüler eşitlikle çözelim. 125 m - 1 ≡ 0 ( mod 16 ) 125 m ≡ 1 ( mod 16 ) 125 ’i 16 ile sadeleştirelim. 125 ≡ 13 ( mod 16 ) Dolayısıyla: 13 m ≡ 1 ( mod 16 ) 13 ’ün 16 ’ya göre tersi 5 ’tir çünkü: 13 ⋅ 5 = 65 ≡ 1 ( mod 16 ) Her iki tarafı 5 ile çarparsak: m ≡ 5 ( mod 16 ) En küçük pozitif ve tek m değeri: m = 5 Buradan: n = 125 ⋅ 5 - 1 = 624 Kontrol edelim: n(n+1) sayısı 2000 ’e bölünüyor mu? 624 = 2 4 ⋅ 3 ⋅ 13 625 = 5 4 Dolayısıyla: 624 ⋅ 625 sayısı 2 4 ⋅ 5 3 içerir 2000 ∣ 624 ⋅ 625 Bu da 1000 ∣ 624 ⋅ 625 2 demektir. Daha küçük olup olmadığına bakalım: m=1 için n=124 olur; ancak 124 ≡ 12 ( mod 16 ) olduğundan 16 ’ya bölünmez ve şart sağlanmaz. Bu yüzden bulduğumuz değer en küçüktür. Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır. n = 624

Önce verilen toplamı kapalı formda yazalım.

\sum_{k = 1} n k = \frac{n (n + 1)}{2}

Bu ifadenin 1000 ile tam bölünmesi isteniyor. Paydadaki 2’yi karşıya alırsak eşdeğer koşul:

1000 ∣ \frac{n (n + 1)}{2} \Leftrightarrow 2000 ∣ n (n + 1)

2000 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

2000 = 2 \cdot 1000 = 2^{4} \cdot 5^{3}

Ardışık iki sayının aralarında asal olduğunu kullanacağız.

(n, n + 1) = 1

Bu yüzden 5 çarpanı iki tarafa birden “paylaştırılamaz”; 5’in tüm kuvveti tek tarafta olmalıdır. Dolayısıyla aşağıdakilerden biri sağlanmalı:

125 ∣ n \lor 125 ∣ n + 1

Ayrıca 2 kuvvetleri için: ardışık sayılardan yalnız biri çifttir, dolayısıyla 2’nin tüm kuvveti o çift sayıda bulunur. Bu nedenle çift olan sayı 16’ya bölünmelidir.

16 ∣ çift olan sayı

Şimdi en küçük değeri bulmak için daha avantajlı durumu deneyelim: 125’i n+1 tarafına verelim.

n + 1 = 125 m

n = 125 m - 1

n ile n+1’den biri çift olduğuna göre: 125m tek olursa n çift olur ve 16’ya bölünebilmesi gerekir. 125m’in tek olması için m tek olmalıdır.

Bu durumda koşul:

16 ∣ 125 m - 1

Bunu modüler eşitlikle çözelim.

125 m - 1 \equiv 0 (\mod 16)

125 m \equiv 1 (\mod 16)

125’i 16 ile sadeleştirelim.

125 \equiv 13 (\mod 16)

Dolayısıyla:

13 m \equiv 1 (\mod 16)

13’ün 16’ya göre tersi 5’tir çünkü:

13 \cdot 5 = 65 \equiv 1 (\mod 16)

Her iki tarafı 5 ile çarparsak:

m \equiv 5 (\mod 16)

En küçük pozitif ve tek m değeri:

m = 5

Buradan:

n = 125 \cdot 5 - 1 = 624

Kontrol edelim: n(n+1) sayısı 2000’e bölünüyor mu?

624 = 2^{4} \cdot 3 \cdot 13

625 = 5^{4}

Dolayısıyla:

624 \cdot 625 sayısı 2^{4} \cdot 5^{3} içerir

2000 ∣ 624 \cdot 625

Bu da

1000 ∣ \frac{624 \cdot 625}{2}

demektir.

Daha küçük olup olmadığına bakalım: m=1 için n=124 olur; ancak

124 \equiv 12 (\mod 16)

olduğundan 16’ya bölünmez ve şart sağlanmaz. Bu yüzden bulduğumuz değer en küçüktür.

Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

n = 624

4. SoruÇoktan Seçmeli

Bir öğretmenin elinde bir miktar kalem vardır. Sınıftaki öğrenci sayısı $n$ , kalem sayısı $P$ olsun.
Her öğrenciye $5$ kalem verirse $2$ kalem artıyor.
Her öğrenciye $6$ kalem verirse $3$ kalem eksik kalıyor.
Buna göre $P$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Bir sınıfta her öğrenci, diğer her öğrenciyle yalnız bir kez tokalaşıyor.
Toplam tokalaşma sayısı $45$ olduğuna göre sınıfta kaç öğrenci vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Başlangıçta tahtada $1$ yazıyor. Her adımda yazılı sayı $2 x$ veya $2 x + 1$ ile değiştiriliyor. Tam $5$ adım sonunda elde edilebilecek farklı sayıların sayısı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) Doğru şık kontrolü: Elde edilebilecek farklı sayıların sayısı şıkkıA65ndaki değerdir. 2) İşlemi tanıyalım: Tahtadaki sayı her adımda aşağıdaki iki dönüşümden biriyle değişiyor. x → 2 x x → 2 x + 1 3) İlk birkaç adımı yazalım (başlangıç). S _ 0 = { 1 } 4) 1. adım sonunda: S _ 1 = { 2, 3 } 5) 2. adım sonunda: S _ 2 = { 4, 5, 6, 7 } 6) 3. adım sonunda: S _ 3 = { 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 } 7) Desen: Her adımda elde edilen sayılar ardışık bir aralık oluşturuyor. Bu aralık şu şekilde ifade edilebilir: S _ k = { 2 k, 2 k + 1, …, 2 k + 1 - 1 } 8) Neden böyle? (kısa gerekçe) Eğer x ≠ y ise, 2 x ≠ 2 y 2 x + 1 ≠ 2 y + 1 ve ayrıca çift sayılar ile tek sayılar birbirine karışmadığı için her adımda farklı dallar farklı sonuçlar üretir; yani her adımda eleman sayısı iki katına çıkar. 9) 5 adım sonu için aralık ve eleman sayısı: S _ 5 = { 2 5, …, 2 6 - 1 } 2 5 = 32 2 6 - 1 = 63 Bu aralıktaki sayı adedi: 63 - 32 + 1 = 32 10) Sonuç: Tam 5 adım sonunda elde edilebilecek farklı sayıların sayısı 32 Dolayısıyla doğru cevap A1060 şıkkıdır.

Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü: Elde edilebilecek farklı sayıların sayısı şıkkıA65ndaki değerdir. 2) İşlemi tanıyalım: Tahtadaki sayı her adımda aşağıdaki iki dönüşümden biriyle değişiyor. x → 2 x x → 2 x + 1 3) İlk birkaç adımı yazalım (başlangıç). S _ 0 = { 1 } 4) 1. adım sonunda: S _ 1 = { 2, 3 } 5) 2. adım sonunda: S _ 2 = { 4, 5, 6, 7 } 6) 3. adım sonunda: S _ 3 = { 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 } 7) Desen: Her adımda elde edilen sayılar ardışık bir aralık oluşturuyor. Bu aralık şu şekilde ifade edilebilir: S _ k = { 2 k, 2 k + 1, …, 2 k + 1 - 1 } 8) Neden böyle? (kısa gerekçe) Eğer x ≠ y ise, 2 x ≠ 2 y 2 x + 1 ≠ 2 y + 1 ve ayrıca çift sayılar ile tek sayılar birbirine karışmadığı için her adımda farklı dallar farklı sonuçlar üretir; yani her adımda eleman sayısı iki katına çıkar. 9) 5 adım sonu için aralık ve eleman sayısı: S _ 5 = { 2 5, …, 2 6 - 1 } 2 5 = 32 2 6 - 1 = 63 Bu aralıktaki sayı adedi: 63 - 32 + 1 = 32 10) Sonuç: Tam 5 adım sonunda elde edilebilecek farklı sayıların sayısı 32 Dolayısıyla doğru cevap A1060 şıkkıdır.

1) Doğru şık kontrolü: Elde edilebilecek farklı sayıların sayısı C şıkkındaki değerdir.

2) İşlemi tanıyalım: Tahtadaki sayı her adımda aşağıdaki iki dönüşümden biriyle değişiyor.

x \to 2 x

x \to 2 x + 1

3) İlk birkaç adımı yazalım (başlangıç).

S_0 = {1}

4) 1. adım sonunda:

S_1 = {2, 3}

5) 2. adım sonunda:

S_2 = {4, 5, 6, 7}

6) 3. adım sonunda:

S_3 = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

7) Desen: Her adımda elde edilen sayılar ardışık bir aralık oluşturuyor.

Bu aralık şu şekilde ifade edilebilir:

S_k = {2^{k}, 2^{k} + 1, \dots, 2^{k + 1} - 1}

8) Neden böyle? (kısa gerekçe)

Eğer $x \neq y$ ise,

2 x \neq 2 y

2 x + 1 \neq 2 y + 1

ve ayrıca çift sayılar ile tek sayılar birbirine karışmadığı için her adımda farklı dallar farklı sonuçlar üretir; yani her adımda eleman sayısı iki katına çıkar.

9) 5 adım sonu için aralık ve eleman sayısı:

S_5 = {2^{5}, \dots, 2^{6} - 1}

2^{5} = 32

2^{6} - 1 = 63

Bu aralıktaki sayı adedi:

63 - 32 + 1 = 32

10) Sonuç: Tam 5 adım sonunda elde edilebilecek farklı sayıların sayısı

32

Dolayısıyla doğru cevap C şıkkıdır.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Bir sınıfta sıralara ikişer oturulursa iki öğrenci ayakta kalıyor, üçer oturulursa üç sıra boş kalıyor. Sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır?
Bu durumu sıraların sayısı ve öğrencilerin sayısı ile şu şekilde modelleyelim:
$n = 2 x + 2$
$n = 3 (x - 3)$

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tamsayılar üzerinde, $s (n)$ sayısının rakamları toplamı olmak üzere $f (n) = n + s (n)$ tanımlanıyor.
$f (n) = 2026$ olacak şekilde en küçük $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Bir $8 \times 8$ satranç tahtasının birbirine köşegen olan iki köşe karesi çıkarılıyor. Kalan $62$ kare, her biri $1 \times 2$ olan domino taşlarıyla boşluk kalmadan kaplanabilir mi?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Doğru cevap D ’dir: Hayır, mümkün değildir. 1) Satranç tahtasını standart biçimde siyah-beyaz boyayalım. Her domino taşı yan yana duran iki kareyi kapladığı için, kapladığı iki kare daima farklı renktedir (biri siyah, biri beyaz). 2) Bir satranç tahtasında toplam kare sayısı: 8 × 8 = 64 Bu durumda siyah kare sayısı ile beyaz kare sayısı eşittir, yani: 32 siyah, 32 beyaz 3) Birbirine köşegen olan iki köşe karesi çıkarılıyor. Köşegen köşeler aynı renktir (ikisi de siyah ya da ikisi de beyaz). 4) Bu iki kare aynı renkte olduğundan, çıkarılınca renk sayıları eşit kalmaz. Örneğin iki beyaz köşe çıkarsa: Kalan beyaz = 30 Kalan siyah = 32 (Ya da tam tersi: iki siyah çıkarsa beyaz 32, siyah 30 olur.) 5) Domino her zaman bir siyah ve bir beyaz kare kapladığı için, tahtanın domino ile tamamen kaplanabilmesi için kalan siyah ve beyaz kare sayılarının eşit olması gerekir. Ama burada kalan siyah-beyaz sayıları eşit değildir. Bu nedenle boşluk kalmadan kaplama imkânsızdır. 6) Kalan kare sayısı gerçekten: 64 − 2 = 62 ve domino boyutu: 1 × 2 olduğu için sadece “çift sayı” olmak yetmez; asıl engel renk dengesizliğidir. Sonuç: Köşegen iki köşe çıkarıldığında kaplama mümkün değildir → B.

Çözüm: Doğru cevap D ’dir: Hayır, mümkün değildir. 1) Satranç tahtasını standart biçimde siyah-beyaz boyayalım. Her domino taşı yan yana duran iki kareyi kapladığı için, kapladığı iki kare daima farklı renktedir (biri siyah, biri beyaz). 2) Bir satranç tahtasında toplam kare sayısı: 8 × 8 = 64 Bu durumda siyah kare sayısı ile beyaz kare sayısı eşittir, yani: 32 siyah, 32 beyaz 3) Birbirine köşegen olan iki köşe karesi çıkarılıyor. Köşegen köşeler aynı renktir (ikisi de siyah ya da ikisi de beyaz). 4) Bu iki kare aynı renkte olduğundan, çıkarılınca renk sayıları eşit kalmaz. Örneğin iki beyaz köşe çıkarsa: Kalan beyaz = 30 Kalan siyah = 32 (Ya da tam tersi: iki siyah çıkarsa beyaz 32, siyah 30 olur.) 5) Domino her zaman bir siyah ve bir beyaz kare kapladığı için, tahtanın domino ile tamamen kaplanabilmesi için kalan siyah ve beyaz kare sayılarının eşit olması gerekir. Ama burada kalan siyah-beyaz sayıları eşit değildir. Bu nedenle boşluk kalmadan kaplama imkânsızdır. 6) Kalan kare sayısı gerçekten: 64 − 2 = 62 ve domino boyutu: 1 × 2 olduğu için sadece “çift sayı” olmak yetmez; asıl engel renk dengesizliğidir. Sonuç: Köşegen iki köşe çıkarıldığında kaplama mümkün değildir → B.

Doğru cevap B’dir: Hayır, mümkün değildir.

1) Satranç tahtasını standart biçimde siyah-beyaz boyayalım. Her domino taşı yan yana duran iki kareyi kapladığı için, kapladığı iki kare daima farklı renktedir (biri siyah, biri beyaz).

2) Bir satranç tahtasında toplam kare sayısı:

8 \times 8 = 64

Bu durumda siyah kare sayısı ile beyaz kare sayısı eşittir, yani:

32 siyah, 32 beyaz

3) Birbirine köşegen olan iki köşe karesi çıkarılıyor. Köşegen köşeler aynı renktir (ikisi de siyah ya da ikisi de beyaz).

4) Bu iki kare aynı renkte olduğundan, çıkarılınca renk sayıları eşit kalmaz. Örneğin iki beyaz köşe çıkarsa:

Kalan beyaz = 30

Kalan siyah = 32

(Ya da tam tersi: iki siyah çıkarsa beyaz $32$ , siyah $30$ olur.)

5) Domino her zaman bir siyah ve bir beyaz kare kapladığı için, tahtanın domino ile tamamen kaplanabilmesi için kalan siyah ve beyaz kare sayılarının eşit olması gerekir.

Ama burada kalan siyah-beyaz sayıları eşit değildir. Bu nedenle boşluk kalmadan kaplama imkânsızdır.

6) Kalan kare sayısı gerçekten:

64 - 2 = 62

ve domino boyutu:

1 \times 2

olduğu için sadece “çift sayı” olmak yetmez; asıl engel renk dengesizliğidir.

Sonuç: Köşegen iki köşe çıkarıldığında kaplama mümkün değildir → B.

10. SoruÇoktan Seçmeli

$1$ ile $200$ arasından kaç farklı pozitif tam sayı seçilirse, seçilen sayılardan mutlaka biri diğerini böler?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Soruda istenen: Seçilen sayılar arasında mutlaka biri diğerini bölecek şekilde garanti sağlamak için en az kaç sayı seçilmelidir? Her pozitif tam sayı, tek (odd) bir sayı ile bir 2 kuvvetinin çarpımı olarak tekil biçimde yazılabilir: n = 2 k ⋅ m Burada m ≡ 1 ( mod 2 ) yani m tektir. Aynı tek kısmı ( m ) paylaşan sayılar bir zincir (grup) oluşturur: m, 2 m, 4 m, 8 m, … Bu zincirde daha büyük olan sayı, daha küçük olanın tam katıdır; yani zincirden iki sayı seçilirse mutlaka biri diğerini böler. O hâlde “hiçbiri diğerini bölmesin” diye seçim yapmak istersek, her zincirden en fazla bir sayı seçebiliriz. 1 … 200 aralığında kaç tane farklı zincir vardır? Her zincir, tek bir m (tek sayı) ile başlar. Bu yüzden zincir sayısı, bu aralıktaki tek sayıların sayısına eşittir: | 1 … 200 tek sayılar | = 100 Demek ki, bölen-bölünen çifti oluşmadan seçilebilecek en fazla sayı: 100 Güvercin yuvası ilkesine göre 100 zincir (yuva) varken 101 sayı seçilirse, en az bir zincirden iki sayı seçilmiş olur; bu iki sayıdan biri diğerini böler. Sonuç: İstenen en küçük sayı 101 Bu da A şıkkıdır. Dolayısıyla “doğru cevap A mı?” kontrolü: Evet.

Çözüm: Soruda istenen: Seçilen sayılar arasında mutlaka biri diğerini bölecek şekilde garanti sağlamak için en az kaç sayı seçilmelidir? Her pozitif tam sayı, tek (odd) bir sayı ile bir 2 kuvvetinin çarpımı olarak tekil biçimde yazılabilir: n = 2 k ⋅ m Burada m ≡ 1 ( mod 2 ) yani m tektir. Aynı tek kısmı ( m ) paylaşan sayılar bir zincir (grup) oluşturur: m, 2 m, 4 m, 8 m, … Bu zincirde daha büyük olan sayı, daha küçük olanın tam katıdır; yani zincirden iki sayı seçilirse mutlaka biri diğerini böler. O hâlde “hiçbiri diğerini bölmesin” diye seçim yapmak istersek, her zincirden en fazla bir sayı seçebiliriz. 1 … 200 aralığında kaç tane farklı zincir vardır? Her zincir, tek bir m (tek sayı) ile başlar. Bu yüzden zincir sayısı, bu aralıktaki tek sayıların sayısına eşittir: | 1 … 200 tek sayılar | = 100 Demek ki, bölen-bölünen çifti oluşmadan seçilebilecek en fazla sayı: 100 Güvercin yuvası ilkesine göre 100 zincir (yuva) varken 101 sayı seçilirse, en az bir zincirden iki sayı seçilmiş olur; bu iki sayıdan biri diğerini böler. Sonuç: İstenen en küçük sayı 101 Bu da A şıkkıdır. Dolayısıyla “doğru cevap A mı?” kontrolü: Evet.

Soruda istenen: Seçilen sayılar arasında mutlaka biri diğerini bölecek şekilde garanti sağlamak için en az kaç sayı seçilmelidir?

Her pozitif tam sayı, tek (odd) bir sayı ile bir 2 kuvvetinin çarpımı olarak tekil biçimde yazılabilir:

n = 2^{k} \cdot m

Burada $m \equiv 1 (\mod 2)$ yani $m$ tektir.

Aynı tek kısmı ( $m$ ) paylaşan sayılar bir zincir (grup) oluşturur:

m, 2 m, 4 m, 8 m, \dots

Bu zincirde daha büyük olan sayı, daha küçük olanın tam katıdır; yani zincirden iki sayı seçilirse mutlaka biri diğerini böler.

O hâlde “hiçbiri diğerini bölmesin” diye seçim yapmak istersek, her zincirden en fazla bir sayı seçebiliriz.

$1 \dots 200$ aralığında kaç tane farklı zincir vardır?

Her zincir, tek bir $m$ (tek sayı) ile başlar. Bu yüzden zincir sayısı, bu aralıktaki tek sayıların sayısına eşittir:

| 1 \dots 200 tek sayılar | = 100

Demek ki, bölen-bölünen çifti oluşmadan seçilebilecek en fazla sayı:

100

Güvercin yuvası ilkesine göre $100$ zincir (yuva) varken $101$ sayı seçilirse, en az bir zincirden iki sayı seçilmiş olur; bu iki sayıdan biri diğerini böler.

Sonuç: İstenen en küçük sayı

101

Bu da A şıkkıdır. Dolayısıyla “doğru cevap A mı?” kontrolü: Evet.

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

9. Sınıf Rutin Olmayan Problemler

Nasıl Çözülmeli?

Strateji Geliştiren Testler

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

İki basamaklı bir sayının rakamları toplamı $11$ dir.
Bu sayı ile rakamları yer değiştirilmiş sayının farkı $27$ dir.
Sayı kaçtır?

Aşağıdaki koşulu sağlayan kaç farklı doğal sayı vardır?
$n, 50 \leq n \leq 80$
Koşul: $n$ sayısının rakamları toplamı, $n$ sayısının $9$ ile bölümünden kalana eşittir.

Pozitif tamsayı $n$ için $\sum_{k = 1} n k$ sayısı $1000$ ile tam bölünebilmektedir. Buna göre en küçük $n$ kaçtır?

Bir öğretmenin elinde bir miktar kalem vardır. Sınıftaki öğrenci sayısı $n$ , kalem sayısı $P$ olsun.
Her öğrenciye $5$ kalem verirse $2$ kalem artıyor.
Her öğrenciye $6$ kalem verirse $3$ kalem eksik kalıyor.
Buna göre $P$ kaçtır?

Bir sınıfta her öğrenci, diğer her öğrenciyle yalnız bir kez tokalaşıyor.
Toplam tokalaşma sayısı $45$ olduğuna göre sınıfta kaç öğrenci vardır?

Başlangıçta tahtada $1$ yazıyor. Her adımda yazılı sayı $2 x$ veya $2 x + 1$ ile değiştiriliyor. Tam $5$ adım sonunda elde edilebilecek farklı sayıların sayısı kaçtır?

Bir sınıfta sıralara ikişer oturulursa iki öğrenci ayakta kalıyor, üçer oturulursa üç sıra boş kalıyor. Sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır?
Bu durumu sıraların sayısı ve öğrencilerin sayısı ile şu şekilde modelleyelim:
$n = 2 x + 2$
$n = 3 (x - 3)$

Pozitif tamsayılar üzerinde, $s (n)$ sayısının rakamları toplamı olmak üzere $f (n) = n + s (n)$ tanımlanıyor.
$f (n) = 2026$ olacak şekilde en küçük $n$ kaçtır?

Bir $8 \times 8$ satranç tahtasının birbirine köşegen olan iki köşe karesi çıkarılıyor. Kalan $62$ kare, her biri $1 \times 2$ olan domino taşlarıyla boşluk kalmadan kaplanabilir mi?

$1$ ile $200$ arasından kaç farklı pozitif tam sayı seçilirse, seçilen sayılardan mutlaka biri diğerini böler?

Rutin Olmayan Problemler Hakkında

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

9. Sınıf Rutin Olmayan Problemler

Nasıl Çözülmeli?

Strateji Geliştiren Testler

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

İki basamaklı bir sayının rakamları toplamı 11 dir.Bu sayı ile rakamları yer değiştirilmiş sayının farkı 27 dir.Sayı kaçtır?

Aşağıdaki koşulu sağlayan kaç farklı doğal sayı vardır?n,50≤n≤80Koşul: n sayısının rakamları toplamı, n sayısının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

Pozitif tamsayı n için ∑k=1nk sayısı 1000 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre en küçük n kaçtır?

Bir öğretmenin elinde bir miktar kalem vardır. Sınıftaki öğrenci sayısı n, kalem sayısı P olsun.Her öğrenciye 5 kalem verirse 2 kalem artıyor.Her öğrenciye 6 kalem verirse 3 kalem eksik kalıyor.Buna göre P kaçtır?

Bir sınıfta her öğrenci, diğer her öğrenciyle yalnız bir kez tokalaşıyor.Toplam tokalaşma sayısı 45 olduğuna göre sınıfta kaç öğrenci vardır?

Başlangıçta tahtada 1 yazıyor. Her adımda yazılı sayı 2x veya 2x+1 ile değiştiriliyor. Tam 5 adım sonunda elde edilebilecek farklı sayıların sayısı kaçtır?

Bir sınıfta sıralara ikişer oturulursa iki öğrenci ayakta kalıyor, üçer oturulursa üç sıra boş kalıyor. Sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır?Bu durumu sıraların sayısı ve öğrencilerin sayısı ile şu şekilde modelleyelim:n=2x+2n=3(x-3)

Pozitif tamsayılar üzerinde, s(n) sayısının rakamları toplamı olmak üzere f(n)=n+s(n) tanımlanıyor.f(n)=2026 olacak şekilde en küçük n kaçtır?

Bir 8×8 satranç tahtasının birbirine köşegen olan iki köşe karesi çıkarılıyor. Kalan 62 kare, her biri 1×2 olan domino taşlarıyla boşluk kalmadan kaplanabilir mi?

1 ile 200 arasından kaç farklı pozitif tam sayı seçilirse, seçilen sayılardan mutlaka biri diğerini böler?

Rutin Olmayan Problemler Hakkında

İki basamaklı bir sayının rakamları toplamı $11$ dir.
Bu sayı ile rakamları yer değiştirilmiş sayının farkı $27$ dir.
Sayı kaçtır?

Aşağıdaki koşulu sağlayan kaç farklı doğal sayı vardır?
$n, 50 \leq n \leq 80$
Koşul: $n$ sayısının rakamları toplamı, $n$ sayısının $9$ ile bölümünden kalana eşittir.

Pozitif tamsayı $n$ için $\sum_{k = 1} n k$ sayısı $1000$ ile tam bölünebilmektedir. Buna göre en küçük $n$ kaçtır?

Bir öğretmenin elinde bir miktar kalem vardır. Sınıftaki öğrenci sayısı $n$ , kalem sayısı $P$ olsun.
Her öğrenciye $5$ kalem verirse $2$ kalem artıyor.
Her öğrenciye $6$ kalem verirse $3$ kalem eksik kalıyor.
Buna göre $P$ kaçtır?

Bir sınıfta her öğrenci, diğer her öğrenciyle yalnız bir kez tokalaşıyor.
Toplam tokalaşma sayısı $45$ olduğuna göre sınıfta kaç öğrenci vardır?

Başlangıçta tahtada $1$ yazıyor. Her adımda yazılı sayı $2 x$ veya $2 x + 1$ ile değiştiriliyor. Tam $5$ adım sonunda elde edilebilecek farklı sayıların sayısı kaçtır?

Bir sınıfta sıralara ikişer oturulursa iki öğrenci ayakta kalıyor, üçer oturulursa üç sıra boş kalıyor. Sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır?
Bu durumu sıraların sayısı ve öğrencilerin sayısı ile şu şekilde modelleyelim:
$n = 2 x + 2$
$n = 3 (x - 3)$

Pozitif tamsayılar üzerinde, $s (n)$ sayısının rakamları toplamı olmak üzere $f (n) = n + s (n)$ tanımlanıyor.
$f (n) = 2026$ olacak şekilde en küçük $n$ kaçtır?

Bir $8 \times 8$ satranç tahtasının birbirine köşegen olan iki köşe karesi çıkarılıyor. Kalan $62$ kare, her biri $1 \times 2$ olan domino taşlarıyla boşluk kalmadan kaplanabilir mi?

$1$ ile $200$ arasından kaç farklı pozitif tam sayı seçilirse, seçilen sayılardan mutlaka biri diğerini böler?