9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Rutin Olmayan Problemler konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

9. Sınıf Rutin Olmayan Problemler

Rutin olmayan problemler, ezberlenmiş bir formülden çok okuduğunu anlama, ilişki kurma ve farklı çözüm yolu geliştirme becerisi ister. Bu testler, 9. Sınıf problem çözme pratiğini çeşitlendirmek için hazırlanmıştır.

Nasıl Çözülmeli?

Soruyu küçük parçalara ayırmak, verilenleri sembolleştirmek ve gerekiyorsa tablo veya şekil çizmek çözüm yolunu görünür hale getirir. İlk denemede işlem yapmak yerine sorunun ne istediğini netleştirmek önemlidir.

Strateji Geliştiren Testler

Yanlış sorularda çözümün hangi adımda açıldığını incelemek, benzer sorularda daha hızlı karar vermeyi sağlar. Bu konu düzenli pratikle ciddi biçimde gelişir.

Test seç

10 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test

4. Test

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Rutin Olmayan Problemler konusu 4. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan sıralı tam sayı üçlülerinin sayısını bulunuz:
$x + y + z = 0$
$x y + y z + z x = - 3$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen koşullar: x + y + z = 0 x y + y z + z x = − 3 Toplamın karesini açalım: ( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( x y + y z + z x ) Verilenleri yerine yazalım: 0 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( − 3 ) Buradan kareler toplamını buluruz: x 2 + y 2 + z 2 = 6 Tam sayılarda kareler toplamı 6 olabilmesi için (kareler olarak) tek olasılık: 2 2 + 1 2 + 1 2 = 6 Yani mutlak değerler (sırasız) olarak: { | x |, | y |, | z | } = { 2, 1, 1 } Şimdi x + y + z = 0 şartını sağlayan işaretleri bulalım. Toplamı sıfır yapan tek tip: 2 + ( − 1 ) + ( − 1 ) = 0 Buna karşılık gelen iki sırasız çözüm kümesi vardır: ( 2, − 1, − 1 ) ( − 2, 1, 1 ) Her birinde iki tane aynı sayı olduğu için sıralı (ordered) üçlü sayısı: 3! 2! = 3 İki farklı işaret düzeni olduğundan toplam sıralı üçlü sayısı: 3 + 3 = 6 Kontrol (ikinci koşul): Örnek olarak ( 2, − 1, − 1 ) ⇒ x y + y z + z x = ( 2 ⋅ − 1 ) + ( − 1 ⋅ − 1 ) + ( − 1 ⋅ 2 ) = − 2 + 1 − 2 = − 3 Sonuç: Doğru cevap D1064 seçeneğidir. 6

Çözüm: Verilen koşullar: x + y + z = 0 x y + y z + z x = − 3 Toplamın karesini açalım: ( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( x y + y z + z x ) Verilenleri yerine yazalım: 0 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( − 3 ) Buradan kareler toplamını buluruz: x 2 + y 2 + z 2 = 6 Tam sayılarda kareler toplamı 6 olabilmesi için (kareler olarak) tek olasılık: 2 2 + 1 2 + 1 2 = 6 Yani mutlak değerler (sırasız) olarak: { | x |, | y |, | z | } = { 2, 1, 1 } Şimdi x + y + z = 0 şartını sağlayan işaretleri bulalım. Toplamı sıfır yapan tek tip: 2 + ( − 1 ) + ( − 1 ) = 0 Buna karşılık gelen iki sırasız çözüm kümesi vardır: ( 2, − 1, − 1 ) ( − 2, 1, 1 ) Her birinde iki tane aynı sayı olduğu için sıralı (ordered) üçlü sayısı: 3! 2! = 3 İki farklı işaret düzeni olduğundan toplam sıralı üçlü sayısı: 3 + 3 = 6 Kontrol (ikinci koşul): Örnek olarak ( 2, − 1, − 1 ) ⇒ x y + y z + z x = ( 2 ⋅ − 1 ) + ( − 1 ⋅ − 1 ) + ( − 1 ⋅ 2 ) = − 2 + 1 − 2 = − 3 Sonuç: Doğru cevap D1064 seçeneğidir. 6

Verilen koşullar:

$x + y + z = 0$

$x y + y z + z x = - 3$

Toplamın karesini açalım:

${(x + y + z)}^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (x y + y z + z x)$

Verilenleri yerine yazalım:

$0^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (- 3)$

Buradan kareler toplamını buluruz:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$

Tam sayılarda kareler toplamı $6$ olabilmesi için (kareler olarak) tek olasılık:

$2^{2} + 1^{2} + 1^{2} = 6$

Yani mutlak değerler (sırasız) olarak:

${| x |, | y |, | z |} = {2, 1, 1}$

Şimdi $x + y + z = 0$ şartını sağlayan işaretleri bulalım. Toplamı sıfır yapan tek tip:

$2 + (- 1) + (- 1) = 0$

Buna karşılık gelen iki sırasız çözüm kümesi vardır:

$(2, - 1, - 1)$

$(- 2, 1, 1)$

Her birinde iki tane aynı sayı olduğu için sıralı (ordered) üçlü sayısı:

$\frac{3!}{2!} = 3$

İki farklı işaret düzeni olduğundan toplam sıralı üçlü sayısı:

$3 + 3 = 6$

Kontrol (ikinci koşul): Örnek olarak

$(2, - 1, - 1) \Rightarrow x y + y z + z x = (2 \cdot - 1) + (- 1 \cdot - 1) + (- 1 \cdot 2) = - 2 + 1 - 2 = - 3$

Sonuç: Doğru cevap D5180 seçeneğidir.

$6$

2. SoruÇoktan Seçmeli

Bir tahtaya ardışık tam sayılar yazılıyor. Yazılan sayıların toplamı $0$ ve en küçük sayı $- 7$ dir. Buna göre tahtaya kaç sayı yazılmıştır?

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tamsayılar $a, b, c$ için $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ ve $a \leq b \leq c$ koşulları sağlanıyor.
$a + b + c$ ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen koşullar: 1 a + 1 b + 1 c = 1 a ≤ b ≤ c Önce a için sınır bulalım. a≤b≤c olduğundan: 1 a ≥ 1 b ≥ 1 c Bu nedenle toplam en fazla 3⋅(1/a) olabilir: 1 a + 1 b + 1 c ≤ 1 a + 1 a + 1 a = 3 a Toplamın 1 olduğuna göre: 1 ≤ 3 a a ≤ 3 Ayrıca a=1 olursa toplam 1 ’den büyük olacağından mümkün değildir. Dolayısıyla: a ∈ { 2, 3 } Durum 1: a = 2 Denklem: 1 2 + 1 b + 1 c = 1 Buradan: 1 b + 1 c = 1 2 b≤c olduğundan 1/b≥1/c ve bu yüzden: 1 b + 1 c ≤ 1 b + 1 b = 2 b Ama sol taraf 1/2 olduğuna göre: 1 2 ≤ 2 b b ≤ 4 Ayrıca b≥a olduğundan: b ≥ 2 Şimdi b değerlerini deneriz. Alt durum: b = 3 1 c = 1 2 - 1 3 = 1 6 c = 6 Toplam: a + b + c = 2 + 3 + 6 = 11 Diğer alt durum: b = 4 1 c = 1 2 - 1 4 = 1 4 c = 4 Toplam: a + b + c = 2 + 4 + 4 = 10 Durum 2: a = 3 Denklem: 1 3 + 1 b + 1 c = 1 Buradan: 1 b + 1 c = 1 - 1 3 = 2 3 Yine b≤c olduğundan: 2 3 = 1 b + 1 c ≤ 2 b b ≤ 3 Ayrıca b≥a olduğundan: b ≥ 3 Dolayısıyla: b = 3 1 c = 2 3 - 1 3 = 1 3 c = 3 Toplam: a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9 Bulunan olası üçlülerde toplamların en büyüğü: max { 11, 10, 9 } = 11 Dolayısıyla doğru cevap B1215 şıkkıdır.

Çözüm: Verilen koşullar: 1 a + 1 b + 1 c = 1 a ≤ b ≤ c Önce a için sınır bulalım. a≤b≤c olduğundan: 1 a ≥ 1 b ≥ 1 c Bu nedenle toplam en fazla 3⋅(1/a) olabilir: 1 a + 1 b + 1 c ≤ 1 a + 1 a + 1 a = 3 a Toplamın 1 olduğuna göre: 1 ≤ 3 a a ≤ 3 Ayrıca a=1 olursa toplam 1 ’den büyük olacağından mümkün değildir. Dolayısıyla: a ∈ { 2, 3 } Durum 1: a = 2 Denklem: 1 2 + 1 b + 1 c = 1 Buradan: 1 b + 1 c = 1 2 b≤c olduğundan 1/b≥1/c ve bu yüzden: 1 b + 1 c ≤ 1 b + 1 b = 2 b Ama sol taraf 1/2 olduğuna göre: 1 2 ≤ 2 b b ≤ 4 Ayrıca b≥a olduğundan: b ≥ 2 Şimdi b değerlerini deneriz. Alt durum: b = 3 1 c = 1 2 - 1 3 = 1 6 c = 6 Toplam: a + b + c = 2 + 3 + 6 = 11 Diğer alt durum: b = 4 1 c = 1 2 - 1 4 = 1 4 c = 4 Toplam: a + b + c = 2 + 4 + 4 = 10 Durum 2: a = 3 Denklem: 1 3 + 1 b + 1 c = 1 Buradan: 1 b + 1 c = 1 - 1 3 = 2 3 Yine b≤c olduğundan: 2 3 = 1 b + 1 c ≤ 2 b b ≤ 3 Ayrıca b≥a olduğundan: b ≥ 3 Dolayısıyla: b = 3 1 c = 2 3 - 1 3 = 1 3 c = 3 Toplam: a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9 Bulunan olası üçlülerde toplamların en büyüğü: max { 11, 10, 9 } = 11 Dolayısıyla doğru cevap B1215 şıkkıdır.

Verilen koşullar:

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1

a \leq b \leq c

Önce a için sınır bulalım. a≤b≤c olduğundan:

\frac{1}{a} \geq \frac{1}{b} \geq \frac{1}{c}

Bu nedenle toplam en fazla 3⋅(1/a) olabilir:

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{3}{a}

Toplamın 1 olduğuna göre:

1 \leq \frac{3}{a}

a \leq 3

Ayrıca a=1 olursa toplam 1’den büyük olacağından mümkün değildir. Dolayısıyla:

a \in {2, 3}

Durum 1:

a = 2

Denklem:

\frac{1}{2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1

Buradan:

\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}

b≤c olduğundan 1/b≥1/c ve bu yüzden:

\frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \frac{1}{b} + \frac{1}{b} = \frac{2}{b}

Ama sol taraf 1/2 olduğuna göre:

\frac{1}{2} \leq \frac{2}{b}

b \leq 4

Ayrıca b≥a olduğundan:

b \geq 2

Şimdi b değerlerini deneriz.

Alt durum:

b = 3

\frac{1}{c} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

c = 6

Toplam:

a + b + c = 2 + 3 + 6 = 11

Diğer alt durum:

b = 4

\frac{1}{c} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

c = 4

Toplam:

a + b + c = 2 + 4 + 4 = 10

Durum 2:

a = 3

Denklem:

\frac{1}{3} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1

Buradan:

\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Yine b≤c olduğundan:

\frac{2}{3} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \frac{2}{b}

b \leq 3

Ayrıca b≥a olduğundan:

b \geq 3

Dolayısıyla:

b = 3

\frac{1}{c} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

c = 3

Toplam:

a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9

Bulunan olası üçlülerde toplamların en büyüğü:

max {11, 10, 9} = 11

Dolayısıyla doğru cevap C şıkkıdır.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Bir otobüste her durakta yolcuların yarısı iner, ardından $6$ yolcu biner.
Bu işlem ardışık $3$ durakta tekrarlanıyor ve üçüncü duraktan sonra otobüste $54$ yolcu kalıyor.
Başlangıçtaki yolcu sayısı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Uzerlerinde $1$ ile $100$ arasındaki sayılar yazili $100$ kart vardir.
Her adimda rastgele iki kart secilip uzerlerindeki sayılar toplanir, bu iki kart atilir ve yerine toplami yazili yeni bir kart konur.
Islem tek kart kalana kadar surdurulurse, son kalan karttaki sayi kactir?

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kutuda sadece kırmızı ve mavi bilyeler vardır. Kutuda toplam $9$ bilye bulunuyor. Rastgele seçilen iki bilyenin aynı renk olma olasılığı $\frac{1}{2}$ dir. Kırmızı bilye sayısı mavi bilye sayısından az olduğuna göre kırmızı bilye sayısı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) Doğru şık B mi? Kontrol edeceğiz; kırmızı sayısını bulunca şıklarla karşılaştıracağız. 2) Değişkenleri tanımlayalım: r = kırmızı bilye sayısı b = mavi bilye sayısı r + b = 9 3) Aynı renk gelme olasılığı: İki bilyenin aynı renk olması demek: ikisi de kırmızı veya ikisi de mavi olmasıdır. P ( aynı renk ) = ( 2 kırmızı seçme sayısı ) + ( 2 mavi seçme sayısı ) ( toplam 2 bilye seçme sayısı ) Seçim sayıları kombinasyonla yazılır: P ( aynı renk ) = ( r içinden 2 seçme ) + ( b içinden 2 seçme ) ( 9 içinden 2 seçme ) = 1 2 4) Kombinasyonları formülle açalım: 2 seçme sayısı = n ( n - 1 ) 2 Buradan: r ( r - 1 ) 2 + b ( b - 1 ) 2 9 ( 9 - 1 ) 2 = 1 2 5) Paydadaki toplam seçim sayısını hesaplayalım: 9 ( 8 ) 2 = 36 Dolayısıyla: r ( r - 1 ) 2 + b ( b - 1 ) 2 36 = 1 2 6) Eşitliği düzenleyelim: r ( r - 1 ) 2 + b ( b - 1 ) 2 = 18 7) Ayrıca toplam 9 olduğundan mavi sayısı: b = 9 - r Bunu olasılık denkleminde yerine yazalım: r ( r - 1 ) 2 + ( 9 - r ) ( 8 - r ) 2 = 18 8) Her iki tarafı 2 ile çarpalım: r ( r - 1 ) + ( 9 - r ) ( 8 - r ) = 36 9) Açalım ve sadeleştirelim: ( r 2 - r ) + ( 72 - 17 r + r 2 ) = 36 2 r 2 - 18 r + 72 = 36 2 r 2 - 18 r + 36 = 0 10) 2 ile sadeleştirelim: r 2 - 9 r + 18 = 0 11) Çarpanlara ayıralım: ( r - 3 ) ( r - 6 ) = 0 Buradan olası kırmızı sayıları: r = 3 veya r = 6 12) Koşulu kullanalım: kırmızı sayısı mavi sayısından az. Eğer kırmızı 6 olursa mavi 3 olur ve kırmızı mavi’den az olmaz. Bu yüzden: r = 3 13) Sonuç ve şık kontrolü: Kırmızı bilye sayısı 3 olduğundan doğru cevap A1508 ’dir.

Çözüm: 1) Doğru şık B mi? Kontrol edeceğiz; kırmızı sayısını bulunca şıklarla karşılaştıracağız. 2) Değişkenleri tanımlayalım: r = kırmızı bilye sayısı b = mavi bilye sayısı r + b = 9 3) Aynı renk gelme olasılığı: İki bilyenin aynı renk olması demek: ikisi de kırmızı veya ikisi de mavi olmasıdır. P ( aynı renk ) = ( 2 kırmızı seçme sayısı ) + ( 2 mavi seçme sayısı ) ( toplam 2 bilye seçme sayısı ) Seçim sayıları kombinasyonla yazılır: P ( aynı renk ) = ( r içinden 2 seçme ) + ( b içinden 2 seçme ) ( 9 içinden 2 seçme ) = 1 2 4) Kombinasyonları formülle açalım: 2 seçme sayısı = n ( n - 1 ) 2 Buradan: r ( r - 1 ) 2 + b ( b - 1 ) 2 9 ( 9 - 1 ) 2 = 1 2 5) Paydadaki toplam seçim sayısını hesaplayalım: 9 ( 8 ) 2 = 36 Dolayısıyla: r ( r - 1 ) 2 + b ( b - 1 ) 2 36 = 1 2 6) Eşitliği düzenleyelim: r ( r - 1 ) 2 + b ( b - 1 ) 2 = 18 7) Ayrıca toplam 9 olduğundan mavi sayısı: b = 9 - r Bunu olasılık denkleminde yerine yazalım: r ( r - 1 ) 2 + ( 9 - r ) ( 8 - r ) 2 = 18 8) Her iki tarafı 2 ile çarpalım: r ( r - 1 ) + ( 9 - r ) ( 8 - r ) = 36 9) Açalım ve sadeleştirelim: ( r 2 - r ) + ( 72 - 17 r + r 2 ) = 36 2 r 2 - 18 r + 72 = 36 2 r 2 - 18 r + 36 = 0 10) 2 ile sadeleştirelim: r 2 - 9 r + 18 = 0 11) Çarpanlara ayıralım: ( r - 3 ) ( r - 6 ) = 0 Buradan olası kırmızı sayıları: r = 3 veya r = 6 12) Koşulu kullanalım: kırmızı sayısı mavi sayısından az. Eğer kırmızı 6 olursa mavi 3 olur ve kırmızı mavi’den az olmaz. Bu yüzden: r = 3 13) Sonuç ve şık kontrolü: Kırmızı bilye sayısı 3 olduğundan doğru cevap A1508 ’dir.

1) Doğru şık B mi?

Kontrol edeceğiz; kırmızı sayısını bulunca şıklarla karşılaştıracağız.

2) Değişkenleri tanımlayalım:

r = kırmızı bilye sayısı

b = mavi bilye sayısı

r + b = 9

3) Aynı renk gelme olasılığı:

İki bilyenin aynı renk olması demek: ikisi de kırmızı veya ikisi de mavi olmasıdır.

P (aynı renk) = \frac{(2 kırmızı seçme sayısı) + (2 mavi seçme sayısı)}{(toplam 2 bilye seçme sayısı)}

Seçim sayıları kombinasyonla yazılır:

P (aynı renk) = \frac{(r içinden 2 seçme) + (b içinden 2 seçme)}{(9 içinden 2 seçme)} = \frac{1}{2}

4) Kombinasyonları formülle açalım:

2 seçme sayısı = \frac{n (n - 1)}{2}

Buradan:

\frac{\frac{r (r - 1)}{2} + \frac{b (b - 1)}{2}}{\frac{9 (9 - 1)}{2}} = \frac{1}{2}

5) Paydadaki toplam seçim sayısını hesaplayalım:

\frac{9 (8)}{2} = 36

Dolayısıyla:

\frac{\frac{r (r - 1)}{2} + \frac{b (b - 1)}{2}}{36} = \frac{1}{2}

6) Eşitliği düzenleyelim:

\frac{r (r - 1)}{2} + \frac{b (b - 1)}{2} = 18

7) Ayrıca toplam 9 olduğundan mavi sayısı:

b = 9 - r

Bunu olasılık denkleminde yerine yazalım:

\frac{r (r - 1)}{2} + \frac{(9 - r) (8 - r)}{2} = 18

8) Her iki tarafı 2 ile çarpalım:

r (r - 1) + (9 - r) (8 - r) = 36

9) Açalım ve sadeleştirelim:

(r^{2} - r) + (72 - 17 r + r^{2}) = 36

2 r^{2} - 18 r + 72 = 36

2 r^{2} - 18 r + 36 = 0

10) 2 ile sadeleştirelim:

r^{2} - 9 r + 18 = 0

11) Çarpanlara ayıralım:

(r - 3) (r - 6) = 0

Buradan olası kırmızı sayıları:

r = 3 veya r = 6

12) Koşulu kullanalım: kırmızı sayısı mavi sayısından az.

Eğer kırmızı 6 olursa mavi 3 olur ve kırmızı mavi’den az olmaz. Bu yüzden:

r = 3

13) Sonuç ve şık kontrolü:

Kırmızı bilye sayısı 3 olduğundan doğru cevap B’dir.

7. SoruÇoktan Seçmeli

$\sum_{k = 1}^{2025} k^{k}$ sayısının $10$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

$1$ ile $100$ arasındaki sayılar yazılırken, rakam $9$ toplam kaç kez yazılır?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Bir tahtada $1$ yazılı $6$ adet sayı vardır.
Her adımda tahtadan iki sayı seçilip siliniyor ve yerlerine bu iki sayının toplamına $1$ eklenmiş hali yazılıyor.
İşlem tahtada tek sayı kalana kadar sürdürülürse, son kalan sayı kaç olur?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

1) Doğru cevabın C olup olmadığını kontrol edelim (yöntem: toplam değişimi). Tahtadaki sayıların toplamını bir değişkenle gösterelim. S k = k. adımdan sonra tahtadaki sayıların toplamı Başlangıçta tahtada altı tane bir olduğundan başlangıç toplamı: S 0 = 6 ⋅ 1 = 6 Her adımda iki sayı seçilip siliniyor ve yerlerine bu iki sayının toplamına bir eklenmiş hâli yazılıyor. Seçilen sayılar: a, b Bu adımda toplamın nasıl değiştiğini yazalım. Önce toplamdan silinen kısmı çıkarırız, sonra yeni yazılanı ekleriz: S k + 1 = S k - a + b + a + b + 1 Sadeleştirince: S k + 1 = S k + 1 Yani her adımda toplam tam olarak bir artar. Tahtadaki sayı adedi her adımda bir azalır. Altı sayıdan tek sayıya inmek için adım sayısı: 6 - 1 = 5 Toplam her adımda bir arttığına göre son toplam (ve tek sayı kaldığı için son sayı) şudur: S 5 = S 0 + 5 = 6 + 5 = 11 Son kalan sayı şıkkıD862dır.

Çözüm: 1) Doğru cevabın C olup olmadığını kontrol edelim (yöntem: toplam değişimi). Tahtadaki sayıların toplamını bir değişkenle gösterelim. S k = k. adımdan sonra tahtadaki sayıların toplamı Başlangıçta tahtada altı tane bir olduğundan başlangıç toplamı: S 0 = 6 ⋅ 1 = 6 Her adımda iki sayı seçilip siliniyor ve yerlerine bu iki sayının toplamına bir eklenmiş hâli yazılıyor. Seçilen sayılar: a, b Bu adımda toplamın nasıl değiştiğini yazalım. Önce toplamdan silinen kısmı çıkarırız, sonra yeni yazılanı ekleriz: S k + 1 = S k - a + b + a + b + 1 Sadeleştirince: S k + 1 = S k + 1 Yani her adımda toplam tam olarak bir artar. Tahtadaki sayı adedi her adımda bir azalır. Altı sayıdan tek sayıya inmek için adım sayısı: 6 - 1 = 5 Toplam her adımda bir arttığına göre son toplam (ve tek sayı kaldığı için son sayı) şudur: S 5 = S 0 + 5 = 6 + 5 = 11 Son kalan sayı şıkkıD862dır.

1) Doğru cevabın C olup olmadığını kontrol edelim (yöntem: toplam değişimi).

Tahtadaki sayıların toplamını bir değişkenle gösterelim.

S_{k} = k. adımdan sonra tahtadaki sayıların toplamı

Başlangıçta tahtada altı tane bir olduğundan başlangıç toplamı:

S_{0} = 6 \cdot 1 = 6

Her adımda iki sayı seçilip siliniyor ve yerlerine bu iki sayının toplamına bir eklenmiş hâli yazılıyor. Seçilen sayılar:

a, b

Bu adımda toplamın nasıl değiştiğini yazalım. Önce toplamdan silinen kısmı çıkarırız, sonra yeni yazılanı ekleriz:

S_{k + 1} = S_{k} - a + b + a + b + 1

Sadeleştirince:

S_{k + 1} = S_{k} + 1

Yani her adımda toplam tam olarak bir artar.

Tahtadaki sayı adedi her adımda bir azalır. Altı sayıdan tek sayıya inmek için adım sayısı:

6 - 1 = 5

Toplam her adımda bir arttığına göre son toplam (ve tek sayı kaldığı için son sayı) şudur:

S_{5} = S_{0} + 5 = 6 + 5 = 11

Son kalan sayı C şıkkıdır.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Gerçek sayılar için aşağıdaki koşullar sağlanıyor:
$a + b + c = 0$
$a^{2} + b^{2} + c^{2} = 6$
Bu koşullar altında $a \times b \times c$ ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Şık kontrolü: Maksimum değer 2 çıkacağı için doğru cevap A ’dır. Verilen koşullar: a + b + c = 0 a 2 + b 2 + c 2 = 6 Maksimize etmek istediğimiz ifade: f ( a, b, c ) = a b c Bu tip simetrik kısıtlar altında (toplam ve kareler toplamı sabit), ekstremum noktalarında Lagrange çarpanlarıyla en az iki değişkenin eşit olduğu görülür. Lagrange sistemi (iki kısıtla): ∇ a b c = λ ∇ a + b + c + μ ∇ a 2 + b 2 + c 2 Bileşen bazında yazarsak: b c = λ + 2 μ a a c = λ + 2 μ b a b = λ + 2 μ c İlk iki denklemi çıkaralım: b c − a c = 2 μ a − 2 μ b c ( b − a ) = 2 μ ( a − b ) Buradan: ( a − b ) ( c + 2 μ ) = 0 Benzer şekilde döngüsel çıkarımlardan, ekstremumda en az iki tanesinin eşit olması gerekir. Bu yüzden: a = b Şimdi a = b = x olsun. Toplam şartından: x + x + c = 0 c = − 2 x Kareler toplamı şartına yazalım: x 2 + x 2 + ( − 2 x ) 2 = 6 2 x 2 + 4 x 2 = 6 6 x 2 = 6 x 2 = 1 Dolayısıyla: x = 1, x = − 1 Şimdi çarpımı hesaplayalım: a b c = x × x × ( − 2 x ) = − 2 x 3 İki olasılık: x = 1 ⇒ a b c = − 2 x = − 1 ⇒ a b c = 2 Buna göre alınabilecek en büyük değer: max ( a b c ) = 2 Sonuç: Doğru seçenek A.

Çözüm: Şık kontrolü: Maksimum değer 2 çıkacağı için doğru cevap A ’dır. Verilen koşullar: a + b + c = 0 a 2 + b 2 + c 2 = 6 Maksimize etmek istediğimiz ifade: f ( a, b, c ) = a b c Bu tip simetrik kısıtlar altında (toplam ve kareler toplamı sabit), ekstremum noktalarında Lagrange çarpanlarıyla en az iki değişkenin eşit olduğu görülür. Lagrange sistemi (iki kısıtla): ∇ a b c = λ ∇ a + b + c + μ ∇ a 2 + b 2 + c 2 Bileşen bazında yazarsak: b c = λ + 2 μ a a c = λ + 2 μ b a b = λ + 2 μ c İlk iki denklemi çıkaralım: b c − a c = 2 μ a − 2 μ b c ( b − a ) = 2 μ ( a − b ) Buradan: ( a − b ) ( c + 2 μ ) = 0 Benzer şekilde döngüsel çıkarımlardan, ekstremumda en az iki tanesinin eşit olması gerekir. Bu yüzden: a = b Şimdi a = b = x olsun. Toplam şartından: x + x + c = 0 c = − 2 x Kareler toplamı şartına yazalım: x 2 + x 2 + ( − 2 x ) 2 = 6 2 x 2 + 4 x 2 = 6 6 x 2 = 6 x 2 = 1 Dolayısıyla: x = 1, x = − 1 Şimdi çarpımı hesaplayalım: a b c = x × x × ( − 2 x ) = − 2 x 3 İki olasılık: x = 1 ⇒ a b c = − 2 x = − 1 ⇒ a b c = 2 Buna göre alınabilecek en büyük değer: max ( a b c ) = 2 Sonuç: Doğru seçenek A.

Şık kontrolü: Maksimum değer

2

çıkacağı için doğru cevap A’dır.

Verilen koşullar:

a + b + c = 0

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 6

Maksimize etmek istediğimiz ifade:

f (a, b, c) = a b c

Bu tip simetrik kısıtlar altında (toplam ve kareler toplamı sabit), ekstremum noktalarında Lagrange çarpanlarıyla en az iki değişkenin eşit olduğu görülür.

Lagrange sistemi (iki kısıtla):

\nabla a b c = λ \nabla a + b + c + μ \nabla a^{2} + b^{2} + c^{2}

Bileşen bazında yazarsak:

b c = λ + 2 μ a

a c = λ + 2 μ b

a b = λ + 2 μ c

İlk iki denklemi çıkaralım:

b c - a c = 2 μ a - 2 μ b

c (b - a) = 2 μ (a - b)

Buradan:

(a - b) (c + 2 μ) = 0

Benzer şekilde döngüsel çıkarımlardan, ekstremumda en az iki tanesinin eşit olması gerekir. Bu yüzden:

a = b

Şimdi

a = b = x

olsun. Toplam şartından:

x + x + c = 0

c = - 2 x

Kareler toplamı şartına yazalım:

x^{2} + x^{2} + {(- 2 x)}^{2} = 6

2 x^{2} + 4 x^{2} = 6

6 x^{2} = 6

x^{2} = 1

Dolayısıyla:

x = 1, x = - 1

Şimdi çarpımı hesaplayalım:

a b c = x \times x \times (- 2 x) = - 2 x^{3}

İki olasılık:

x = 1 \Rightarrow a b c = - 2

x = - 1 \Rightarrow a b c = 2

Buna göre alınabilecek en büyük değer:

\max (a b c) = 2

Sonuç: Doğru seçenek A.

Rutin Olmayan Problemler Hakkında

Rutin olmayan problem ne demektir?

Tek bir kalıp formülle değil, verilenler arasında ilişki kurarak çözülen problem türüdür.

Bu sorularda ilk adım ne olmalı?

Soruda verilen bilgileri ve isteneni netleştirip gerekirse tablo, şekil veya sembol kullanmak gerekir.

Rutin olmayan problemler nasıl geliştirilir?

Farklı tipte sorular çözmek ve çözüm yollarını karşılaştırmak bu beceriyi geliştirir.

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

9. Sınıf Rutin Olmayan Problemler

Nasıl Çözülmeli?

Strateji Geliştiren Testler

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Aşağıdaki koşulları sağlayan sıralı tam sayı üçlülerinin sayısını bulunuz:x+y+z=0xy+yz+zx=-3

Bir tahtaya ardışık tam sayılar yazılıyor. Yazılan sayıların toplamı 0 ve en küçük sayı -7 dir. Buna göre tahtaya kaç sayı yazılmıştır?

Pozitif tamsayılar a,b,c için 1a+1b+1c=1 ve a≤b≤c koşulları sağlanıyor.a+b+c ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Bir otobüste her durakta yolcuların yarısı iner, ardından 6 yolcu biner.Bu işlem ardışık 3 durakta tekrarlanıyor ve üçüncü duraktan sonra otobüste 54 yolcu kalıyor.Başlangıçtaki yolcu sayısı kaçtır?

Uzerlerinde 1 ile 100 arasındaki sayılar yazili 100 kart vardir.Her adimda rastgele iki kart secilip uzerlerindeki sayılar toplanir, bu iki kart atilir ve yerine toplami yazili yeni bir kart konur.Islem tek kart kalana kadar surdurulurse, son kalan karttaki sayi kactir?

Bir kutuda sadece kırmızı ve mavi bilyeler vardır. Kutuda toplam 9 bilye bulunuyor. Rastgele seçilen iki bilyenin aynı renk olma olasılığı 12 dir. Kırmızı bilye sayısı mavi bilye sayısından az olduğuna göre kırmızı bilye sayısı kaçtır?

∑k=12025kk sayısının 10 ile bölümünden kalan kaçtır?

1ile100arasındaki sayılar yazılırken, rakam9toplam kaç kez yazılır?

Bir tahtada 1 yazılı 6 adet sayı vardır.Her adımda tahtadan iki sayı seçilip siliniyor ve yerlerine bu iki sayının toplamına 1 eklenmiş hali yazılıyor.İşlem tahtada tek sayı kalana kadar sürdürülürse, son kalan sayı kaç olur?

Gerçek sayılar için aşağıdaki koşullar sağlanıyor:a+b+c=0a2+b2+c2=6Bu koşullar altında a×b×c ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Rutin Olmayan Problemler Hakkında

Aşağıdaki koşulları sağlayan sıralı tam sayı üçlülerinin sayısını bulunuz:
$x + y + z = 0$
$x y + y z + z x = - 3$

Bir tahtaya ardışık tam sayılar yazılıyor. Yazılan sayıların toplamı $0$ ve en küçük sayı $- 7$ dir. Buna göre tahtaya kaç sayı yazılmıştır?

Pozitif tamsayılar $a, b, c$ için $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ ve $a \leq b \leq c$ koşulları sağlanıyor.
$a + b + c$ ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Bir otobüste her durakta yolcuların yarısı iner, ardından $6$ yolcu biner.
Bu işlem ardışık $3$ durakta tekrarlanıyor ve üçüncü duraktan sonra otobüste $54$ yolcu kalıyor.
Başlangıçtaki yolcu sayısı kaçtır?

Uzerlerinde $1$ ile $100$ arasındaki sayılar yazili $100$ kart vardir.
Her adimda rastgele iki kart secilip uzerlerindeki sayılar toplanir, bu iki kart atilir ve yerine toplami yazili yeni bir kart konur.
Islem tek kart kalana kadar surdurulurse, son kalan karttaki sayi kactir?

Bir kutuda sadece kırmızı ve mavi bilyeler vardır. Kutuda toplam $9$ bilye bulunuyor. Rastgele seçilen iki bilyenin aynı renk olma olasılığı $\frac{1}{2}$ dir. Kırmızı bilye sayısı mavi bilye sayısından az olduğuna göre kırmızı bilye sayısı kaçtır?

$\sum_{k = 1}^{2025} k^{k}$ sayısının $10$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$1$ ile $100$ arasındaki sayılar yazılırken, rakam $9$ toplam kaç kez yazılır?

Bir tahtada $1$ yazılı $6$ adet sayı vardır.
Her adımda tahtadan iki sayı seçilip siliniyor ve yerlerine bu iki sayının toplamına $1$ eklenmiş hali yazılıyor.
İşlem tahtada tek sayı kalana kadar sürdürülürse, son kalan sayı kaç olur?

Gerçek sayılar için aşağıdaki koşullar sağlanıyor:
$a + b + c = 0$
$a^{2} + b^{2} + c^{2} = 6$
Bu koşullar altında $a \times b \times c$ ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?