9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Rutin Olmayan Problemler konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

9. Sınıf Rutin Olmayan Problemler

Rutin olmayan problemler, ezberlenmiş bir formülden çok okuduğunu anlama, ilişki kurma ve farklı çözüm yolu geliştirme becerisi ister. Bu testler, 9. Sınıf problem çözme pratiğini çeşitlendirmek için hazırlanmıştır.

Nasıl Çözülmeli?

Soruyu küçük parçalara ayırmak, verilenleri sembolleştirmek ve gerekiyorsa tablo veya şekil çizmek çözüm yolunu görünür hale getirir. İlk denemede işlem yapmak yerine sorunun ne istediğini netleştirmek önemlidir.

Strateji Geliştiren Testler

Yanlış sorularda çözümün hangi adımda açıldığını incelemek, benzer sorularda daha hızlı karar vermeyi sağlar. Bu konu düzenli pratikle ciddi biçimde gelişir.

Test seç

10 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test

3. Test

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Rutin Olmayan Problemler konusu 3. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Bir pozitif tam sayı $n$ için $n!$ sayısının sonundaki sıfırların sayısı $100$ olduğuna göre, bu koşulu sağlayan en küçük $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Bir faktöriyel sayının sonundaki sıfır sayısı, içindeki 10 çarpanı sayısına eşittir. 10 = 2 · 5 2) Faktöriyelde 2 çarpanı, 5 çarpanından çok daha fazla olduğundan, sondaki sıfır sayısını 5’lerin sayısı belirler. Sondaki sıfır sayısı = v 5 ( n! ) 3) Legendre formülü ile 5’lerin sayısını hesaplarız: v 5 ( n! ) = ∑ k = 1 ∞ n 5 k 4) Aradığımız değer en küçük n olup şu eşitliği sağlamalı: v 5 ( n! ) = 100 5) Şıklara yakın bir yerden başlayalım ve n değeri arttıkça sıfır sayısının nasıl değiştiğini görelim. 6) Önce n için 5, 25, 125 katlarını dikkate alırız (çünkü bir sonraki 625 katı bu aralıkta etkisizdir): v 5 ( 400! ) = 400 5 + 400 25 + 400 125 + 400 625 7) Bu değerleri hesaplayalım: 400 5 = 80 400 25 = 16 400 125 = 3 400 625 = 0 8) Toplayınca: v 5 ( 400! ) = 80 + 16 + 3 + 0 = 99 9) 400! için sıfır sayısı 99 olduğuna göre 100 olması için bir tane daha 5 çarpanı gelmelidir. Bu artış n bir sonraki 5 katına ulaştığında olur. 10) 400’den sonraki ilk 5 katı 405 tir. Bu nedenle 401, 402, 403, 404 için değer değişmez, 405 te 1 artar. v 5 ( 405! ) = 405 5 + 405 25 + 405 125 = 81 + 16 + 3 = 100 11) Böylece koşulu sağlayan en küçük n değeri 405 tir. Verilen şıklarda bu B seçeneğidir; yani B doğru. n = 405

Çözüm: 1) Bir faktöriyel sayının sonundaki sıfır sayısı, içindeki 10 çarpanı sayısına eşittir. 10 = 2 · 5 2) Faktöriyelde 2 çarpanı, 5 çarpanından çok daha fazla olduğundan, sondaki sıfır sayısını 5’lerin sayısı belirler. Sondaki sıfır sayısı = v 5 ( n! ) 3) Legendre formülü ile 5’lerin sayısını hesaplarız: v 5 ( n! ) = ∑ k = 1 ∞ n 5 k 4) Aradığımız değer en küçük n olup şu eşitliği sağlamalı: v 5 ( n! ) = 100 5) Şıklara yakın bir yerden başlayalım ve n değeri arttıkça sıfır sayısının nasıl değiştiğini görelim. 6) Önce n için 5, 25, 125 katlarını dikkate alırız (çünkü bir sonraki 625 katı bu aralıkta etkisizdir): v 5 ( 400! ) = 400 5 + 400 25 + 400 125 + 400 625 7) Bu değerleri hesaplayalım: 400 5 = 80 400 25 = 16 400 125 = 3 400 625 = 0 8) Toplayınca: v 5 ( 400! ) = 80 + 16 + 3 + 0 = 99 9) 400! için sıfır sayısı 99 olduğuna göre 100 olması için bir tane daha 5 çarpanı gelmelidir. Bu artış n bir sonraki 5 katına ulaştığında olur. 10) 400’den sonraki ilk 5 katı 405 tir. Bu nedenle 401, 402, 403, 404 için değer değişmez, 405 te 1 artar. v 5 ( 405! ) = 405 5 + 405 25 + 405 125 = 81 + 16 + 3 = 100 11) Böylece koşulu sağlayan en küçük n değeri 405 tir. Verilen şıklarda bu B seçeneğidir; yani B doğru. n = 405

1) Bir faktöriyel sayının sonundaki sıfır sayısı,içindeki10 çarpanı sayısına eşittir.

10 = 2 \cdot 5

2) Faktöriyelde2 çarpanı, 5 çarpanından çok daha fazla olduğundan,sondaki sıfır sayısını5’lerin sayısı belirler.

Sondaki sıfır sayısı = v_{5} (n!)

3) Legendre formülü ile5’lerin sayısını hesaplarız:

v_{5} (n!) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{n}{5^{k}}

4) Aradığımız değeren küçükn olup şu eşitliği sağlamalı:

v_{5} (n!) = 100

5) Şıklara yakın bir yerden başlayalım vendeğeri arttıkça sıfır sayısının nasıl değiştiğini görelim.

6) Önceniçin5, 25, 125katlarını dikkate alırız (çünkübir sonraki625katı bu aralıkta etkisizdir):

v_{5} (400!) = \frac{400}{5} + \frac{400}{25} + \frac{400}{125} + \frac{400}{625}

7) Bu değerleri hesaplayalım:

\frac{400}{5} = 80

\frac{400}{25} = 16

\frac{400}{125} = 3

\frac{400}{625} = 0

8) Toplayınca:

v_{5} (400!) = 80 + 16 + 3 + 0 = 99

9) 400!için sıfır sayısı99olduğuna göre100olması için bir tane daha5çarpanı gelmelidir.Bu artışnbir sonraki5katına ulaştığında olur.

10) 400’den sonraki ilk5katı405tir. Bu nedenle401, 402, 403, 404için değer değişmez,405te1artar.

v_{5} (405!) = \frac{405}{5} + \frac{405}{25} + \frac{405}{125}

= 81 + 16 + 3 = 100

11) Böylece koşulu sağlayan en küçükndeğeri405tir. Verilen şıklarda buBseçeneğidir; yaniBdoğru.

n = 405

2. SoruÇoktan Seçmeli

Bir iki basamaklı sayının rakamları toplamı $9$ olur. Rakamların yerleri değiştirildiğinde yeni sayı, eski sayıdan $27$ fazla olur. Bu sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Bir okulda öğrenciler sıraya giriyor:
Her sırada $4$ öğrenci olursa $1$ öğrenci artıyor.
Her sırada $5$ öğrenci olursa $2$ öğrenci artıyor.
Her sırada $3$ öğrenci olursa hiç kimse artmıyor.
Buna göre en az kaç öğrenci vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Koşulları sayı diliyle yazalım. Toplam öğrenci sayısı n olsun: n ≡ 1 (mod 4 ) n ≡ 2 (mod 5 ) n ≡ 0 (mod 3 ) Üçüncü koşuldan n sayısı 3 ’ün katıdır. Bu yüzden: n = 3 k Bunu 4 ile ilgili koşulda kullanalım: 3 k ≡ 1 (mod 4 ) Burada 3, 4 ’e göre -1 gibidir. Yani: - k ≡ 1 (mod 4 ) Her iki tarafı -1 ile çarparsak: k ≡ - 1 (mod 4 ) Bu da k için: k ≡ 3 (mod 4 ) O halde k şöyle yazılır: k = 4 t + 3 Şimdi n ’i bulalım: n = 3 ( 4 t + 3 ) = 12 t + 9 Bunu 5 ile ilgili koşula uyduralım: 12 t + 9 ≡ 2 (mod 5 ) Burada 12 sayısı 5 ’e göre 2 ’dir: 2 t + 9 ≡ 2 (mod 5 ) Her iki taraftan 9 çıkaralım: 2 t ≡ 2 - 9 (mod 5 ) Sağ tarafı 5 ’e göre sadeleştirelim: 2 t ≡ - 7 ≡ 3 (mod 5 ) Şimdi 2 ’nin 5 ’e göre tersi 3 ’tür (çünkü 2·3=6 ve 6≡1 ). Bu yüzden her iki tarafı 3 ile çarpalım: t ≡ 3 ⋅ 3 ≡ 9 ≡ 4 (mod 5 ) Demek ki: t = 5 s + 4 Bunu n=12t+9 içinde yerine yazalım: n = 12 ( 5 s + 4 ) + 9 = 60 s + 57 En küçük pozitif değer için s=0 alınır: n = 57 Sonuç: En az öğrenci sayısı B şıkkı dır.

Çözüm: Koşulları sayı diliyle yazalım. Toplam öğrenci sayısı n olsun: n ≡ 1 (mod 4 ) n ≡ 2 (mod 5 ) n ≡ 0 (mod 3 ) Üçüncü koşuldan n sayısı 3 ’ün katıdır. Bu yüzden: n = 3 k Bunu 4 ile ilgili koşulda kullanalım: 3 k ≡ 1 (mod 4 ) Burada 3, 4 ’e göre -1 gibidir. Yani: - k ≡ 1 (mod 4 ) Her iki tarafı -1 ile çarparsak: k ≡ - 1 (mod 4 ) Bu da k için: k ≡ 3 (mod 4 ) O halde k şöyle yazılır: k = 4 t + 3 Şimdi n ’i bulalım: n = 3 ( 4 t + 3 ) = 12 t + 9 Bunu 5 ile ilgili koşula uyduralım: 12 t + 9 ≡ 2 (mod 5 ) Burada 12 sayısı 5 ’e göre 2 ’dir: 2 t + 9 ≡ 2 (mod 5 ) Her iki taraftan 9 çıkaralım: 2 t ≡ 2 - 9 (mod 5 ) Sağ tarafı 5 ’e göre sadeleştirelim: 2 t ≡ - 7 ≡ 3 (mod 5 ) Şimdi 2 ’nin 5 ’e göre tersi 3 ’tür (çünkü 2·3=6 ve 6≡1 ). Bu yüzden her iki tarafı 3 ile çarpalım: t ≡ 3 ⋅ 3 ≡ 9 ≡ 4 (mod 5 ) Demek ki: t = 5 s + 4 Bunu n=12t+9 içinde yerine yazalım: n = 12 ( 5 s + 4 ) + 9 = 60 s + 57 En küçük pozitif değer için s=0 alınır: n = 57 Sonuç: En az öğrenci sayısı B şıkkı dır.

Koşulları sayı diliyle yazalım. Toplam öğrenci sayısı n olsun:

\begin{matrix} n \equiv 1 (mod 4) \\ n \equiv 2 (mod 5) \\ n \equiv 0 (mod 3) \end{matrix}

Üçüncü koşuldan n sayısı 3’ün katıdır. Bu yüzden:

n = 3 k

Bunu 4 ile ilgili koşulda kullanalım:

3 k \equiv 1 (mod 4)

Burada 3, 4’e göre -1 gibidir. Yani:

- k \equiv 1 (mod 4)

Her iki tarafı -1 ile çarparsak:

k \equiv - 1 (mod 4)

Bu da k için:

k \equiv 3 (mod 4)

O halde k şöyle yazılır:

k = 4 t + 3

Şimdi n’i bulalım:

n = 3 (4 t + 3) = 12 t + 9

Bunu 5 ile ilgili koşula uyduralım:

12 t + 9 \equiv 2 (mod 5)

Burada 12 sayısı 5’e göre 2’dir:

2 t + 9 \equiv 2 (mod 5)

Her iki taraftan 9 çıkaralım:

2 t \equiv 2 - 9 (mod 5)

Sağ tarafı 5’e göre sadeleştirelim:

2 t \equiv - 7 \equiv 3 (mod 5)

Şimdi 2’nin 5’e göre tersi 3’tür (çünkü 2·3=6 ve 6≡1). Bu yüzden her iki tarafı 3 ile çarpalım:

t \equiv 3 \cdot 3 \equiv 9 \equiv 4 (mod 5)

Demek ki:

t = 5 s + 4

Bunu n=12t+9 içinde yerine yazalım:

n = 12 (5 s + 4) + 9 = 60 s + 57

En küçük pozitif değer için s=0 alınır:

n = 57

Sonuç: En az öğrenci sayısı B şıkkıdır.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada $17$ kırmızı ve $20$ mavi taş vardır.
Her adımda torbadan iki taş seçilip çıkarılıyor:
Seçilen taşlar aynı renkteyse torbaya bir mavi taş geri konuyor.
Seçilen taşlar farklı renkteyse torbaya bir kırmızı taş geri konuyor.
Bu işlem torbada tek taş kalana kadar sürdürülüyor. Son kalan taşın rengi nedir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) Doğru şıkkı kontrol edelim: Son taşın rengi Kırmızı çıkar. Yani verilen cevap A doğrudur. 2) Başlangıçta kırmızı ve mavi taş sayılarını tanımlayalım. R = 17 B = 20 3) Her adımda iki taş seçilip çıkarılıyor ve kurala göre torbaya bir taş geri konuyor. Bu yüzden toplam taş sayısı her adımda 1 azalır. (Renk için asıl kritik olan, kırmızı sayısının tek/çiftliği dir.) 4) Kırmızı taş sayısı R için her olasılıkta ne olduğunu inceleyelim: • İki kırmızı seçilirse (RR): iki kırmızı çıkar, bir mavi eklenir. Kırmızı sayısı 2 azalır. R → R − 2 • İki mavi seçilirse (BB): iki mavi çıkar, bir mavi eklenir. Kırmızı sayısı değişmez. R → R • Farklı renk seçilirse (RB): bir kırmızı ve bir mavi çıkar, bir kırmızı eklenir. Kırmızı sayısı değişmez. R → R 5) Sonuç: Her adımda R ya aynı kalıyor ya da 2 azalıyor. Bu nedenle R’nin tek/çiftliği (mod 2) değişmez (invariant). R ≡ R − 2 ( mod 2 ) 6) Başlangıçta kırmızı sayısı tektir: R = 17 R ≡ 1 ( mod 2 ) 7) İşlem tek taş kalana kadar sürüyor. En sonda torbada tek taş olduğuna göre iki ihtimal vardır: • Son taş kırmızı ise: R = 1 • Son taş mavi ise: R = 0 8) Ancak R mod 2 baştan sona değişmediği için sonda da tek olmalıdır. Bu da sadece R = 1 durumunda mümkündür. Dolayısıyla son taş Kırmızı dır. Cevap: A

Çözüm: 1) Doğru şıkkı kontrol edelim: Son taşın rengi Kırmızı çıkar. Yani verilen cevap A doğrudur. 2) Başlangıçta kırmızı ve mavi taş sayılarını tanımlayalım. R = 17 B = 20 3) Her adımda iki taş seçilip çıkarılıyor ve kurala göre torbaya bir taş geri konuyor. Bu yüzden toplam taş sayısı her adımda 1 azalır. (Renk için asıl kritik olan, kırmızı sayısının tek/çiftliği dir.) 4) Kırmızı taş sayısı R için her olasılıkta ne olduğunu inceleyelim: • İki kırmızı seçilirse (RR): iki kırmızı çıkar, bir mavi eklenir. Kırmızı sayısı 2 azalır. R → R − 2 • İki mavi seçilirse (BB): iki mavi çıkar, bir mavi eklenir. Kırmızı sayısı değişmez. R → R • Farklı renk seçilirse (RB): bir kırmızı ve bir mavi çıkar, bir kırmızı eklenir. Kırmızı sayısı değişmez. R → R 5) Sonuç: Her adımda R ya aynı kalıyor ya da 2 azalıyor. Bu nedenle R’nin tek/çiftliği (mod 2) değişmez (invariant). R ≡ R − 2 ( mod 2 ) 6) Başlangıçta kırmızı sayısı tektir: R = 17 R ≡ 1 ( mod 2 ) 7) İşlem tek taş kalana kadar sürüyor. En sonda torbada tek taş olduğuna göre iki ihtimal vardır: • Son taş kırmızı ise: R = 1 • Son taş mavi ise: R = 0 8) Ancak R mod 2 baştan sona değişmediği için sonda da tek olmalıdır. Bu da sadece R = 1 durumunda mümkündür. Dolayısıyla son taş Kırmızı dır. Cevap: A

1) Doğru şıkkı kontrol edelim: Son taşın rengi Kırmızı çıkar. Yani verilen cevap A doğrudur.

2) Başlangıçta kırmızı ve mavi taş sayılarını tanımlayalım.

R = 17

B = 20

3) Her adımda iki taş seçilip çıkarılıyor ve kurala göre torbaya bir taş geri konuyor. Bu yüzden toplam taş sayısı her adımda 1 azalır. (Renk için asıl kritik olan, kırmızı sayısının tek/çiftliğidir.)

4) Kırmızı taş sayısı R için her olasılıkta ne olduğunu inceleyelim:

• İki kırmızı seçilirse (RR): iki kırmızı çıkar, bir mavi eklenir. Kırmızı sayısı 2 azalır.

R \to R - 2

• İki mavi seçilirse (BB): iki mavi çıkar, bir mavi eklenir. Kırmızı sayısı değişmez.

R \to R

• Farklı renk seçilirse (RB): bir kırmızı ve bir mavi çıkar, bir kırmızı eklenir. Kırmızı sayısı değişmez.

R \to R

5) Sonuç: Her adımda R ya aynı kalıyor ya da 2 azalıyor. Bu nedenle R’nin tek/çiftliği (mod 2) değişmez (invariant).

R \equiv R - 2 (mod 2)

6) Başlangıçta kırmızı sayısı tektir:

R = 17

R \equiv 1 (mod 2)

7) İşlem tek taş kalana kadar sürüyor. En sonda torbada tek taş olduğuna göre iki ihtimal vardır:

• Son taş kırmızı ise:

R = 1

• Son taş mavi ise:

R = 0

8) Ancak R mod 2 baştan sona değişmediği için sonda da tek olmalıdır. Bu da sadece R = 1 durumunda mümkündür. Dolayısıyla son taş Kırmızıdır.

Cevap: A

5. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kırtasiyedeki kalemlerin tamamı, hiç artmadan $3$ erli paketlere de $5$ erli paketlere de ayrılabiliyor.
Kalem sayısı $60$ değerinden büyük ve $90$ değerinden küçüktür.
Buna göre kalem sayısı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar $x$ ve $y$ için $x + y + x \cdot y = 2024$ denklemini sağlayan ve $x \leq y$ koşulunu sağlayan kaç farklı $(x, y)$ ikilisi vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Seçenek kontrolü: Doğru cevap B (yani 7) mi, denklemi dönüştürerek sayacağız. 2) Denklemi çarpanlara ayırma fikri x + y + x ⋅ y = 2024 Her iki tarafa 1 ekleyelim: x + y + x ⋅ y + 1 = 2025 3) Sol tarafı çarpım olarak yazma ( x + 1 ) ( y + 1 ) = 2025 Yeni değişken tanımlayalım: a = x + 1, b = y + 1 Bu durumda: a ⋅ b = 2025 Koşulları da unutmayalım. x ve y pozitif olduğundan: x ≥ 1, y ≥ 1 Dolayısıyla: a = x + 1 ≥ 2, b = y + 1 ≥ 2 ve ayrıca x ≤ y olduğundan a ≤ b olur: x ≤ y ⇒ a ≤ b 4) 2025’in çarpanlarına ayrılması 2025 = 45 2 2025 = 3 4 ⋅ 5 2 5) a · b = 2025 için (a ≤ b) çarpan çiftleri a ≤ b olacak şekilde pozitif çarpan çiftleri: ( 1, 2025 ), ( 3, 675 ), ( 5, 405 ), ( 9, 225 ), ( 15, 135 ), ( 25, 81 ), ( 27, 75 ), ( 45, 45 ) Ancak a ≥ 2 ve b ≥ 2 olmalıydı. Bu yüzden: ( 1, 2025 ) çifti geçersiz (çünkü a = 1 olursa x = 0 olur, pozitif değil). 6) Geçerli (x, y) çiftlerini yazalım Her çarpan çifti için x = a − 1, y = b − 1: ( 3, 675 ) ⇒ ( 2, 674 ) ( 5, 405 ) ⇒ ( 4, 404 ) ( 9, 225 ) ⇒ ( 8, 224 ) ( 15, 135 ) ⇒ ( 14, 134 ) ( 25, 81 ) ⇒ ( 24, 80 ) ( 27, 75 ) ⇒ ( 26, 74 ) ( 45, 45 ) ⇒ ( 44, 44 ) Hepsi x ≤ y koşulunu sağlıyor. 7) Sonuç Geçerli çift sayısı: 7 Dolayısıyla doğru seçenek B ’dir.

Çözüm: 1) Seçenek kontrolü: Doğru cevap B (yani 7) mi, denklemi dönüştürerek sayacağız. 2) Denklemi çarpanlara ayırma fikri x + y + x ⋅ y = 2024 Her iki tarafa 1 ekleyelim: x + y + x ⋅ y + 1 = 2025 3) Sol tarafı çarpım olarak yazma ( x + 1 ) ( y + 1 ) = 2025 Yeni değişken tanımlayalım: a = x + 1, b = y + 1 Bu durumda: a ⋅ b = 2025 Koşulları da unutmayalım. x ve y pozitif olduğundan: x ≥ 1, y ≥ 1 Dolayısıyla: a = x + 1 ≥ 2, b = y + 1 ≥ 2 ve ayrıca x ≤ y olduğundan a ≤ b olur: x ≤ y ⇒ a ≤ b 4) 2025’in çarpanlarına ayrılması 2025 = 45 2 2025 = 3 4 ⋅ 5 2 5) a · b = 2025 için (a ≤ b) çarpan çiftleri a ≤ b olacak şekilde pozitif çarpan çiftleri: ( 1, 2025 ), ( 3, 675 ), ( 5, 405 ), ( 9, 225 ), ( 15, 135 ), ( 25, 81 ), ( 27, 75 ), ( 45, 45 ) Ancak a ≥ 2 ve b ≥ 2 olmalıydı. Bu yüzden: ( 1, 2025 ) çifti geçersiz (çünkü a = 1 olursa x = 0 olur, pozitif değil). 6) Geçerli (x, y) çiftlerini yazalım Her çarpan çifti için x = a − 1, y = b − 1: ( 3, 675 ) ⇒ ( 2, 674 ) ( 5, 405 ) ⇒ ( 4, 404 ) ( 9, 225 ) ⇒ ( 8, 224 ) ( 15, 135 ) ⇒ ( 14, 134 ) ( 25, 81 ) ⇒ ( 24, 80 ) ( 27, 75 ) ⇒ ( 26, 74 ) ( 45, 45 ) ⇒ ( 44, 44 ) Hepsi x ≤ y koşulunu sağlıyor. 7) Sonuç Geçerli çift sayısı: 7 Dolayısıyla doğru seçenek B ’dir.

1) Seçenek kontrolü: Doğru cevap B (yani 7) mi, denklemi dönüştürerek sayacağız.

2) Denklemi çarpanlara ayırma fikri

x + y + x \cdot y = 2024

Her iki tarafa 1 ekleyelim:

x + y + x \cdot y + 1 = 2025

3) Sol tarafı çarpım olarak yazma

(x + 1) (y + 1) = 2025

Yeni değişken tanımlayalım:

a = x + 1, b = y + 1

Bu durumda:

a \cdot b = 2025

Koşulları da unutmayalım. x ve y pozitif olduğundan:

x \geq 1, y \geq 1

Dolayısıyla:

a = x + 1 \geq 2, b = y + 1 \geq 2

ve ayrıca x ≤ y olduğundan a ≤ b olur:

x \leq y \Rightarrow a \leq b

4) 2025’in çarpanlarına ayrılması

2025 = 452

2025 = 3^{4} \cdot 5^{2}

5) a · b = 2025 için (a ≤ b) çarpan çiftleri

a ≤ b olacak şekilde pozitif çarpan çiftleri:

(1, 2025), (3, 675), (5, 405), (9, 225), (15, 135), (25, 81), (27, 75), (45, 45)

Ancak a ≥ 2 ve b ≥ 2 olmalıydı. Bu yüzden:

(1, 2025)

çifti geçersiz (çünkü a = 1 olursa x = 0 olur, pozitif değil).

6) Geçerli (x, y) çiftlerini yazalım

Her çarpan çifti için x = a − 1, y = b − 1:

(3, 675) \Rightarrow (2, 674)

(5, 405) \Rightarrow (4, 404)

(9, 225) \Rightarrow (8, 224)

(15, 135) \Rightarrow (14, 134)

(25, 81) \Rightarrow (24, 80)

(27, 75) \Rightarrow (26, 74)

(45, 45) \Rightarrow (44, 44)

Hepsi x ≤ y koşulunu sağlıyor.

7) Sonuç

Geçerli çift sayısı:

7

Dolayısıyla doğru seçenek B’dir.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Ali bir merdiveni çıkıyor. Ali her adımda $1$ ya da $3$ basamak çıkabiliyor.
Merdiven $8$ basamaklı olduğuna göre Ali kaç farklı şekilde tepeye ulaşabilir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Ali’nin her adımda çıkabileceği basamak sayıları: 1 3 Toplam basamak sayısını şu şekilde gösterelim: 8 f ( n ) ifadesi, n basamaklı merdivenin tepesine ulaşma yol sayısı olsun. Son adımı düşünürsek, Ali tepeye ya 1 basamaklık bir adımla (yani bir önce n - 1 basamakta iken) ya da 3 basamaklık bir adımla (yani bir önce n - 3 basamakta iken) gelebilir. Bu yüzden bağıntı: f ( n ) = f ( n - 1 ) + f ( n - 3 ) Başlangıç değerleri: Hiç basamak yokken (başlangıç noktası) tepeye ulaşmanın bir yolu vardır: f ( 0 ) = 1 Negatif basamak sayıları mümkün olmadığı için: f ( n ) = 0 ( n < 0 ) Şimdi değerleri sırayla hesaplayalım. f ( 1 ) = f ( 0 ) + f ( - 2 ) = 1 + 0 = 1 f ( 2 ) = f ( 1 ) + f ( - 1 ) = 1 + 0 = 1 f ( 3 ) = f ( 2 ) + f ( 0 ) = 1 + 1 = 2 f ( 4 ) = f ( 3 ) + f ( 1 ) = 2 + 1 = 3 f ( 5 ) = f ( 4 ) + f ( 2 ) = 3 + 1 = 4 f ( 6 ) = f ( 5 ) + f ( 3 ) = 4 + 2 = 6 f ( 7 ) = f ( 6 ) + f ( 4 ) = 6 + 3 = 9 f ( 8 ) = f ( 7 ) + f ( 5 ) = 9 + 4 = 13 Sonuç olarak Ali tepeye şu kadar farklı şekilde ulaşır: 13 Bu değer şıklardan C seçeneğidir; yani C doğrudur.

Çözüm: Ali’nin her adımda çıkabileceği basamak sayıları: 1 3 Toplam basamak sayısını şu şekilde gösterelim: 8 f ( n ) ifadesi, n basamaklı merdivenin tepesine ulaşma yol sayısı olsun. Son adımı düşünürsek, Ali tepeye ya 1 basamaklık bir adımla (yani bir önce n - 1 basamakta iken) ya da 3 basamaklık bir adımla (yani bir önce n - 3 basamakta iken) gelebilir. Bu yüzden bağıntı: f ( n ) = f ( n - 1 ) + f ( n - 3 ) Başlangıç değerleri: Hiç basamak yokken (başlangıç noktası) tepeye ulaşmanın bir yolu vardır: f ( 0 ) = 1 Negatif basamak sayıları mümkün olmadığı için: f ( n ) = 0 ( n < 0 ) Şimdi değerleri sırayla hesaplayalım. f ( 1 ) = f ( 0 ) + f ( - 2 ) = 1 + 0 = 1 f ( 2 ) = f ( 1 ) + f ( - 1 ) = 1 + 0 = 1 f ( 3 ) = f ( 2 ) + f ( 0 ) = 1 + 1 = 2 f ( 4 ) = f ( 3 ) + f ( 1 ) = 2 + 1 = 3 f ( 5 ) = f ( 4 ) + f ( 2 ) = 3 + 1 = 4 f ( 6 ) = f ( 5 ) + f ( 3 ) = 4 + 2 = 6 f ( 7 ) = f ( 6 ) + f ( 4 ) = 6 + 3 = 9 f ( 8 ) = f ( 7 ) + f ( 5 ) = 9 + 4 = 13 Sonuç olarak Ali tepeye şu kadar farklı şekilde ulaşır: 13 Bu değer şıklardan C seçeneğidir; yani C doğrudur.

Ali’nin her adımda çıkabileceği basamak sayıları:

1

3

Toplam basamak sayısını şu şekilde gösterelim:

8

$f (n)$ ifadesi, $n$ basamaklı merdivenin tepesine ulaşma yol sayısı olsun.

Son adımı düşünürsek, Ali tepeye ya $1$ basamaklık bir adımla (yani bir önce $n - 1$ basamakta iken) ya da $3$ basamaklık bir adımla (yani bir önce $n - 3$ basamakta iken) gelebilir.

Bu yüzden bağıntı:

f (n) = f (n - 1) + f (n - 3)

Başlangıç değerleri:

Hiç basamak yokken (başlangıç noktası) tepeye ulaşmanın bir yolu vardır:

f (0) = 1

Negatif basamak sayıları mümkün olmadığı için:

f (n) = 0 (n < 0)

Şimdi değerleri sırayla hesaplayalım.

f (1) = f (0) + f (- 2) = 1 + 0 = 1

f (2) = f (1) + f (- 1) = 1 + 0 = 1

f (3) = f (2) + f (0) = 1 + 1 = 2

f (4) = f (3) + f (1) = 2 + 1 = 3

f (5) = f (4) + f (2) = 3 + 1 = 4

f (6) = f (5) + f (3) = 4 + 2 = 6

f (7) = f (6) + f (4) = 6 + 3 = 9

f (8) = f (7) + f (5) = 9 + 4 = 13

Sonuç olarak Ali tepeye şu kadar farklı şekilde ulaşır:

13

Bu değer şıklardan C seçeneğidir; yani C doğrudur.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar $x$ ve $y$ için
$x + y + \gcd (x, y) = lcm (x, y)$
ve $x < y$ koşulları sağlanıyor.
$x + y$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kutuda $4$ kırmızı ve bir miktar mavi bilye vardır.
Kutudan geri koymadan iki bilye çekildiğinde bilyelerin farklı renkli olma olasılığı $\frac{5}{9}$ oluyor.
Buna göre kutudaki mavi bilye sayısı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Seçenek A’nın doğru olup olmadığını kontrol edelim. Kutuda 4 kırmızı ve x tane mavi bilye olsun. Toplam bilye sayısı: 4 + x Geri koymadan 2 bilye çekildiğinde farklı renkli olma olasılığı, “1 kırmızı ve 1 mavi” gelme olasılığıdır. Önce toplam ikili seçim sayısı (tüm olası ikililer): ( 4 + x ) bilyeden 2 tanesi ( x + 4 ) içinden 2 seçim sayısı = ( x + 4 ) ( x + 3 ) 2 Farklı renkli ikili sayısı: 1 kırmızı (4 yoldan) ve 1 mavi (x yoldan) seçilir. 4 · x Olasılık: 4 x ( x + 4 ) ( x + 3 ) 2 = 5 9 Paydadaki kesri yukarı çıkarıp sadeleştirelim: 4 x ( x + 4 ) ( x + 3 ) 2 = 8 x ( x + 4 ) ( x + 3 ) 8 x ( x + 4 ) ( x + 3 ) = 5 9 İçler dışlar çarpımı yapalım: 9 · 8 x = 5 · ( x + 4 ) ( x + 3 ) 72 x = 5 · ( x 2 + 7 x + 12 ) Denklemi düzenleyelim: 72 x = 5 x 2 + 35 x + 60 0 = 5 x 2 - 37 x + 60 İkinci dereceden denklemi çözelim: x = 37 ± 37 2 - 4 · 5 · 60 2 · 5 x = 37 ± 1369 - 1200 10 x = 37 ± 13 10 İki olası değer: x = 37 + 13 10 = 5 x = 37 - 13 10 = 12 5 Mavi bilye sayısı tam sayı olmalıdır. Bu yüzden: x = 5 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Çözüm: Seçenek A’nın doğru olup olmadığını kontrol edelim. Kutuda 4 kırmızı ve x tane mavi bilye olsun. Toplam bilye sayısı: 4 + x Geri koymadan 2 bilye çekildiğinde farklı renkli olma olasılığı, “1 kırmızı ve 1 mavi” gelme olasılığıdır. Önce toplam ikili seçim sayısı (tüm olası ikililer): ( 4 + x ) bilyeden 2 tanesi ( x + 4 ) içinden 2 seçim sayısı = ( x + 4 ) ( x + 3 ) 2 Farklı renkli ikili sayısı: 1 kırmızı (4 yoldan) ve 1 mavi (x yoldan) seçilir. 4 · x Olasılık: 4 x ( x + 4 ) ( x + 3 ) 2 = 5 9 Paydadaki kesri yukarı çıkarıp sadeleştirelim: 4 x ( x + 4 ) ( x + 3 ) 2 = 8 x ( x + 4 ) ( x + 3 ) 8 x ( x + 4 ) ( x + 3 ) = 5 9 İçler dışlar çarpımı yapalım: 9 · 8 x = 5 · ( x + 4 ) ( x + 3 ) 72 x = 5 · ( x 2 + 7 x + 12 ) Denklemi düzenleyelim: 72 x = 5 x 2 + 35 x + 60 0 = 5 x 2 - 37 x + 60 İkinci dereceden denklemi çözelim: x = 37 ± 37 2 - 4 · 5 · 60 2 · 5 x = 37 ± 1369 - 1200 10 x = 37 ± 13 10 İki olası değer: x = 37 + 13 10 = 5 x = 37 - 13 10 = 12 5 Mavi bilye sayısı tam sayı olmalıdır. Bu yüzden: x = 5 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Seçenek A’nın doğru olup olmadığını kontrol edelim. Kutuda 4 kırmızı ve x tane mavi bilye olsun.

Toplam bilye sayısı:

4 + x

Geri koymadan 2 bilye çekildiğinde farklı renkli olma olasılığı, “1 kırmızı ve 1 mavi” gelme olasılığıdır.

Önce toplam ikili seçim sayısı (tüm olası ikililer):

(4 + x) bilyeden 2 tanesi

(x + 4) içinden 2 seçim sayısı = \frac{(x + 4) (x + 3)}{2}

Farklı renkli ikili sayısı: 1 kırmızı (4 yoldan) ve 1 mavi (x yoldan) seçilir.

4 \cdot x

Olasılık:

\frac{4 x}{\frac{(x + 4) (x + 3)}{2}} = \frac{5}{9}

Paydadaki kesri yukarı çıkarıp sadeleştirelim:

\frac{4 x}{\frac{(x + 4) (x + 3)}{2}} = \frac{8 x}{(x + 4) (x + 3)}

\frac{8 x}{(x + 4) (x + 3)} = \frac{5}{9}

İçler dışlar çarpımı yapalım:

9 \cdot 8 x = 5 \cdot (x + 4) (x + 3)

72 x = 5 \cdot (x^{2} + 7 x + 12)

Denklemi düzenleyelim:

72 x = 5 x^{2} + 35 x + 60

0 = 5 x^{2} - 37 x + 60

İkinci dereceden denklemi çözelim:

x = \frac{37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 60}}{2 \cdot 5}

x = \frac{37 \pm \sqrt{1369 - 1200}}{10}

x = \frac{37 \pm 13}{10}

İki olası değer:

x = \frac{37 + 13}{10} = 5

x = \frac{37 - 13}{10} = \frac{12}{5}

Mavi bilye sayısı tam sayı olmalıdır. Bu yüzden:

x = 5

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Bir pozitif tam sayı $x$ , $2$ ile bölündüğünde kalan $1$ , $3$ ile bölündüğünde kalan $2$ , $5$ ile bölündüğünde kalan $4$ veriyor.
Buna göre $x$ için en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Rutin Olmayan Problemler Hakkında

Rutin olmayan problem ne demektir?

Tek bir kalıp formülle değil, verilenler arasında ilişki kurarak çözülen problem türüdür.

Bu sorularda ilk adım ne olmalı?

Soruda verilen bilgileri ve isteneni netleştirip gerekirse tablo, şekil veya sembol kullanmak gerekir.

Rutin olmayan problemler nasıl geliştirilir?

Farklı tipte sorular çözmek ve çözüm yollarını karşılaştırmak bu beceriyi geliştirir.

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

9. Sınıf Rutin Olmayan Problemler

Nasıl Çözülmeli?

Strateji Geliştiren Testler

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Bir pozitif tam sayı n için n! sayısının sonundaki sıfırların sayısı 100 olduğuna göre, bu koşulu sağlayan en küçük n kaçtır?

Bir iki basamaklı sayının rakamları toplamı 9 olur. Rakamların yerleri değiştirildiğinde yeni sayı, eski sayıdan 27 fazla olur. Bu sayı kaçtır?

Bir okulda öğrenciler sıraya giriyor:Her sırada 4 öğrenci olursa 1 öğrenci artıyor.Her sırada 5 öğrenci olursa 2 öğrenci artıyor.Her sırada 3 öğrenci olursa hiç kimse artmıyor.Buna göre en az kaç öğrenci vardır?

Bir kırtasiyedeki kalemlerin tamamı, hiç artmadan 3 erli paketlere de 5 erli paketlere de ayrılabiliyor.Kalem sayısı 60 değerinden büyük ve 90 değerinden küçüktür.Buna göre kalem sayısı kaçtır?

Pozitif tam sayılar x ve y için x+y+x⋅y=2024 denklemini sağlayan ve x≤y koşulunu sağlayan kaç farklı (x,y) ikilisi vardır?

Ali bir merdiveni çıkıyor. Ali her adımda 1 ya da 3 basamak çıkabiliyor.Merdiven 8 basamaklı olduğuna göre Ali kaç farklı şekilde tepeye ulaşabilir?

Pozitif tam sayılar x ve y içinx+y+gcd(x,y)=lcm(x,y)ve x<y koşulları sağlanıyor.x+y ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Bir kutuda 4 kırmızı ve bir miktar mavi bilye vardır.Kutudan geri koymadan iki bilye çekildiğinde bilyelerin farklı renkli olma olasılığı 59 oluyor.Buna göre kutudaki mavi bilye sayısı kaçtır?

Bir pozitif tam sayı x, 2 ile bölündüğünde kalan 1, 3 ile bölündüğünde kalan 2, 5 ile bölündüğünde kalan 4 veriyor.Buna göre x için en küçük değer kaçtır?

Rutin Olmayan Problemler Hakkında

Bir pozitif tam sayı $n$ için $n!$ sayısının sonundaki sıfırların sayısı $100$ olduğuna göre, bu koşulu sağlayan en küçük $n$ kaçtır?

Bir iki basamaklı sayının rakamları toplamı $9$ olur. Rakamların yerleri değiştirildiğinde yeni sayı, eski sayıdan $27$ fazla olur. Bu sayı kaçtır?

Bir okulda öğrenciler sıraya giriyor:
Her sırada $4$ öğrenci olursa $1$ öğrenci artıyor.
Her sırada $5$ öğrenci olursa $2$ öğrenci artıyor.
Her sırada $3$ öğrenci olursa hiç kimse artmıyor.
Buna göre en az kaç öğrenci vardır?

Bir kırtasiyedeki kalemlerin tamamı, hiç artmadan $3$ erli paketlere de $5$ erli paketlere de ayrılabiliyor.
Kalem sayısı $60$ değerinden büyük ve $90$ değerinden küçüktür.
Buna göre kalem sayısı kaçtır?

Pozitif tam sayılar $x$ ve $y$ için $x + y + x \cdot y = 2024$ denklemini sağlayan ve $x \leq y$ koşulunu sağlayan kaç farklı $(x, y)$ ikilisi vardır?

Ali bir merdiveni çıkıyor. Ali her adımda $1$ ya da $3$ basamak çıkabiliyor.
Merdiven $8$ basamaklı olduğuna göre Ali kaç farklı şekilde tepeye ulaşabilir?

Pozitif tam sayılar $x$ ve $y$ için
$x + y + \gcd (x, y) = lcm (x, y)$
ve $x < y$ koşulları sağlanıyor.
$x + y$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Bir kutuda $4$ kırmızı ve bir miktar mavi bilye vardır.
Kutudan geri koymadan iki bilye çekildiğinde bilyelerin farklı renkli olma olasılığı $\frac{5}{9}$ oluyor.
Buna göre kutudaki mavi bilye sayısı kaçtır?

Bir pozitif tam sayı $x$ , $2$ ile bölündüğünde kalan $1$ , $3$ ile bölündüğünde kalan $2$ , $5$ ile bölündüğünde kalan $4$ veriyor.
Buna göre $x$ için en küçük değer kaçtır?