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Zufallsvariablen und Erwartungswert sicher verstehen

Eine Zufallsvariable ordnet den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Zahlen zu. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt, wie wahrscheinlich die einzelnen Werte sind.

Die Übungen eignen sich vor allem für Klasse 10–12 und behandeln Erwartungswerte, Bernoulli-Modelle, faire Spiele, Gewinn- und Verlustsituationen sowie Anwendungen aus Alltag und Wirtschaft.

So gehst du vor

  1. Notiere alle möglichen Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten.
  2. Multipliziere jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit.
  3. Addiere die gewichteten Werte zum Erwartungswert.
  4. Prüfe, ob die Wahrscheinlichkeiten 1 ergeben und ob das Ergebnis sachlich sinnvoll ist.

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Zufallsvariablen und Erwartungswert online üben

Test 8 zu Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Erwartungswert mit 5 Aufgaben und verständlichen Lösungen.

Lies die Wahrscheinlichkeitsverteilung, gewichte jeden möglichen Wert und prüfe das Ergebnis im Sachzusammenhang.

5 Fragen
0/5 Fragen0 %
Richtig 0
Falsch 0
Offen 5
1. FrageMultiple Choice

Was bedeutet E(X)=4 bei einer Zufallsvariable?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: B

Die richtige Antwort ist: Der langfristige Durchschnitt der beobachteten Werte nähert sich 4 an.

  1. Zufallsvariable und Angaben lesen: Notiere mögliche Werte und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
  2. Erwartungswert berechnen: Der Erwartungswert ist ein theoretischer Mittelwert vieler Wiederholungen und muss nicht in jedem einzelnen Versuch auftreten.
  3. Ergebnis prüfen: Das Ergebnis lautet Der langfristige Durchschnitt der beobachteten Werte nähert sich 4 an.. Kontrolliere, ob die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben und ob das Ergebnis zur Größenordnung der Werte passt.

Der Erwartungswert ist ein theoretischer Mittelwert vieler Wiederholungen und muss nicht in jedem einzelnen Versuch auftreten.

2. FrageMultiple Choice

Kann ein Erwartungswert ein Wert sein, der gar nicht als einzelnes Ergebnis auftritt?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: A

Die richtige Antwort ist: Ja, zum Beispiel 3,5 beim fairen Würfel.

  1. Zufallsvariable und Angaben lesen: Notiere mögliche Werte und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
  2. Erwartungswert berechnen: Die Augenzahl eines Würfels ist ganzzahlig, aber ihr Erwartungswert liegt bei 3,5.
  3. Ergebnis prüfen: Das Ergebnis lautet Ja, zum Beispiel 3,5 beim fairen Würfel.. Kontrolliere, ob die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben und ob das Ergebnis zur Größenordnung der Werte passt.

Die Augenzahl eines Würfels ist ganzzahlig, aber ihr Erwartungswert liegt bei 3,5.

3. FrageMultiple Choice

Wie verändert sich E(X), wenn zu jedem möglichen Wert 2 addiert wird?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: D

Die richtige Antwort ist: Der Erwartungswert steigt um 2.

  1. Zufallsvariable und Angaben lesen: Notiere mögliche Werte und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
  2. Erwartungswert berechnen: Für Y=X+2 gilt E(Y)=E(X)+2.
  3. Ergebnis prüfen: Das Ergebnis lautet Der Erwartungswert steigt um 2.. Kontrolliere, ob die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben und ob das Ergebnis zur Größenordnung der Werte passt.

Für Y=X+2 gilt E(Y)=E(X)+2.

4. FrageMultiple Choice

Wie verändert sich E(X), wenn jeder mögliche Wert verdoppelt wird?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: C

Die richtige Antwort ist: Der Erwartungswert wird verdoppelt.

  1. Zufallsvariable und Angaben lesen: Notiere mögliche Werte und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
  2. Erwartungswert berechnen: Für Y=2X gilt E(Y)=2·E(X).
  3. Ergebnis prüfen: Das Ergebnis lautet Der Erwartungswert wird verdoppelt.. Kontrolliere, ob die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben und ob das Ergebnis zur Größenordnung der Werte passt.

Für Y=2X gilt E(Y)=2·E(X).

5. FrageMultiple Choice

Kann der Erwartungswert eines Nettogewinns negativ sein?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: B

Die richtige Antwort ist: Ja, das Spiel ist dann im Durchschnitt verlustreich.

  1. Zufallsvariable und Angaben lesen: Notiere mögliche Werte und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
  2. Erwartungswert berechnen: Ein negativer Erwartungswert bedeutet, dass bei vielen Wiederholungen langfristig ein Verlust zu erwarten ist.
  3. Ergebnis prüfen: Das Ergebnis lautet Ja, das Spiel ist dann im Durchschnitt verlustreich.. Kontrolliere, ob die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben und ob das Ergebnis zur Größenordnung der Werte passt.

Ein negativer Erwartungswert bedeutet, dass bei vielen Wiederholungen langfristig ein Verlust zu erwarten ist.

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Zufallsvariablen und Erwartungswert FAQ

Was ist der Erwartungswert?

Der Erwartungswert ist der theoretische Durchschnitt einer Zufallsvariable bei sehr vielen Wiederholungen.

Wie berechnet man den Erwartungswert?

Man multipliziert jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiert anschließend alle Produkte.

Für welche Klassen sind die Übungen geeignet?

Die Aufgaben sind vor allem für Klasse 10–12 beziehungsweise die gymnasiale Oberstufe geeignet.