9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Doğru cevap: B

1) Toplam kişi sayısı: 9 × 2 = 18 2) Tokalaşma kuralı: Hiç kimse kendi eşiyle tokalaşmıyor. Bu yüzden bir kişinin en fazla tokalaşabileceği kişi sayısı: 18 − 2 = 16 3) Soruyu soran kişi, kendisi hariç diğer kişilere kaç kişiyle tokalaştıklarını soruyor. Cevaplar, her biri bir kez olmak üzere şu değerlerin tamamı çıkıyor: 0, 1, 2, …, 16 4) Temel gözlem: Bir çiftte eşlerin tokalaşma sayıları toplamı sabittir. Çünkü bir kişi, eşinin tokalaştığı herkese (eşi hariç) tokalaşmak zorundadır ve tersi de geçerlidir. Bu sabit toplam: 16 Yani bir eşin tokalaşma sayısı k ise diğer eşinki: 16 − k 5) Verilen cevapları bu kurala göre eşleştirelim (toplamları 16 olacak şekilde): ( 0, 16 ), ( 1, 15 ), ( 2, 14 ), ( 3, 13 ), ( 4, 12 ), ( 5, 11 ), ( 6, 10 ), ( 7, 9 ) Bu eşleştirmelerde kullanılmayan tek değer kalır: 8 6) Cevapları veren kişiler arasında 8 tokalaşması olan bir kişi vardır. Bu kişinin eşi de 16 kuralından dolayı yine 8 tokalaşma yapmıştır: 16 − 8 = 8 7) Ancak soruyu soran kişi cevap vermedi (listeye dahil değil). O halde cevap listesinde tek başına kalan 8 sayısının eşi, soruyu soran kişidir. Dolayısıyla soruyu soran kişi de 8 kişiyle tokalaşmıştır. 8) Sonuç ve şık kontrolü: Doğru seçenek B ’dir. 8

1. Çözüm: 1) Toplam kişi sayısı: 9 × 2 = 18 2) Tokalaşma kuralı: Hiç kimse kendi eşiyle tokalaşmıyor. Bu yüzden bir kişinin en fazla tokalaşabileceği kişi sayısı: 18 − 2 = 16 3) Soruyu soran kişi, kendisi hariç diğer kişilere kaç kişiyle tokalaştıklarını soruyor. Cevaplar, her biri bir kez olmak üzere şu değerlerin tamamı çıkıyor: 0, 1, 2, …, 16 4) Temel gözlem: Bir çiftte eşlerin tokalaşma sayıları toplamı sabittir. Çünkü bir kişi, eşinin tokalaştığı herkese (eşi hariç) tokalaşmak zorundadır ve tersi de geçerlidir. Bu sabit toplam: 16 Yani bir eşin tokalaşma sayısı k ise diğer eşinki: 16 − k 5) Verilen cevapları bu kurala göre eşleştirelim (toplamları 16 olacak şekilde): ( 0, 16 ), ( 1, 15 ), ( 2, 14 ), ( 3, 13 ), ( 4, 12 ), ( 5, 11 ), ( 6, 10 ), ( 7, 9 ) Bu eşleştirmelerde kullanılmayan tek değer kalır: 8 6) Cevapları veren kişiler arasında 8 tokalaşması olan bir kişi vardır. Bu kişinin eşi de 16 kuralından dolayı yine 8 tokalaşma yapmıştır: 16 − 8 = 8 7) Ancak soruyu soran kişi cevap vermedi (listeye dahil değil). O halde cevap listesinde tek başına kalan 8 sayısının eşi, soruyu soran kişidir. Dolayısıyla soruyu soran kişi de 8 kişiyle tokalaşmıştır. 8) Sonuç ve şık kontrolü: Doğru seçenek B ’dir. 8

Doğru cevap: D

İki basamaklı sayının onlar basamağı ve birler basamağı için sırasıyla a ve b diyelim. Bu durumda sayı ve rakamları yer değişmiş hâli: 10 a + b 10 b + a Rakamlar yer değişince sayı 27 arttığına göre denklem: 10 b + a = 10 a + b + 27 Düzenleyelim: 10 b + a - 10 a - b = 27 9 b - 9 a = 27 9 ( b - a ) = 27 b - a = 3 Buradan b = a + 3 olur. Sayı: 10 a + b = 10 a + ( a + 3 ) = 11 a + 3 İki basamaklı olma koşulundan adaylar: a = 1 → 14 a = 2 → 25 a = 3 → 36 a = 4 → 47 a = 5 → 58 a = 6 → 69 Asallık kontrolü: Bu adaylardan yalnızca 47 için kontrol yapalım. Bölünebilme için yeterli olan sınır: 47 < 49 = 7 2 Dolayısıyla 2, 3, 5, 7 ile bölünebilirlik yeterlidir. Bölünmediğini şu eşitliklerle gösterelim: 47 = 2 × 23 + 1 47 = 3 × 15 + 2 47 = 5 × 9 + 2 47 = 7 × 6 + 5 Bu nedenle sayı asaldır ve doğru seçenek D olur. Cevap: 47

1. Çözüm: İki basamaklı sayının onlar basamağı ve birler basamağı için sırasıyla a ve b diyelim. Bu durumda sayı ve rakamları yer değişmiş hâli: 10 a + b 10 b + a Rakamlar yer değişince sayı 27 arttığına göre denklem: 10 b + a = 10 a + b + 27 Düzenleyelim: 10 b + a - 10 a - b = 27 9 b - 9 a = 27 9 ( b - a ) = 27 b - a = 3 Buradan b = a + 3 olur. Sayı: 10 a + b = 10 a + ( a + 3 ) = 11 a + 3 İki basamaklı olma koşulundan adaylar: a = 1 → 14 a = 2 → 25 a = 3 → 36 a = 4 → 47 a = 5 → 58 a = 6 → 69 Asallık kontrolü: Bu adaylardan yalnızca 47 için kontrol yapalım. Bölünebilme için yeterli olan sınır: 47 < 49 = 7 2 Dolayısıyla 2, 3, 5, 7 ile bölünebilirlik yeterlidir. Bölünmediğini şu eşitliklerle gösterelim: 47 = 2 × 23 + 1 47 = 3 × 15 + 2 47 = 5 × 9 + 2 47 = 7 × 6 + 5 Bu nedenle sayı asaldır ve doğru seçenek D olur. Cevap: 47

Doğru cevap: A

Çözüm üretilemedi

1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Doğru cevap: A

Doğru cevabın A olup olmadığını kontrol edeceğiz. Bunun için süreçte değişmeyen (invariant) bir özelliğe bakacağız. Başlangıçta beyaz ve siyah bilye sayıları: W = 7 S = 5 Her adımda torbadan rastgele 2 bilye çekiliyor ve kurala göre torbaya tek bilye geri konuluyor. Böylece toplam bilye sayısı her adımda T → T - 1 olur; işlem sonunda torbada 1 bilye kalacaktır. Kritik fikir: beyaz bilye sayısının tek-çiftliği (paritesi) değişiyor mu? Bunun için her olasılıkta çıkan iki bilyenin rengine göre W nasıl değişiyor ona bakalım. Durum 1: İki bilye de beyaz (WW). Torbadan iki beyaz gider, geri bir siyah gelir: W → W - 2 Burada W - 2 ifadesi, W ile aynı tek-çiftliğe sahiptir (çünkü 2 çift sayıdır). Durum 2: İki bilye de siyah (BB). Torbadan iki siyah gider, geri bir siyah gelir; beyaz sayısı etkilenmez: W → W Yani beyazın paritesi kesinlikle değişmez. Durum 3: Renkler farklı (WB). Bir beyaz ve bir siyah çıkar, geri bir beyaz konur: W → W - 1 + 1 W → W Yani yine beyaz sayısı (dolayısıyla tek-çiftliği) değişmez. Sonuç: Her adımda W sayısının paritesi korunur. Başlangıçta W = 7 olduğu için W tek kalacaktır. İşlem bittiğinde torbada yalnız 1 bilye kalır. Bu anda beyaz bilye sayısı ya 0 ya da 1 olabilir. Ama beyaz sayısı tek kalmak zorunda olduğundan W = 1 olur; yani son bilye beyaz dır. Karar: Doğru cevap A (Beyaz). Sorunun doğru cevabı gerçekten A ’dır.

1. Çözüm: Doğru cevabın A olup olmadığını kontrol edeceğiz. Bunun için süreçte değişmeyen (invariant) bir özelliğe bakacağız. Başlangıçta beyaz ve siyah bilye sayıları: W = 7 S = 5 Her adımda torbadan rastgele 2 bilye çekiliyor ve kurala göre torbaya tek bilye geri konuluyor. Böylece toplam bilye sayısı her adımda T → T - 1 olur; işlem sonunda torbada 1 bilye kalacaktır. Kritik fikir: beyaz bilye sayısının tek-çiftliği (paritesi) değişiyor mu? Bunun için her olasılıkta çıkan iki bilyenin rengine göre W nasıl değişiyor ona bakalım. Durum 1: İki bilye de beyaz (WW). Torbadan iki beyaz gider, geri bir siyah gelir: W → W - 2 Burada W - 2 ifadesi, W ile aynı tek-çiftliğe sahiptir (çünkü 2 çift sayıdır). Durum 2: İki bilye de siyah (BB). Torbadan iki siyah gider, geri bir siyah gelir; beyaz sayısı etkilenmez: W → W Yani beyazın paritesi kesinlikle değişmez. Durum 3: Renkler farklı (WB). Bir beyaz ve bir siyah çıkar, geri bir beyaz konur: W → W - 1 + 1 W → W Yani yine beyaz sayısı (dolayısıyla tek-çiftliği) değişmez. Sonuç: Her adımda W sayısının paritesi korunur. Başlangıçta W = 7 olduğu için W tek kalacaktır. İşlem bittiğinde torbada yalnız 1 bilye kalır. Bu anda beyaz bilye sayısı ya 0 ya da 1 olabilir. Ama beyaz sayısı tek kalmak zorunda olduğundan W = 1 olur; yani son bilye beyaz dır. Karar: Doğru cevap A (Beyaz). Sorunun doğru cevabı gerçekten A ’dır.

Doğru cevap: B

Kontrol: Doğru seçenek B (Siyah), çünkü süreç boyunca siyah taş sayısının tek-çiftliği değişmez. Adım 1: Değişken tanımlayalım. B = torbadaki siyah taş sayısı Adım 2: Her çekişte B ' nin nasıl değiştiğini inceleyelim. Durum WW: İki beyaz çekilirse bir beyaz geri konur. Bu durumda siyah taş sayısı değişmez: Δ B = 0 Durum BB: İki siyah çekilirse bir beyaz geri konur. İki siyah eksildiği için: Δ B = − 2 Durum WB: Farklı renk çekilirse bir siyah geri konur. Bir siyah çıktı, bir siyah geri geldiği için: Δ B = 0 Adım 3: Özetle her adımda B ' nin değişimi ya 0 ya da − 2 ' dir. Dolayısıyla B ' nin tek-çiftliği (mod 2 ) değişmez: B ≡ B 0  (mod  2 ) Adım 4: Başlangıçta siyah taş sayısı 3 ' tür, yani tek sayıdır: B 0 = 3 ⇒ B 0 ≡ 1  (mod  2 ) Adım 5: En sonda torbada tek taş kaldığında siyah taş sayısı ya 0 ya da 1 ' dir. B son ∈ { 0, 1 } Tek-çiftlik değişmediği için B son ≡ 1  (mod  2 ) ⇒ B son = 1 Sonuç: Son kalan taş kesin olarak siyah ' tır. (Doğru cevap B)

1. Çözüm: Kontrol: Doğru seçenek B (Siyah), çünkü süreç boyunca siyah taş sayısının tek-çiftliği değişmez. Adım 1: Değişken tanımlayalım. B = torbadaki siyah taş sayısı Adım 2: Her çekişte B ' nin nasıl değiştiğini inceleyelim. Durum WW: İki beyaz çekilirse bir beyaz geri konur. Bu durumda siyah taş sayısı değişmez: Δ B = 0 Durum BB: İki siyah çekilirse bir beyaz geri konur. İki siyah eksildiği için: Δ B = − 2 Durum WB: Farklı renk çekilirse bir siyah geri konur. Bir siyah çıktı, bir siyah geri geldiği için: Δ B = 0 Adım 3: Özetle her adımda B ' nin değişimi ya 0 ya da − 2 ' dir. Dolayısıyla B ' nin tek-çiftliği (mod 2 ) değişmez: B ≡ B 0  (mod  2 ) Adım 4: Başlangıçta siyah taş sayısı 3 ' tür, yani tek sayıdır: B 0 = 3 ⇒ B 0 ≡ 1  (mod  2 ) Adım 5: En sonda torbada tek taş kaldığında siyah taş sayısı ya 0 ya da 1 ' dir. B son ∈ { 0, 1 } Tek-çiftlik değişmediği için B son ≡ 1  (mod  2 ) ⇒ B son = 1 Sonuç: Son kalan taş kesin olarak siyah ' tır. (Doğru cevap B)

Doğru cevap: B

1) Seçenek B kontrolü (sayımı yapalım): Küme ve koşullar: S = 1, 2, 3, 4 ∀ x ∈ S, f ( f ( x ) ) = x f ( 1 ) ≠ 1 2) İlk koşul, f fonksiyonunun bir involüsyon olduğunu söyler. Bu durumda her eleman ya sabit kalır ya da bir başka elemanla yer değiştirir: f ( x ) = x veya f ( a ) = b, f ( b ) = a, a ≠ b 3) İkinci koşul, 1 ’in sabit nokta olamayacağını söyler; yani 1 mutlaka bir elemanla yer değiştirmelidir: f ( 1 ) ∈ 2, 3, 4 Dolayısıyla 1 ’in eşleşeceği eleman için seçim sayısı: 3 4) 1 bir elemanla eşleşince geriye iki eleman kalır. Bu kalan iki eleman için involüsyon olasılıkları: (i) İkisi de sabit kalabilir (ii) Birbirleriyle yer değiştirebilir Yani kalan ikili için seçim sayısı: 2 5) Toplam fonksiyon sayısı çarpım kuralıyla: 3 × 2 = 6 Sonuç: Doğru seçenek B’dir. 6

1. Çözüm: 1) Seçenek B kontrolü (sayımı yapalım): Küme ve koşullar: S = 1, 2, 3, 4 ∀ x ∈ S, f ( f ( x ) ) = x f ( 1 ) ≠ 1 2) İlk koşul, f fonksiyonunun bir involüsyon olduğunu söyler. Bu durumda her eleman ya sabit kalır ya da bir başka elemanla yer değiştirir: f ( x ) = x veya f ( a ) = b, f ( b ) = a, a ≠ b 3) İkinci koşul, 1 ’in sabit nokta olamayacağını söyler; yani 1 mutlaka bir elemanla yer değiştirmelidir: f ( 1 ) ∈ 2, 3, 4 Dolayısıyla 1 ’in eşleşeceği eleman için seçim sayısı: 3 4) 1 bir elemanla eşleşince geriye iki eleman kalır. Bu kalan iki eleman için involüsyon olasılıkları: (i) İkisi de sabit kalabilir (ii) Birbirleriyle yer değiştirebilir Yani kalan ikili için seçim sayısı: 2 5) Toplam fonksiyon sayısı çarpım kuralıyla: 3 × 2 = 6 Sonuç: Doğru seçenek B’dir. 6

Doğru cevap: A

Kırmızı bilye sayısı ile mavi bilye sayısı eşit olsun. Kırmızı bilye sayısına n diyelim. Bu durumda mavi bilye sayısı da n ve toplam bilye sayısı: 2 n Geri koymadan iki bilye çekildiğinde iki bilyenin de kırmızı gelme olasılığı: n 2 n ⋅ n − 1 2 n − 1 İlk kesir sadeleşir: 1 2 ⋅ n − 1 2 n − 1 Soruya göre bu olasılık: 1 2 ⋅ n − 1 2 n − 1 = 1 6 Her iki tarafı 2 ile çarpalım: n − 1 2 n − 1 = 1 3 Çapraz çarpım yapalım: 3 ( n − 1 ) = 1 ( 2 n − 1 ) Düzenleyelim: 3 n − 3 = 2 n − 1 Taraf tarafa toplayıp çıkaralım: n = 2 Toplam bilye sayısı: 2 n = 2 ⋅ 2 = 4 Sonuç: Toplam bilye sayısı 4 olduğundan doğru seçenek A 'dır.

1. Çözüm: Kırmızı bilye sayısı ile mavi bilye sayısı eşit olsun. Kırmızı bilye sayısına n diyelim. Bu durumda mavi bilye sayısı da n ve toplam bilye sayısı: 2 n Geri koymadan iki bilye çekildiğinde iki bilyenin de kırmızı gelme olasılığı: n 2 n ⋅ n − 1 2 n − 1 İlk kesir sadeleşir: 1 2 ⋅ n − 1 2 n − 1 Soruya göre bu olasılık: 1 2 ⋅ n − 1 2 n − 1 = 1 6 Her iki tarafı 2 ile çarpalım: n − 1 2 n − 1 = 1 3 Çapraz çarpım yapalım: 3 ( n − 1 ) = 1 ( 2 n − 1 ) Düzenleyelim: 3 n − 3 = 2 n − 1 Taraf tarafa toplayıp çıkaralım: n = 2 Toplam bilye sayısı: 2 n = 2 ⋅ 2 = 4 Sonuç: Toplam bilye sayısı 4 olduğundan doğru seçenek A 'dır.

Doğru cevap: B

1) Doğru şık kontrolü Şık B (mavi) doğrudur; sonda kalan bilyenin rengi kesin olarak mavidir. 2) Başlangıç durumu Kırmızı sayısını R, mavi sayısını B ile gösterelim. R = 14 B = 17 3) Her adımda ne değişiyor? (Durum geçişleri) Kutudan iki bilye alınıp kurala göre bir bilye geri konduğu için her adımda toplam bilye sayısı bir azalır (sonda tek bilye kalır). Şimdi (R,B) ikilisinin her olası çekişte nasıl değiştiğini yazalım: a) İki kırmızı (RR) gelirse ( R, B ) → ( R − 1, B ) b) İki mavi (BB) gelirse ( R, B ) → ( R + 1, B − 2 ) c) Farklı renk (RB) gelirse ( R, B ) → ( R − 1, B ) 4) Ana fikir: Mavi sayısının tek-çiftliği değişmiyor Yukarıdaki üç durumda mavi sayısına bakalım: RR durumunda B değişmiyor. RB durumunda B değişmiyor. BB durumunda B iki azalıyor. Yani her adımda mavi sayısı ya aynı kalıyor ya da iki azalıyor. Bu nedenle B’nin tek/çiftliği (paritesi) değişmez. Başlangıçta mavi sayısı tektir: B = 17 B ≡ 1 ( mod 2 ) 5) Sonda tek bilye kalınca sonuç zorunlu olur İşlem bittiğinde kutuda tek bilye kalır. Bu son bilye kırmızı olsaydı mavi sayısı B = 0 olurdu ve bu çift tir. Oysa parite değişmediği için sonda mavi sayısı da tek olmak zorundadır. Tek bilye kalmışken mavi sayısının tek olması ancak şu şekilde mümkündür: B = 1 Dolayısıyla son kalan bilye kesin olarak mavidir. 6) Sonuç Doğru cevap: B (Mavi).

1. Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü Şık B (mavi) doğrudur; sonda kalan bilyenin rengi kesin olarak mavidir. 2) Başlangıç durumu Kırmızı sayısını R, mavi sayısını B ile gösterelim. R = 14 B = 17 3) Her adımda ne değişiyor? (Durum geçişleri) Kutudan iki bilye alınıp kurala göre bir bilye geri konduğu için her adımda toplam bilye sayısı bir azalır (sonda tek bilye kalır). Şimdi (R,B) ikilisinin her olası çekişte nasıl değiştiğini yazalım: a) İki kırmızı (RR) gelirse ( R, B ) → ( R − 1, B ) b) İki mavi (BB) gelirse ( R, B ) → ( R + 1, B − 2 ) c) Farklı renk (RB) gelirse ( R, B ) → ( R − 1, B ) 4) Ana fikir: Mavi sayısının tek-çiftliği değişmiyor Yukarıdaki üç durumda mavi sayısına bakalım: RR durumunda B değişmiyor. RB durumunda B değişmiyor. BB durumunda B iki azalıyor. Yani her adımda mavi sayısı ya aynı kalıyor ya da iki azalıyor. Bu nedenle B’nin tek/çiftliği (paritesi) değişmez. Başlangıçta mavi sayısı tektir: B = 17 B ≡ 1 ( mod 2 ) 5) Sonda tek bilye kalınca sonuç zorunlu olur İşlem bittiğinde kutuda tek bilye kalır. Bu son bilye kırmızı olsaydı mavi sayısı B = 0 olurdu ve bu çift tir. Oysa parite değişmediği için sonda mavi sayısı da tek olmak zorundadır. Tek bilye kalmışken mavi sayısının tek olması ancak şu şekilde mümkündür: B = 1 Dolayısıyla son kalan bilye kesin olarak mavidir. 6) Sonuç Doğru cevap: B (Mavi).

Doğru cevap: B

Her üyenin diğer her üyeyle tam bir kez tokalaştığı durumda toplam tokalaşma sayısı, ikili seçim sayısına eşittir: Tokalaşma sayısı = ( Üye sayısı ikili seçimi ) = ( n ( n - 1 ) 2 ) Verilen toplam tokalaşma sayısına göre denklem kurulur: n ( n - 1 ) 2 = 45 Paydadaki 2 ’den kurtulmak için her iki taraf 2 ile çarpılır: n ( n - 1 ) = 90 Düzenleyip ikinci dereceden denklem elde edelim: n 2 - n - 90 = 0 Çarpanlara ayıralım: ( n - 10 ) ( n + 9 ) = 0 Kökler: n = 10 veya n = - 9 Üye sayısı negatif olamayacağı için: n = 10 Bu değer şıklardan B ile uyumludur; doğru cevap B ’dir.

1. Çözüm: Her üyenin diğer her üyeyle tam bir kez tokalaştığı durumda toplam tokalaşma sayısı, ikili seçim sayısına eşittir: Tokalaşma sayısı = ( Üye sayısı ikili seçimi ) = ( n ( n - 1 ) 2 ) Verilen toplam tokalaşma sayısına göre denklem kurulur: n ( n - 1 ) 2 = 45 Paydadaki 2 ’den kurtulmak için her iki taraf 2 ile çarpılır: n ( n - 1 ) = 90 Düzenleyip ikinci dereceden denklem elde edelim: n 2 - n - 90 = 0 Çarpanlara ayıralım: ( n - 10 ) ( n + 9 ) = 0 Kökler: n = 10 veya n = - 9 Üye sayısı negatif olamayacağı için: n = 10 Bu değer şıklardan B ile uyumludur; doğru cevap B ’dir.

Doğru cevap: A

Doğru seçeneğin A olduğunu kontrol edelim. Bunun için işlemin değiştirmediği (invariant) bir özelliği bulacağız. Tahtadaki sayıların toplamını başlangıçta S = 1 + 2 + ⋯ + 2026 olarak tanımlayalım. Bir adımda seçilen sayılar a, b olsun. Bu iki sayı silinip yerlerine | a − b | yazılıyor. Bu adımdan sonra toplam S ′ = S − a − b + | a − b | olur. Şimdi toplamın tek-çiftliğini inceleyelim. Modül 2 altında | a − b | ≡ a − b ≡ a + b ( mod 2 ) çünkü − b ≡ b ( mod 2 ) dir. Bu durumda S ′ = S − a − b + | a − b | ≡ S − a − b + a + b ≡ S ( mod 2 ) yani toplamın tek-çiftliği her adımda değişmez. Başlangıç toplamını hesaplayalım: S = 2026 · 2027 2 = 1013 · 2027 Burada 1013 ve 2027 tek olduğu için çarpımları da tektir; yani S ≡ 1 ( mod 2 ) olur. İşlem tek sayı kalana kadar sürdüğünde tahtada kalan son sayıya x diyelim. O anda toplam da S = x olacağından, toplamın tek-çiftliği değişmediği için x ≡ S ≡ 1 ( mod 2 ) yani son kalan sayı kesinlikle tektir. Şıklardaki sayıların tek-çiftliği: 1 tek 2 çift 2026 çift 0 çift Son sayı tek olmak zorunda olduğundan verilen şıklar içinde kesin olan tek değer A şıkkıdır.

1. Çözüm: Doğru seçeneğin A olduğunu kontrol edelim. Bunun için işlemin değiştirmediği (invariant) bir özelliği bulacağız. Tahtadaki sayıların toplamını başlangıçta S = 1 + 2 + ⋯ + 2026 olarak tanımlayalım. Bir adımda seçilen sayılar a, b olsun. Bu iki sayı silinip yerlerine | a − b | yazılıyor. Bu adımdan sonra toplam S ′ = S − a − b + | a − b | olur. Şimdi toplamın tek-çiftliğini inceleyelim. Modül 2 altında | a − b | ≡ a − b ≡ a + b ( mod 2 ) çünkü − b ≡ b ( mod 2 ) dir. Bu durumda S ′ = S − a − b + | a − b | ≡ S − a − b + a + b ≡ S ( mod 2 ) yani toplamın tek-çiftliği her adımda değişmez. Başlangıç toplamını hesaplayalım: S = 2026 · 2027 2 = 1013 · 2027 Burada 1013 ve 2027 tek olduğu için çarpımları da tektir; yani S ≡ 1 ( mod 2 ) olur. İşlem tek sayı kalana kadar sürdüğünde tahtada kalan son sayıya x diyelim. O anda toplam da S = x olacağından, toplamın tek-çiftliği değişmediği için x ≡ S ≡ 1 ( mod 2 ) yani son kalan sayı kesinlikle tektir. Şıklardaki sayıların tek-çiftliği: 1 tek 2 çift 2026 çift 0 çift Son sayı tek olmak zorunda olduğundan verilen şıklar içinde kesin olan tek değer A şıkkıdır.