9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

Bir doğal sayının kendisi hariç pozitif bölenleri toplamı $16$ ’dır. Bu sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Doğru cevabın B olup olmadığını kontrol edelim. “Kendisi hariç pozitif bölenleri toplamı” ifadesi, sayının pozitif bölenleri arasından kendisini çıkartıp kalanların toplamını anlatır. Soruya göre bu toplam: 16 B şıkkındaki sayıyı deneyelim: 12 Bu sayının pozitif bölenleri (kendisi dahil): 1, 2, 3, 4, 6, 12 Kendisi hariç pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6 Toplamlarını bulalım: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 Toplam istenen değere eşit çıktığı için doğru cevap B şıkkıdır.

Çözüm: Doğru cevabın B olup olmadığını kontrol edelim. “Kendisi hariç pozitif bölenleri toplamı” ifadesi, sayının pozitif bölenleri arasından kendisini çıkartıp kalanların toplamını anlatır. Soruya göre bu toplam: 16 B şıkkındaki sayıyı deneyelim: 12 Bu sayının pozitif bölenleri (kendisi dahil): 1, 2, 3, 4, 6, 12 Kendisi hariç pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6 Toplamlarını bulalım: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 Toplam istenen değere eşit çıktığı için doğru cevap B şıkkıdır.

Doğru cevabın B olup olmadığını kontrol edelim. “Kendisi hariç pozitif bölenleri toplamı” ifadesi, sayının pozitif bölenleri arasından kendisini çıkartıp kalanların toplamını anlatır.

Soruya göre bu toplam:

16

B şıkkındaki sayıyı deneyelim:

12

Bu sayının pozitif bölenleri (kendisi dahil):

1, 2, 3, 4, 6, 12

Kendisi hariç pozitif bölenleri:

1, 2, 3, 4, 6

Toplamlarını bulalım:

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16

Toplam istenen değere eşit çıktığı için doğru cevap B şıkkıdır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif $n$ sayısı kaçtır?
$n \equiv 1 (mod 3)$
$n \equiv 2 (mod 5)$
$n \equiv 3 (mod 7)$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

1) Şık kontrolü: Verilen koşulları sağlayan en küçük pozitif sayı bulununca şıkkıC76 (52) ile aynı çıkıp çıkmadığını karşılaştıracağız. 2) İlk koşulu kullanarak genel yazalım: n ≡ 1 (mod 3 ) Buna göre: n = 1 + 3 k 3) İkinci koşulu bu ifadede kullanalım: n ≡ 2 (mod 5 ) Yerine yazalım: 1 + 3 k ≡ 2 (mod 5 ) Düzenleyelim: 3 k ≡ 1 (mod 5 ) 4) Mod 5’te 3’ün tersini bulalım. Çünkü: 3 ⋅ 2 = 6 ≡ 1 (mod 5 ) Bu yüzden her iki tarafı 2 ile çarparsak: k ≡ 2 (mod 5 ) Yani: k = 2 + 5 t 5) Bunu n = 1 + 3k ifadesine geri yazalım: n = 1 + 3 ( 2 + 5 t ) Açalım: n = 7 + 15 t 6) Üçüncü koşulu kullanalım: n ≡ 3 (mod 7 ) Yerine yazalım: 7 + 15 t ≡ 3 (mod 7 ) Mod 7’de 7 sıfırdır, ayrıca: 15 ≡ 1 (mod 7 ) Bu yüzden: t ≡ 3 (mod 7 ) Yani: t = 3 + 7 s 7) Son olarak bunu n = 7 + 15t içine yazalım: n = 7 + 15 ( 3 + 7 s ) Düzenleyelim: n = 52 + 105 s En küçük pozitif değer için: s = 0 Böylece: n = 52 8) Sonuç: En küçük pozitif n değeri 52’dir. Dolayısıyla şıkkıC1134 doğrudur.

Çözüm: 1) Şık kontrolü: Verilen koşulları sağlayan en küçük pozitif sayı bulununca şıkkıC76 (52) ile aynı çıkıp çıkmadığını karşılaştıracağız. 2) İlk koşulu kullanarak genel yazalım: n ≡ 1 (mod 3 ) Buna göre: n = 1 + 3 k 3) İkinci koşulu bu ifadede kullanalım: n ≡ 2 (mod 5 ) Yerine yazalım: 1 + 3 k ≡ 2 (mod 5 ) Düzenleyelim: 3 k ≡ 1 (mod 5 ) 4) Mod 5’te 3’ün tersini bulalım. Çünkü: 3 ⋅ 2 = 6 ≡ 1 (mod 5 ) Bu yüzden her iki tarafı 2 ile çarparsak: k ≡ 2 (mod 5 ) Yani: k = 2 + 5 t 5) Bunu n = 1 + 3k ifadesine geri yazalım: n = 1 + 3 ( 2 + 5 t ) Açalım: n = 7 + 15 t 6) Üçüncü koşulu kullanalım: n ≡ 3 (mod 7 ) Yerine yazalım: 7 + 15 t ≡ 3 (mod 7 ) Mod 7’de 7 sıfırdır, ayrıca: 15 ≡ 1 (mod 7 ) Bu yüzden: t ≡ 3 (mod 7 ) Yani: t = 3 + 7 s 7) Son olarak bunu n = 7 + 15t içine yazalım: n = 7 + 15 ( 3 + 7 s ) Düzenleyelim: n = 52 + 105 s En küçük pozitif değer için: s = 0 Böylece: n = 52 8) Sonuç: En küçük pozitif n değeri 52’dir. Dolayısıyla şıkkıC1134 doğrudur.

1) Şık kontrolü: Verilen koşulları sağlayan en küçük pozitif sayı bulununca şıkkıC140 (52) ile aynı çıkıp çıkmadığını karşılaştıracağız.

2) İlk koşulu kullanarak genel yazalım:

n \equiv 1 (mod 3)

Buna göre:

n = 1 + 3 k

3) İkinci koşulu bu ifadede kullanalım:

n \equiv 2 (mod 5)

Yerine yazalım:

1 + 3 k \equiv 2 (mod 5)

Düzenleyelim:

3 k \equiv 1 (mod 5)

4) Mod 5’te 3’ün tersini bulalım. Çünkü:

3 \cdot 2 = 6 \equiv 1 (mod 5)

Bu yüzden her iki tarafı 2 ile çarparsak:

k \equiv 2 (mod 5)

Yani:

k = 2 + 5 t

5) Bunu n = 1 + 3k ifadesine geri yazalım:

n = 1 + 3 (2 + 5 t)

Açalım:

n = 7 + 15 t

6) Üçüncü koşulu kullanalım:

n \equiv 3 (mod 7)

Yerine yazalım:

7 + 15 t \equiv 3 (mod 7)

Mod 7’de 7 sıfırdır, ayrıca:

15 \equiv 1 (mod 7)

Bu yüzden:

t \equiv 3 (mod 7)

Yani:

t = 3 + 7 s

7) Son olarak bunu n = 7 + 15t içine yazalım:

n = 7 + 15 (3 + 7 s)

Düzenleyelim:

n = 52 + 105 s

En küçük pozitif değer için:

s = 0

Böylece:

n = 52

8) Sonuç: En küçük pozitif n değeri 52’dir. Dolayısıyla şıkkıC3949 doğrudur.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Tahtada ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ sayıları yazılıdır. Her adımda tahtadan iki sayı seçilip siliniyor ve yerlerine $a b + a + b$ yazılıyor. Bu işlem tek sayı kalana kadar devam ettiğine göre, en son kalan sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Tahtadaki başlangıç kümesini ve işlemi MathML ile netleştirelim. { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } a, b → a ⋅ b + a + b İfadeyi çarpıma dönüştürmek için şu dönüşümü tanımlayalım. y = x + 1 İşlem sonucunda yazılan sayı şu şekilde düzenlenir: a ⋅ b + a + b = ( a + 1 ) ( b + 1 ) − 1 Şimdi yeni yazılan sayının bir fazlasına (yani y değişkenine) bakalım: y = x + 1 ⇒ y ∗ ( yeni ) = ( a + 1 ) ( b + 1 ) Yani x ’ler yerine y ’ler düşünülürse, her adımda iki sayı seçilip yerlerine bu iki sayının çarpımı yazılıyor. Başlangıçta x kümesi verilmişti; buna göre başlangıç y kümesi: { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Çarpma işleminde sıra önemli olmadığından, en sonda kalan y değeri bu sayıların çarpımına eşittir: 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 = 40320 Son kalan x sayısına dönmek için x=y−1 kullanırız: x = y − 1 = 40320 − 1 = 40319 Sonuç ve şık kontrolü: 40319 Doğru cevap D928 ’dir.

Çözüm: Tahtadaki başlangıç kümesini ve işlemi MathML ile netleştirelim. { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } a, b → a ⋅ b + a + b İfadeyi çarpıma dönüştürmek için şu dönüşümü tanımlayalım. y = x + 1 İşlem sonucunda yazılan sayı şu şekilde düzenlenir: a ⋅ b + a + b = ( a + 1 ) ( b + 1 ) − 1 Şimdi yeni yazılan sayının bir fazlasına (yani y değişkenine) bakalım: y = x + 1 ⇒ y ∗ ( yeni ) = ( a + 1 ) ( b + 1 ) Yani x ’ler yerine y ’ler düşünülürse, her adımda iki sayı seçilip yerlerine bu iki sayının çarpımı yazılıyor. Başlangıçta x kümesi verilmişti; buna göre başlangıç y kümesi: { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Çarpma işleminde sıra önemli olmadığından, en sonda kalan y değeri bu sayıların çarpımına eşittir: 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 = 40320 Son kalan x sayısına dönmek için x=y−1 kullanırız: x = y − 1 = 40320 − 1 = 40319 Sonuç ve şık kontrolü: 40319 Doğru cevap D928 ’dir.

Tahtadaki başlangıç kümesini ve işlemi MathML ile netleştirelim.

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

a, b \to a \cdot b + a + b

İfadeyi çarpıma dönüştürmek için şu dönüşümü tanımlayalım.

y = x + 1

İşlem sonucunda yazılan sayı şu şekilde düzenlenir:

a \cdot b + a + b = (a + 1) (b + 1) - 1

Şimdi yeni yazılan sayının bir fazlasına (yani y değişkenine) bakalım:

y = x + 1 \Rightarrow y * (yeni) = (a + 1) (b + 1)

Yani x’ler yerine y’ler düşünülürse, her adımda iki sayı seçilip yerlerine bu iki sayının çarpımı yazılıyor.

Başlangıçta x kümesi verilmişti; buna göre başlangıç y kümesi:

{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Çarpma işleminde sıra önemli olmadığından, en sonda kalan y değeri bu sayıların çarpımına eşittir:

2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 40320

Son kalan x sayısına dönmek için x=y−1 kullanırız:

x = y - 1 = 40320 - 1 = 40319

Sonuç ve şık kontrolü:

40319

Doğru cevap B’dir.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kitabın sayfa numaraları $1$ den başlayarak yazılıyor ve toplam $252$ rakam kullanılıyor.
Kitabın son sayfa numarası kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Cevap şıkkı B (120) doğru mu diye rakam sayısını parçalara ayıralım. 1) 1’den 9’a kadar sayfa numaraları tek basamaklıdır. 1 − 9 Bu aralıkta toplam 9 tane sayı vardır ve her biri 1 rakam kullanır. 9 × 1 = 9 2) 10’dan 99’a kadar sayfa numaraları iki basamaklıdır. 10 − 99 Bu aralıkta 90 tane sayı vardır ve her biri 2 rakam kullanır. 90 × 2 = 180 3) 99. sayfaya kadar kullanılan toplam rakam sayısı: 9 + 180 = 189 4) Toplam 252 rakam kullanıldığına göre, geriye kalan rakam sayısı: 252 − 189 = 63 5) 100’den sonraki sayfalar 3 basamaklı olduğundan her sayfa numarası 3 rakam tüketir. Bu 63 rakam kaç sayfa eder? 63 ÷ 3 = 21 6) 100. sayfadan başlayarak 21 sayfa numarası yazılırsa son sayfa: 100 + 21 − 1 = 120 Sonuç: Kitabın son sayfa numarası 120’dir. Bu nedenle doğru seçenek A763 ’dir.

Çözüm: Cevap şıkkı B (120) doğru mu diye rakam sayısını parçalara ayıralım. 1) 1’den 9’a kadar sayfa numaraları tek basamaklıdır. 1 − 9 Bu aralıkta toplam 9 tane sayı vardır ve her biri 1 rakam kullanır. 9 × 1 = 9 2) 10’dan 99’a kadar sayfa numaraları iki basamaklıdır. 10 − 99 Bu aralıkta 90 tane sayı vardır ve her biri 2 rakam kullanır. 90 × 2 = 180 3) 99. sayfaya kadar kullanılan toplam rakam sayısı: 9 + 180 = 189 4) Toplam 252 rakam kullanıldığına göre, geriye kalan rakam sayısı: 252 − 189 = 63 5) 100’den sonraki sayfalar 3 basamaklı olduğundan her sayfa numarası 3 rakam tüketir. Bu 63 rakam kaç sayfa eder? 63 ÷ 3 = 21 6) 100. sayfadan başlayarak 21 sayfa numarası yazılırsa son sayfa: 100 + 21 − 1 = 120 Sonuç: Kitabın son sayfa numarası 120’dir. Bu nedenle doğru seçenek A763 ’dir.

Cevap şıkkı B (120) doğru mu diye rakam sayısını parçalara ayıralım.

1) 1’den 9’a kadar sayfa numaraları tek basamaklıdır.

1 - 9

Bu aralıkta toplam 9 tane sayı vardır ve her biri 1 rakam kullanır.

9 \times 1 = 9

2) 10’dan 99’a kadar sayfa numaraları iki basamaklıdır.

10 - 99

Bu aralıkta 90 tane sayı vardır ve her biri 2 rakam kullanır.

90 \times 2 = 180

3) 99. sayfaya kadar kullanılan toplam rakam sayısı:

9 + 180 = 189

4) Toplam 252 rakam kullanıldığına göre, geriye kalan rakam sayısı:

252 - 189 = 63

5) 100’den sonraki sayfalar 3 basamaklı olduğundan her sayfa numarası 3 rakam tüketir. Bu 63 rakam kaç sayfa eder?

63 \div 3 = 21

6) 100. sayfadan başlayarak 21 sayfa numarası yazılırsa son sayfa:

100 + 21 - 1 = 120

Sonuç: Kitabın son sayfa numarası 120’dir. Bu nedenle doğru seçenek B’dir.

5. SoruÇoktan Seçmeli

$A \subseteq {1, 2, \dots, 2025}$ olsun.
$\forall a, b \in A, a \neq b \Rightarrow 3 ∤ (a + b)$ koşulu sağlanıyor.
Buna göre $A$ kümesinin alabileceği en büyük eleman sayısı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen koşul: ∀ a, b ∈ A, a ≠ b ⇒ 3 ∤ ( a + b ) Bu tür sorularda en hızlı yöntem sayıları mod 3 kalıntılarına göre sınıflandırmaktır. 1) Mod 3 kalıntı sınıfları: 0, 1, 2 2) Hangi kalıntı çiftleri toplamda 3’ün katını verir? 0 + 0 ≡ 0 ( m o d 3 ) 1 + 2 ≡ 0 ( m o d 3 ) 2 + 1 ≡ 0 ( m o d 3 ) Dolayısıyla koşul şunu zorunlu kılar: • 0 kalıntılılardan (3’ün katlarından) en fazla 1 tane alınabilir; çünkü iki tane alınırsa toplamları 3’ün katı olur. • 1 kalıntılı ve 2 kalıntılı sayılar aynı anda A’da bulunamaz; çünkü biri 1, diğeri 2 olursa toplam 3’ün katı olur. 3) Şimdi 1’den 2025’e kadar sayıların mod 3 dağılımını bulalım. Çünkü 2025 = 3 · 675 Bu aralıkta her üçlü blokta (3k+1, 3k+2, 3k+3) her kalıntıdan bir tane vardır. Bu yüzden sayılar eşit dağılır: | { n ∈ { 1, 2, …, 2025 }: n ≡ 0 ( m o d 3 ) } | = 675 | { n ∈ { 1, 2, …, 2025 }: n ≡ 1 ( m o d 3 ) } | = 675 | { n ∈ { 1, 2, …, 2025 }: n ≡ 2 ( m o d 3 ) } | = 675 4) En büyük A’yı kurma: • 1 kalıntılıların hepsini alırsak 675 eleman eder. Buna ek olarak 0 kalıntılılardan en fazla 1 tane daha alabiliriz. • Ya da 2 kalıntılıların hepsini alıp yine 0 kalıntılılardan 1 tane ekleyebiliriz. Her iki durumda da maksimum eleman sayısı: | A | ≤ 675 + 1 = 676 5) Bu üst sınırın sağlanabildiğini gösterelim (örnek): 3’ün katlarından bir tane ve 1 kalıntılıların hepsini alalım. Örneğin 3’ü seçersek A şu şartı bozmadan kurulabilir: A = { 3 } ∪ { 1, 4, 7, …, 2023 } Bu kümede iki farklı elemanın toplamı hiçbir zaman 3’ün katı olmaz; dolayısıyla 676 mümkündür ve maksimumdur. Sonuç: Doğru cevap B ve değer 676

Çözüm: Verilen koşul: ∀ a, b ∈ A, a ≠ b ⇒ 3 ∤ ( a + b ) Bu tür sorularda en hızlı yöntem sayıları mod 3 kalıntılarına göre sınıflandırmaktır. 1) Mod 3 kalıntı sınıfları: 0, 1, 2 2) Hangi kalıntı çiftleri toplamda 3’ün katını verir? 0 + 0 ≡ 0 ( m o d 3 ) 1 + 2 ≡ 0 ( m o d 3 ) 2 + 1 ≡ 0 ( m o d 3 ) Dolayısıyla koşul şunu zorunlu kılar: • 0 kalıntılılardan (3’ün katlarından) en fazla 1 tane alınabilir; çünkü iki tane alınırsa toplamları 3’ün katı olur. • 1 kalıntılı ve 2 kalıntılı sayılar aynı anda A’da bulunamaz; çünkü biri 1, diğeri 2 olursa toplam 3’ün katı olur. 3) Şimdi 1’den 2025’e kadar sayıların mod 3 dağılımını bulalım. Çünkü 2025 = 3 · 675 Bu aralıkta her üçlü blokta (3k+1, 3k+2, 3k+3) her kalıntıdan bir tane vardır. Bu yüzden sayılar eşit dağılır: | { n ∈ { 1, 2, …, 2025 }: n ≡ 0 ( m o d 3 ) } | = 675 | { n ∈ { 1, 2, …, 2025 }: n ≡ 1 ( m o d 3 ) } | = 675 | { n ∈ { 1, 2, …, 2025 }: n ≡ 2 ( m o d 3 ) } | = 675 4) En büyük A’yı kurma: • 1 kalıntılıların hepsini alırsak 675 eleman eder. Buna ek olarak 0 kalıntılılardan en fazla 1 tane daha alabiliriz. • Ya da 2 kalıntılıların hepsini alıp yine 0 kalıntılılardan 1 tane ekleyebiliriz. Her iki durumda da maksimum eleman sayısı: | A | ≤ 675 + 1 = 676 5) Bu üst sınırın sağlanabildiğini gösterelim (örnek): 3’ün katlarından bir tane ve 1 kalıntılıların hepsini alalım. Örneğin 3’ü seçersek A şu şartı bozmadan kurulabilir: A = { 3 } ∪ { 1, 4, 7, …, 2023 } Bu kümede iki farklı elemanın toplamı hiçbir zaman 3’ün katı olmaz; dolayısıyla 676 mümkündür ve maksimumdur. Sonuç: Doğru cevap B ve değer 676

Verilen koşul:

$\forall a, b \in A, a \neq b \Rightarrow 3 ∤ (a + b)$

Bu tür sorularda en hızlı yöntem sayıları mod 3 kalıntılarına göre sınıflandırmaktır.

1) Mod 3 kalıntı sınıfları:

$0, 1, 2$

2) Hangi kalıntı çiftleri toplamda 3’ün katını verir?

$0 + 0 \equiv 0 (m o d 3)$

$1 + 2 \equiv 0 (m o d 3)$

$2 + 1 \equiv 0 (m o d 3)$

Dolayısıyla koşul şunu zorunlu kılar:

• 0 kalıntılılardan (3’ün katlarından) en fazla 1 tane alınabilir; çünkü iki tane alınırsa toplamları 3’ün katı olur.

• 1 kalıntılı ve 2 kalıntılı sayılar aynı anda A’da bulunamaz; çünkü biri 1, diğeri 2 olursa toplam 3’ün katı olur.

3) Şimdi 1’den 2025’e kadar sayıların mod 3 dağılımını bulalım. Çünkü

$2025 = 3 \cdot 675$

Bu aralıkta her üçlü blokta (3k+1, 3k+2, 3k+3) her kalıntıdan bir tane vardır. Bu yüzden sayılar eşit dağılır:

$| {n \in {1, 2, \dots, 2025} : n \equiv 0 (m o d 3)} | = 675$

$| {n \in {1, 2, \dots, 2025} : n \equiv 1 (m o d 3)} | = 675$

$| {n \in {1, 2, \dots, 2025} : n \equiv 2 (m o d 3)} | = 675$

4) En büyük A’yı kurma:

• 1 kalıntılıların hepsini alırsak 675 eleman eder. Buna ek olarak 0 kalıntılılardan en fazla 1 tane daha alabiliriz.

• Ya da 2 kalıntılıların hepsini alıp yine 0 kalıntılılardan 1 tane ekleyebiliriz.

Her iki durumda da maksimum eleman sayısı:

$| A | \leq 675 + 1 = 676$

5) Bu üst sınırın sağlanabildiğini gösterelim (örnek): 3’ün katlarından bir tane ve 1 kalıntılıların hepsini alalım. Örneğin 3’ü seçersek A şu şartı bozmadan kurulabilir:

$A = {3} \cup {1, 4, 7, \dots, 2023}$

Bu kümede iki farklı elemanın toplamı hiçbir zaman 3’ün katı olmaz; dolayısıyla 676 mümkündür ve maksimumdur.

Sonuç: Doğru cevap B ve değer

$676$

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı kaçtır?
$x \equiv 2 (mod 3)$
$x \equiv 3 (mod 5)$

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Bir tahtaya $1$ ’den $100$ ’e kadar tüm doğal sayılar yazılıyor. Her adımda tahtadan herhangi iki sayı silinip, bu iki sayının toplamı tahtaya yazılıyor. Bu işlem tahtada tek bir sayı kalana kadar sürdürülüyor.
Son kalan sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Tahtada $1, 2, \dots, n$ sayıları yazılıdır.
Her adımda tahtadaki iki sayı $a$ ve $b$ silinip yerlerine $a ★ b = a + b + a b$ işleminin sonucu yazılıyor; bu işlem tek sayı kalana kadar sürdürülüyor.
Son kalan sayı $719$ olduğuna göre $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Önce işlemi daha kullanışlı bir biçime çevirelim: a ★ b = a + b + a b Her iki tarafa da 1 ekleyelim (bu 1 sayısı sadece dönüşümü anlatmak içindir; aşağıda hepsini MathML ile göstereceğim): ( a ★ b ) + 1 = a + b + a b + 1 Sağ taraf çarpanlara ayrılır: a + b + a b + 1 = ( a + 1 ) ( b + 1 ) Yani temel kimlik şudur: ( a ★ b ) + 1 = ( a + 1 ) ( b + 1 ) Bu şu anlama gelir: Tahtadaki iki sayıyı a, b seçip a ★ b yazdığımızda, “hepsine 1 eklenmiş hâllerinin çarpımı” değişkenleri açısından düzenli ilerler. Şimdi tahtadaki sayılar başlangıçta şunlar: 1, 2, …, n Her sayıya 1 eklersek: 2, 3, …, n + 1 Yukarıdaki kimlikten dolayı, işlemler ne sırayla yapılırsa yapılsın, en sonda kalan sayıya 1 eklenmiş değer, başlangıçtaki 2, 3, …, n + 1 sayılarının çarpımına eşit olur. Son kalan sayıyı R diyelim. O zaman: R + 1 = 2 · 3 · … · ( n + 1 ) Sağ taraf, faktöriyel olarak: 2 · 3 · … · ( n + 1 ) = ( n + 1 )! Dolayısıyla genel sonuç: R = ( n + 1 )! - 1 Soruda son kalan sayı verilmiş: R = 719 Yerine yazalım: ( n + 1 )! - 1 = 719 Her iki tarafa 1 ekleyelim: ( n + 1 )! = 720 720 sayısı şu faktöriyeldir: 720 = 6! O hâlde: n + 1 = 6 Buradan: n = 5 Sonuç: Doğru seçenek A1143 ’dir.

Çözüm: Önce işlemi daha kullanışlı bir biçime çevirelim: a ★ b = a + b + a b Her iki tarafa da 1 ekleyelim (bu 1 sayısı sadece dönüşümü anlatmak içindir; aşağıda hepsini MathML ile göstereceğim): ( a ★ b ) + 1 = a + b + a b + 1 Sağ taraf çarpanlara ayrılır: a + b + a b + 1 = ( a + 1 ) ( b + 1 ) Yani temel kimlik şudur: ( a ★ b ) + 1 = ( a + 1 ) ( b + 1 ) Bu şu anlama gelir: Tahtadaki iki sayıyı a, b seçip a ★ b yazdığımızda, “hepsine 1 eklenmiş hâllerinin çarpımı” değişkenleri açısından düzenli ilerler. Şimdi tahtadaki sayılar başlangıçta şunlar: 1, 2, …, n Her sayıya 1 eklersek: 2, 3, …, n + 1 Yukarıdaki kimlikten dolayı, işlemler ne sırayla yapılırsa yapılsın, en sonda kalan sayıya 1 eklenmiş değer, başlangıçtaki 2, 3, …, n + 1 sayılarının çarpımına eşit olur. Son kalan sayıyı R diyelim. O zaman: R + 1 = 2 · 3 · … · ( n + 1 ) Sağ taraf, faktöriyel olarak: 2 · 3 · … · ( n + 1 ) = ( n + 1 )! Dolayısıyla genel sonuç: R = ( n + 1 )! - 1 Soruda son kalan sayı verilmiş: R = 719 Yerine yazalım: ( n + 1 )! - 1 = 719 Her iki tarafa 1 ekleyelim: ( n + 1 )! = 720 720 sayısı şu faktöriyeldir: 720 = 6! O hâlde: n + 1 = 6 Buradan: n = 5 Sonuç: Doğru seçenek A1143 ’dir.

Önce işlemi daha kullanışlı bir biçime çevirelim:

a ★ b = a + b + a b

Her iki tarafa da 1 ekleyelim (bu 1 sayısı sadece dönüşümü anlatmak içindir; aşağıda hepsini MathML ile göstereceğim):

(a ★ b) + 1 = a + b + a b + 1

Sağ taraf çarpanlara ayrılır:

a + b + a b + 1 = (a + 1) (b + 1)

Yani temel kimlik şudur:

(a ★ b) + 1 = (a + 1) (b + 1)

Bu şu anlama gelir: Tahtadaki iki sayıyı $a, b$ seçip $a ★ b$ yazdığımızda, “hepsine 1 eklenmiş hâllerinin çarpımı” değişkenleri açısından düzenli ilerler.

Şimdi tahtadaki sayılar başlangıçta şunlar:

1, 2, \dots, n

Her sayıya 1 eklersek:

2, 3, \dots, n + 1

Yukarıdaki kimlikten dolayı, işlemler ne sırayla yapılırsa yapılsın, en sonda kalan sayıya 1 eklenmiş değer, başlangıçtaki $2, 3, \dots, n + 1$ sayılarının çarpımına eşit olur.

Son kalan sayıyı $R$ diyelim. O zaman:

R + 1 = 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n + 1)

Sağ taraf, faktöriyel olarak:

2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n + 1) = (n + 1)!

Dolayısıyla genel sonuç:

R = (n + 1)! - 1

Soruda son kalan sayı verilmiş:

R = 719

Yerine yazalım:

(n + 1)! - 1 = 719

Her iki tarafa $1$ ekleyelim:

(n + 1)! = 720

$720$ sayısı şu faktöriyeldir:

720 = 6!

O hâlde:

n + 1 = 6

Buradan:

n = 5

Sonuç: Doğru seçenek B’dir.

9. SoruÇoktan Seçmeli

İki basamaklı bir doğal sayının rakamları yer değiştirildiğinde sayı $27$ artıyor ve rakamları toplamı $11$ oluyor.
Bu sayı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Bir tahtada $15, 27, 34$ sayıları yazılıdır. Her adımda tahtadaki iki sayı seçilip farklarının mutlak değeri $| a - b |$ tahtaya yazılıyor ve seçilen iki sayı siliniyor. İşlem, tahtada tek sayı kalana kadar sürdürülüyor. Sonunda kalan sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Tahtadaki sayılar: 15, 27, 34 Her adımda iki sayı seçilip mutlak farkları yazılıyor, seçilen iki sayı siliniyor. Başlangıçta 3 sayı olduğundan işlem toplam 2 adımda biter. Bu yüzden tüm olasılıkları deneyip en sondaki sayıyı bulabiliriz. 1. Olasılık: 15 ve 27 seçilsin. İlk adımda yazılacak sayı: | 15 - 27 | = 12 Tahtada kalan iki sayı: 12, 34 Son adım: | 12 - 34 | = 22 2. Olasılık: 15 ve 34 seçilsin. İlk adım: | 15 - 34 | = 19 Tahtada kalan iki sayı: 19, 27 Son adım: | 19 - 27 | = 8 3. Olasılık: 27 ve 34 seçilsin. İlk adım: | 27 - 34 | = 7 Tahtada kalan iki sayı: 7, 15 Son adım: | 7 - 15 | = 8 Dolayısıyla sonda kalabilecek sayılar sadece şunlardır: 22, 8 Şıklarda ise: 1, 2, 3, 5 Bu yüzden doğru cevabın 1 (A) olması mümkün değildir. Verilen şıklardan hiçbiri bu işlemin sonunda elde edilemez.

Çözüm: Tahtadaki sayılar: 15, 27, 34 Her adımda iki sayı seçilip mutlak farkları yazılıyor, seçilen iki sayı siliniyor. Başlangıçta 3 sayı olduğundan işlem toplam 2 adımda biter. Bu yüzden tüm olasılıkları deneyip en sondaki sayıyı bulabiliriz. 1. Olasılık: 15 ve 27 seçilsin. İlk adımda yazılacak sayı: | 15 - 27 | = 12 Tahtada kalan iki sayı: 12, 34 Son adım: | 12 - 34 | = 22 2. Olasılık: 15 ve 34 seçilsin. İlk adım: | 15 - 34 | = 19 Tahtada kalan iki sayı: 19, 27 Son adım: | 19 - 27 | = 8 3. Olasılık: 27 ve 34 seçilsin. İlk adım: | 27 - 34 | = 7 Tahtada kalan iki sayı: 7, 15 Son adım: | 7 - 15 | = 8 Dolayısıyla sonda kalabilecek sayılar sadece şunlardır: 22, 8 Şıklarda ise: 1, 2, 3, 5 Bu yüzden doğru cevabın 1 (A) olması mümkün değildir. Verilen şıklardan hiçbiri bu işlemin sonunda elde edilemez.

Tahtadaki sayılar:

15, 27, 34

Her adımda iki sayı seçilip mutlak farkları yazılıyor, seçilen iki sayı siliniyor. Başlangıçta $3$ sayı olduğundan işlem toplam $2$ adımda biter. Bu yüzden tüm olasılıkları deneyip en sondaki sayıyı bulabiliriz.

1. Olasılık: $15$ ve $27$ seçilsin.

İlk adımda yazılacak sayı:

| 15 - 27 | = 12

Tahtada kalan iki sayı:

12, 34

Son adım:

| 12 - 34 | = 22

2. Olasılık: $15$ ve $34$ seçilsin.

İlk adım:

| 15 - 34 | = 19

Tahtada kalan iki sayı:

19, 27

Son adım:

| 19 - 27 | = 8

3. Olasılık: $27$ ve $34$ seçilsin.

İlk adım:

| 27 - 34 | = 7

Tahtada kalan iki sayı:

7, 15

Son adım:

| 7 - 15 | = 8

Dolayısıyla sonda kalabilecek sayılar sadece şunlardır:

22, 8

Şıklarda ise:

1, 2, 3, 5

Bu yüzden doğru cevabın $1$ (A) olması mümkün değildir. Verilen şıklardan hiçbiri bu işlemin sonunda elde edilemez.

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

9. Sınıf Rutin Olmayan Problemler

Nasıl Çözülmeli?

Strateji Geliştiren Testler

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Bir doğal sayının kendisi hariç pozitif bölenleri toplamı $16$ ’dır. Bu sayı kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif $n$ sayısı kaçtır?
$n \equiv 1 (mod 3)$
$n \equiv 2 (mod 5)$
$n \equiv 3 (mod 7)$

Tahtada ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ sayıları yazılıdır. Her adımda tahtadan iki sayı seçilip siliniyor ve yerlerine $a b + a + b$ yazılıyor. Bu işlem tek sayı kalana kadar devam ettiğine göre, en son kalan sayı kaçtır?

Bir kitabın sayfa numaraları $1$ den başlayarak yazılıyor ve toplam $252$ rakam kullanılıyor.
Kitabın son sayfa numarası kaçtır?

$A \subseteq {1, 2, \dots, 2025}$ olsun.
$\forall a, b \in A, a \neq b \Rightarrow 3 ∤ (a + b)$ koşulu sağlanıyor.
Buna göre $A$ kümesinin alabileceği en büyük eleman sayısı kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı kaçtır?
$x \equiv 2 (mod 3)$
$x \equiv 3 (mod 5)$

Bir tahtaya $1$ ’den $100$ ’e kadar tüm doğal sayılar yazılıyor. Her adımda tahtadan herhangi iki sayı silinip, bu iki sayının toplamı tahtaya yazılıyor. Bu işlem tahtada tek bir sayı kalana kadar sürdürülüyor.
Son kalan sayı kaçtır?

Tahtada $1, 2, \dots, n$ sayıları yazılıdır.
Her adımda tahtadaki iki sayı $a$ ve $b$ silinip yerlerine $a ★ b = a + b + a b$ işleminin sonucu yazılıyor; bu işlem tek sayı kalana kadar sürdürülüyor.
Son kalan sayı $719$ olduğuna göre $n$ kaçtır?

İki basamaklı bir doğal sayının rakamları yer değiştirildiğinde sayı $27$ artıyor ve rakamları toplamı $11$ oluyor.
Bu sayı kaçtır?

Bir tahtada $15, 27, 34$ sayıları yazılıdır. Her adımda tahtadaki iki sayı seçilip farklarının mutlak değeri $| a - b |$ tahtaya yazılıyor ve seçilen iki sayı siliniyor. İşlem, tahtada tek sayı kalana kadar sürdürülüyor. Sonunda kalan sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Rutin Olmayan Problemler Hakkında

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

9. Sınıf Rutin Olmayan Problemler

Nasıl Çözülmeli?

Strateji Geliştiren Testler

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Bir doğal sayının kendisi hariç pozitif bölenleri toplamı 16’dır. Bu sayı kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif n sayısı kaçtır?n≡1 (mod 3)n≡2 (mod 5)n≡3 (mod 7)

Tahtada {1,2,3,4,5,6,7} sayıları yazılıdır. Her adımda tahtadan iki sayı seçilip siliniyor ve yerlerine ab+a+b yazılıyor. Bu işlem tek sayı kalana kadar devam ettiğine göre, en son kalan sayı kaçtır?

Bir kitabın sayfa numaraları 1 den başlayarak yazılıyor ve toplam 252 rakam kullanılıyor.Kitabın son sayfa numarası kaçtır?

A⊆{1,2,…,2025} olsun.∀a,b∈A,a≠b⇒3∤(a+b) koşulu sağlanıyor.Buna göre A kümesinin alabileceği en büyük eleman sayısı kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı kaçtır?x≡2(mod3)x≡3(mod5)

Bir tahtaya 1’den 100’e kadar tüm doğal sayılar yazılıyor. Her adımda tahtadan herhangi iki sayı silinip, bu iki sayının toplamı tahtaya yazılıyor. Bu işlem tahtada tek bir sayı kalana kadar sürdürülüyor.Son kalan sayı kaçtır?

Tahtada 1,2,…,n sayıları yazılıdır.Her adımda tahtadaki iki sayı a ve b silinip yerlerine a★b=a+b+ab işleminin sonucu yazılıyor; bu işlem tek sayı kalana kadar sürdürülüyor.Son kalan sayı 719 olduğuna göre n kaçtır?

İki basamaklı bir doğal sayının rakamları yer değiştirildiğinde sayı 27 artıyor ve rakamları toplamı 11 oluyor.Bu sayı kaçtır?

Bir tahtada 15,27,34 sayıları yazılıdır. Her adımda tahtadaki iki sayı seçilip farklarının mutlak değeri |a-b| tahtaya yazılıyor ve seçilen iki sayı siliniyor. İşlem, tahtada tek sayı kalana kadar sürdürülüyor. Sonunda kalan sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Rutin Olmayan Problemler Hakkında

Bir doğal sayının kendisi hariç pozitif bölenleri toplamı $16$ ’dır. Bu sayı kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif $n$ sayısı kaçtır?
$n \equiv 1 (mod 3)$
$n \equiv 2 (mod 5)$
$n \equiv 3 (mod 7)$

Tahtada ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ sayıları yazılıdır. Her adımda tahtadan iki sayı seçilip siliniyor ve yerlerine $a b + a + b$ yazılıyor. Bu işlem tek sayı kalana kadar devam ettiğine göre, en son kalan sayı kaçtır?

Bir kitabın sayfa numaraları $1$ den başlayarak yazılıyor ve toplam $252$ rakam kullanılıyor.
Kitabın son sayfa numarası kaçtır?

$A \subseteq {1, 2, \dots, 2025}$ olsun.
$\forall a, b \in A, a \neq b \Rightarrow 3 ∤ (a + b)$ koşulu sağlanıyor.
Buna göre $A$ kümesinin alabileceği en büyük eleman sayısı kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı kaçtır?
$x \equiv 2 (mod 3)$
$x \equiv 3 (mod 5)$

Bir tahtaya $1$ ’den $100$ ’e kadar tüm doğal sayılar yazılıyor. Her adımda tahtadan herhangi iki sayı silinip, bu iki sayının toplamı tahtaya yazılıyor. Bu işlem tahtada tek bir sayı kalana kadar sürdürülüyor.
Son kalan sayı kaçtır?

Tahtada $1, 2, \dots, n$ sayıları yazılıdır.
Her adımda tahtadaki iki sayı $a$ ve $b$ silinip yerlerine $a ★ b = a + b + a b$ işleminin sonucu yazılıyor; bu işlem tek sayı kalana kadar sürdürülüyor.
Son kalan sayı $719$ olduğuna göre $n$ kaçtır?

İki basamaklı bir doğal sayının rakamları yer değiştirildiğinde sayı $27$ artıyor ve rakamları toplamı $11$ oluyor.
Bu sayı kaçtır?

Bir tahtada $15, 27, 34$ sayıları yazılıdır. Her adımda tahtadaki iki sayı seçilip farklarının mutlak değeri $| a - b |$ tahtaya yazılıyor ve seçilen iki sayı siliniyor. İşlem, tahtada tek sayı kalana kadar sürdürülüyor. Sonunda kalan sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?