9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Rutin Olmayan Problemler konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

9. Sınıf Rutin Olmayan Problemler

Rutin olmayan problemler, ezberlenmiş bir formülden çok okuduğunu anlama, ilişki kurma ve farklı çözüm yolu geliştirme becerisi ister. Bu testler, 9. Sınıf problem çözme pratiğini çeşitlendirmek için hazırlanmıştır.

Nasıl Çözülmeli?

Soruyu küçük parçalara ayırmak, verilenleri sembolleştirmek ve gerekiyorsa tablo veya şekil çizmek çözüm yolunu görünür hale getirir. İlk denemede işlem yapmak yerine sorunun ne istediğini netleştirmek önemlidir.

Strateji Geliştiren Testler

Yanlış sorularda çözümün hangi adımda açıldığını incelemek, benzer sorularda daha hızlı karar vermeyi sağlar. Bu konu düzenli pratikle ciddi biçimde gelişir.

Test seç

10 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test 9. Test 10. Test

2. Test

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Rutin Olmayan Problemler konusu 2. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Kutuda $7$ beyaz ve $9$ siyah bilye vardır.
Her adımda kutudan rastgele iki bilye çekilip şu kurala göre geri konuyor:
Aynı renk gelirsebirsiyahbilye
Farklı renk gelirsebirbeyazbilye
Bu işlem kutuda tek bilye kalana kadar sürdürülüyor. Son kalan bilyenin rengi nedir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Kutudaki beyaz bilye sayısını W, siyah bilye sayısını B ile gösterelim. W = 7 B = 9 Her adımda iki bilye çekilip tek bilye geri konduğu için toplam bilye sayısı her adımda 1 azalır; işlem sonunda kutuda tek bilye kalır. Son bilyenin rengini belirlemek için W ’nin tek-çiftliğini (paritesini) inceleyeceğiz. Olası üç durum vardır: 1) İki beyaz gelirse: WW çekilir, kurala göre bir siyah geri konur. W → W − 2 Bu durumda W sayısı 2 azalır; tek-çiftlik değişmez. W − 2 ≡ W ( mod 2 ) 2) İki siyah gelirse: BB çekilir, kurala göre bir siyah geri konur. W → W Bu durumda W hiç değişmez; tek-çiftlik yine değişmez. W ≡ W ( mod 2 ) 3) Farklı renk gelirse: WB çekilir, kurala göre bir beyaz geri konur. W → W − 1 + 1 W → W Yani W yine değişmez; tek-çiftlik değişmez. W ≡ W ( mod 2 ) Sonuç: Her adımda W sayısının tek-çiftliği değişmiyor; yani W ’nin paritesi işlem boyunca korunur. Başlangıçta beyaz sayısı tek olduğu için işlem sonunda da beyaz sayısı tek olmak zorundadır. W = 7 ≡ 1 ( mod 2 ) Kutuda tek bilye kaldığında: - Son bilye beyaz ise W tek olur. W = 1 - Son bilye siyah ise kutuda beyaz kalmaz, W çift olur. W = 0 Başlangıçta W tek olduğundan, sonda da W tek olmalıdır; bu da son bilyenin beyaz olduğunu zorunlu kılar. Doğru seçenek: A

Çözüm: Kutudaki beyaz bilye sayısını W, siyah bilye sayısını B ile gösterelim. W = 7 B = 9 Her adımda iki bilye çekilip tek bilye geri konduğu için toplam bilye sayısı her adımda 1 azalır; işlem sonunda kutuda tek bilye kalır. Son bilyenin rengini belirlemek için W ’nin tek-çiftliğini (paritesini) inceleyeceğiz. Olası üç durum vardır: 1) İki beyaz gelirse: WW çekilir, kurala göre bir siyah geri konur. W → W − 2 Bu durumda W sayısı 2 azalır; tek-çiftlik değişmez. W − 2 ≡ W ( mod 2 ) 2) İki siyah gelirse: BB çekilir, kurala göre bir siyah geri konur. W → W Bu durumda W hiç değişmez; tek-çiftlik yine değişmez. W ≡ W ( mod 2 ) 3) Farklı renk gelirse: WB çekilir, kurala göre bir beyaz geri konur. W → W − 1 + 1 W → W Yani W yine değişmez; tek-çiftlik değişmez. W ≡ W ( mod 2 ) Sonuç: Her adımda W sayısının tek-çiftliği değişmiyor; yani W ’nin paritesi işlem boyunca korunur. Başlangıçta beyaz sayısı tek olduğu için işlem sonunda da beyaz sayısı tek olmak zorundadır. W = 7 ≡ 1 ( mod 2 ) Kutuda tek bilye kaldığında: - Son bilye beyaz ise W tek olur. W = 1 - Son bilye siyah ise kutuda beyaz kalmaz, W çift olur. W = 0 Başlangıçta W tek olduğundan, sonda da W tek olmalıdır; bu da son bilyenin beyaz olduğunu zorunlu kılar. Doğru seçenek: A

Kutudaki beyaz bilye sayısını W, siyah bilye sayısını B ile gösterelim.

W = 7 B = 9

Her adımda iki bilye çekilip tek bilye geri konduğu için toplam bilye sayısı her adımda 1 azalır; işlem sonunda kutuda tek bilye kalır. Son bilyenin rengini belirlemek için W’nin tek-çiftliğini (paritesini) inceleyeceğiz.

Olası üç durum vardır:

1) İki beyaz gelirse:WW çekilir, kurala göre bir siyah geri konur.

W \to W - 2

Bu durumda W sayısı 2 azalır; tek-çiftlik değişmez.

W - 2 \equiv W (mod 2)

2) İki siyah gelirse:BB çekilir, kurala göre bir siyah geri konur.

W \to W

Bu durumda W hiç değişmez; tek-çiftlik yine değişmez.

W \equiv W (mod 2)

3) Farklı renk gelirse:WB çekilir, kurala göre bir beyaz geri konur.

W \to W - 1 + 1

W \to W

Yani W yine değişmez; tek-çiftlik değişmez.

W \equiv W (mod 2)

Sonuç: Her adımda W sayısının tek-çiftliği değişmiyor; yani W’nin paritesi işlem boyunca korunur.

Başlangıçta beyaz sayısı tek olduğu için işlem sonunda da beyaz sayısı tek olmak zorundadır.

W = 7 \equiv 1 (mod 2)

Kutuda tek bilye kaldığında:

- Son bilye beyaz ise W tek olur.

W = 1

- Son bilye siyah ise kutuda beyaz kalmaz, W çift olur.

W = 0

Başlangıçta W tek olduğundan, sonda da W tek olmalıdır; bu da son bilyenin beyaz olduğunu zorunlu kılar.

Doğru seçenek:A

2. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar $a$ , $b$ ve $c$ için $a < b < c$ ve
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$
olduğuna göre $a + b + c$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen koşul: a < b < c 1 a + 1 b + 1 c = 1 1. Adım: Sıralamadan tersini alalım. a < b < c ⇒ 1 a > 1 b > 1 c 2. Adım: En küçük payda a olduğundan toplamı 1 a ile sınırlayalım. 1 a + 1 b + 1 c < 1 a + 1 a + 1 a = 3 a 1 < 3 a a < 3 3. Adım: a pozitif tam sayı ve a değeri 3 ’ten küçük olmalı. a = 1 veya a = 2 4. Adım: a için olasılıkları kontrol edelim. a = 1 ⇒ 1 a = 1 ⇒ 1 a + 1 b + 1 c > 1 Bu, toplamın 1 olmasına aykırıdır; dolayısıyla: a = 2 5. Adım: Denkleme yerleştirelim. 1 2 + 1 b + 1 c = 1 1 b + 1 c = 1 2 6. Adım: b için üst sınır bulalım. b < c olduğundan 1 c < 1 b ve dolayısıyla: 1 b + 1 c < 1 b + 1 b = 2 b 1 2 < 2 b b < 4 Ayrıca a < b olduğundan: 2 < b < 4 Bu aralıkta tek pozitif tam sayı: b = 3 7. Adım: b değerini bulup c ’yi hesaplayalım. 1 3 + 1 c = 1 2 1 c = 1 2 - 1 3 = 1 6 c = 6 8. Adım: Toplamı bulalım ve şık kontrolü yapalım. a + b + c = 2 + 3 + 6 = 11 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

Çözüm: Verilen koşul: a < b < c 1 a + 1 b + 1 c = 1 1. Adım: Sıralamadan tersini alalım. a < b < c ⇒ 1 a > 1 b > 1 c 2. Adım: En küçük payda a olduğundan toplamı 1 a ile sınırlayalım. 1 a + 1 b + 1 c < 1 a + 1 a + 1 a = 3 a 1 < 3 a a < 3 3. Adım: a pozitif tam sayı ve a değeri 3 ’ten küçük olmalı. a = 1 veya a = 2 4. Adım: a için olasılıkları kontrol edelim. a = 1 ⇒ 1 a = 1 ⇒ 1 a + 1 b + 1 c > 1 Bu, toplamın 1 olmasına aykırıdır; dolayısıyla: a = 2 5. Adım: Denkleme yerleştirelim. 1 2 + 1 b + 1 c = 1 1 b + 1 c = 1 2 6. Adım: b için üst sınır bulalım. b < c olduğundan 1 c < 1 b ve dolayısıyla: 1 b + 1 c < 1 b + 1 b = 2 b 1 2 < 2 b b < 4 Ayrıca a < b olduğundan: 2 < b < 4 Bu aralıkta tek pozitif tam sayı: b = 3 7. Adım: b değerini bulup c ’yi hesaplayalım. 1 3 + 1 c = 1 2 1 c = 1 2 - 1 3 = 1 6 c = 6 8. Adım: Toplamı bulalım ve şık kontrolü yapalım. a + b + c = 2 + 3 + 6 = 11 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

Verilen koşul:

a < b < c

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1

1. Adım: Sıralamadan tersini alalım.

a < b < c \Rightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b} > \frac{1}{c}

2. Adım: En küçük payda $a$ olduğundan toplamı $\frac{1}{a}$ ile sınırlayalım.

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{3}{a}

1 < \frac{3}{a}

a < 3

3. Adım: $a$ pozitif tam sayı ve $a$ değeri $3$ ’ten küçük olmalı.

a = 1 veya a = 2

4. Adım: $a$ için olasılıkları kontrol edelim.

a = 1 \Rightarrow \frac{1}{a} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > 1

Bu, toplamın $1$ olmasına aykırıdır; dolayısıyla:

a = 2

5. Adım: Denkleme yerleştirelim.

\frac{1}{2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1

\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}

6. Adım: $b$ için üst sınır bulalım. $b < c$ olduğundan $\frac{1}{c} < \frac{1}{b}$ ve dolayısıyla:

\frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{1}{b} + \frac{1}{b} = \frac{2}{b}

\frac{1}{2} < \frac{2}{b}

b < 4

Ayrıca $a < b$ olduğundan:

2 < b < 4

Bu aralıkta tek pozitif tam sayı:

b = 3

7. Adım: $b$ değerini bulup $c$ ’yi hesaplayalım.

\frac{1}{3} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}

\frac{1}{c} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

c = 6

8. Adım: Toplamı bulalım ve şık kontrolü yapalım.

a + b + c = 2 + 3 + 6 = 11

Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif bir tam sayı $n \equiv 1 (mod 3)$ ve $n \equiv 2 (mod 5)$ koşullarını sağlıyor.
Buna göre $n$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Bir tahtada $2025$ adet sayı vardır ve hepsi $1$ 'dir.
Her hamlede üzerlerinde $a$ ve $b$ yazan iki sayı silinip yerlerine $a + b + a b$ yazılıyor.
Bu işlem tek sayı kalana kadar sürdürüldüğünde son kalan sayı kaç olur?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

İşlemi cebirsel olarak düzenleyelim. Her hamlede silinen iki sayı yerine yazılan sayı: a + b + a b Bu ifadeyi çarpım biçimine çevirelim: a + b + a b = ( a + 1 ) ( b + 1 ) - 1 Bu yüzden yeni değişken tanımlayalım: x = a + 1 y = b + 1 O zaman hamle sonrası oluşan yeni sayı olsun. Yukarıdaki özdeşlikten: c = ( a + 1 ) ( b + 1 ) - 1 Dolayısıyla dönüşümü çok basitleşir: c + 1 = ( a + 1 ) ( b + 1 ) c + 1 = x y Yani “ ile birleştirme” işlemi, değerleri açısından “çarpma” işlemine denk gelir. Başlangıçta tahtadaki her sayı olduğuna göre her birinin değeri: a = 1 ⇒ a + 1 = 2 Toplam adet sayı olduğundan başlangıçta değerlerinden oluşan liste adet içerir. Her hamlede iki tanesinin çarpımı alınıp yerine yazılır; bu yüzden en sonda kalan değeri: 2 2025 En sonda tahtada kalan sayıya dersek, onun değeri: N + 1 = 2 2025 Buradan son kalan sayı: N = 2 2025 - 1 Sonuç: Doğru seçenek A 'dır.

Çözüm: İşlemi cebirsel olarak düzenleyelim. Her hamlede silinen iki sayı yerine yazılan sayı: a + b + a b Bu ifadeyi çarpım biçimine çevirelim: a + b + a b = ( a + 1 ) ( b + 1 ) - 1 Bu yüzden yeni değişken tanımlayalım: x = a + 1 y = b + 1 O zaman hamle sonrası oluşan yeni sayı olsun. Yukarıdaki özdeşlikten: c = ( a + 1 ) ( b + 1 ) - 1 Dolayısıyla dönüşümü çok basitleşir: c + 1 = ( a + 1 ) ( b + 1 ) c + 1 = x y Yani “ ile birleştirme” işlemi, değerleri açısından “çarpma” işlemine denk gelir. Başlangıçta tahtadaki her sayı olduğuna göre her birinin değeri: a = 1 ⇒ a + 1 = 2 Toplam adet sayı olduğundan başlangıçta değerlerinden oluşan liste adet içerir. Her hamlede iki tanesinin çarpımı alınıp yerine yazılır; bu yüzden en sonda kalan değeri: 2 2025 En sonda tahtada kalan sayıya dersek, onun değeri: N + 1 = 2 2025 Buradan son kalan sayı: N = 2 2025 - 1 Sonuç: Doğru seçenek A 'dır.

İşlemi cebirsel olarak düzenleyelim. Her hamlede silinen iki sayı yerine yazılan sayı:

a + b + a b

Bu ifadeyi çarpım biçimine çevirelim:

a + b + a b = (a + 1) (b + 1) - 1

Bu yüzden yeni değişken tanımlayalım:

x = a + 1

y = b + 1

O zaman hamle sonrası oluşan yeni sayı olsun. Yukarıdaki özdeşlikten:

c = (a + 1) (b + 1) - 1

Dolayısıyla dönüşümü çok basitleşir:

c + 1 = (a + 1) (b + 1)

c + 1 = x y

Yani “ ile birleştirme” işlemi, değerleri açısından “çarpma” işlemine denk gelir.

Başlangıçta tahtadaki her sayı olduğuna göre her birinin değeri:

a = 1 \Rightarrow a + 1 = 2

Toplam adet sayı olduğundan başlangıçta değerlerinden oluşan liste adet içerir. Her hamlede iki tanesinin çarpımı alınıp yerine yazılır; bu yüzden en sonda kalan değeri:

2^{2025}

En sonda tahtada kalan sayıya dersek, onun değeri:

N + 1 = 2^{2025}

Buradan son kalan sayı:

N = 2^{2025} - 1

Sonuç: Doğru seçenek A'dır.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Bir pozitif tamsayı $n$ için, $n$ sayısı $3$ ile bölündüğünde kalan $1$ , $5$ ile bölündüğünde kalan $3$ oluyor.
Buna göre en küçük $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Bir bakkal yalnızca $3$ kg ve $5$ kg’lık şeker paketleri satıyor.
Gün sonunda toplam $47$ kg şeker sattığı biliniyor.
Buna göre sattığı paket sayısı en az kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilenlere göre 3 kg’lık paket sayısı a, 5 kg’lık paket sayısı b olsun. 3 a + 5 b = 47 Amaç, toplam paket sayısını en küçük yapmak: a + b Paket sayısını azaltmak için mümkün olduğunca 5 kg ’lık paketleri fazla seçmek isteriz. Bu yüzden b ’yi deneyerek, a ’nın tam sayı olmasını sağlayalım. Denklemden a ’yı yalnız bırakalım: a = 47 - 5 b 3 Şimdi b için uygun değerleri kontrol edelim (çünkü 5 b ≤ 47 olmalı): 1) b yerine 1 yazalım: a = 47 - 5 3 = 42 3 = 14 a + b = 14 + 1 = 15 2) b yerine 4 yazalım: a = 47 - 20 3 = 27 3 = 9 a + b = 9 + 4 = 13 3) b yerine 7 yazalım: a = 47 - 35 3 = 12 3 = 4 a + b = 4 + 7 = 11 Daha büyük b değerlerinde (örneğin 8, 9 ) a tam sayı olmuyor; ayrıca b büyüdükçe zaten 47 ’yi aşmamak için seçenekler azalıyor. Bu yüzden en küçük toplam paket sayısı: 11 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

Çözüm: Verilenlere göre 3 kg’lık paket sayısı a, 5 kg’lık paket sayısı b olsun. 3 a + 5 b = 47 Amaç, toplam paket sayısını en küçük yapmak: a + b Paket sayısını azaltmak için mümkün olduğunca 5 kg ’lık paketleri fazla seçmek isteriz. Bu yüzden b ’yi deneyerek, a ’nın tam sayı olmasını sağlayalım. Denklemden a ’yı yalnız bırakalım: a = 47 - 5 b 3 Şimdi b için uygun değerleri kontrol edelim (çünkü 5 b ≤ 47 olmalı): 1) b yerine 1 yazalım: a = 47 - 5 3 = 42 3 = 14 a + b = 14 + 1 = 15 2) b yerine 4 yazalım: a = 47 - 20 3 = 27 3 = 9 a + b = 9 + 4 = 13 3) b yerine 7 yazalım: a = 47 - 35 3 = 12 3 = 4 a + b = 4 + 7 = 11 Daha büyük b değerlerinde (örneğin 8, 9 ) a tam sayı olmuyor; ayrıca b büyüdükçe zaten 47 ’yi aşmamak için seçenekler azalıyor. Bu yüzden en küçük toplam paket sayısı: 11 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

Verilenlere göre 3 kg’lık paket sayısıa, 5 kg’lık paket sayısıb olsun.

3 a + 5 b = 47

Amaç, toplam paket sayısını en küçük yapmak:

a + b

Paket sayısını azaltmak için mümkün olduğunca 5 kg’lık paketleri fazla seçmek isteriz. Bu yüzden b’yi deneyerek, a’nın tam sayı olmasını sağlayalım.

Denklemden a’yı yalnız bırakalım:

a = \frac{47 - 5 b}{3}

Şimdi b için uygun değerleri kontrol edelim (çünkü

5 b \leq 47

olmalı):

1) b yerine 1 yazalım:

a = \frac{47 - 5}{3} = \frac{42}{3} = 14

a + b = 14 + 1 = 15

2) b yerine 4 yazalım:

a = \frac{47 - 20}{3} = \frac{27}{3} = 9

a + b = 9 + 4 = 13

3) b yerine 7 yazalım:

a = \frac{47 - 35}{3} = \frac{12}{3} = 4

a + b = 4 + 7 = 11

Daha büyük b değerlerinde (örneğin 8, 9) a tam sayı olmuyor; ayrıca b büyüdükçe zaten 47’yi aşmamak için seçenekler azalıyor. Bu yüzden en küçük toplam paket sayısı:

11

Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayılar $x, y, z$ için
$EKOK (x, y) = 12, EKOK (y, z) = 18, EKOK (z, x) = 36$
$x y z$ çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen koşullar: EKOK ( x, y ) = 12 EKOK ( y, z ) = 18 EKOK ( z, x ) = 36 EKOK değerlerinin asal çarpanlara ayrılması: 12 = 2 2 ⋅ 3 18 = 2 ⋅ 3 2 36 = 2 2 ⋅ 3 2 Buradan yalnızca şu asal çarpanların kullanılabileceğini alırız (aksi halde EKOK daha büyük olur): 2, 3 O hâlde: x = 2 a ⋅ 3 b y = 2 c ⋅ 3 d z = 2 e ⋅ 3 f EKOK’ta üsler maksimum alınır. Önce iki asal için ayrı ayrı inceleyelim. (I) Asal çarpan 2 için: max ( a, c ) = 2 max ( c, e ) = 1 max ( e, a ) = 2 max ( c, e ) = 1 olduğu için: c ≤ 1, e ≤ 1 Bu durumda max ( e, a ) = 2 ancak şu şekilde sağlanır: a = 2 Çarpımı küçültmek için a + c + e en küçük olmalı. max ( c, e ) = 1 şartıyla en küçük toplam: c + e = 1 Dolayısıyla: a + c + e = 2 + 1 = 3 (II) Asal çarpan 3 için: max ( b, d ) = 1 max ( d, f ) = 2 max ( f, b ) = 2 İlk denklemden: b ≤ 1, d ≤ 1 Bu durumda max ( d, f ) = 2 ancak: f = 2 ile mümkündür (çünkü d ≤ 1 ). Çarpımı küçültmek için b + d + f en küçük olmalı. max ( b, d ) = 1 şartıyla en küçük: b + d = 1 Dolayısıyla: b + d + f = 1 + 2 = 3 Artık çarpımın en küçük değeri: x y z = 2 a + c + e ⋅ 3 b + d + f x y z = 2 3 ⋅ 3 3 = 8 ⋅ 27 = 216 Bu değer şıklardan B seçeneğidir; yani B doğrudur.

Çözüm: Verilen koşullar: EKOK ( x, y ) = 12 EKOK ( y, z ) = 18 EKOK ( z, x ) = 36 EKOK değerlerinin asal çarpanlara ayrılması: 12 = 2 2 ⋅ 3 18 = 2 ⋅ 3 2 36 = 2 2 ⋅ 3 2 Buradan yalnızca şu asal çarpanların kullanılabileceğini alırız (aksi halde EKOK daha büyük olur): 2, 3 O hâlde: x = 2 a ⋅ 3 b y = 2 c ⋅ 3 d z = 2 e ⋅ 3 f EKOK’ta üsler maksimum alınır. Önce iki asal için ayrı ayrı inceleyelim. (I) Asal çarpan 2 için: max ( a, c ) = 2 max ( c, e ) = 1 max ( e, a ) = 2 max ( c, e ) = 1 olduğu için: c ≤ 1, e ≤ 1 Bu durumda max ( e, a ) = 2 ancak şu şekilde sağlanır: a = 2 Çarpımı küçültmek için a + c + e en küçük olmalı. max ( c, e ) = 1 şartıyla en küçük toplam: c + e = 1 Dolayısıyla: a + c + e = 2 + 1 = 3 (II) Asal çarpan 3 için: max ( b, d ) = 1 max ( d, f ) = 2 max ( f, b ) = 2 İlk denklemden: b ≤ 1, d ≤ 1 Bu durumda max ( d, f ) = 2 ancak: f = 2 ile mümkündür (çünkü d ≤ 1 ). Çarpımı küçültmek için b + d + f en küçük olmalı. max ( b, d ) = 1 şartıyla en küçük: b + d = 1 Dolayısıyla: b + d + f = 1 + 2 = 3 Artık çarpımın en küçük değeri: x y z = 2 a + c + e ⋅ 3 b + d + f x y z = 2 3 ⋅ 3 3 = 8 ⋅ 27 = 216 Bu değer şıklardan B seçeneğidir; yani B doğrudur.

Verilen koşullar:

EKOK (x, y) = 12

EKOK (y, z) = 18

EKOK (z, x) = 36

EKOK değerlerinin asal çarpanlara ayrılması:

12 = 2^{2} \cdot 3

18 = 2 \cdot 3^{2}

36 = 2^{2} \cdot 3^{2}

Buradan yalnızca şu asal çarpanların kullanılabileceğini alırız (aksi halde EKOK daha büyük olur):

2, 3

O hâlde:

x = 2^{a} \cdot 3^{b}

y = 2^{c} \cdot 3^{d}

z = 2^{e} \cdot 3^{f}

EKOK’ta üsler maksimum alınır. Önceiki asal için ayrı ayrı inceleyelim.

(I)Asalçarpan2 için:

max (a, c) = 2

max (c, e) = 1

max (e, a) = 2

$max (c, e) = 1$ olduğu için:

c \leq 1, e \leq 1

Bu durumda $max (e, a) = 2$ ancak şu şekilde sağlanır:

a = 2

Çarpımı küçültmek için $a + c + e$ en küçük olmalı. $max (c, e) = 1$ şartıyla en küçük toplam:

c + e = 1

Dolayısıyla:

a + c + e = 2 + 1 = 3

(II)Asalçarpan3 için:

max (b, d) = 1

max (d, f) = 2

max (f, b) = 2

İlk denklemden:

b \leq 1, d \leq 1

Bu durumda $max (d, f) = 2$ ancak:

f = 2

ile mümkündür (çünkü $d \leq 1$ ).

Çarpımı küçültmek için $b + d + f$ en küçük olmalı. $max (b, d) = 1$ şartıyla en küçük:

b + d = 1

Dolayısıyla:

b + d + f = 1 + 2 = 3

Artık çarpımın en küçük değeri:

x y z = 2^{a + c + e} \cdot 3^{b + d + f}

x y z = 2^{3} \cdot 3^{3} = 8 \cdot 27 = 216

Bu değer şıklardan B seçeneğidir; yani B doğrudur.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada üzerinde $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ yazılı kartlar vardır.
Torbadan rastgele $3$ kart çekilip yan yana dizilerek üç basamaklı bir sayı oluşturuluyor.
Oluşan sayının $3$ ile tam bölünebilme olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Doğru şık A ’dır. Çünkü olasılık aşağıdaki değere eşit çıkar: 2 5 Toplam durum sayısı: Torbadan üç farklı kart çekiliyor ve yan yana dizilerek sayı oluşturuluyor. Yani sıralama önemli olduğundan permütasyon kullanılır. 6 P 3 = 6 × 5 × 4 = 120 Bölünebilme koşulu: Bir sayının üç ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı üç ile tam bölünmelidir. Bu yüzden kartların (rakamların) toplamını mod üç sınıflandıracağız. Kartların mod üçe göre kalanı: 1 ≡ 1 ( mod 3 ) 4 ≡ 1 ( mod 3 ) 2 ≡ 2 ( mod 3 ) 5 ≡ 2 ( mod 3 ) 3 ≡ 0 ( mod 3 ) 6 ≡ 0 ( mod 3 ) Üç kartın toplamının mod üçte sıfır olması için (farklı kartlar seçildiğinden) mümkün olan tek durum her sınıftan birer tane seçmektir: 0 + 1 + 2 ≡ 0 ( mod 3 ) Her sınıfta iki kart bulunduğundan, sıralamasız (sadece seçim) uygun kart üçlülerinin sayısı: 2 × 2 × 2 = 8 Seçilen üç kartın hepsi farklı olduğundan, her bir üçlü kendi içinde şu kadar farklı üç basamaklı sayı oluşturur: 3! = 6 Bu durumda uygun (üç ile bölünebilen) sayı adedi: 8 × 6 = 48 Olasılık: 48 120 = 2 5 Sonuç olarak doğru cevap A ’dır.

Çözüm: Doğru şık A ’dır. Çünkü olasılık aşağıdaki değere eşit çıkar: 2 5 Toplam durum sayısı: Torbadan üç farklı kart çekiliyor ve yan yana dizilerek sayı oluşturuluyor. Yani sıralama önemli olduğundan permütasyon kullanılır. 6 P 3 = 6 × 5 × 4 = 120 Bölünebilme koşulu: Bir sayının üç ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı üç ile tam bölünmelidir. Bu yüzden kartların (rakamların) toplamını mod üç sınıflandıracağız. Kartların mod üçe göre kalanı: 1 ≡ 1 ( mod 3 ) 4 ≡ 1 ( mod 3 ) 2 ≡ 2 ( mod 3 ) 5 ≡ 2 ( mod 3 ) 3 ≡ 0 ( mod 3 ) 6 ≡ 0 ( mod 3 ) Üç kartın toplamının mod üçte sıfır olması için (farklı kartlar seçildiğinden) mümkün olan tek durum her sınıftan birer tane seçmektir: 0 + 1 + 2 ≡ 0 ( mod 3 ) Her sınıfta iki kart bulunduğundan, sıralamasız (sadece seçim) uygun kart üçlülerinin sayısı: 2 × 2 × 2 = 8 Seçilen üç kartın hepsi farklı olduğundan, her bir üçlü kendi içinde şu kadar farklı üç basamaklı sayı oluşturur: 3! = 6 Bu durumda uygun (üç ile bölünebilen) sayı adedi: 8 × 6 = 48 Olasılık: 48 120 = 2 5 Sonuç olarak doğru cevap A ’dır.

Doğru şık A’dır. Çünkü olasılık aşağıdaki değere eşit çıkar:

\frac{2}{5}

Toplam durum sayısı: Torbadan üç farklı kart çekiliyor ve yan yana dizilerek sayı oluşturuluyor. Yani sıralama önemli olduğundan permütasyon kullanılır.

6 P 3 = 6 \times 5 \times 4 = 120

Bölünebilme koşulu: Bir sayının üç ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı üç ile tam bölünmelidir. Bu yüzden kartların (rakamların) toplamını mod üç sınıflandıracağız.

Kartların mod üçe göre kalanı:

1 \equiv 1 (mod 3)

4 \equiv 1 (mod 3)

2 \equiv 2 (mod 3)

5 \equiv 2 (mod 3)

3 \equiv 0 (mod 3)

6 \equiv 0 (mod 3)

Üç kartın toplamının mod üçte sıfır olması için (farklı kartlar seçildiğinden) mümkün olan tek durum her sınıftan birer tane seçmektir:

0 + 1 + 2 \equiv 0 (mod 3)

Her sınıfta iki kart bulunduğundan, sıralamasız (sadece seçim) uygun kart üçlülerinin sayısı:

2 \times 2 \times 2 = 8

Seçilen üç kartın hepsi farklı olduğundan, her bir üçlü kendi içinde şu kadar farklı üç basamaklı sayı oluşturur:

3! = 6

Bu durumda uygun (üç ile bölünebilen) sayı adedi:

8 \times 6 = 48

Olasılık:

\frac{48}{120} = \frac{2}{5}

Sonuç olarak doğru cevap A’dır.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif tam sayı $n$ için, $n$ sayısı $2$ , $3$ , $4$ , $5$ ve $6$ ile bölündüğünde her seferinde $1$ kalanını vermekte; $7$ ile bölündüğünde ise kalansız bölünmektedir. Buna göre $n$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

$1$ ’den $120$ ’ye kadar olan sayılar yan yana yazılıyor.
Bu yazımda $1$ rakamı toplam kaç kez kullanılır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

İstenen: Yan yana yazılan sayılarda 1 rakamının kaç kez geçtiğini bulmak ve şık B ’yi kontrol etmek. Aralığı basamak yapılarına göre ayıralım: 1 – 9 10 – 99 100 – 120 1) 1 – 9 aralığı: Bu aralıkta sadece 1 sayısında bir tane 1 vardır. Katkı = 1 2) 10 – 99 aralığı (iki basamaklı sayılar): Onlar basamağı 1 olanlar: 10 – 19 → 10 adet 1 Birler basamağı 1 olanlar (her onlukta bir tane): Sayısı = 9 Toplam katkı: 10 + 9 = 19 3) 100 – 120 aralığı: Yüzler basamağı her sayıda 1 olduğu için: Yüzler basamağı katkısı = 21 Son iki basamak 00 – 20 gibi davranır. Burada 1 sayısı: Onlar basamağında: 10 – 19 → 10 Birler basamağında: 01, 11 → 2 Toplam: 10 + 2 = 12 Böylece 100 – 120 aralığının toplam katkısı: 21 + 12 = 33 4) Genel toplam: 1 + 19 + 33 = 53 Sonuç: Doğru cevap B ’dir. Doğru değer = 53

Çözüm: İstenen: Yan yana yazılan sayılarda 1 rakamının kaç kez geçtiğini bulmak ve şık B ’yi kontrol etmek. Aralığı basamak yapılarına göre ayıralım: 1 – 9 10 – 99 100 – 120 1) 1 – 9 aralığı: Bu aralıkta sadece 1 sayısında bir tane 1 vardır. Katkı = 1 2) 10 – 99 aralığı (iki basamaklı sayılar): Onlar basamağı 1 olanlar: 10 – 19 → 10 adet 1 Birler basamağı 1 olanlar (her onlukta bir tane): Sayısı = 9 Toplam katkı: 10 + 9 = 19 3) 100 – 120 aralığı: Yüzler basamağı her sayıda 1 olduğu için: Yüzler basamağı katkısı = 21 Son iki basamak 00 – 20 gibi davranır. Burada 1 sayısı: Onlar basamağında: 10 – 19 → 10 Birler basamağında: 01, 11 → 2 Toplam: 10 + 2 = 12 Böylece 100 – 120 aralığının toplam katkısı: 21 + 12 = 33 4) Genel toplam: 1 + 19 + 33 = 53 Sonuç: Doğru cevap B ’dir. Doğru değer = 53

İstenen: Yan yana yazılan sayılarda $1$ rakamının kaç kez geçtiğini bulmak ve şık B’yi kontrol etmek.

Aralığı basamak yapılarına göre ayıralım:

1 - 9

10 - 99

100 - 120

1) $1 - 9$ aralığı:

Bu aralıkta sadece $1$ sayısında bir tane $1$ vardır.

Katkı = 1

2) $10 - 99$ aralığı (iki basamaklı sayılar):

Onlar basamağı $1$ olanlar:

10 - 19 \to 10 adet 1

Birler basamağı $1$ olanlar (her onlukta bir tane):

Sayısı = 9

Toplam katkı:

10 + 9 = 19

3) $100 - 120$ aralığı:

Yüzler basamağı her sayıda $1$ olduğu için:

Yüzler basamağı katkısı = 21

Son iki basamak $00 - 20$ gibi davranır. Burada $1$ sayısı:

Onlar basamağında:

10 - 19 \to 10

Birler basamağında:

01, 11 \to 2

Toplam:

10 + 2 = 12

Böylece $100 - 120$ aralığının toplam katkısı:

21 + 12 = 33

4) Genel toplam:

1 + 19 + 33 = 53

Sonuç: Doğru cevap B’dir.

Doğru değer = 53

Rutin Olmayan Problemler Hakkında

Rutin olmayan problem ne demektir?

Tek bir kalıp formülle değil, verilenler arasında ilişki kurarak çözülen problem türüdür.

Bu sorularda ilk adım ne olmalı?

Soruda verilen bilgileri ve isteneni netleştirip gerekirse tablo, şekil veya sembol kullanmak gerekir.

Rutin olmayan problemler nasıl geliştirilir?

Farklı tipte sorular çözmek ve çözüm yollarını karşılaştırmak bu beceriyi geliştirir.

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

9. Sınıf Rutin Olmayan Problemler

Nasıl Çözülmeli?

Strateji Geliştiren Testler

9. Sınıf Matematik Rutin Olmayan Problemler Testleri

Kutuda 7 beyaz ve 9 siyah bilye vardır.Her adımda kutudan rastgele iki bilye çekilip şu kurala göre geri konuyor:Aynı renk gelirsebirsiyahbilyeFarklı renk gelirsebirbeyazbilyeBu işlem kutuda tek bilye kalana kadar sürdürülüyor. Son kalan bilyenin rengi nedir?

Pozitif tam sayılar a, b ve c için a<b<c ve1a+1b+1c=1olduğuna göre a+b+c kaçtır?

Pozitif bir tam sayı n≡1(mod3) ve n≡2(mod5) koşullarını sağlıyor.Buna göre n sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Bir tahtada 2025 adet sayı vardır ve hepsi 1'dir.Her hamlede üzerlerinde a ve b yazan iki sayı silinip yerlerine a+b+ab yazılıyor.Bu işlem tek sayı kalana kadar sürdürüldüğünde son kalan sayı kaç olur?

Bir pozitif tamsayı n için, n sayısı 3 ile bölündüğünde kalan 1, 5 ile bölündüğünde kalan 3 oluyor.Buna göre en küçük n kaçtır?

Bir bakkal yalnızca 3 kg ve 5 kg’lık şeker paketleri satıyor.Gün sonunda toplam 47 kg şeker sattığı biliniyor.Buna göre sattığı paket sayısı en az kaçtır?

Pozitif tam sayılar x,y,z içinEKOK(x,y)=12,EKOK(y,z)=18,EKOK(z,x)=36xyz çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Bir torbada üzerinde 1, 2, 3, 4, 5, 6 yazılı kartlar vardır.Torbadan rastgele 3 kart çekilip yan yana dizilerek üç basamaklı bir sayı oluşturuluyor.Oluşan sayının 3 ile tam bölünebilme olasılığı kaçtır?

Pozitif tam sayı n için, n sayısı 2, 3, 4, 5 ve 6 ile bölündüğünde her seferinde 1 kalanını vermekte; 7 ile bölündüğünde ise kalansız bölünmektedir. Buna göre n sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

1’den 120’ye kadar olan sayılar yan yana yazılıyor.Bu yazımda 1 rakamı toplam kaç kez kullanılır?

Rutin Olmayan Problemler Hakkında

Kutuda $7$ beyaz ve $9$ siyah bilye vardır.
Her adımda kutudan rastgele iki bilye çekilip şu kurala göre geri konuyor:
Aynı renk gelirsebirsiyahbilye
Farklı renk gelirsebirbeyazbilye
Bu işlem kutuda tek bilye kalana kadar sürdürülüyor. Son kalan bilyenin rengi nedir?

Pozitif tam sayılar $a$ , $b$ ve $c$ için $a < b < c$ ve
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$
olduğuna göre $a + b + c$ kaçtır?

Pozitif bir tam sayı $n \equiv 1 (mod 3)$ ve $n \equiv 2 (mod 5)$ koşullarını sağlıyor.
Buna göre $n$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Bir tahtada $2025$ adet sayı vardır ve hepsi $1$ 'dir.
Her hamlede üzerlerinde $a$ ve $b$ yazan iki sayı silinip yerlerine $a + b + a b$ yazılıyor.
Bu işlem tek sayı kalana kadar sürdürüldüğünde son kalan sayı kaç olur?

Bir pozitif tamsayı $n$ için, $n$ sayısı $3$ ile bölündüğünde kalan $1$ , $5$ ile bölündüğünde kalan $3$ oluyor.
Buna göre en küçük $n$ kaçtır?

Bir bakkal yalnızca $3$ kg ve $5$ kg’lık şeker paketleri satıyor.
Gün sonunda toplam $47$ kg şeker sattığı biliniyor.
Buna göre sattığı paket sayısı en az kaçtır?

Pozitif tam sayılar $x, y, z$ için
$EKOK (x, y) = 12, EKOK (y, z) = 18, EKOK (z, x) = 36$
$x y z$ çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Bir torbada üzerinde $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ yazılı kartlar vardır.
Torbadan rastgele $3$ kart çekilip yan yana dizilerek üç basamaklı bir sayı oluşturuluyor.
Oluşan sayının $3$ ile tam bölünebilme olasılığı kaçtır?

Pozitif tam sayı $n$ için, $n$ sayısı $2$ , $3$ , $4$ , $5$ ve $6$ ile bölündüğünde her seferinde $1$ kalanını vermekte; $7$ ile bölündüğünde ise kalansız bölünmektedir. Buna göre $n$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

$1$ ’den $120$ ’ye kadar olan sayılar yan yana yazılıyor.
Bu yazımda $1$ rakamı toplam kaç kez kullanılır?