11. Sınıf Matematik

11. Sınıf Matematik 2 Dereceden Eşitsizlikler Testleri

2.Dereceden Eşitsizlikler konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

2. dereceden eşitsizlik nedir?

2. dereceden eşitsizlikler, ax²+bx+c ifadesinin sıfırdan büyük, küçük veya eşit olma durumlarını inceler. 11. Sınıf 2. Dereceden Eşitsizlikler testleri kök bulma, diskriminant, işaret tablosu ve parabol yorumunu birlikte çalıştırır.

Çözüm mantığı

Önce ifadenin kökleri bulunur, sonra sayı doğrusu üzerinde aralıklar belirlenir. Baş katsayının işareti ve köklerin durumu, hangi aralıkta pozitif veya negatif sonuç alınacağını gösterir.

Grafikle ilişki

Parabolün x eksenini kestiği noktalar kökleri verir. Parabolün kolları yukarıysa dış aralıklar pozitif, aşağıysa dış aralıklar negatif olur. Çift katlı köklerde işaret değişmeyebilir.

Test seç

8 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test

7. Test

11. Sınıf Matematik 2 Dereceden Eşitsizlikler Testleri

2.Dereceden Eşitsizlikler konusu 7. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 9} \geq 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: x 2 − 5 x + 6 x 2 − 9 ≥ 0 1) Tanım kümesi (payda sıfır olamaz): x 2 − 9 ≠ 0 ( x − 3 ) ( x + 3 ) ≠ 0 x ≠ 3, x ≠ − 3 2) Pay ve paydayı çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) x 2 − 9 = ( x − 3 ) ( x + 3 ) 3) Ortak çarpanı sadeleştirelim (ancak x=3 yine de tanımsızdır ): ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 x − 2 x + 3 ≥ 0 Koşul: x ≠ − 3, x ≠ 3 4) İşaret incelemesi: Kritik noktalar: payı sıfır yapan x=2, paydayı sıfır yapan x=-3. Ayrıca x=3 noktası da başlangıçtaki ifadede tanımsızdır. Aralıkları inceleyelim: • x<-3 iken pay (x-2)<0, payda (x+3)<0 ⇒ oran pozitif. • -32 iken pay pozitif, payda pozitif ⇒ oran pozitif; ancak x=3 noktası tanımsız olduğundan çıkarılır. 5) Çözüm kümesi: ( − ∞, − 3 ) ∪ [ 2, 3 ) ∪ ( 3, ∞ ) 6) Şık kontrolü: Bulduğumuz çözüm kümesi şıkkıC1126 ile aynıdır. Doğru cevap: C1147.

Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 − 5 x + 6 x 2 − 9 ≥ 0 1) Tanım kümesi (payda sıfır olamaz): x 2 − 9 ≠ 0 ( x − 3 ) ( x + 3 ) ≠ 0 x ≠ 3, x ≠ − 3 2) Pay ve paydayı çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) x 2 − 9 = ( x − 3 ) ( x + 3 ) 3) Ortak çarpanı sadeleştirelim (ancak x=3 yine de tanımsızdır ): ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 x − 2 x + 3 ≥ 0 Koşul: x ≠ − 3, x ≠ 3 4) İşaret incelemesi: Kritik noktalar: payı sıfır yapan x=2, paydayı sıfır yapan x=-3. Ayrıca x=3 noktası da başlangıçtaki ifadede tanımsızdır. Aralıkları inceleyelim: • x<-3 iken pay (x-2)<0, payda (x+3)<0 ⇒ oran pozitif. • -32 iken pay pozitif, payda pozitif ⇒ oran pozitif; ancak x=3 noktası tanımsız olduğundan çıkarılır. 5) Çözüm kümesi: ( − ∞, − 3 ) ∪ [ 2, 3 ) ∪ ( 3, ∞ ) 6) Şık kontrolü: Bulduğumuz çözüm kümesi şıkkıC1126 ile aynıdır. Doğru cevap: C1147.

Verilen eşitsizlik:

\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 9} \geq 0

1) Tanım kümesi (payda sıfır olamaz):

x^{2} - 9 \neq 0

(x - 3) (x + 3) \neq 0

x \neq 3, x \neq - 3

2) Pay ve paydayı çarpanlara ayıralım:

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

3) Ortak çarpanı sadeleştirelim (ancak x=3 yine de tanımsızdır):

\frac{(x - 2) (x - 3)}{(x - 3) (x + 3)} \geq 0

\frac{x - 2}{x + 3} \geq 0

Koşul: x \neq - 3, x \neq 3

4) İşaret incelemesi:

Kritik noktalar: payı sıfır yapan x=2, paydayı sıfır yapan x=-3. Ayrıca x=3 noktası da başlangıçtaki ifadede tanımsızdır.

Aralıkları inceleyelim:

• x<-3 iken pay (x-2)<0, payda (x+3)<0 ⇒ oran pozitif.

• -3<x<2 iken pay negatif, payda pozitif ⇒ oran negatif.

• x=2 iken pay sıfır ⇒ ifade 0 olur ve dahil.

• x>2 iken pay pozitif, payda pozitif ⇒ oran pozitif; ancak x=3 noktası tanımsız olduğundan çıkarılır.

5) Çözüm kümesi:

(- \infty, - 3) \cup [2, 3) \cup (3, \infty)

6) Şık kontrolü:

Bulduğumuz çözüm kümesi şıkkıC4530 ile aynıdır. Doğru cevap: A.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan değerler kümesi hangisidir?
$\frac{{(x)}^{2}}{}$
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 4} \geq 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x - 4 ≥ 0 1) Tanım koşulu (payda sıfır olamaz): x ≠ 4 2) Payı çarpanlarına ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) 3) Eşitsizliği çarpanlı biçimde yazalım: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 ≥ 0 4) Kritik noktalar (payı sıfır yapanlar ve paydayı sıfır yapan): x = 2, 3, 4 5) İşaret incelemesi için aralıkları belirleyelim: ( - ∞, 2 ) ( 2, 3 ) ( 3, 4 ) ( 4, ∞ ) 6) Her aralıktan bir test değeri seçip ifadenin işaretini bulalım: Aralık ( - ∞, 2 ) için örnek test değeri: x = 0 İşaret: ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) 0 - 4 < 0 Aralık ( 2, 3 ) için örnek test değeri: x = 5 2 İşaret: ( 5 2 - 2 ) ( 5 2 - 3 ) 5 2 - 4 > 0 Aralık ( 3, 4 ) için örnek test değeri: x = 7 2 İşaret: ( 7 2 - 2 ) ( 7 2 - 3 ) 7 2 - 4 < 0 Aralık ( 4, ∞ ) için örnek test değeri: x = 5 İşaret: ( 5 - 2 ) ( 5 - 3 ) 5 - 4 > 0 7) Toparlama: Pozitif (ve sıfır) olduğu aralıklar seçilir. Payı sıfır yapan noktalar dahil edilir, paydayı sıfır yapan nokta dahil edilmez. Çözüm kümesi: [ 2, 3 ] ∪ ( 4, ∞ ) Bu nedenle doğru cevap D1061’dır.

Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x - 4 ≥ 0 1) Tanım koşulu (payda sıfır olamaz): x ≠ 4 2) Payı çarpanlarına ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) 3) Eşitsizliği çarpanlı biçimde yazalım: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 ≥ 0 4) Kritik noktalar (payı sıfır yapanlar ve paydayı sıfır yapan): x = 2, 3, 4 5) İşaret incelemesi için aralıkları belirleyelim: ( - ∞, 2 ) ( 2, 3 ) ( 3, 4 ) ( 4, ∞ ) 6) Her aralıktan bir test değeri seçip ifadenin işaretini bulalım: Aralık ( - ∞, 2 ) için örnek test değeri: x = 0 İşaret: ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) 0 - 4 < 0 Aralık ( 2, 3 ) için örnek test değeri: x = 5 2 İşaret: ( 5 2 - 2 ) ( 5 2 - 3 ) 5 2 - 4 > 0 Aralık ( 3, 4 ) için örnek test değeri: x = 7 2 İşaret: ( 7 2 - 2 ) ( 7 2 - 3 ) 7 2 - 4 < 0 Aralık ( 4, ∞ ) için örnek test değeri: x = 5 İşaret: ( 5 - 2 ) ( 5 - 3 ) 5 - 4 > 0 7) Toparlama: Pozitif (ve sıfır) olduğu aralıklar seçilir. Payı sıfır yapan noktalar dahil edilir, paydayı sıfır yapan nokta dahil edilmez. Çözüm kümesi: [ 2, 3 ] ∪ ( 4, ∞ ) Bu nedenle doğru cevap D1061’dır.

Verilen eşitsizlik:

\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 4} \geq 0

1) Tanım koşulu (payda sıfır olamaz):

x \neq 4

2) Payı çarpanlarına ayıralım:

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

3) Eşitsizliği çarpanlı biçimde yazalım:

\frac{(x - 2) (x - 3)}{x - 4} \geq 0

4) Kritik noktalar (payı sıfır yapanlar ve paydayı sıfır yapan):

x = 2, 3, 4

5) İşaret incelemesi için aralıkları belirleyelim:

(- \infty, 2)

(2, 3)

(3, 4)

(4, \infty)

6) Her aralıktan bir test değeri seçip ifadenin işaretini bulalım:

Aralık

(- \infty, 2)

için örnek test değeri:

x = 0

İşaret:

\frac{(0 - 2) (0 - 3)}{0 - 4} < 0

Aralık

(2, 3)

için örnek test değeri:

x = \frac{5}{2}

İşaret:

\frac{(\frac{5}{2} - 2) (\frac{5}{2} - 3)}{\frac{5}{2} - 4} > 0

Aralık

(3, 4)

için örnek test değeri:

x = \frac{7}{2}

İşaret:

\frac{(\frac{7}{2} - 2) (\frac{7}{2} - 3)}{\frac{7}{2} - 4} < 0

Aralık

(4, \infty)

için örnek test değeri:

x = 5

İşaret:

\frac{(5 - 2) (5 - 3)}{5 - 4} > 0

7) Toparlama: Pozitif (ve sıfır) olduğu aralıklar seçilir. Payı sıfır yapan noktalar dahil edilir, paydayı sıfır yapan nokta dahil edilmez.

Çözüm kümesi:

[2, 3] \cup (4, \infty)

Bu nedenle doğru cevap D6319’dır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ değerleri kümesini bulun.
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 9} \geq 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

A şıkkını kontrol edelim. Verilen eşitsizlik: x 2 − 5 x + 6 x 2 − 9 ≥ 0 Payı ve paydayı çarpanlarına ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) x 2 − 9 = ( x − 3 ) ( x + 3 ) İfade bu hâle gelir (tanımsızlık koşullarını ayrıca not edeceğiz): ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 Payda sıfır olamaz, bu yüzden: x ≠ 3 x ≠ − 3 Ortak çarpan sadeleşir; fakat sadeleşen noktada ifade yine de tanımsız kalır: ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 3 ) ( x + 3 ) = x − 2 x + 3 Ancak şu koşullar korunur: x ≠ 3 x ≠ − 3 Şimdi çözmemiz gereken eşitsizlik: x − 2 x + 3 ≥ 0 Kritik noktalar: x = 2 x = − 3 Ayrıca tanımsız olan nokta da çıkarılmalı: x = 3 İşaret incelemesi: • Pay: x − 2 • Payda: x + 3 Aralıklara göre: 1) Şu aralıkta her ikisi de negatiftir, oran pozitiftir: x < − 3 2) Şu aralıkta pay negatif, payda pozitiftir, oran negatiftir: − 3 < x < 2 3) Şu aralıkta her ikisi de pozitiftir, oran pozitiftir: x > 2 Eşitlik durumu için payın sıfır olduğu değer alınabilir (payda sıfır değilken): x = 2 Tanımsız olan değerler mutlaka dışarıda kalır: x ≠ − 3 x ≠ 3 Buna göre çözüm kümesi: ( − ∞, − 3 ) ∪ [ 2, 3 ) ∪ ( 3, ∞ ) Bulunan çözüm A şıkkı ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A’dır.

Çözüm: A şıkkını kontrol edelim. Verilen eşitsizlik: x 2 − 5 x + 6 x 2 − 9 ≥ 0 Payı ve paydayı çarpanlarına ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) x 2 − 9 = ( x − 3 ) ( x + 3 ) İfade bu hâle gelir (tanımsızlık koşullarını ayrıca not edeceğiz): ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 Payda sıfır olamaz, bu yüzden: x ≠ 3 x ≠ − 3 Ortak çarpan sadeleşir; fakat sadeleşen noktada ifade yine de tanımsız kalır: ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 3 ) ( x + 3 ) = x − 2 x + 3 Ancak şu koşullar korunur: x ≠ 3 x ≠ − 3 Şimdi çözmemiz gereken eşitsizlik: x − 2 x + 3 ≥ 0 Kritik noktalar: x = 2 x = − 3 Ayrıca tanımsız olan nokta da çıkarılmalı: x = 3 İşaret incelemesi: • Pay: x − 2 • Payda: x + 3 Aralıklara göre: 1) Şu aralıkta her ikisi de negatiftir, oran pozitiftir: x < − 3 2) Şu aralıkta pay negatif, payda pozitiftir, oran negatiftir: − 3 < x < 2 3) Şu aralıkta her ikisi de pozitiftir, oran pozitiftir: x > 2 Eşitlik durumu için payın sıfır olduğu değer alınabilir (payda sıfır değilken): x = 2 Tanımsız olan değerler mutlaka dışarıda kalır: x ≠ − 3 x ≠ 3 Buna göre çözüm kümesi: ( − ∞, − 3 ) ∪ [ 2, 3 ) ∪ ( 3, ∞ ) Bulunan çözüm A şıkkı ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A’dır.

A şıkkını kontrol edelim. Verilen eşitsizlik:

\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 9} \geq 0

Payı ve paydayı çarpanlarına ayıralım:

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

İfade bu hâle gelir (tanımsızlık koşullarını ayrıca not edeceğiz):

\frac{(x - 2) (x - 3)}{(x - 3) (x + 3)} \geq 0

Payda sıfır olamaz, bu yüzden:

x \neq 3

x \neq - 3

Ortak çarpan sadeleşir; fakat sadeleşen noktada ifade yine de tanımsız kalır:

\frac{(x - 2) (x - 3)}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{x - 2}{x + 3}

Ancak şu koşullar korunur:

x \neq 3

x \neq - 3

Şimdi çözmemiz gereken eşitsizlik:

\frac{x - 2}{x + 3} \geq 0

Kritik noktalar:

x = 2

x = - 3

Ayrıca tanımsız olan nokta da çıkarılmalı:

x = 3

İşaret incelemesi:

• Pay:

x - 2

• Payda:

x + 3

Aralıklara göre:

1) Şu aralıkta her ikisi de negatiftir, oran pozitiftir:

x < - 3

2) Şu aralıkta pay negatif, payda pozitiftir, oran negatiftir:

- 3 < x < 2

3) Şu aralıkta her ikisi de pozitiftir, oran pozitiftir:

x > 2

Eşitlik durumu için payın sıfır olduğu değer alınabilir (payda sıfır değilken):

x = 2

Tanımsız olan değerler mutlaka dışarıda kalır:

x \neq - 3

x \neq 3

Buna göre çözüm kümesi:

(- \infty, - 3) \cup [2, 3) \cup (3, \infty)

Bulunan çözüm A şıkkı ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A’dır.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 4} \geq 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Sorudaki eşitsizlik: x 2 − 5 x + 6 x 2 − 4 ≥ 0 1) Pay ve paydayı çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) x 2 − 4 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) 2) Buna göre ifade: ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) ≥ 0 3) Tanım gereği payda sıfır olamaz. Bu nedenle: x ≠ 2, x ≠ − 2 4) Ortak çarpanı sadeleştirirsek (ama x = 2 yine de yasak kalır): x − 3 x + 2 ≥ 0 , x ≠ 2, x ≠ − 2 5) Kritik noktalar: paydayı sıfır yapan x = −2 ve paydayı sıfır yapan (tanımsızlık) x = 2, payı sıfır yapan x = 3. İşaret incelemesi için esas ifade: x − 3 x + 2 6) Aralık aralık işaret: a) x < − 2: x − 3 < 0, x + 2 < 0 ⇒ x − 3 x + 2 > 0 b) − 2 < x < 3: x − 3 < 0, x + 2 > 0 ⇒ x − 3 x + 2 < 0 c) x > 3: x − 3 > 0, x + 2 > 0 ⇒ x − 3 x + 2 > 0 7) Eşitsizlik ≥ 0 istediği için pozitif olan aralıkları ve sıfır yapan noktayı alırız: ( − ∞, − 2 ) ∪ [ 3, ∞ ) Burada x = −2 zaten tanımsızdır, alınamaz. Ayrıca x = 2 de tanımsızdır; fakat 2 çözüm aralığında olmadığı için son kümeyi değiştirmez. 8) Şık kontrolü: Bulduğumuz çözüm kümesi ( − ∞, − 2 ) ∪ [ 3, ∞ ) olduğundan doğru cevap B1425 şıkkıdır.

Çözüm: Sorudaki eşitsizlik: x 2 − 5 x + 6 x 2 − 4 ≥ 0 1) Pay ve paydayı çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) x 2 − 4 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) 2) Buna göre ifade: ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) ≥ 0 3) Tanım gereği payda sıfır olamaz. Bu nedenle: x ≠ 2, x ≠ − 2 4) Ortak çarpanı sadeleştirirsek (ama x = 2 yine de yasak kalır): x − 3 x + 2 ≥ 0 , x ≠ 2, x ≠ − 2 5) Kritik noktalar: paydayı sıfır yapan x = −2 ve paydayı sıfır yapan (tanımsızlık) x = 2, payı sıfır yapan x = 3. İşaret incelemesi için esas ifade: x − 3 x + 2 6) Aralık aralık işaret: a) x < − 2: x − 3 < 0, x + 2 < 0 ⇒ x − 3 x + 2 > 0 b) − 2 < x < 3: x − 3 < 0, x + 2 > 0 ⇒ x − 3 x + 2 < 0 c) x > 3: x − 3 > 0, x + 2 > 0 ⇒ x − 3 x + 2 > 0 7) Eşitsizlik ≥ 0 istediği için pozitif olan aralıkları ve sıfır yapan noktayı alırız: ( − ∞, − 2 ) ∪ [ 3, ∞ ) Burada x = −2 zaten tanımsızdır, alınamaz. Ayrıca x = 2 de tanımsızdır; fakat 2 çözüm aralığında olmadığı için son kümeyi değiştirmez. 8) Şık kontrolü: Bulduğumuz çözüm kümesi ( − ∞, − 2 ) ∪ [ 3, ∞ ) olduğundan doğru cevap B1425 şıkkıdır.

Sorudaki eşitsizlik:

\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 4} \geq 0

1) Pay ve paydayı çarpanlara ayıralım:

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

2) Buna göre ifade:

\frac{(x - 2) (x - 3)}{(x - 2) (x + 2)} \geq 0

3) Tanım gereği payda sıfır olamaz. Bu nedenle:

x \neq 2, x \neq - 2

4) Ortak çarpanı sadeleştirirsek (ama x = 2 yine de yasak kalır):

\frac{x - 3}{x + 2} \geq 0, x \neq 2, x \neq - 2

5) Kritik noktalar: paydayı sıfır yapan x = −2 ve paydayı sıfır yapan (tanımsızlık) x = 2, payı sıfır yapan x = 3.

İşaret incelemesi için esas ifade:

\frac{x - 3}{x + 2}

6) Aralık aralık işaret:

x < - 2 : x - 3 < 0, x + 2 < 0 \Rightarrow \frac{x - 3}{x + 2} > 0

- 2 < x < 3 : x - 3 < 0, x + 2 > 0 \Rightarrow \frac{x - 3}{x + 2} < 0

x > 3 : x - 3 > 0, x + 2 > 0 \Rightarrow \frac{x - 3}{x + 2} > 0

7) Eşitsizlik ≥ 0 istediği için pozitif olan aralıkları ve sıfır yapan noktayı alırız:

(- \infty, - 2) \cup [3, \infty)

Burada x = −2 zaten tanımsızdır, alınamaz. Ayrıca x = 2 de tanımsızdır; fakat 2 çözüm aralığında olmadığı için son kümeyi değiştirmez.

8) Şık kontrolü: Bulduğumuz çözüm kümesi

(- \infty, - 2) \cup [3, \infty)

olduğundan doğru cevap şıkkıB5145dır.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin her gerçek $x$ için doğru olması için $m$ hangi aralıkta olmalıdır?
$x^{2} + (m - 6) x + (m + 5) \geq 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen ifade bir ikinci dereceden fonksiyondur: f ( x ) = x 2 + ( m - 6 ) x + ( m + 5 ) Eşitsizliğin her gerçek sayı için doğru olması isteniyor: f ( x ) ≥ 0 Parabolün kolları yukarı olmalıdır (zaten öyledir): a = 1 > 0 Bu durumda f ( x ) ’in her yerde sıfırdan küçük olmaması için ayırt edicinin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olması gerekir. Ayırt ediciyi hesaplayalım: Δ = ( m - 6 ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( m + 5 ) Δ = ( m 2 - 12 m + 36 ) - ( 4 m + 20 ) Δ = m 2 - 16 m + 16 Her gerçek x için koşul: Δ ≤ 0 m 2 - 16 m + 16 ≤ 0 Bu ikinci dereceden eşitsizliğin köklerini bulalım: m 2 - 16 m + 16 = 0 m = 16 ± 16 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 16 2 m = 16 ± 192 2 m = 16 ± 8 3 2 m = 8 ± 4 3 Parabol yukarı baktığı için ifade, kökler arasında sıfırdan küçük veya eşit olur. Dolayısıyla çözüm aralığı: 8 - 4 3 ≤ m ≤ 8 + 4 3 Sonuç: Doğru seçenek C920 ’dir.

Çözüm: Verilen ifade bir ikinci dereceden fonksiyondur: f ( x ) = x 2 + ( m - 6 ) x + ( m + 5 ) Eşitsizliğin her gerçek sayı için doğru olması isteniyor: f ( x ) ≥ 0 Parabolün kolları yukarı olmalıdır (zaten öyledir): a = 1 > 0 Bu durumda f ( x ) ’in her yerde sıfırdan küçük olmaması için ayırt edicinin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olması gerekir. Ayırt ediciyi hesaplayalım: Δ = ( m - 6 ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( m + 5 ) Δ = ( m 2 - 12 m + 36 ) - ( 4 m + 20 ) Δ = m 2 - 16 m + 16 Her gerçek x için koşul: Δ ≤ 0 m 2 - 16 m + 16 ≤ 0 Bu ikinci dereceden eşitsizliğin köklerini bulalım: m 2 - 16 m + 16 = 0 m = 16 ± 16 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 16 2 m = 16 ± 192 2 m = 16 ± 8 3 2 m = 8 ± 4 3 Parabol yukarı baktığı için ifade, kökler arasında sıfırdan küçük veya eşit olur. Dolayısıyla çözüm aralığı: 8 - 4 3 ≤ m ≤ 8 + 4 3 Sonuç: Doğru seçenek C920 ’dir.

Verilen ifade bir ikinci dereceden fonksiyondur:

f (x) = x^{2} + (m - 6) x + (m + 5)

Eşitsizliğin her gerçek sayı için doğru olması isteniyor:

f (x) \geq 0

Parabolün kolları yukarı olmalıdır (zaten öyledir):

a = 1 > 0

Bu durumda $f (x)$ ’in her yerde sıfırdan küçük olmaması için ayırt edicinin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olması gerekir.

Ayırt ediciyi hesaplayalım:

Δ = (^{m - 6) 2} - 4 \cdot 1 \cdot (m + 5)

Δ = (m^{2} - 12 m + 36) - (4 m + 20)

Δ = m^{2} - 16 m + 16

Her gerçek $x$ için koşul:

Δ \leq 0

m^{2} - 16 m + 16 \leq 0

Bu ikinci dereceden eşitsizliğin köklerini bulalım:

m^{2} - 16 m + 16 = 0

m = \frac{16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2}

m = \frac{16 \pm \sqrt{192}}{2}

m = \frac{16 \pm 8 \sqrt{3}}{2}

m = 8 \pm 4 \sqrt{3}

Parabol yukarı baktığı için ifade, kökler arasında sıfırdan küçük veya eşit olur. Dolayısıyla çözüm aralığı:

8 - 4 \sqrt{3} \leq m \leq 8 + 4 \sqrt{3}

Sonuç: Doğru seçenek B’dir.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulu sağlayan parametre değerleri hangisidir?
$x^{2} + (m - 2) x + m > 0, \forall x \in R$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

1) Verilen koşul: x 2 + ( m - 2 ) x + m > 0, ∀ x ∈ R 2) Bu ifade bir ikinci dereceden polinomdur. Tüm gerçek sayılar için daima pozitif olması için parabolün yukarı bakması ve gerçek kökünün olmaması gerekir. 3) Katsayı: a = 1 > 0 4) Gerçek kök olmaması için diskriminant negatif olmalı: Δ = ( m - 2 ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ m < 0 5) Açalım: Δ = m 2 - 4 m + 4 - 4 m = m 2 - 8 m + 4 6) Eşitsizliği çözelim: m 2 - 8 m + 4 < 0 7) Kökleri bulalım: m 2 - 8 m + 4 = 0 m = 8 ± 8 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 4 2 = 8 ± 64 - 16 2 = 8 ± 48 2 = 8 ± 4 3 2 = 4 ± 2 3 8) Katsayı pozitif olduğu için ifade bu iki kök arasında negatiftir. Dolayısıyla: 4 - 2 3 < m < 4 + 2 3 9) Sonuç: Parametre aralığı şık A’dır (uçlar alınmaz; çünkü uçlarda diskriminant sıfır olur ve ifade bazı x değerlerinde 0’a eşitlenir, bu da “> 0” koşulunu bozardı). Doğru cevap: D888

Çözüm: 1) Verilen koşul: x 2 + ( m - 2 ) x + m > 0, ∀ x ∈ R 2) Bu ifade bir ikinci dereceden polinomdur. Tüm gerçek sayılar için daima pozitif olması için parabolün yukarı bakması ve gerçek kökünün olmaması gerekir. 3) Katsayı: a = 1 > 0 4) Gerçek kök olmaması için diskriminant negatif olmalı: Δ = ( m - 2 ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ m < 0 5) Açalım: Δ = m 2 - 4 m + 4 - 4 m = m 2 - 8 m + 4 6) Eşitsizliği çözelim: m 2 - 8 m + 4 < 0 7) Kökleri bulalım: m 2 - 8 m + 4 = 0 m = 8 ± 8 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 4 2 = 8 ± 64 - 16 2 = 8 ± 48 2 = 8 ± 4 3 2 = 4 ± 2 3 8) Katsayı pozitif olduğu için ifade bu iki kök arasında negatiftir. Dolayısıyla: 4 - 2 3 < m < 4 + 2 3 9) Sonuç: Parametre aralığı şık A’dır (uçlar alınmaz; çünkü uçlarda diskriminant sıfır olur ve ifade bazı x değerlerinde 0’a eşitlenir, bu da “> 0” koşulunu bozardı). Doğru cevap: D888

1) Verilen koşul:

x^{2} + (m - 2) x + m > 0, \forall x \in R

2) Bu ifade bir ikinci dereceden polinomdur. Tüm gerçek sayılar için daima pozitif olması için parabolün yukarı bakması ve gerçek kökünün olmaması gerekir.

3) Katsayı:

a = 1 > 0

4) Gerçek kök olmaması için diskriminant negatif olmalı:

Δ = {(m - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot m < 0

5) Açalım:

Δ = m^{2} - 4 m + 4 - 4 m = m^{2} - 8 m + 4

6) Eşitsizliği çözelim:

m^{2} - 8 m + 4 < 0

7) Kökleri bulalım:

m^{2} - 8 m + 4 = 0

m = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm 4 \sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2 \sqrt{3}

8) Katsayı pozitif olduğu için ifade bu iki kök arasında negatiftir. Dolayısıyla:

4 - 2 \sqrt{3} < m < 4 + 2 \sqrt{3}

9) Sonuç: Parametre aralığı şık A’dır (uçlar alınmaz; çünkü uçlarda diskriminant sıfır olur ve ifade bazı x değerlerinde 0’a eşitlenir, bu da “> 0” koşulunu bozardı).

Doğru cevap: D3304

7. SoruÇoktan Seçmeli

Gerçel sayılar için parametre $a$ öyle seçilecektir ki aşağıdaki eşitsizlik her $x$ için sağlansın:
$x^{2} + (a - 3) x + a \geq 0$
Buna göre $a$ hangi aralıktadır?

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.
$((2 x - 1) (x + 3)) > {(x - 2)}^{2}$

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin yalnızca tek bir gerçek çözümü olması için $k$ kaç olmalıdır?
$(k - 1) x^{2} - 2 (k + 1) x + (k + 5) \leq 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Sorudaki eşitsizlik ikinci derecedendir: ( k - 1 ) x 2 - 2 ( k + 1 ) x + ( k + 5 ) ≤ 0 Bir ikinci dereceden eşitsizliğin yalnızca tek bir gerçek çözümü olması için parabolün x eksenine teğet olması ve eşitsizliğin sadece teğet noktada sağlanması gerekir. Bu da şu şartlarla olur: 1) Katsayı a = k - 1 olup a > 0 (yani parabol yukarı doğru açılmalı). 2) Ayırt edici (diskriminant) sıfır olmalı: Δ = 0 Şimdi katsayıları yazalım: a = k - 1 b = - 2 ( k + 1 ) c = k + 5 Diskriminant: Δ = b 2 - 4 a c Yerine yazalım: Δ = - 2 ( k + 1 ) 2 - 4 ( k - 1 ) ( k + 5 ) Düzenleyelim: Δ = 4 ( k + 1 ) 2 - 4 ( k - 1 ) ( k + 5 ) Δ = 4 [ ( k + 1 ) 2 - ( k - 1 ) ( k + 5 ) ] Köşeli parantezi açalım: ( k + 1 ) 2 = k 2 + 2 k + 1 ( k - 1 ) ( k + 5 ) = k 2 + 4 k - 5 Farkı alalım: ( k 2 + 2 k + 1 ) - ( k 2 + 4 k - 5 ) = - 2 k + 6 Dolayısıyla: Δ = 4 ( - 2 k + 6 ) = 8 ( 3 - k ) Tek çözüm için Δ = 0 olmalı: 8 ( 3 - k ) = 0 3 - k = 0 k = 3 Ayrıca a = k - 1 olduğundan k = 3 ⇒ a = 2 > 0 şartı da sağlanır; yani eşitsizlik gerçekten tek noktada sağlanacaktır. Kontrol için, teğet noktasındaki tek çözümün x değerini bulalım: x = - b 2 a x = 2 ( k + 1 ) 2 ( k - 1 ) = k + 1 k - 1 k = 3 ⇒ x = 4 2 = 2 Yani eşitsizlik yalnızca x = 2 için sağlanır. Sonuç: Doğru cevap C1296 şıkkıdır. k = 3

Çözüm: Sorudaki eşitsizlik ikinci derecedendir: ( k - 1 ) x 2 - 2 ( k + 1 ) x + ( k + 5 ) ≤ 0 Bir ikinci dereceden eşitsizliğin yalnızca tek bir gerçek çözümü olması için parabolün x eksenine teğet olması ve eşitsizliğin sadece teğet noktada sağlanması gerekir. Bu da şu şartlarla olur: 1) Katsayı a = k - 1 olup a > 0 (yani parabol yukarı doğru açılmalı). 2) Ayırt edici (diskriminant) sıfır olmalı: Δ = 0 Şimdi katsayıları yazalım: a = k - 1 b = - 2 ( k + 1 ) c = k + 5 Diskriminant: Δ = b 2 - 4 a c Yerine yazalım: Δ = - 2 ( k + 1 ) 2 - 4 ( k - 1 ) ( k + 5 ) Düzenleyelim: Δ = 4 ( k + 1 ) 2 - 4 ( k - 1 ) ( k + 5 ) Δ = 4 [ ( k + 1 ) 2 - ( k - 1 ) ( k + 5 ) ] Köşeli parantezi açalım: ( k + 1 ) 2 = k 2 + 2 k + 1 ( k - 1 ) ( k + 5 ) = k 2 + 4 k - 5 Farkı alalım: ( k 2 + 2 k + 1 ) - ( k 2 + 4 k - 5 ) = - 2 k + 6 Dolayısıyla: Δ = 4 ( - 2 k + 6 ) = 8 ( 3 - k ) Tek çözüm için Δ = 0 olmalı: 8 ( 3 - k ) = 0 3 - k = 0 k = 3 Ayrıca a = k - 1 olduğundan k = 3 ⇒ a = 2 > 0 şartı da sağlanır; yani eşitsizlik gerçekten tek noktada sağlanacaktır. Kontrol için, teğet noktasındaki tek çözümün x değerini bulalım: x = - b 2 a x = 2 ( k + 1 ) 2 ( k - 1 ) = k + 1 k - 1 k = 3 ⇒ x = 4 2 = 2 Yani eşitsizlik yalnızca x = 2 için sağlanır. Sonuç: Doğru cevap C1296 şıkkıdır. k = 3

Sorudaki eşitsizlik ikinci derecedendir:

(k - 1) x^{2} - 2 (k + 1) x + (k + 5) \leq 0

Bir ikinci dereceden eşitsizliğin yalnızca tek bir gerçek çözümü olması için parabolün x eksenine teğet olması ve eşitsizliğin sadece teğet noktada sağlanması gerekir. Bu da şu şartlarla olur:

1) Katsayı

a = k - 1

olup

a > 0

(yani parabol yukarı doğru açılmalı).

2) Ayırt edici (diskriminant) sıfır olmalı:

Δ = 0

Şimdi katsayıları yazalım:

a = k - 1

b = - 2 (k + 1)

c = k + 5

Diskriminant:

Δ = b^{2} - 4 a c

Yerine yazalım:

Δ = {- 2 (k + 1)}^{2} - 4 (k - 1) (k + 5)

Düzenleyelim:

Δ = 4 (k + 1)^{2} - 4 (k - 1) (k + 5)

Δ = 4 [{(k + 1)}^{2} - (k - 1) (k + 5)]

Köşeli parantezi açalım:

{(k + 1)}^{2} = k^{2} + 2 k + 1

(k - 1) (k + 5) = k^{2} + 4 k - 5

Farkı alalım:

(k^{2} + 2 k + 1) - (k^{2} + 4 k - 5) = - 2 k + 6

Dolayısıyla:

Δ = 4 (- 2 k + 6) = 8 (3 - k)

Tek çözüm için

Δ = 0

olmalı:

8 (3 - k) = 0

3 - k = 0

k = 3

Ayrıca

a = k - 1

olduğundan

k = 3 \Rightarrow a = 2 > 0

şartı da sağlanır; yani eşitsizlik gerçekten tek noktada sağlanacaktır.

Kontrol için, teğet noktasındaki tek çözümün x değerini bulalım:

x = \frac{-}{b}

x = \frac{2}{(} = \frac{k}{+}

k = 3 \Rightarrow x = \frac{4}{2} = 2

Yani eşitsizlik yalnızca

x = 2

için sağlanır.

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

k = 3

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi hangisidir?
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 4} \leq 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Soruya göre çözmemiz gereken eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x 2 - 4 ≤ 0 Önce tanım kümesini bulalım (payda sıfır olamaz): x 2 - 4 ≠ 0 ( x - 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0 x ≠ 2, x ≠ - 2 Pay ve paydayı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) x 2 - 4 = ( x - 2 ) ( x + 2 ) İfade şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 2 ) ( x + 2 ) ≤ 0 Burada sadeleştirme yapılabilir; ancak tanım koşulu değişmez: x=2 yine yasaktır (çünkü başlangıçta payda sıfırdı). x - 3 x + 2 ≤ 0 x ≠ - 2, x ≠ 2 Kritik noktalar: - Payı sıfır yapan: x=3 (eşitlik sağlanır, dahil edilebilir) - Paydayı sıfır yapan: x=-2 (tanımsız, dahil edilemez) Ayrıca başlangıçtan gelen yasak: x=2 (tanımsız, dahil edilemez) İşaret incelemesi (aralıklar: (-∞,-2), (-2,3), (3,∞) ): 1) x < - 2 x - 3 < 0 x + 2 < 0 x - 3 x + 2 > 0 2) - 2 < x < 3 x - 3 < 0 x + 2 > 0 x - 3 x + 2 < 0 3) x > 3 x - 3 > 0 x + 2 > 0 x - 3 x + 2 > 0 Dolayısıyla eşitsizliği sağlayan yerler: - Negatif olduğu aralık: (-2,3) - Sıfır olduğu nokta: x=3 (dahil) Ama x=2 başlangıçtaki ifadede tanımsız olduğu için çözümden çıkarılmalıdır. Çözüm kümesi: ( - 2, 2 ) ∪ ( 2, 3 ] Bu sonuç şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap D1135.

Çözüm: Soruya göre çözmemiz gereken eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x 2 - 4 ≤ 0 Önce tanım kümesini bulalım (payda sıfır olamaz): x 2 - 4 ≠ 0 ( x - 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0 x ≠ 2, x ≠ - 2 Pay ve paydayı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) x 2 - 4 = ( x - 2 ) ( x + 2 ) İfade şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 2 ) ( x + 2 ) ≤ 0 Burada sadeleştirme yapılabilir; ancak tanım koşulu değişmez: x=2 yine yasaktır (çünkü başlangıçta payda sıfırdı). x - 3 x + 2 ≤ 0 x ≠ - 2, x ≠ 2 Kritik noktalar: - Payı sıfır yapan: x=3 (eşitlik sağlanır, dahil edilebilir) - Paydayı sıfır yapan: x=-2 (tanımsız, dahil edilemez) Ayrıca başlangıçtan gelen yasak: x=2 (tanımsız, dahil edilemez) İşaret incelemesi (aralıklar: (-∞,-2), (-2,3), (3,∞) ): 1) x < - 2 x - 3 < 0 x + 2 < 0 x - 3 x + 2 > 0 2) - 2 < x < 3 x - 3 < 0 x + 2 > 0 x - 3 x + 2 < 0 3) x > 3 x - 3 > 0 x + 2 > 0 x - 3 x + 2 > 0 Dolayısıyla eşitsizliği sağlayan yerler: - Negatif olduğu aralık: (-2,3) - Sıfır olduğu nokta: x=3 (dahil) Ama x=2 başlangıçtaki ifadede tanımsız olduğu için çözümden çıkarılmalıdır. Çözüm kümesi: ( - 2, 2 ) ∪ ( 2, 3 ] Bu sonuç şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap D1135.

Soruya göre çözmemiz gereken eşitsizlik:

\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 4} \leq 0

Önce tanım kümesini bulalım (payda sıfır olamaz):

x^{2} - 4 \neq 0

(x - 2) (x + 2) \neq 0

x \neq 2, x \neq - 2

Pay ve paydayı çarpanlara ayıralım:

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

İfade şu hale gelir:

\frac{(x - 2) (x - 3)}{(x - 2) (x + 2)} \leq 0

Burada sadeleştirme yapılabilir; ancak tanım koşulu değişmez: x=2 yine yasaktır (çünkü başlangıçta payda sıfırdı).

\frac{x - 3}{x + 2} \leq 0

x \neq - 2, x \neq 2

Kritik noktalar:

- Payı sıfır yapan: x=3 (eşitlik sağlanır, dahil edilebilir)

- Paydayı sıfır yapan: x=-2 (tanımsız, dahil edilemez)

Ayrıca başlangıçtan gelen yasak: x=2 (tanımsız, dahil edilemez)

İşaret incelemesi (aralıklar: (-∞,-2), (-2,3), (3,∞)):

1) x < - 2 x - 3 < 0 x + 2 < 0 \frac{x - 3}{x + 2} > 0

2) - 2 < x < 3 x - 3 < 0 x + 2 > 0 \frac{x - 3}{x + 2} < 0

3) x > 3 x - 3 > 0 x + 2 > 0 \frac{x - 3}{x + 2} > 0

Dolayısıyla eşitsizliği sağlayan yerler:

- Negatif olduğu aralık: (-2,3)

- Sıfır olduğu nokta: x=3 (dahil)

Ama x=2 başlangıçtaki ifadede tanımsız olduğu için çözümden çıkarılmalıdır.

Çözüm kümesi:

(- 2, 2) \cup (2, 3]

Bu sonuç şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap A.

2. dereceden eşitsizlikler hakkında sık sorulanlar

2. dereceden eşitsizlik nasıl çözülür?

İfade sıfıra eşitlenip kökleri bulunur, köklere göre aralıklar oluşturulur ve işaret tablosuyla istenen pozitif ya da negatif aralık seçilir.

Diskriminant ne işe yarar?

Diskriminant kök sayısını ve köklerin gerçek olup olmadığını gösterir. Bu bilgi işaret incelemesinde kritik rol oynar.

Çift katlı kökte işaret değişir mi?

Çift katlı kökte ifade genellikle işaret değiştirmez; bu nedenle kök çevresindeki aralıklar dikkatle incelenmelidir.

11. Sınıf Matematik 2 Dereceden Eşitsizlikler Testleri

2. dereceden eşitsizlik nedir?

Çözüm mantığı

Grafikle ilişki

11. Sınıf Matematik 2 Dereceden Eşitsizlikler Testleri

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.x2−5x+6x2−9≥0

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan değerler kümesi hangisidir?(x)2x2-5x+6x-4≥0

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan x değerleri kümesini bulun.x2−5x+6x2−9≥0

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.x2−5x+6x2−4≥0

Aşağıdaki eşitsizliğin her gerçek x için doğru olması için m hangi aralıkta olmalıdır?x2+(m-6)x+(m+5)≥0

Aşağıdaki koşulu sağlayan parametre değerleri hangisidir?x2+(m-2)x+m>0,∀x∈R

Gerçel sayılar için parametre a öyle seçilecektir ki aşağıdaki eşitsizlik her x için sağlansın:x2+(a-3)x+a≥0Buna göre a hangi aralıktadır?

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.2x−1x+3>x−22

Aşağıdaki eşitsizliğin yalnızca tek bir gerçek çözümü olması için k kaç olmalıdır?(k-1)x2-2(k+1)x+(k+5)≤0

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi hangisidir?x2-5x+6x2-4≤0

2. dereceden eşitsizlikler hakkında sık sorulanlar

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 9} \geq 0$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan değerler kümesi hangisidir?
$\frac{{(x)}^{2}}{}$
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 4} \geq 0$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ değerleri kümesini bulun.
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 9} \geq 0$

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 4} \geq 0$

Aşağıdaki eşitsizliğin her gerçek $x$ için doğru olması için $m$ hangi aralıkta olmalıdır?
$x^{2} + (m - 6) x + (m + 5) \geq 0$

Aşağıdaki koşulu sağlayan parametre değerleri hangisidir?
$x^{2} + (m - 2) x + m > 0, \forall x \in R$

Gerçel sayılar için parametre $a$ öyle seçilecektir ki aşağıdaki eşitsizlik her $x$ için sağlansın:
$x^{2} + (a - 3) x + a \geq 0$
Buna göre $a$ hangi aralıktadır?

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.
$((2 x - 1) (x + 3)) > {(x - 2)}^{2}$

Aşağıdaki eşitsizliğin yalnızca tek bir gerçek çözümü olması için $k$ kaç olmalıdır?
$(k - 1) x^{2} - 2 (k + 1) x + (k + 5) \leq 0$

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi hangisidir?
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 4} \leq 0$