9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Rutin Olmayan Problemler konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

9. Sınıf Rutin Olmayan Problemler

Rutin olmayan problemler, ezberlenmiş bir formülden çok okuduğunu anlama, ilişki kurma ve farklı çözüm yolu geliştirme becerisi ister. Bu testler, 9. Sınıf problem çözme pratiğini çeşitlendirmek için hazırlanmıştır.

Nasıl Çözülmeli?

Soruyu küçük parçalara ayırmak, verilenleri sembolleştirmek ve gerekiyorsa tablo veya şekil çizmek çözüm yolunu görünür hale getirir. İlk denemede işlem yapmak yerine sorunun ne istediğini netleştirmek önemlidir.

Strateji Geliştiren Testler

Yanlış sorularda çözümün hangi adımda açıldığını incelemek, benzer sorularda daha hızlı karar vermeyi sağlar. Bu konu düzenli pratikle ciddi biçimde gelişir.

Test seç

10 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test

10. Test

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Rutin Olmayan Problemler konusu 10. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki açılımda elde edilen binom katsayılarından kaç tanesi tektir?
${(1 + x)}^{2025}$

Lütfen önce bir cevap seç.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kutuda $17$ siyah ve $19$ beyaz bilye vardır.
Her adımda kutudan rastgele iki bilye seçilip şu kurala göre işlem yapılıyor:
Seçilen bilyeler aynı renkse kutuya yalnızca $siyah$ bilye geri konuluyor.
Seçilen bilyeler farklı renkse kutuya yalnızca $beyaz$ bilye geri konuluyor.
Bu işlem kutuda tek bilye kalana kadar sürdürülürse, sonda kalan bilyenin rengi kesin olarak hangisidir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Önce sayıların sembollerini tanımlayalım: b 0 = 17, w 0 = 19 Burada b siyah bilye sayısı, w beyaz bilye sayısıdır. Her adımda iki bilye alınıp kurala göre tek bilye geri konuluyor. Bu durumda üç olasılık için ( b, w ) dönüşümleri: 1) İki siyah seçilirse: ( b, w ) → ( b − 1, w ) 2) İki beyaz seçilirse: ( b, w ) → ( b + 1, w − 2 ) 3) Biri siyah biri beyaz seçilirse: ( b, w ) → ( b − 1, w ) Dikkat: Her üç durumda da siyah bilye sayısı 1 kadar artıyor ya da azalıyor. Yani her adımda siyah sayısının tek/çiftliği (paritesi) değişir: b ≡ b ± 1 ( mod 2 ) Bu, “her adımda b paritesi tersine döner” demektir. Kaç adım yapılacağını bulalım. Toplam bilye sayısı başlangıçta: n 0 = 17 + 19 = 36 Her adımda toplam bilye sayısı 1 azalır (iki alınıp bir konuyor). Tek bilye kalana kadar adım sayısı: t = 36 − 1 = 35 Siyah sayısının paritesi her adımda ters döndüğü için, 35 (tek) adım sonunda parite başlangıcın tersi olur: b 35 ≡ b 0 + 35 ( mod 2 ) Başlangıçta: b 0 = 17 yani b 0 tektir. O halde b 35 çift olmalıdır. Son durumda kutuda tek bilye kaldığına göre siyah sayısı ya b 35 = 0 ya da b 35 = 1 olabilir. Ancak b 35 çift olmalıydı; bu yüzden: b 35 = 0 Demek ki son kalan bilye siyah değildir, beyazdır. Sonuç: Doğru cevap A (Beyaz) ve bu sonuç seçimlerden bağımsızdır.

Çözüm: Önce sayıların sembollerini tanımlayalım: b 0 = 17, w 0 = 19 Burada b siyah bilye sayısı, w beyaz bilye sayısıdır. Her adımda iki bilye alınıp kurala göre tek bilye geri konuluyor. Bu durumda üç olasılık için ( b, w ) dönüşümleri: 1) İki siyah seçilirse: ( b, w ) → ( b − 1, w ) 2) İki beyaz seçilirse: ( b, w ) → ( b + 1, w − 2 ) 3) Biri siyah biri beyaz seçilirse: ( b, w ) → ( b − 1, w ) Dikkat: Her üç durumda da siyah bilye sayısı 1 kadar artıyor ya da azalıyor. Yani her adımda siyah sayısının tek/çiftliği (paritesi) değişir: b ≡ b ± 1 ( mod 2 ) Bu, “her adımda b paritesi tersine döner” demektir. Kaç adım yapılacağını bulalım. Toplam bilye sayısı başlangıçta: n 0 = 17 + 19 = 36 Her adımda toplam bilye sayısı 1 azalır (iki alınıp bir konuyor). Tek bilye kalana kadar adım sayısı: t = 36 − 1 = 35 Siyah sayısının paritesi her adımda ters döndüğü için, 35 (tek) adım sonunda parite başlangıcın tersi olur: b 35 ≡ b 0 + 35 ( mod 2 ) Başlangıçta: b 0 = 17 yani b 0 tektir. O halde b 35 çift olmalıdır. Son durumda kutuda tek bilye kaldığına göre siyah sayısı ya b 35 = 0 ya da b 35 = 1 olabilir. Ancak b 35 çift olmalıydı; bu yüzden: b 35 = 0 Demek ki son kalan bilye siyah değildir, beyazdır. Sonuç: Doğru cevap A (Beyaz) ve bu sonuç seçimlerden bağımsızdır.

Önce sayıların sembollerini tanımlayalım:

b_{0} = 17, w_{0} = 19

Burada $b$ siyah bilye sayısı, $w$ beyaz bilye sayısıdır.

Her adımda iki bilye alınıp kurala göre tek bilye geri konuluyor. Bu durumda üç olasılık için $(b, w)$ dönüşümleri:

1) İki siyah seçilirse:

(b, w) \to (b - 1, w)

2) İki beyaz seçilirse:

(b, w) \to (b + 1, w - 2)

3) Biri siyah biri beyaz seçilirse:

(b, w) \to (b - 1, w)

Dikkat: Her üç durumda da siyah bilye sayısı $1$ kadar artıyor ya da azalıyor. Yani her adımda siyah sayısının tek/çiftliği (paritesi) değişir:

b \equiv b \pm 1 (\mod 2)

Bu, “her adımda $b$ paritesi tersine döner” demektir.

Kaç adım yapılacağını bulalım. Toplam bilye sayısı başlangıçta:

n_{0} = 17 + 19 = 36

Her adımda toplam bilye sayısı $1$ azalır (iki alınıp bir konuyor). Tek bilye kalana kadar adım sayısı:

t = 36 - 1 = 35

Siyah sayısının paritesi her adımda ters döndüğü için, $35$ (tek) adım sonunda parite başlangıcın tersi olur:

b_{35} \equiv b_{0} + 35 (\mod 2)

Başlangıçta:

b_{0} = 17

yani $b_{0}$ tektir. O halde $b_{35}$ çift olmalıdır.

Son durumda kutuda tek bilye kaldığına göre siyah sayısı ya

b_{35} = 0

ya da

b_{35} = 1

olabilir. Ancak $b_{35}$ çift olmalıydı; bu yüzden:

b_{35} = 0

Demek ki son kalan bilye siyah değildir, beyazdır.

Sonuç: Doğru cevap A (Beyaz) ve bu sonuç seçimlerden bağımsızdır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Bir tam sayı $n$ için $n^{2} + n + 1$ sayısı $7$ ile bölündüğünde kalan $0$ oluyor.
Buna göre $n$ sayısının $7$ ile bölümünden elde edilebilecek farklı kalan sayısı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Tahtada ${1, 2, 3, 4}$ sayıları yazılıdır. Her adımda tahtadan iki sayı seçilip siliniyor; seçilen $x$ ve $y$ sayıları için yerine $x + y + x y$ yazılıyor. Bu işlem tek sayı kalıncaya kadar sürdürülürse, en son kalan sayı kaç olur?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

İşlem kuralını daha kullanışlı bir biçime çevirelim: x + y + x ⁢ y = ( x + 1 ) ( y + 1 ) − 1 Buna göre her adımda seçilen iki sayı yerine yazılan yeni sayı için şu dönüşümü düşünebiliriz: f ( a ) = a + 1 Eğer tahtadan x ve y silinip yerine x + y + x ⁢ y yazılıyorsa, “ a + 1 ” dönüşümü altında şu olur: ( x + 1 ) ( y + 1 ) = ( x + y + x ⁢ y + 1 ) Yani her adımda, seçilen iki sayının “ a + 1 ” değerleri çarpılıp tek bir değere dönüşüyor. Bu nedenle tahtadaki sayıların ( a + 1 ) çarpımı süreç boyunca değişmez (invariant) kalır. Başlangıçta tahtada: { 1, 2, 3, 4 } Buna göre invariant çarpım: ( 1 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 3 + 1 ) ( 4 + 1 ) = 2 ⁢ 3 ⁢ 4 ⁢ 5 = 120 İşlemler bittiğinde tahtada tek sayı kalsın, bu sayı N olsun. İnvariant gereği son durumda: N + 1 = 120 Buradan: N = 119 Sonuç olarak doğru seçenek A ’dır.

Çözüm: İşlem kuralını daha kullanışlı bir biçime çevirelim: x + y + x ⁢ y = ( x + 1 ) ( y + 1 ) − 1 Buna göre her adımda seçilen iki sayı yerine yazılan yeni sayı için şu dönüşümü düşünebiliriz: f ( a ) = a + 1 Eğer tahtadan x ve y silinip yerine x + y + x ⁢ y yazılıyorsa, “ a + 1 ” dönüşümü altında şu olur: ( x + 1 ) ( y + 1 ) = ( x + y + x ⁢ y + 1 ) Yani her adımda, seçilen iki sayının “ a + 1 ” değerleri çarpılıp tek bir değere dönüşüyor. Bu nedenle tahtadaki sayıların ( a + 1 ) çarpımı süreç boyunca değişmez (invariant) kalır. Başlangıçta tahtada: { 1, 2, 3, 4 } Buna göre invariant çarpım: ( 1 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 3 + 1 ) ( 4 + 1 ) = 2 ⁢ 3 ⁢ 4 ⁢ 5 = 120 İşlemler bittiğinde tahtada tek sayı kalsın, bu sayı N olsun. İnvariant gereği son durumda: N + 1 = 120 Buradan: N = 119 Sonuç olarak doğru seçenek A ’dır.

İşlem kuralını daha kullanışlı bir biçime çevirelim:

x + y + x y = (x + 1) (y + 1) - 1

Buna göre her adımda seçilen iki sayı yerine yazılan yeni sayı için şu dönüşümü düşünebiliriz:

f (a) = a + 1

Eğer tahtadan $x$ ve $y$ silinip yerine $x + y + x y$ yazılıyorsa, “ $a + 1$ ” dönüşümü altında şu olur:

(x + 1) (y + 1) = (x + y + x y + 1)

Yani her adımda, seçilen iki sayının “ $a + 1$ ” değerleri çarpılıp tek bir değere dönüşüyor. Bu nedenle tahtadaki sayıların $(a + 1)$ çarpımı süreç boyunca değişmez (invariant) kalır.

Başlangıçta tahtada:

{1, 2, 3, 4}

Buna göre invariant çarpım:

(1 + 1) (2 + 1) (3 + 1) (4 + 1) = 2 3 4 5 = 120

İşlemler bittiğinde tahtada tek sayı kalsın, bu sayı $N$ olsun. İnvariant gereği son durumda:

N + 1 = 120

Buradan:

N = 119

Sonuç olarak doğru seçenek A’dır.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar için
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2025}$
denklemini sağlayan sıralı ikililerin sayısı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Şık kontrolü Aşağıdaki çözümde sıralı ikili sayısı bulunacak ve bunun şık B ile aynı olduğu görülecek. 2) Denklemi çarpıp sadeleştirelim 1 x + 1 y = 1 2025 x + y x y = 1 2025 2025 ( x + y ) = x y 3) Düzenleyip çarpanlara ayıralım x y - 2025 x - 2025 y = 0 x y - 2025 x - 2025 y + 2025 · 2025 = 2025 · 2025 ( x - 2025 ) ( y - 2025 ) = 2025 2 4) Yeni değişken tanımlayalım a = x - 2025 b = y - 2025 a b = 2025 2 5) İşaret (pozitiflik) kontrolü Çarpım pozitif olduğu için a ve b aynı işaretlidir. İkisi birden negatif olsaydı şu olurdu: a < 0, b < 0 Bu durumda x = a + 2025 < 2025, y = b + 2025 < 2025 olur ve dolayısıyla ( x - 2025 ) ( y - 2025 ) < 2025 2 çelişkisi doğar. Bu yüzden a > 0, b > 0 olmalıdır. Yani pozitif bölen çiftlerini sayacağız. 6) Bölen sayısını bulalım 2025 = 45 2 45 = 3 2 · 5 2025 = 3 4 · 5 2 2025 2 = 3 8 · 5 4 Pozitif bölen sayısı: ( 8 + 1 ) ( 4 + 1 ) = 45 7) Sonuç ve şık kontrolü Her pozitif bölen seçimi bir sıralı ikili verdiği için sıralı ikili sayısı 45 Bu değer şık B ile aynıdır. Doğru cevap B.

Çözüm: 1) Şık kontrolü Aşağıdaki çözümde sıralı ikili sayısı bulunacak ve bunun şık B ile aynı olduğu görülecek. 2) Denklemi çarpıp sadeleştirelim 1 x + 1 y = 1 2025 x + y x y = 1 2025 2025 ( x + y ) = x y 3) Düzenleyip çarpanlara ayıralım x y - 2025 x - 2025 y = 0 x y - 2025 x - 2025 y + 2025 · 2025 = 2025 · 2025 ( x - 2025 ) ( y - 2025 ) = 2025 2 4) Yeni değişken tanımlayalım a = x - 2025 b = y - 2025 a b = 2025 2 5) İşaret (pozitiflik) kontrolü Çarpım pozitif olduğu için a ve b aynı işaretlidir. İkisi birden negatif olsaydı şu olurdu: a < 0, b < 0 Bu durumda x = a + 2025 < 2025, y = b + 2025 < 2025 olur ve dolayısıyla ( x - 2025 ) ( y - 2025 ) < 2025 2 çelişkisi doğar. Bu yüzden a > 0, b > 0 olmalıdır. Yani pozitif bölen çiftlerini sayacağız. 6) Bölen sayısını bulalım 2025 = 45 2 45 = 3 2 · 5 2025 = 3 4 · 5 2 2025 2 = 3 8 · 5 4 Pozitif bölen sayısı: ( 8 + 1 ) ( 4 + 1 ) = 45 7) Sonuç ve şık kontrolü Her pozitif bölen seçimi bir sıralı ikili verdiği için sıralı ikili sayısı 45 Bu değer şık B ile aynıdır. Doğru cevap B.

1) Şık kontrolü

Aşağıdaki çözümde sıralı ikili sayısı bulunacak ve bunun şık B ile aynı olduğu görülecek.

2) Denklemi çarpıp sadeleştirelim

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2025}

\frac{x + y}{x y} = \frac{1}{2025}

2025 (x + y) = x y

3) Düzenleyip çarpanlara ayıralım

x y - 2025 x - 2025 y = 0

x y - 2025 x - 2025 y + 2025 \cdot 2025 = 2025 \cdot 2025

(x - 2025) (y - 2025) = 2025^{2}

4) Yeni değişken tanımlayalım

a = x - 2025

b = y - 2025

a b = 2025^{2}

5) İşaret (pozitiflik) kontrolü

Çarpım pozitif olduğu için a ve b aynı işaretlidir.

İkisi birden negatif olsaydı şu olurdu:

a < 0, b < 0

Bu durumda

x = a + 2025 < 2025, y = b + 2025 < 2025

olur ve dolayısıyla

(x - 2025) (y - 2025) < 2025^{2}

çelişkisi doğar. Bu yüzden

a > 0, b > 0

olmalıdır. Yani pozitif bölen çiftlerini sayacağız.

6) Bölen sayısını bulalım

2025 = 45^{2}

45 = 3^{2} \cdot 5

2025 = 3^{4} \cdot 5^{2}

2025^{2} = 3^{8} \cdot 5^{4}

Pozitif bölen sayısı:

(8 + 1) (4 + 1) = 45

7) Sonuç ve şık kontrolü

Her pozitif bölen seçimi bir sıralı ikili verdiği için sıralı ikili sayısı

45

Bu değer şık B ile aynıdır. Doğru cevap B.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Bir pozitif tam sayı $n$ için $n$ , $2 n$ ve $3 n$ sayılarının onluk yazılışlarında kullanılan rakamların çokluğu aynı, sıralanışı farklıdır (yani birbirlerinin rakam permütasyonudur).
Buna göre bu koşulu sağlayan en küçük $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Koşul: Bir pozitif tam sayı için, sayının kendisiyle iki ve üç katının onluk yazılışlarındaki rakamlar aynı çoklukta olup sadece yer değiştirmiştir (rakam permütasyonu). 1) Ön bilgi (rakam permütasyonu ⇒ rakamlar toplamı aynı): Rakamlar aynı olduğundan rakamlar toplamı aynıdır; bu da sayıların 9 ile bölümünden kalanlarının aynı olmasına yol açar. n ≡ 2 n ≡ 3 n ( mod 9 ) Buradan özellikle ilk eşitlikten: n ≡ 2 n ( mod 9 ) Taraf tarafa çıkarırsak: n ≡ 0 ( mod 9 ) Yani aranan sayı 9’un katı olmalıdır. (Bu bilgi tek başına sayıyı buldurmaz ama adayları ciddi azaltır.) 2) Şıklardaki adayları kontrol edelim. Önce A şıkkı için: n = 142857 İki katı: 2 n = 2 × 142857 = 285714 Üç katı: 3 n = 3 × 142857 = 428571 Görüldüğü gibi 142857, 285714, 428571 sayılarının her birinde kullanılan rakamlar aynıdır (sadece sıralanış farklı). Dolayısıyla A şıkkı koşulu sağlar. 3) “En küçük” kontrolü (şıklar arasında): Diğer şıkları da hızlıca elemek için katlarına bakıyoruz. B şıkkı: n = 285714 Bu sayı da aslında aynı rakamların başka bir dizilişidir ve gerçekten koşulu sağlar: 2 n = 571428 3 n = 857142 Ancak 285714 > 142857 olduğu için “en küçük” olamaz. C şıkkı: n = 428571 Üç katı 7 basamaklı olur, yani rakam sayısı bile aynı kalmaz: 3 n = 3 × 428571 = 1285713 Bu yüzden C şıkkı koşulu sağlamaz. D şıkkı: n = 857142 İki katı 7 basamaklı olur: 2 n = 2 × 857142 = 1714284 Bu yüzden D şıkkı da koşulu sağlamaz. 4) Sonuç: Koşulu sağlayan şıklar içinde en küçük olan A’dır. n = 142857 Dolayısıyla “Sorunun doğru cevabı A mı?” kontrolü: Evet, doğru cevap A’dır.

Çözüm: Koşul: Bir pozitif tam sayı için, sayının kendisiyle iki ve üç katının onluk yazılışlarındaki rakamlar aynı çoklukta olup sadece yer değiştirmiştir (rakam permütasyonu). 1) Ön bilgi (rakam permütasyonu ⇒ rakamlar toplamı aynı): Rakamlar aynı olduğundan rakamlar toplamı aynıdır; bu da sayıların 9 ile bölümünden kalanlarının aynı olmasına yol açar. n ≡ 2 n ≡ 3 n ( mod 9 ) Buradan özellikle ilk eşitlikten: n ≡ 2 n ( mod 9 ) Taraf tarafa çıkarırsak: n ≡ 0 ( mod 9 ) Yani aranan sayı 9’un katı olmalıdır. (Bu bilgi tek başına sayıyı buldurmaz ama adayları ciddi azaltır.) 2) Şıklardaki adayları kontrol edelim. Önce A şıkkı için: n = 142857 İki katı: 2 n = 2 × 142857 = 285714 Üç katı: 3 n = 3 × 142857 = 428571 Görüldüğü gibi 142857, 285714, 428571 sayılarının her birinde kullanılan rakamlar aynıdır (sadece sıralanış farklı). Dolayısıyla A şıkkı koşulu sağlar. 3) “En küçük” kontrolü (şıklar arasında): Diğer şıkları da hızlıca elemek için katlarına bakıyoruz. B şıkkı: n = 285714 Bu sayı da aslında aynı rakamların başka bir dizilişidir ve gerçekten koşulu sağlar: 2 n = 571428 3 n = 857142 Ancak 285714 > 142857 olduğu için “en küçük” olamaz. C şıkkı: n = 428571 Üç katı 7 basamaklı olur, yani rakam sayısı bile aynı kalmaz: 3 n = 3 × 428571 = 1285713 Bu yüzden C şıkkı koşulu sağlamaz. D şıkkı: n = 857142 İki katı 7 basamaklı olur: 2 n = 2 × 857142 = 1714284 Bu yüzden D şıkkı da koşulu sağlamaz. 4) Sonuç: Koşulu sağlayan şıklar içinde en küçük olan A’dır. n = 142857 Dolayısıyla “Sorunun doğru cevabı A mı?” kontrolü: Evet, doğru cevap A’dır.

Koşul: Bir pozitif tam sayı için, sayının kendisiyle iki ve üç katının onluk yazılışlarındaki rakamlar aynı çoklukta olup sadece yer değiştirmiştir (rakam permütasyonu).

1) Ön bilgi (rakam permütasyonu ⇒ rakamlar toplamı aynı): Rakamlar aynı olduğundan rakamlar toplamı aynıdır; bu da sayıların 9 ile bölümünden kalanlarının aynı olmasına yol açar.

$n \equiv 2 n \equiv 3 n (\mod 9)$

Buradan özellikle ilk eşitlikten:

$n \equiv 2 n (\mod 9)$

Taraf tarafa çıkarırsak:

$n \equiv 0 (\mod 9)$

Yani aranan sayı 9’un katı olmalıdır. (Bu bilgi tek başına sayıyı buldurmaz ama adayları ciddi azaltır.)

2) Şıklardaki adayları kontrol edelim. Önce A şıkkı için:

$n = 142857$

İki katı:

$2 n = 2 \times 142857 = 285714$

Üç katı:

$3 n = 3 \times 142857 = 428571$

Görüldüğü gibi

$142857, 285714, 428571$

sayılarının her birinde kullanılan rakamlar aynıdır (sadece sıralanış farklı). Dolayısıyla A şıkkı koşulu sağlar.

3) “En küçük” kontrolü (şıklar arasında): Diğer şıkları da hızlıca elemek için katlarına bakıyoruz.

B şıkkı:

$n = 285714$

Bu sayı da aslında aynı rakamların başka bir dizilişidir ve gerçekten koşulu sağlar:

$2 n = 571428$

$3 n = 857142$

Ancak

$285714 > 142857$

olduğu için “en küçük” olamaz.

C şıkkı:

$n = 428571$

Üç katı 7 basamaklı olur, yani rakam sayısı bile aynı kalmaz:

$3 n = 3 \times 428571 = 1285713$

Bu yüzden C şıkkı koşulu sağlamaz.

D şıkkı:

$n = 857142$

İki katı 7 basamaklı olur:

$2 n = 2 \times 857142 = 1714284$

Bu yüzden D şıkkı da koşulu sağlamaz.

4) Sonuç: Koşulu sağlayan şıklar içinde en küçük olan A’dır.

$n = 142857$

Dolayısıyla “Sorunun doğru cevabı A mı?” kontrolü: Evet, doğru cevap A’dır.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kutuda, üzerinde $1$ ile $2026$ arasındaki tüm tam sayıların yazılı olduğu kartlar vardır.
Her adımda kutudan iki kart seçiliyor; üzerlerindeki sayılar sırasıyla $a$ ve $b$ olsun. Bu iki kart kutudan çıkarılıp yerine üzerinde $| a - b |$ yazan yeni bir kart konuyor. Bu işlem kutuda tek kart kalana kadar sürdürülüyor.
Son kalan kartın üzerindeki sayı kesin olarak kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar $x$ ve $y$ için
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2026}$
denklemini sağlayan kaç farklı sıralı ikili vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen denklem: 1 x + 1 y = 1 2026 Paydaları yok etmek için her iki tarafı uygun şekilde düzenleyelim: x + y x × y = 1 2026 2026 × ( x + y ) = x × y Tüm terimleri bir tarafa alalım: x × y - 2026 × x - 2026 × y = 0 Çarpanlara ayırmak için her iki tarafa uygun ifadeyi ekleyelim: x × y - 2026 × x - 2026 × y + 2026 2 = 2026 2 ( x - 2026 ) × ( y - 2026 ) = 2026 2 Pozitiflik kontrolü: Eğer bir değişken diğerinden küçük veya eşit olursa eşitlik sağlanamaz. x ≤ 2026 ⇒ 1 x ≥ 1 2026 x = 2026 ⇒ 1 y = 0 x > 2026, y > 2026 Dolayısıyla her iki çarpan da pozitiftir. Yeni değişken tanımlayalım: a = x - 2026, b = y - 2026, a > 0, b > 0 a × b = 2026 2 Sıralı ikili sayısı, bu çarpımın pozitif bölen sayısına eşittir. Şimdi asal çarpanlara ayıralım: 2026 = 2 × 1013 2026 2 = 2 2 × 1013 2 Bölen sayısı kuralı: n = p α × q β ⇒ τ ( n ) = ( α + 1 ) × ( β + 1 ) τ ( 2026 2 ) = ( 2 + 1 ) × ( 2 + 1 ) = 9 Sonuç: Sıralı ikili sayısı 9 Bu nedenle doğru seçenek C ve verilen iddia doğrudur.

Çözüm: Verilen denklem: 1 x + 1 y = 1 2026 Paydaları yok etmek için her iki tarafı uygun şekilde düzenleyelim: x + y x × y = 1 2026 2026 × ( x + y ) = x × y Tüm terimleri bir tarafa alalım: x × y - 2026 × x - 2026 × y = 0 Çarpanlara ayırmak için her iki tarafa uygun ifadeyi ekleyelim: x × y - 2026 × x - 2026 × y + 2026 2 = 2026 2 ( x - 2026 ) × ( y - 2026 ) = 2026 2 Pozitiflik kontrolü: Eğer bir değişken diğerinden küçük veya eşit olursa eşitlik sağlanamaz. x ≤ 2026 ⇒ 1 x ≥ 1 2026 x = 2026 ⇒ 1 y = 0 x > 2026, y > 2026 Dolayısıyla her iki çarpan da pozitiftir. Yeni değişken tanımlayalım: a = x - 2026, b = y - 2026, a > 0, b > 0 a × b = 2026 2 Sıralı ikili sayısı, bu çarpımın pozitif bölen sayısına eşittir. Şimdi asal çarpanlara ayıralım: 2026 = 2 × 1013 2026 2 = 2 2 × 1013 2 Bölen sayısı kuralı: n = p α × q β ⇒ τ ( n ) = ( α + 1 ) × ( β + 1 ) τ ( 2026 2 ) = ( 2 + 1 ) × ( 2 + 1 ) = 9 Sonuç: Sıralı ikili sayısı 9 Bu nedenle doğru seçenek C ve verilen iddia doğrudur.

Verilen denklem:

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2026}

Paydaları yok etmek için her iki tarafı uygun şekilde düzenleyelim:

\frac{x}{+} x \times y = \frac{1}{2026}

2026 \times (x + y) = x \times y

Tüm terimleri bir tarafa alalım:

x \times y - 2026 \times x - 2026 \times y = 0

Çarpanlara ayırmak için her iki tarafa uygun ifadeyi ekleyelim:

x \times y - 2026 \times x - 2026 \times y + 2026^{2} = 2026^{2}

(x - 2026) \times (y - 2026) = 2026^{2}

Pozitiflik kontrolü: Eğer bir değişken diğerinden küçük veya eşit olursa eşitlik sağlanamaz.

x \leq 2026 \Rightarrow \frac{1}{x} \geq \frac{1}{2026}

x = 2026 \Rightarrow \frac{1}{y} = 0

x > 2026, y > 2026

Dolayısıyla her iki çarpan da pozitiftir.

Yeni değişken tanımlayalım:

a = x - 2026, b = y - 2026, a > 0, b > 0

a \times b = 2026^{2}

Sıralı ikili sayısı, bu çarpımın pozitif bölen sayısına eşittir.

Şimdi asal çarpanlara ayıralım:

2026 = 2 \times 1013

2026^{2} = 2^{2} \times 1013^{2}

Bölen sayısı kuralı:

n = p^{α} \times q^{β} \Rightarrow τ (n) = (α + 1) \times (β + 1)

τ (2026^{2}) = (2 + 1) \times (2 + 1) = 9

Sonuç: Sıralı ikili sayısı

9

Bu nedenle doğru seçenek C ve verilen iddia doğrudur.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Tam sayılar $x$ ve $y$ için
$x + y + x y = 2015$
denklemini sağlayan tüm sıralı ikililer üzerinde $x + y$ değerlerinin toplamı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen denklem: x + y + x y = 2015 Düzenleyelim: x y + x + y = 2015 x y + x + y + 1 = 2015 + 1 ( x + 1 ) ( y + 1 ) = 2016 Değişken dönüşümü yapalım: a = x + 1 b = y + 1 Böylece: a b = 2016 İstenen ifade: x + y = ( a - 1 ) + ( b - 1 ) = a + b - 2 Şimdi tüm sıralı tam sayı çarpan ikilileri için toplamı hesaplayalım. Çünkü: a b = 2016 olduğundan, hem pozitif çarpanlar hem de negatif çarpanlar vardır. Pozitif bölenleri d ile gösterelim. O zaman pozitif sıralı ikililer: ( a, b ) = ( d, 2016 d ) Bu ikililer için katkı: a + b - 2 = d + 2016 d - 2 Negatif sıralı ikililer de: ( a, b ) = ( - d, - 2016 d ) Bu ikililer için katkı: a + b - 2 = - d - 2016 d - 2 Aynı pozitif bölen d için pozitif ve negatif ikililerin toplam katkısını toplayalım: ( d + 2016 d - 2 ) + ( - d - 2016 d - 2 ) = - 4 Yani her pozitif bölen, toplamda - 4 katkı yapar. Dolayısıyla tüm sıralı çözümler üzerindeki toplam: - 4 × ( pozitif bölen sayısı ) Şimdi 2016 sayısının pozitif bölen sayısını bulalım. Asal çarpanlara ayıralım: 2016 = 32 × 63 32 = 2 5 63 = 3 2 × 7 2016 = 2 5 × 3 2 × 7 1 Pozitif bölen sayısı: ( 5 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 6 × 3 × 2 = 36 O halde istenen toplam: - 4 × 36 = - 144 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır. - 144

Çözüm: Verilen denklem: x + y + x y = 2015 Düzenleyelim: x y + x + y = 2015 x y + x + y + 1 = 2015 + 1 ( x + 1 ) ( y + 1 ) = 2016 Değişken dönüşümü yapalım: a = x + 1 b = y + 1 Böylece: a b = 2016 İstenen ifade: x + y = ( a - 1 ) + ( b - 1 ) = a + b - 2 Şimdi tüm sıralı tam sayı çarpan ikilileri için toplamı hesaplayalım. Çünkü: a b = 2016 olduğundan, hem pozitif çarpanlar hem de negatif çarpanlar vardır. Pozitif bölenleri d ile gösterelim. O zaman pozitif sıralı ikililer: ( a, b ) = ( d, 2016 d ) Bu ikililer için katkı: a + b - 2 = d + 2016 d - 2 Negatif sıralı ikililer de: ( a, b ) = ( - d, - 2016 d ) Bu ikililer için katkı: a + b - 2 = - d - 2016 d - 2 Aynı pozitif bölen d için pozitif ve negatif ikililerin toplam katkısını toplayalım: ( d + 2016 d - 2 ) + ( - d - 2016 d - 2 ) = - 4 Yani her pozitif bölen, toplamda - 4 katkı yapar. Dolayısıyla tüm sıralı çözümler üzerindeki toplam: - 4 × ( pozitif bölen sayısı ) Şimdi 2016 sayısının pozitif bölen sayısını bulalım. Asal çarpanlara ayıralım: 2016 = 32 × 63 32 = 2 5 63 = 3 2 × 7 2016 = 2 5 × 3 2 × 7 1 Pozitif bölen sayısı: ( 5 + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 6 × 3 × 2 = 36 O halde istenen toplam: - 4 × 36 = - 144 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır. - 144

Verilen denklem:

x + y + x y = 2015

Düzenleyelim:

x y + x + y = 2015

x y + x + y + 1 = 2015 + 1

(x + 1) (y + 1) = 2016

Değişken dönüşümü yapalım:

a = x + 1

b = y + 1

Böylece:

a b = 2016

İstenen ifade:

x + y = (a - 1) + (b - 1) = a + b - 2

Şimdi tüm sıralı tam sayı çarpan ikilileri için toplamı hesaplayalım. Çünkü:

a b = 2016

olduğundan, hem pozitif çarpanlar hem de negatif çarpanlar vardır.

Pozitif bölenleri $d$ ile gösterelim. O zaman pozitif sıralı ikililer:

(a, b) = (d, \frac{2016}{d})

Bu ikililer için katkı:

a + b - 2 = d + \frac{2016}{d} - 2

Negatif sıralı ikililer de:

(a, b) = (- d, - \frac{2016}{d})

Bu ikililer için katkı:

a + b - 2 = - d - \frac{2016}{d} - 2

Aynı pozitif bölen $d$ için pozitif ve negatif ikililerin toplam katkısını toplayalım:

(d + \frac{2016}{d} - 2) + (- d - \frac{2016}{d} - 2) = - 4

Yani her pozitif bölen, toplamda $- 4$ katkı yapar.

Dolayısıyla tüm sıralı çözümler üzerindeki toplam:

- 4 \times (pozitif bölen sayısı)

Şimdi $2016$ sayısının pozitif bölen sayısını bulalım.

Asal çarpanlara ayıralım:

2016 = 32 \times 63

32 = 2^{5}

63 = 3^{2} \times 7

2016 = 2^{5} \times 3^{2} \times 7^{1}

Pozitif bölen sayısı:

(5 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 6 \times 3 \times 2 = 36

O halde istenen toplam:

- 4 \times 36 = - 144

Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

- 144

10. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada $2025$ beyaz ve $2024$ siyah bilye vardır.
Her adımda torbadan rastgele iki bilye çekiliyor; eğer iki bilye aynı renkse torbaya bir siyah bilye, farklı renkse torbaya bir beyaz bilye geri konuluyor.
Bu işlem torbada tek bilye kalana kadar sürdürülürse, son kalan bilyenin rengi nedir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Doğru şık A (Beyaz). Başlangıçtaki bilye sayıları: W = 2025 B = 2024 Her adımda iki bilye çekilip bir bilye geri konulduğu için toplam bilye sayısı her adımda 1 azalır. T = W + B T = 2025 + 2024 = 4049 T → T - 1 O hâlde tek bilye kalana kadar yapılacak adım sayısı: N = 4049 - 1 = 4048 Şimdi siyah bilye sayısının tek/çiftliğini (paritesini) izleyelim. Her adımda siyah sayısının nasıl değiştiğine bakalım: 1) İki beyaz gelirse (WW): torbaya bir siyah konuluyor. B → B + 1 Bu durumda siyah sayısının tek/çiftliği değişir. B ≡ B + 1 ( mod 2 ) 2) İki siyah gelirse (BB): iki siyah çıkıyor, bir siyah geri geliyor. B → B - 1 Bu durumda da tek/çiftlik değişir. B ≡ B - 1 ( mod 2 ) 3) Farklı renk gelirse (WB): bir siyah çıkıyor, beyaz geri konuluyor. B → B - 1 Yine tek/çiftlik değişir. B ≡ B - 1 ( mod 2 ) Sonuç: Hangi durum olursa olsun, her adımda siyah bilye sayısının paritesi (tek/çiftliği) tersine döner. B → B ± 1 Toplam N = 4048 adım yapılacak. Bu sayı çifttir, yani parite çift sayıda ters döndüğü için başlangıçtaki pariteye geri döner. 4048 ≡ 0 ( mod 2 ) Başlangıçta siyah sayısı çiftti: 2024 ≡ 0 ( mod 2 ) O hâlde en sonda da siyah sayısı çift olmalıdır. En sonda torbada tek bilye kalacağı için siyah bilye sayısı yalnızca şu iki değerden biri olabilir: B ∈ { 0, 1 } Çift olan tek seçenek B = 0 olduğundan son bilye siyah değildir; yani beyazdır. Cevap: A (Beyaz)

Çözüm: Doğru şık A (Beyaz). Başlangıçtaki bilye sayıları: W = 2025 B = 2024 Her adımda iki bilye çekilip bir bilye geri konulduğu için toplam bilye sayısı her adımda 1 azalır. T = W + B T = 2025 + 2024 = 4049 T → T - 1 O hâlde tek bilye kalana kadar yapılacak adım sayısı: N = 4049 - 1 = 4048 Şimdi siyah bilye sayısının tek/çiftliğini (paritesini) izleyelim. Her adımda siyah sayısının nasıl değiştiğine bakalım: 1) İki beyaz gelirse (WW): torbaya bir siyah konuluyor. B → B + 1 Bu durumda siyah sayısının tek/çiftliği değişir. B ≡ B + 1 ( mod 2 ) 2) İki siyah gelirse (BB): iki siyah çıkıyor, bir siyah geri geliyor. B → B - 1 Bu durumda da tek/çiftlik değişir. B ≡ B - 1 ( mod 2 ) 3) Farklı renk gelirse (WB): bir siyah çıkıyor, beyaz geri konuluyor. B → B - 1 Yine tek/çiftlik değişir. B ≡ B - 1 ( mod 2 ) Sonuç: Hangi durum olursa olsun, her adımda siyah bilye sayısının paritesi (tek/çiftliği) tersine döner. B → B ± 1 Toplam N = 4048 adım yapılacak. Bu sayı çifttir, yani parite çift sayıda ters döndüğü için başlangıçtaki pariteye geri döner. 4048 ≡ 0 ( mod 2 ) Başlangıçta siyah sayısı çiftti: 2024 ≡ 0 ( mod 2 ) O hâlde en sonda da siyah sayısı çift olmalıdır. En sonda torbada tek bilye kalacağı için siyah bilye sayısı yalnızca şu iki değerden biri olabilir: B ∈ { 0, 1 } Çift olan tek seçenek B = 0 olduğundan son bilye siyah değildir; yani beyazdır. Cevap: A (Beyaz)

Doğru şık A (Beyaz).

Başlangıçtaki bilye sayıları:

W = 2025

B = 2024

Her adımda iki bilye çekilip bir bilye geri konulduğu için toplam bilye sayısı her adımda 1 azalır.

T = W + B

T = 2025 + 2024 = 4049

T \to T - 1

O hâlde tek bilye kalana kadar yapılacak adım sayısı:

N = 4049 - 1 = 4048

Şimdi siyah bilye sayısının tek/çiftliğini (paritesini) izleyelim. Her adımda siyah sayısının nasıl değiştiğine bakalım:

1) İki beyaz gelirse (WW): torbaya bir siyah konuluyor.

B \to B + 1

Bu durumda siyah sayısının tek/çiftliği değişir.

B \equiv B + 1 (\mod 2)

2) İki siyah gelirse (BB): iki siyah çıkıyor, bir siyah geri geliyor.

B \to B - 1

Bu durumda da tek/çiftlik değişir.

B \equiv B - 1 (\mod 2)

3) Farklı renk gelirse (WB): bir siyah çıkıyor, beyaz geri konuluyor.

B \to B - 1

Yine tek/çiftlik değişir.

B \equiv B - 1 (\mod 2)

Sonuç: Hangi durum olursa olsun, her adımda siyah bilye sayısının paritesi (tek/çiftliği) tersine döner.

B \to B \pm 1

Toplam $N = 4048$ adım yapılacak. Bu sayı çifttir, yani parite çift sayıda ters döndüğü için başlangıçtaki pariteye geri döner.

4048 \equiv 0 (\mod 2)

Başlangıçta siyah sayısı çiftti:

2024 \equiv 0 (\mod 2)

O hâlde en sonda da siyah sayısı çift olmalıdır.

En sonda torbada tek bilye kalacağı için siyah bilye sayısı yalnızca şu iki değerden biri olabilir:

B \in {0, 1}

Çift olan tek seçenek $B = 0$ olduğundan son bilye siyah değildir; yani beyazdır.

Cevap: A (Beyaz)

Rutin Olmayan Problemler Hakkında

Rutin olmayan problem ne demektir?

Tek bir kalıp formülle değil, verilenler arasında ilişki kurarak çözülen problem türüdür.

Bu sorularda ilk adım ne olmalı?

Soruda verilen bilgileri ve isteneni netleştirip gerekirse tablo, şekil veya sembol kullanmak gerekir.

Rutin olmayan problemler nasıl geliştirilir?

Farklı tipte sorular çözmek ve çözüm yollarını karşılaştırmak bu beceriyi geliştirir.

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

9. Sınıf Rutin Olmayan Problemler

Nasıl Çözülmeli?

Strateji Geliştiren Testler

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Aşağıdaki açılımda elde edilen binom katsayılarından kaç tanesi tektir?(1+x)2025

Bir tam sayı n için n2+n+1 sayısı 7 ile bölündüğünde kalan 0 oluyor.Buna göre n sayısının 7 ile bölümünden elde edilebilecek farklı kalan sayısı kaçtır?

Tahtada {1,2,3,4} sayıları yazılıdır. Her adımda tahtadan iki sayı seçilip siliniyor; seçilen x ve y sayıları için yerine x+y+x⁢y yazılıyor. Bu işlem tek sayı kalıncaya kadar sürdürülürse, en son kalan sayı kaç olur?

Pozitif tam sayılar için1x+1y=12025denklemini sağlayan sıralı ikililerin sayısı kaçtır?

Bir pozitif tam sayı n için n, 2n ve 3n sayılarının onluk yazılışlarında kullanılan rakamların çokluğu aynı, sıralanışı farklıdır (yani birbirlerinin rakam permütasyonudur).Buna göre bu koşulu sağlayan en küçük n kaçtır?

Pozitif tam sayılar x ve y için1x+1y=12026denklemini sağlayan kaç farklı sıralı ikili vardır?

Tam sayılar x ve y içinx+y+xy=2015denklemini sağlayan tüm sıralı ikililer üzerinde x+y değerlerinin toplamı kaçtır?

Rutin Olmayan Problemler Hakkında

Aşağıdaki açılımda elde edilen binom katsayılarından kaç tanesi tektir?
${(1 + x)}^{2025}$

Bir tam sayı $n$ için $n^{2} + n + 1$ sayısı $7$ ile bölündüğünde kalan $0$ oluyor.
Buna göre $n$ sayısının $7$ ile bölümünden elde edilebilecek farklı kalan sayısı kaçtır?

Tahtada ${1, 2, 3, 4}$ sayıları yazılıdır. Her adımda tahtadan iki sayı seçilip siliniyor; seçilen $x$ ve $y$ sayıları için yerine $x + y + x y$ yazılıyor. Bu işlem tek sayı kalıncaya kadar sürdürülürse, en son kalan sayı kaç olur?

Pozitif tam sayılar için
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2025}$
denklemini sağlayan sıralı ikililerin sayısı kaçtır?

Bir pozitif tam sayı $n$ için $n$ , $2 n$ ve $3 n$ sayılarının onluk yazılışlarında kullanılan rakamların çokluğu aynı, sıralanışı farklıdır (yani birbirlerinin rakam permütasyonudur).
Buna göre bu koşulu sağlayan en küçük $n$ kaçtır?

Pozitif tam sayılar $x$ ve $y$ için
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2026}$
denklemini sağlayan kaç farklı sıralı ikili vardır?

Tam sayılar $x$ ve $y$ için
$x + y + x y = 2015$
denklemini sağlayan tüm sıralı ikililer üzerinde $x + y$ değerlerinin toplamı kaçtır?